المجموعة الخطية

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعرف مجموعة المصفوفات بأنها مجموعة G تتكون من مصفوفات قابلة للعكس على حقل محدد K ، مع عملية ضرب المصفوفات . أما المجموعة الخطية فهي مجموعة متماثلة مع مجموعة المصفوفات (أي أنها تقبل تمثيلاً أميناً محدود الأبعاد على K ).

أي زمرة منتهية هي زمرة خطية، لأنه يمكن تمثيلها بمصفوفات التبديل باستخدام نظرية كايلي . ومن بين الزمر غير المنتهية ، تُشكل الزمر الخطية فئةً مثيرةً للاهتمام وسهلة الدراسة. ومن أمثلة الزمر غير الخطية الزمر "الكبيرة جدًا" (على سبيل المثال، زمرة تبديلات مجموعة غير منتهية)، أو الزمر التي تُظهر سلوكًا شاذًا (على سبيل المثال، زمر الالتواء اللانهائية المولدة توليدًا منتهيًا ) .

التعريف والأمثلة الأساسية

يُقال إن المجموعة G خطية إذا وُجد حقل K، وعدد صحيح d، وتشاكل أحادي من G إلى المجموعة الخطية العامة GL d ( K ) ( تمثيل خطي أمين ذو بُعد d على K ) . ويمكن ، عند الحاجة، ذكر الحقل والبعد بالقول إن G خطية من الدرجة d على K. ومن الأمثلة الأساسية على ذلك المجموعات التي تُعرَّف على أنها مجموعات جزئية من مجموعة خطية، على سبيل المثال:

  1. المجموعة GL n ( K ) نفسها؛
  2. المجموعة الخطية الخاصة SL n ( K ) (المجموعة الفرعية من المصفوفات ذات المحدد 1)؛
  3. مجموعة المصفوفات المثلثية العلوية (أو السفلية) القابلة للعكس
  4. إذا كانت g i عبارة عن مجموعة من العناصر في GL n ( K ) مفهرسة بواسطة مجموعة I ، فإن المجموعة الفرعية المولدة بواسطة g i هي مجموعة خطية.

في دراسة زمر لي ، قد يكون من المفيد تربويًا أحيانًا حصر الاهتمام بزمر لي التي يمكن تمثيلها بدقة على حقل الأعداد المركبة . (يشترط بعض المؤلفين تمثيل الزمرة كزمرة فرعية مغلقة من GL n ( C ).) ومن الكتب التي تتبع هذا النهج كتاب هول (2015) [ 1 ] وكتاب روسمان (2002) [ 2 ] .

فئات المجموعات الخطية

تُعمم ما يُسمى بالمجموعات الكلاسيكية المثالين 1 و2 أعلاه. وهي تنشأ كمجموعات جبرية خطية ، أي كمجموعات جزئية من GL n مُعرّفة بعدد محدود من المعادلات. من الأمثلة الأساسية المجموعات المتعامدة والوحدوية والتماثلية ، ولكن من الممكن بناء المزيد باستخدام جبر القسمة (على سبيل المثال، مجموعة الوحدة لجبر الكواترنيون هي مجموعة كلاسيكية). تجدر الإشارة إلى أن المجموعات الإسقاطية المرتبطة بهذه المجموعات هي أيضًا خطية، وإن كان ذلك أقل وضوحًا. على سبيل المثال، المجموعة PSL 2 ( R ) ليست مجموعة من مصفوفات 2 × 2، ولكن لها تمثيل أمين كمصفوفات 3 × 3 ( التمثيل المرافق )، والذي يمكن استخدامه في الحالة العامة.

العديد من زمر لي خطية، ولكن ليس جميعها. الغطاء الشامل لـ SL 2 ( R ) ليس خطيًا، كما هو الحال مع العديد من الزمر القابلة للحل ، على سبيل المثال خارج قسمة زمرة هايزنبرغ على زمرة فرعية دورية مركزية .

تُعد المجموعات الفرعية المنفصلة من مجموعات لي الكلاسيكية (على سبيل المثال الشبكات أو المجموعات الرقيقة ) أيضًا أمثلة على المجموعات الخطية المثيرة للاهتمام.

المجموعات المنتهية

الزمرة المنتهية G من الرتبة n هي زمرة خطية من الدرجة n على الأكثر على أي حقل K. تُعرف هذه العبارة أحيانًا بنظرية كايلي، وهي ببساطة ناتجة عن حقيقة أن تأثير G على حلقة الزمر K [ G ] بالضرب من اليسار (أو اليمين) خطي ودقيق. تُعد الزمر المنتهية من نوع لي (الزمر الكلاسيكية على الحقول المنتهية) عائلة مهمة من الزمر البسيطة المنتهية ، إذ تشغل معظم خانات تصنيف الزمر البسيطة المنتهية .

مجموعات المصفوفات المولدة بشكل نهائي

على الرغم من أن المثال الرابع أعلاه عام جدًا بحيث لا يُمكنه تحديد فئة مميزة (إذ يشمل جميع الزمر الخطية)، فإن حصره في مجموعة فهارس منتهية I ، أي في الزمر المولدة نهائيًا، يسمح بإنشاء العديد من الأمثلة الشيقة. على سبيل المثال:

أمثلة من الهندسة

في بعض الحالات، يمكن إثبات أن المجموعة الأساسية لمتشعب ما خطية باستخدام تمثيلات مستمدة من بنية هندسية. على سبيل المثال، جميع الأسطح المغلقة من الرتبة 2 على الأقل هي أسطح ريمان زائدية . وباستخدام نظرية التوحيد ، ينتج عن ذلك تمثيل لمجموعتها الأساسية في مجموعة التناظر للمستوى الزائدي ، وهي متماثلة مع PSL 2 ( R )، وهذا يحقق المجموعة الأساسية كمجموعة فوكسية . ويُعمم هذا البناء بمفهوم البنية ( G , X ) على متشعب ما.

مثال آخر هو المجموعة الأساسية لمتشعبات سيفرت . من ناحية أخرى، ليس من المعروف ما إذا كانت جميع المجموعات الأساسية لمتشعبات 3 خطية . [ 5 ]

ملكيات

على الرغم من أن الزمر الخطية تُشكل فئة واسعة من الأمثلة، إلا أنها تتميز بين جميع الزمر اللانهائية بالعديد من الخصائص اللافتة. تتمتع الزمر الخطية المولدة نهائيًا بالخصائص التالية:

ينص بديل تيتس على أن المجموعة الخطية إما أن تحتوي على مجموعة حرة غير تبديلية أو أنها قابلة للحل عمليًا (أي أنها تحتوي على مجموعة قابلة للحل ذات دليل منتهٍ). ولهذا تبعات أخرى كثيرة، منها على سبيل المثال:

أمثلة على المجموعات غير الخطية

ليس من الصعب إيجاد أمثلة مولدة بلا حدود لمجموعات غير خطية: على سبيل المثال، لا يمكن أن تكون المجموعة الأبيلية اللانهائية ( Z /2Z ) N × ( Z /3Z ) N خطية . [ 9 ] ولأن المجموعة المتناظرة على مجموعة لانهائية تحتوي على هذه المجموعة، فهي أيضاً غير خطية. أما إيجاد أمثلة مولدة بشكل محدود فهو أكثر تعقيداً، ويتطلب عادةً استخدام إحدى الخصائص المذكورة أعلاه.

  • بما أن أي زمرة خطية منتهية تكون منتهية من حيث البقايا، فلا يمكن أن تكون بسيطة وغير منتهية في الوقت نفسه. وبالتالي، فإن الزمر البسيطة غير المنتهية المولدة، مثل زمرة طومسون F ، وزمرة هيغمان خارج قسمة زمرة جزئية طبيعية فعلية قصوى، ليست خطية.
  • وبناءً على النتيجة المترتبة على بديل تيتس المذكور أعلاه، فإن مجموعات النمو المتوسط ​​مثل مجموعة غريغورتشوك ليست خطية.
  • وبالعودة إلى بديل تيتس، وكما ذُكر أعلاه، فإن جميع الأمثلة المضادة لفرضية فون نيومان ليست خطية. ويشمل ذلك مجموعة طومسون F ومجموعات تارسكي الوحشية .
  • بحسب نظرية بيرنسايد، فإن مجموعات الالتواء اللانهائية والمولدة بشكل محدود مثل مجموعات تارسكي الوحشية لا يمكن أن تكون خطية.
  • توجد أمثلة على مجموعات زائدية غير خطية، تم الحصول عليها كحاصل قسمة للشبكات في مجموعات لي Sp( n , 1). [ 10 ]
  • من المعروف أن مجموعة التشاكل الخارجي Out(F n ) للمجموعة الحرة ليست خطية بالنسبة لـ n على الأقل 4. [ 11 ]
  • وعلى النقيض من حالة مجموعات الجدائل، يبقى السؤال مفتوحاً حول ما إذا كانت مجموعة فئات التعيين لسطح من جنس > 2 خطية.

نظرية التمثيل

بمجرد تحديد أن مجموعة ما خطية، يصبح من المهم محاولة إيجاد تمثيلات خطية "مثلى" ودقيقة لها، على سبيل المثال بأقل بُعد ممكن، أو حتى محاولة تصنيف جميع تمثيلاتها الخطية (بما في ذلك تلك غير الدقيقة). هذه الأسئلة هي موضوع نظرية التمثيل . ومن أبرز جوانب هذه النظرية:

إن نظرية تمثيل المجموعات المتولدة بشكل محدود غير محدودة غامضة بشكل عام؛ إن موضوع الاهتمام في هذه الحالة هو أصناف خصائص المجموعة، والتي لا يتم فهمها جيدًا إلا في حالات قليلة جدًا، على سبيل المثال المجموعات الحرة، ومجموعات السطح، وبشكل عام الشبكات في مجموعات لي (على سبيل المثال من خلال نظرية الصلابة الفائقة لمارجوليس ونتائج الصلابة الأخرى).

ملحوظات

  1. ↑ هول (2015)
  2. ↑ روسمان (2002)
  3. ↑ ستيفن ج. بيجلو (13 ديسمبر 2000)، "مجموعات الجدائل خطية" (ملف PDF) ، مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 14 (2): 471-486 ، doi : 10.1090/S0894-0347-00-00361-1 ، S2CID 18936096 
  4. ↑ بيجلو، ستيفن جيه؛ بودني، رايان دي (2001)، "مجموعة فئات التطبيقات لسطح من النوع الثاني خطية"، الطوبولوجيا الجبرية والهندسية ، 1 (2): 699-708 ، arXiv : math/0010310 ، doi : 10.2140/agt.2001.1.699
  5. ^ اشنبرينر، ماتياس. فريدل، ستيفان؛ ويلتون، هنري (2015). 3 – مجموعات متعددة . سلسلة محاضرات EMS في الرياضيات. الرياضيات الأوروبية. شركة نفط الجنوب. القسم 9.6.
  6. ↑ Wehrfritz 1973 ، ص 15.
  7. ↑ Wehrfritz 1973 ، ص 57.
  8. ^ البيرين ، روجر سي. (1987). “حساب ابتدائي لـ Selberg’s Lemma”. L'Enseignement Mathématique . 33 .
  9. ↑ هذا يتبع من Wehrfritz (1973 ، النظرية 2.2) .
  10. ↑ بيستفينا، ملادن (2004). "أسئلة في نظرية الزمر الهندسية" (ملف PDF) . السؤال 1.15 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 أغسطس 2016 .
  11. ↑ فورمانيك، إي.؛ بروسيسي، سي. (1992). "مجموعة التشاكل الذاتي لمجموعة حرة ليست خطية" . مجلة الجبر . 149 (2): 494-499 . doi : 10.1016/0021-8693(92)90029-l .

مراجع

  • هول، برايان سي. (2015)، زمر لي، وجبر لي، والتمثيلات: مقدمة تمهيدية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  222 (الطبعة الثانية  )، سبرينغر، ISBN 978-3319134666.
  • روسمان، وولف (2002)، زمر لي: مقدمة من خلال الزمر الخطية ، نصوص أكسفورد للدراسات العليا في الرياضيات، مطبعة جامعة أكسفورد، ISBN 9780198596837.
  • سوبرنينكو، د. أ. (1976). مجموعات المصفوفات . ترجمات من دراسات رياضية. المجلد  45. الجمعية الأمريكية للرياضيات . ISBN 0-8218-1595-4.
  • ويرفريتز، باف (1973). مجموعات خطية لا نهاية لها . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. المجلد.  76. سبرينغر-فيرلاغ.