البرهان الرياضي

في البرهان المباشر، يتم إثبات النتيجة من خلال الجمع المنطقي بين البديهيات والتعريفات والنظريات السابقة. ^{[ 15 ]} على سبيل المثال، يمكن استخدام البرهان المباشر لإثبات أن مجموع عددين زوجيين هو عدد زوجي دائمًا:

لنفترض عددين زوجيين x و y . بما أنهما زوجيان، يمكن كتابتهما على الصورة x  =  2a و y  =  2b على التوالي، حيث a و b عددان صحيحان. إذن ، يكون المجموع x + y = 2a + 2b = 2( a + b ). بالتالي، فإن x + y يقبل القسمة على 2، وهو عدد زوجي بحسب التعريف. ومن ثم، فإن مجموع أي عددين زوجيين هو عدد زوجي.          

يستخدم هذا البرهان تعريف الأعداد الزوجية، وخصائص الإغلاق للأعداد الصحيحة تحت الجمع والضرب، والخاصية التوزيعية .

على الرغم من اسمه، فإن الاستقراء الرياضي هو أسلوب استنتاجي ، وليس شكلاً من أشكال الاستدلال الاستقرائي . في البرهان بالاستقراء الرياضي، تُثبت حالة أساسية واحدة، وتُثبت قاعدة استقراء تُبين أن أي حالة اختيارية تستلزم الحالة التالية. وبما أنه من حيث المبدأ، يمكن تطبيق قاعدة الاستقراء بشكل متكرر (بدءًا من الحالة الأساسية المثبتة)، فإنه يترتب على ذلك إمكانية إثبات جميع الحالات (التي عادةً ما تكون لا نهائية العدد). ^{[ 16 ]} وهذا يُغني عن إثبات كل حالة على حدة. ومن أشكال الاستقراء الرياضي البرهان بالانحدار اللانهائي ، والذي يمكن استخدامه، على سبيل المثال، لإثبات لا عقلانية الجذر التربيعي للعدد اثنين .

من التطبيقات الشائعة للبرهان بالاستقراء الرياضي إثبات أن خاصية معروفة تنطبق على عدد واحد تنطبق على جميع الأعداد الطبيعية : ^{[ 17 ]} ليكن N = {1, 2, 3, 4, ... } مجموعة الأعداد الطبيعية، وليكن P ( n ) عبارة رياضية تتضمن العدد الطبيعي n الذي ينتمي إلى N بحيث

• (i) P (1) صحيح، أي أن P ( n ) صحيح لـ n = 1 .
• (ii) P ( n +1) صحيح كلما كان P ( n ) صحيحًا، أي أن P ( n ) صحيح يعني أن P ( n +1 ) صحيح.
• إذن فإن P ( n ) صحيح لجميع الأعداد الطبيعية n .

على سبيل المثال، يمكننا إثبات بالاستقراء أن جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من الشكل 2n - 1 هي أعداد   فردية . لنفترض أن P ( n ) تمثل " 2n - 1   عدد فردي".

(i) عندما n = 1 ، فإن 2n - 1 = 2 (1) - 1 = 1         ، و 1 عدد فردي، لأنه يترك باقي قسمة قدره 1 عند قسمته على 2. وبالتالي فإن P (1) صحيحة.

(ii) لأي قيمة لـ n ، إذا كان 2n - 1 عددًا فرديًا   ( P ( n ) )، فإن (2n -  1  )  +  2 يجب أن يكون عددًا فرديًا أيضًا، لأن إضافة 2 إلى عدد فردي ينتج عنه عدد فردي. ولكن (2n - 1) + 2 = 2n + 1 = 2 ( n + 1) - 1             ، لذا فإن 2( n + 1)  -  1 عدد فردي ( P ( n + 1) ). إذن، P ( n ) يستلزم P ( n + 1) .

وبالتالي فإن 2 n  −  1 عدد فردي، لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة n .

غالباً ما تُستخدم العبارة المختصرة "البرهان بالاستقراء" بدلاً من "البرهان بالاستقراء الرياضي". ^{[ 18 ]}

يستنتج البرهان بالتناقض العبارة "إذا كان p فإن q " من خلال إثبات العبارة العكسية المكافئة منطقياً : "إذا لم يكن q فإن p ليس ".

على سبيل المثال، يمكن استخدام التناقض لإثبات أنه، بالنظر إلى عدد صحيح${\displaystyle x}$، لو${\displaystyle x^{2}}$إذا كان زوجيًا، فإذن${\displaystyle x}$زوجي:

يفترض${\displaystyle x}$ليس متساوياً. ثم${\displaystyle x}$هو عدد فردي. حاصل ضرب عددين فرديين هو عدد فردي، وبالتالي${\displaystyle x^{2}=x\cdot x}$هذا غريب.${\displaystyle x^{2}}$ليس متساوياً. وبالتالي إذا${\displaystyle x^{2}}$إذا كان الزوجي صحيحًا، فإن الافتراض يجب أن يكون خاطئًا، لذلك${\displaystyle x}$يجب أن يكون زوجياً.

في البرهان بالتناقض، المعروف أيضًا بالعبارة اللاتينية reductio ad absurdum (بالاختزال إلى العبث)، يُبين أنه إذا افترضنا صحة عبارة ما، فسيحدث تناقض منطقي ، وبالتالي يجب أن تكون العبارة خاطئة. ومن الأمثلة الشهيرة على ذلك البرهان على أن${\displaystyle {\sqrt {2}}}$هو عدد غير نسبي :

لنفترض أن${\displaystyle {\sqrt {2}}}$لو كان عددًا نسبيًا، لكان من الممكن كتابته في أبسط صورة على النحو التالي:${\displaystyle {\sqrt {2}}={a \over b}}$حيث أن a و b عددان صحيحان غير صفريين وليس لهما عامل مشترك . وبالتالي،${\displaystyle b{\sqrt {2}}=a}$بتربيع الطرفين نحصل على 2b² = a² . بما أن المقدار على اليسار هو مضاعف صحيح للعدد 2، فإن المقدار على اليمين يقبل القسمة على 2 بحكم التعريف. أي أن ^{a² عدد} زوجي ^، مما يعني أن a يجب أن يكون زوجيًا أيضًا، كما رأينا في القضية السابقة (في #البرهان بالتناقض ). لذا يمكننا كتابة a = 2c ، حيث c عدد صحيح أيضًا. بالتعويض في المعادلة الأصلية نحصل على 2b² = ( 2c ) ^² = 4c² . ^بقسمة الطرفين على 2 نحصل على ^b² = 2c² . ولكن، بنفس الحجة السابقة، 2 يقسم b² ^{، لذا} يجب أن يكون b زوجيًا. مع ذلك، إذا كان كل ^من a و b زوجيين، فإنهما يشتركان في 2. وهذا يناقض قولنا السابق بأن a و b ليس لهما عامل مشترك، لذا يجب أن نستنتج أن${\displaystyle {\sqrt {2}}}$هو عدد غير نسبي.

بتعبير آخر: لو كان بإمكان المرء أن يكتب${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ككسر ، لا يمكن كتابة هذا الكسر في أبسط صورة، حيث يمكن دائمًا تحليل العدد 2 من البسط والمقام.

البرهان بالبناء، أو البرهان بالمثال، هو بناء مثال ملموس ذي خاصية معينة لإثبات وجود شيء يمتلك تلك الخاصية. على سبيل المثال، أثبت جوزيف ليوفيل وجود الأعداد المتسامية من خلال بناء مثال صريح . ويمكن استخدامه أيضًا لبناء مثال مضاد لدحض فرضية مفادها أن جميع العناصر تمتلك خاصية معينة.

في البرهان بالاستنفاد، تُثبت النتيجة بتقسيمها إلى عدد محدود من الحالات وإثبات كل حالة على حدة. قد يصبح عدد الحالات كبيرًا جدًا في بعض الأحيان. على سبيل المثال، كان أول برهان لنظرية الألوان الأربعة برهانًا بالاستنفاد مع 1936 حالة. أثار هذا البرهان جدلًا واسعًا لأن معظم الحالات تم التحقق منها بواسطة برنامج حاسوبي، وليس يدويًا. ^{[ 19 ]}

يُظهر الاستدلال المتسلسل المغلق أن مجموعة من العبارات متكافئة ثنائياً.

لإثبات صحة التصريحات${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}}$إذا كانت كل منها متكافئة ثنائياً، فسيتم تقديم البراهين على الاستلزام.${\displaystyle \varphi _{1}\Rightarrow \varphi _{2}}$،${\displaystyle \varphi _{2}\Rightarrow \varphi _{3}}$،${\displaystyle \dots }$،${\displaystyle \varphi _{n-1}\Rightarrow \varphi _{n}}$و${\displaystyle \varphi _{n}\Rightarrow \varphi _{1}}$[ ^{20 ] [ 21 ]​}

ثم ينتج التكافؤ الثنائي للعبارات من خاصية التعدي للشرط المادي .

البرهان الاحتمالي هو برهان يُثبت فيه وجود مثال ما، بشكل قاطع، باستخدام أساليب نظرية الاحتمالات . والبرهان الاحتمالي، كالبرهان بالبناء، هو أحد الطرق العديدة لإثبات نظريات الوجود .

في الطريقة الاحتمالية، يُبحث عن عنصر يمتلك خاصية معينة، بدءًا بمجموعة كبيرة من المرشحين. يُحدد احتمال معين لاختيار كل مرشح، ثم يُثبت وجود احتمال غير صفري بأن يمتلك المرشح المختار الخاصية المطلوبة. لا تُحدد هذه الطريقة أي المرشحين يمتلك الخاصية، ولكن لا يمكن أن يكون الاحتمال موجبًا دون وجود مرشح واحد على الأقل يمتلكها.

لا ينبغي الخلط بين البرهان الاحتمالي والحجة القائلة بأن نظرية ما "محتملة" الصواب، أو ما يُعرف بـ"حجة المعقولية". يُظهر العمل على تخمين كولاتز مدى بُعد المعقولية عن البرهان الحقيقي، كما يُظهر دحض تخمين ميرتنز . في حين أن معظم علماء الرياضيات لا يعتقدون أن الأدلة الاحتمالية لخصائص شيء ما تُعد برهانًا رياضيًا حقيقيًا، فقد جادل بعض علماء الرياضيات والفلاسفة بأن بعض أنواع الأدلة الاحتمالية على الأقل (مثل خوارزمية رابين الاحتمالية لاختبار أولية الأعداد ) تُضاهي البراهين الرياضية الحقيقية. ^{[ 22 ] [ 23 ]}

يُثبت البرهان التوافقي تكافؤ التعبيرات المختلفة بإظهار أنها تحسب نفس العنصر بطرق مختلفة. ^{[ 24 ]} غالبًا ما يُستخدم تقابل بين مجموعتين لإثبات تساوي التعبيرين الخاصين بحجميهما. بدلاً من ذلك، تُقدّم حجة العد المزدوج تعبيرين مختلفين لحجم مجموعة واحدة، مما يُثبت أيضًا تساوي التعبيرين.

البرهان غير البنّاء يُثبت وجود كائن رياضي ذي خاصية معينة، دون توضيح كيفية إيجاد هذا الكائن. ^{[ 25 ]} غالبًا ما يتخذ هذا شكل برهان بالتناقض، حيث يُثبت استحالة عدم وجود الكائن. في المقابل، يُثبت البرهان البنّاء وجود كائن معين من خلال توفير طريقة لإيجاده. يُبين المثال الشهير التالي للبرهان غير البنّاء وجود عددين غير نسبيين a و b بحيث${\displaystyle a^{b}}$هو عدد نسبي . يستخدم هذا البرهان ذلك.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$هو عدد غير نسبي (وهناك برهان سهل معروف منذ عهد إقليدس )، ولكن ليس ذلك${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$غير منطقي (هذا صحيح، لكن البرهان ليس بسيطًا).

أيضاً${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$هو عدد نسبي وقد انتهينا (خذ${\displaystyle a=b={\sqrt {2}}}$)، أو${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$هو عدد غير نسبي، لذا يمكننا كتابة${\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$و${\displaystyle b={\sqrt {2}}}$وهذا يعطي${\displaystyle \left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}=2}$وبالتالي فهو عدد نسبي من الشكل${\displaystyle a^{b}.}$

يُستخدم مصطلح "البرهان الإحصائي" بشكل تقني أو عامي في مجالات الرياضيات البحتة ، مثل التشفير ، والمتسلسلات الفوضوية ، ونظرية الأعداد الاحتمالية أو نظرية الأعداد التحليلية . ^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]} ويُستخدم بشكل أقل شيوعًا للإشارة إلى البرهان الرياضي في فرع الرياضيات المعروف بالإحصاء الرياضي . انظر أيضًا قسم " البرهان الإحصائي باستخدام البيانات " أدناه.

حتى القرن العشرين، كان يُفترض أن أي برهان يمكن، من حيث المبدأ، التحقق منه بواسطة رياضي كفء للتأكد من صحته. ^{[ 8 ]} ومع ذلك، تُستخدم الآن برامج إثبات النظريات الآلية ومساعدو البراهين لإثبات النظريات وإجراء حسابات طويلة جدًا بحيث لا يستطيع أي إنسان أو فريق من البشر التحقق منها؛ ويُعد البرهان الأول لنظرية الألوان الأربعة مثالًا على البرهان بمساعدة الحاسوب. ويشعر بعض الرياضيين بالقلق من أن احتمال حدوث خطأ في برنامج الحاسوب أو خطأ أثناء تشغيل حساباته يُشكك في صحة هذه البراهين المُساعدة بالحاسوب. عمليًا، يمكن تقليل احتمالية إبطال برهان مُساعد بالحاسوب عن طريق دمج التكرار والتحقق الذاتي في الحسابات، وتطوير مناهج وبرامج مستقلة متعددة. ولا يمكن استبعاد الأخطاء تمامًا في حالة التحقق من البرهان بواسطة البشر أيضًا، خاصةً إذا كان البرهان يحتوي على لغة طبيعية ويتطلب فهمًا رياضيًا عميقًا للكشف عن الافتراضات والمغالطات الخفية المحتملة.

تُستخدم طريقةٌ مُحددةٌ لتنظيم البرهان باستخدام عمودين متوازيين كتمرين رياضي في دروس الهندسة الابتدائية في الولايات المتحدة. ^{[ 32 ]} يُكتب البرهان على شكل سلسلة من الأسطر في عمودين. يحتوي كل سطر على قضية، بينما يحتوي العمود الأيمن على شرحٍ مُوجزٍ لكيفية كون القضية المُقابلة في العمود الأيسر إما بديهيةً أو فرضيةً أو يُمكن استنتاجها منطقيًا من قضايا سابقة. عادةً ما يكون عنوان العمود الأيسر "العبارات" وعنوان العمود الأيمن "الأسباب". ^{[ 33 ]}