الهندسة الديوفانتية

في الرياضيات ، تُعنى الهندسة الديوفانتية بدراسة المعادلات الديوفانتية (البحث عن حلول صحيحة لمعادلات متعددة الحدود) باستخدام أساليب فعّالة في الهندسة الجبرية . وقد أدى التطور الكبير للهندسة الجبرية في القرن العشرين ^إلى توفير أدوات قوية لدراسة هذه المعادلات. ^{[ 1 ]} وتُعدّ الهندسة الديوفانتية جزءًا من مجال أوسع هو الهندسة الحسابية .

أربع نظريات ذات أهمية أساسية في الهندسة الديوفانتية هي: ^{[ 2 ]}

• نظرية مورديل-ويل
• نظرية روث
• نظرية سيجل
• نظرية فالتينغز

ومن النظريات الرئيسية الأخرى نظرية مازور للالتواء . ومن الأمثلة الحديثة الأخرى حدسية أندريه-أورت ، وحدسية بوغومولوف ، وكذلك حدسية مورديل المنتظمة .

نشر سيرج لانغ كتابًا بعنوان "الهندسة الديوفانتية " في عام 1962، والذي قدم مصطلح "الهندسة الديوفانتية" ^{[ 1 ]} وأدى إلى خلاف حول الإطار الأكثر وعدًا لحل المعادلات الديوفانتية.

كان الترتيب التقليدي للمادة المتعلقة بالمعادلات الديوفانتية يتم حسب الدرجة وعدد المتغيرات ، كما في كتاب مورديل " المعادلات الديوفانتية " (1969). يُذكر في الفصل 17 نتيجة هيلبرت - هرويتز من عام 1890 التي تُختزل الهندسة الديوفانتية للمنحنيات من النوع 0 إلى الدرجتين 1 و2 ( القطوع المخروطية )، وكذلك حدسية مورديل . وتُذكر نظرية سيجل حول النقاط الصحيحة في الفصل 28. أما نظرية مورديل حول التوليد المحدود لمجموعة النقاط النسبية على منحنى إهليلجي فتُذكر في الفصل 16، والنقاط الصحيحة على منحنى مورديل في الفصل 26.

كتب مورديل في مراجعة سلبية لكتاب لانغ:

في الآونة الأخيرة، طُوِّرت أفكار وأساليب هندسية جديدة فعّالة، مكّنت من اكتشاف وإثبات نظريات حسابية جديدة هامة ونتائج ذات صلة، بعضها يصعب إثباته بطرق أخرى. علاوة على ذلك، برز ميلٌ إلى صياغة النتائج القديمة وامتداداتها وبراهينها بلغة هندسية جديدة. مع ذلك، في بعض الأحيان، يكون من الأنسب وصف الآثار الكاملة للنتائج في سياق هندسي. وقد وضع لانغ هذه الجوانب نصب عينيه في هذا الكتاب، ويبدو أنه لا يُفوِّت أي فرصة للعرض الهندسي. وهذا ما يُفسِّر عنوان كتابه "الهندسة الديوفانتية". ^{[ 3 ]}

ويشير إلى أن محتوى الكتاب يتألف في معظمه من صيغ لنظرية مورديل-ويل ، ونظرية ثو-سيجل-روث ، ونظرية سيجل، مع معالجة لنظرية هيلبرت حول عدم الاختزال وتطبيقاتها بأسلوب سيجل. وبغض النظر عن مسائل العمومية، والاختلاف التام في الأسلوب، فإن الاختلاف الرياضي الرئيسي بين الكتابين هو أن لانغ استخدم المتنوعات الأبيلية وقدم برهانًا لنظرية سيجل، بينما أشار مورديل إلى أن البرهان "يتميز بطابع متقدم للغاية" (ص  263).

على الرغم من الانتقادات التي وُجهت إليه في البداية، فقد لاقت فكرة لانغ قبولًا واسعًا، ووصفت إحدى المقالات التي نُشرت عام ٢٠٠٦ الكتاب بأنه "رؤيوي". ^{[ ٤ ]} يشمل مجال أوسع يُطلق عليه أحيانًا حساب الأصناف الأبيلية الآن الهندسة الديوفانتية إلى جانب نظرية حقل الأصناف ، والضرب المركب ، ودوال زيتا المحلية، ودوال L. [ ^{٥ ] كتب} بول فوجتا :

بينما شارك آخرون في ذلك الوقت وجهة النظر هذه (مثل ويل ، وتيت ، وسير )، فمن السهل نسيان أن آخرين لم يفعلوا ذلك، كما يشهد على ذلك استعراض مورديل للهندسة الديوفانتية . ^{[ 6 ]}

تُعرّف معادلة واحدة سطحًا فائقًا ، وتُنتج المعادلات الديوفانتية المتزامنة تنوعًا جبريًا عامًا V على K ؛ والسؤال النموذجي يدور حول طبيعة مجموعة النقاط V ( K ) على V ذات الإحداثيات في K ، وباستخدام دوال الارتفاع ، يمكن طرح أسئلة كمية حول "حجم" هذه الحلول، بالإضافة إلى المسائل النوعية المتعلقة بوجود أي نقاط، وإذا وُجدت، فهل عددها لانهائي. ونظرًا للنهج الهندسي، فإن دراسة المعادلات المتجانسة والإحداثيات المتجانسة أمر أساسي، للأسباب نفسها التي تجعل الهندسة الإسقاطية هي النهج السائد في الهندسة الجبرية. ولذلك، تُعد حلول الأعداد النسبية هي الاعتبار الأساسي؛ ولكن يمكن التعامل مع الحلول الصحيحة (أي نقاط الشبكة الصحيحة ) بالطريقة نفسها التي يمكن بها دراسة التنوع الأفيني داخل تنوع إسقاطي يحتوي على نقاط إضافية عند اللانهاية .

يتجلى النهج العام للهندسة الديوفانتية في نظرية فالتينغز (وهي تخمين لـ ل. ج. مورديل ) التي تنص على أن المنحنى الجبري C من جنس g > 1 على الأعداد النسبية لا يملك إلا عددًا محدودًا من النقاط النسبية . ولعل أول نتيجة من هذا النوع كانت نظرية هيلبرت وهورويتز التي تناولت الحالة g = 0. تتألف هذه النظرية من نظريات وتخمينات عديدة، بالإضافة إلى العديد من المسائل المفتوحة.

• مسرد المصطلحات الحسابية والهندسة الديوفانتية
• هندسة أراكيلوف

• مراجعة لانغ لمعادلات مورديل الديوفانتية
• مراجعة مورديل لكتاب لانغ " الهندسة الديوفانتية"