شبكة الأعداد الصحيحة

في الرياضيات ، تُعرف الشبكة الصحيحة ذات الأبعاد n بالرمز ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$، هي الشبكة في الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠ التي تتكون نقاط شبكتها من n مجموعة من الأعداد الصحيحة . تُسمى شبكة الأعداد الصحيحة ثنائية الأبعاد أيضًا بالشبكة المربعة (أو شبكة الشبكة )، وتُسمى شبكة الأعداد الصحيحة ثلاثية الأبعاد بالشبكة المكعبة . ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$⁠ هو أبسط مثال على شبكة جذرية . الشبكة الصحيحة هي شبكة أحادية المعامل فردية .

تتألف زمرة التشاكل الذاتي (أو زمرة التطابقات ) للشبكة الصحيحة من جميع التباديل وتغييرات الإشارة للإحداثيات، وهي من الرتبة 2 ^{^n} n !. وكزمرة مصفوفات، تُعطى هذه الزمرة بمجموعة جميع مصفوفات التبديل الموقعة من الرتبة n × n . وتتماثل هذه الزمرة مع حاصل الضرب شبه المباشر.

${\displaystyle (\mathbb {Z} _{2})^{n}\rtimes S_{n}}$

حيث تعمل المجموعة المتناظرة S _n على ( Z ₂ ) ⁿ عن طريق التبديل (هذا مثال كلاسيكي على منتج الإكليل ).

بالنسبة للشبكة المربعة، هذه هي مجموعة المربع ، أو المجموعة ثنائية السطوح من الرتبة 8؛ بالنسبة للشبكة المكعبة ثلاثية الأبعاد، نحصل على مجموعة المكعب ، أو المجموعة ثمانية السطوح ، من الرتبة 48.

في دراسة الهندسة الديوفانتية ، يُشار غالبًا إلى الشبكة المربعة من النقاط ذات الإحداثيات الصحيحة باسم المستوى الديوفانتي . رياضيًا، المستوى الديوفانتي هو حاصل الضرب الديكارتي${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$حلقة جميع الأعداد الصحيحة${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$. تركز دراسة الأشكال الديوفانتية على اختيار العقد في المستوى الديوفانتي بحيث تكون جميع المسافات الزوجية أعدادًا صحيحة.

في الهندسة الخشنة ، تكون الشبكة الصحيحة مكافئة تقريبًا للفضاء الإقليدي .

تنص نظرية بيك ، التي وصفها جورج ألكسندر بيك لأول مرة عام 1899، على صيغة لحساب مساحة مضلع بسيط تقع جميع رؤوسه على شبكة الأعداد الصحيحة ثنائية الأبعاد، بدلالة عدد النقاط الصحيحة داخله وعلى حدوده. ^{[ 1 ]}

يترك${\displaystyle i}$ليكن عدد النقاط الصحيحة داخل المضلع، وليكن${\displaystyle b}$ليكن عدد النقاط الصحيحة على حدودها (بما في ذلك الرؤوس والنقاط على طول الجوانب). إذن المساحة${\displaystyle A}$جزء من هذا المضلع هو: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle A=i+{\frac {b}{2}}-1.}$$ المثال الموضح لديه${\displaystyle i=7}$النقاط الداخلية و${\displaystyle b=8}$نقاط الحدود، لذا فإن مساحتها هي${\displaystyle A=7+{\tfrac {8}{2}}-1=10}$وحدات مربعة.

• شبكة منتظمة

• أولدز، سي دي ؛ لاكس، أنيلي ؛ دافيدوف، جوليانا (2000). هندسة الأعداد . المكتبة الرياضية الجديدة. المجلد  41. الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 0-88385-643-3.