Hyperbolic quaternion

In abstract algebra, the algebra of hyperbolic quaternions is a nonassociative algebra over the real numbers with elements of the form

${\displaystyle q=a+bi+cj+dk,\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} \!}$

where the squares of i, j, and k are +1 and distinct elements of {i, j, k} multiply with the anti-commutative property.

The four-dimensional algebra of hyperbolic quaternions incorporates some of the features of the older and larger algebra of biquaternions. They both contain subalgebras isomorphic to the split-complex number plane. Furthermore, just as the quaternion algebra H can be viewed as a union of complex planes, so the hyperbolic quaternion algebra is a pencil of planes of split-complex numbers sharing the same real line.

It was Alexander Macfarlane who promoted this concept in the 1890s as his Algebra of Physics, first through the American Association for the Advancement of Science in 1891, then through his 1894 book of five Papers in Space Analysis, and in a series of lectures at Lehigh University in 1900.

Like the quaternions, the set of hyperbolic quaternions form a vector space over the real numbers of dimension 4. A linear combination

${\displaystyle q=a+bi+cj+dk}$

is a hyperbolic quaternion when ${\displaystyle a,b,c,}$ and ${\displaystyle d}$ are real numbers and the basis set ${\displaystyle \{1,i,j,k\}}$ has these products:

${\displaystyle ij=k=-ji}$

${\displaystyle jk=i=-kj}$

${\displaystyle ki=j=-ik}$

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=+1}$

Using the distributive property, these relations can be used to multiply any two hyperbolic quaternions.

Unlike the ordinary quaternions, the hyperbolic quaternions are not associative. For example, ${\displaystyle (ij)j=kj=-i}$, while ${\displaystyle i(jj)=i}$. In fact, this example shows that the hyperbolic quaternions are not even an alternative algebra.

The first three relations show that products of the (non-real) basis elements are anti-commutative. Although this basis set does not form a group, the set

${\displaystyle \{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}}$

forms a loop, that is, a quasigroup with an identity element. One also notes that any subplane of the set M of hyperbolic quaternions that contains the real axis forms a plane of split-complex numbers. If

${\displaystyle q^{*}=a-bi-cj-dk}$

is the conjugate of ${\displaystyle q}$, then the product

${\displaystyle q(q^{*})=a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}}$

هي الصيغة التربيعية المستخدمة في نظرية الزمكان . في الواقع، بالنسبة للحدثين p و q ، فإن الصيغة الثنائية الخطية

${\displaystyle \eta (p,q)=-p_{0}q_{0}+p_{1}q_{1}+p_{2}q_{2}+p_{3}q_{3}}$

ينشأ كقيمة معكوسة للجزء الحقيقي من حاصل ضرب الكواترنيون الزائدي pq *، ويستخدم في فضاء مينكوفسكي .

لاحظ أن مجموعة الوحدات U = { q  : qq * ≠ 0 } ليست مغلقة تحت عملية الضرب. راجع المراجع (رابط خارجي) لمزيد من التفاصيل.

تشكل الكواترنيونات الزائدية حلقة غير ترابطية ؛ ويحد فقدان خاصية الترابط في هذا الجبر من سهولة استخدامه في نظرية التحويلات. ومع ذلك، فقد ركز هذا الجبر على علم الحركة التحليلي من خلال اقتراح ^نموذج رياضي : عند اختيار متجه وحدة r في الكواترنيونات الزائدية، فإن r² = +1. المستوى${\displaystyle D_{r}=\lbrace t+xr:t,x\in R\rbrace }$يُعدّ ضرب الكواترنيون الزائدي جبرًا فرعيًا تبديليًا وتجميعيًا متماثلًا مع مستوى الأعداد المركبة المنقسمة.${\displaystyle \exp(ar)=\cosh(a)+r\sinh(a)}$يحوّل D _r بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}t+xr&&\mapsto \quad &\exp(ar)(t+xr)\\&&=\quad &(\cosh(a)t+x\sinh(a))+(\sinh(a)t+x\cosh(a))r.\end{aligned}}}$

بما أن الاتجاه r في الفضاء اختياري، فإن ضرب الكواترنيون الزائدي هذا يمكنه التعبير عن أي تعزيز لورنتز باستخدام المعامل a المسمى بالسرعة . ومع ذلك، فإن جبر الكواترنيون الزائدي قاصر عن تمثيل مجموعة لورنتز الكاملة (انظر الكواترنيون الثنائي بدلاً من ذلك).

كتب المؤرخ مايكل ج. كرو في عام 1967 تعليقاً على الحوار الدائر حول أساليب المتجهات في تسعينيات القرن التاسع عشر.

إن إدخال نظام آخر لتحليل المتجهات، حتى لو كان نظامًا توافقيًا مثل نظام ماكفارلين، من المستبعد أن يلقى قبولًا جيدًا من قبل مؤيدي الأنظمة الموجودة بالفعل، بل وربما ساهم في توسيع نطاق المسألة لتتجاوز فهم القارئ غير المطلع عليها بعد. ^{[ 1 ]}

وفي وقت لاحق، نشر ماكفارلين مقالاً في وقائع الجمعية الملكية في إدنبرة ^عام 1900. تناول فيه نموذجًا للفضاء الزائدي H3 على السطح الزائدي

${\displaystyle H^{3}=\{q\in M:q(q^{*})=1\}.}$

يُطلق على هذا النموذج المتساوي الخواص اسم نموذج القطع الزائد ويتكون من جميع المتجهات الزائدية في حلقة الرباعيات الزائدية.

شهدت تسعينيات القرن التاسع عشر تأثير المجموعات المتصلة لسوفوس لي . ومن الأمثلة على المجموعات ذات المعامل الواحد، المتجه الزائدي ذو معامل الزاوية الزائدية . هذا المعامل جزء من التحليل القطبي لعدد مركب منقسم. لكن ما يميز حلقة الكواترنيون الزائدي هو جانبٌ لافتٌ في الرياضيات المنتهية:

الأساس${\displaystyle \{1,\,i,\,j,\,k\}}$إن فضاء المتجهات للأعداد الرباعية الزائدية ليس مغلقًا تحت عملية الضرب: على سبيل المثال،${\displaystyle ji=-\!k}$ومع ذلك، فإن المجموعة${\displaystyle \{1,\,i,\,j,\,k,\,-\!1,\,-\!i,\,-\!j,\,-\!k\}}$مجموعة مغلقة تحت عملية الضرب. وهي تحقق جميع خصائص المجموعة المجردة باستثناء خاصية التجميع؛ ولأنها منتهية، فهي مربع لاتيني أو شبه زمرة ، وهي بنية رياضية هامشية . إن فقدان خاصية التجميع للضرب كما هو موجود في نظرية شبه الزمر لا يتوافق مع الجبر الخطي لأن جميع التحويلات الخطية تتكون بطريقة تجميعية. ومع ذلك، كان علماء الفيزياء يدعون في تسعينيات القرن التاسع عشر إلى تحويل مربعات${\displaystyle i}$،${\displaystyle j}$، و${\displaystyle k}$يكون${\displaystyle +1}$بدلاً من${\displaystyle -1}$ كان لدى الفيزيائي ويلارد جيبس، من جامعة ييل، كتيبات تتضمن المربع الموجب في نظامه المتجهي ثلاثي الأبعاد. ^{[ 2 ]} كتب أوليفر هيفسايد في إنجلترا مقالات في مجلة "إلكتريشن" ، وهي مجلة تجارية، يدافع فيها عن المربع الموجب. وفي عام 1892، جمع أعماله في " معاملات الجمعية الملكية أ" ^{[ 3 ]} حيث ذكر أن نظامه المتجهي هو

ببساطة عناصر الكواترنيونات بدون كواترنيونات، مع تبسيط الترميز إلى أقصى حد، والتخلص من علامة الطرح غير المريحة للغاية قبل الضرب القياسي.

لذا، كان لظهور الرباعيات الزائدية لماكفارلين دافعٌ ما، لكن عدم التجميعية غير المرغوبة أثارت ردة فعل. وقد دفع ذلك شركة كارجيل جيلستون نوت إلى تقديم ما يلي:

نظرية (كنوت ^{[ 4 ]} 1892)

إذا كان الجبر 4 على أساس${\displaystyle \{1,\,i,\,j,\,k\}}$إذا كانت عملية الضرب تجميعية، وكانت الضربات غير القطرية تُعطى بقواعد هاميلتون، فعندئذٍ${\displaystyle i^{2}=-\!1=j^{2}=k^{2}}$.

دليل:

${\displaystyle j=ki=(-ji)i=-j(ii)}$، لذا${\displaystyle i^{2}=-1}$كرر الحروف${\displaystyle i}$،${\displaystyle j}$،${\displaystyle k}$للحصول على${\displaystyle i^{2}=-1=j^{2}=k^{2}}$. QED .

كشفت هذه النظرية عن خلل في كتاب "عناصر الديناميكا " (1978) لـ دبليو كي كليفورد ، الذي وصف الضرب في مصفوفات حقيقية من الرتبة 2×2. ^{[ 5 ]} في ذلك النظام، تكون بعض مربعات الأساس عناصر محايدة موجبة، ومع ذلك، كان لدى كليفورد عناصر أساس مميزة تضرب كما في زمرة الكواترنيون، وليس كما في زمرة التناظر للمربع. بررت هذه النظرية مقاومة نداءات الفيزيائيين ومجلة " إلكتريشن ". أثارت شبه الزمرة ضجة كبيرة في تسعينيات القرن التاسع عشر: وقد ساهمت مجلة "نيتشر" بشكل خاص في عرض ما كان معروفًا آنذاك، من خلال تقديم ملخصين لأعمال نوت، بالإضافة إلى أعمال العديد من منظري المتجهات الآخرين. خصص مايكل جيه كرو الفصل السادس من كتابه "تاريخ تحليل المتجهات" للآراء المنشورة المختلفة، وأشار إلى الكواترنيون الزائدي.

ابتكر ماكفارلين نظامًا جديدًا لتحليل المتجهات أكثر انسجامًا مع نظام جيبس-هيفسايد منه مع نظام الكواترنيون. ...عرّف...الضرب الكامل لمتجهين، وهو ما يُشابه الضرب الكامل للكواترنيون، باستثناء أن الجزء القياسي فيه موجب، وليس سالبًا كما في النظام الأقدم. ^{[ 1 ]}

في عام 1899 لاحظ تشارلز جاسبر جولي الرباعي الزائدي وخاصية عدم التجميع ^{[ 6 ]} بينما نسب أصله إلى أوليفر هيفسايد.

لقد قوضت الأعداد الرباعية الزائدية، بوصفها جبر الفيزياء ، الادعاء الذي قدمته الأعداد الرباعية العادية في الفيزياء. أما في الرياضيات، فالعدد الرباعي الزائدي هو عدد فائق التعقيد ، كما كانت تُسمى هذه البنى آنذاك. وبحلول تسعينيات القرن التاسع عشر، كان ريتشارد ديديكيند قد أدخل مفهوم الحلقة في الجبر التبادلي، وكان جوزيبي بيانو يعمل على تجريد مفهوم الفضاء المتجهي . وفي عام ١٨٩٩، روّج ألفريد نورث وايتهيد للجبر الشامل ، داعيًا إلى الشمولية. ويُعد مفهوما شبه الزمرة والجبر على حقل مثالين على البنى الرياضية التي تصف الأعداد الرباعية الزائدية.

نشرت مجلة وقائع الجمعية الملكية في إدنبرة بحثًا بعنوان "الرباعيات الزائدية" عام 1900، وهو بحث استعاد فيه ماكفارلين خاصية التجميع في عملية الضرب بالعودة إلى الرباعيات المعقدة . وقد استخدم في ذلك البحث بعض التعبيرات التي اشتهرت لاحقًا بفضل فولفغانغ باولي ، حيث كتب ماكفارلين:

${\displaystyle ij=k{\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle jk=i{\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle ki=j{\sqrt {-1}},}$

مصفوفات باولي تحقق

${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}=\sigma _{3}{\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}=\sigma _{1}{\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{1}=\sigma _{2}{\sqrt {-1}}}$

مع الإشارة إلى نفس الرباعيات المعقدة.

تبدأ الورقة البحثية بعبارة: "من المعروف أن الأعداد الرباعية ترتبط ارتباطًا وثيقًا بعلم المثلثات الكروية ، بل إنها تُختزل هذا العلم إلى فرع من فروع الجبر". ويمكن التحقق من هذه العبارة بالرجوع إلى كتاب " تحليل المتجهات " المعاصر ، الذي يعتمد على نظام أعداد رباعية مُختزل قائم على الضرب القياسي والضرب الاتجاهي . في ورقة ماكفارلين، ثمة محاولة لإنتاج "علم المثلثات على سطح القطع الزائد متساوي الأضلاع" من خلال جبر الأعداد الرباعية الزائدية، التي أُعيد تعريفها الآن في حلقة ترابطية ذات ثمانية أبعاد حقيقية. ويتعزز هذا الجهد بلوحة تضم تسعة أشكال في الصفحة 181، تُوضح القدرة الوصفية لمنهجه في "تحليل الفضاء". على سبيل المثال، الشكل 7 هو مخطط مينكوفسكي الشائع الاستخدام اليوم في النسبية الخاصة لمناقشة تغير سرعة إطار مرجعي ونسبية التزامن .

في الصفحة 173، يتوسع ماكفارلين في شرح نظريته الأوسع نطاقاً حول متغيرات الكواترنيون. وعلى النقيض من ذلك، يشير إلى أن فيليكس كلاين لا يبدو أنه ينظر إلى ما هو أبعد من نظرية الكواترنيون والدوران المكاني .