متتالية ثابتة متكررة

إن متتالية أعداد فيبوناتشي 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، ... هي متتالية ثابتة التكرار من الرتبة 2 لأنها تحقق التكرار.${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$مع${\displaystyle F_{0}=0,F_{1}=1}$. على سبيل المثال،${\displaystyle F_{2}=F_{1}+F_{0}=1+0=1}$و${\displaystyle F_{6}=F_{5}+F_{4}=5+3=8}$تُحقق متتالية أعداد لوكاس 2، 1، 3، 4، 7، 11، ... نفس العلاقة التكرارية لمتتالية فيبوناتشي، ولكن بشروط ابتدائية.${\displaystyle L_{0}=2}$و${\displaystyle L_{1}=1}$وبشكل عام، فإن كل متتالية لوكاس هي متتالية ثابتة متكررة من الرتبة 2. ^{[ 2 ]}

لأي${\displaystyle a}$وأي${\displaystyle r\neq 0}$، المتتابعة الحسابية${\displaystyle a,a+r,a+2r,\ldots }$هي دالة ثابتة تكرارية من الرتبة 2، لأنها تحقق الشرط التالي:${\displaystyle s_{n}=2s_{n-1}-s_{n-2}}$. بتعميم ذلك، انظر إلى متواليات كثيرات الحدود أدناه.

لأي${\displaystyle a\neq 0}$و${\displaystyle r}$، المتتابعة الهندسية${\displaystyle a,ar,ar^{2},\ldots }$هي دالة ثابتة تكرارية من الرتبة 1، لأنها تحقق الشرط التالي:${\displaystyle s_{n}=rs_{n-1}}$يشمل ذلك، على سبيل المثال، المتتالية 1، 2، 4، 8، 16، ... بالإضافة إلى متتالية الأعداد النسبية${\textstyle 1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{16}},...}$.

متتالية دورية في النهاية ذات طول دورة${\displaystyle \ell }$هي دالة تكرارية ثابتة، لأنها تحقق الشرط التالي:${\displaystyle s_{n}=s_{n-\ell }}$للجميع${\displaystyle n\geq d}$، حيث الترتيب${\displaystyle d}$يمثل طول الجزء الأولي الذي يشمل الكتلة المتكررة الأولى. ومن أمثلة هذه المتتاليات: 1، 0، 0، 0، ... (الرتبة 1) و 1، 6، 6، 6، ... (الرتبة 2).

متتالية معرفة بواسطة متعددة الحدود${\displaystyle s_{n}=a_{0}+a_{1}n+a_{2}n^{2}+\cdots +a_{d}n^{d}}$هي دالة تكرارية ثابتة. المتتالية تحقق علاقة تكرارية من الرتبة${\displaystyle d+1}$(أين${\displaystyle d}$(حيث تمثل درجة متعددة الحدود)، بمعاملات تُعطى بواسطة العنصر المقابل في تحويل ذات الحدين . ^{[ 7 ] [ 8 ]} المعادلات القليلة الأولى من هذا النوع هي

${\displaystyle s_{n}=1\cdot s_{n-1}}$بالنسبة لكثير الحدود من الدرجة 0 (أي الثابت)،

${\displaystyle s_{n}=2\cdot s_{n-1}-1\cdot s_{n-2}}$بالنسبة لكثير الحدود من الدرجة الأولى أو أقل،

${\displaystyle s_{n}=3\cdot s_{n-1}-3\cdot s_{n-2}+1\cdot s_{n-3}}$بالنسبة لكثير الحدود من الدرجة الثانية أو أقل، و

${\displaystyle s_{n}=4\cdot s_{n-1}-6\cdot s_{n-2}+4\cdot s_{n-3}-1\cdot s_{n-4}}$لكثير الحدود من الدرجة الثالثة أو أقل.

أي متتالية تحقق معادلة من الرتبة d تحقق أيضًا جميع المعادلات ذات الرتب الأعلى. يمكن إثبات هذه المتطابقات بعدة طرق، بما في ذلك من خلال نظرية الفروق المحدودة . ^{[ 9 ]} أي متتالية من${\displaystyle d+1}$يمكن استخدام القيم الصحيحة أو الحقيقية أو المركبة كشروط ابتدائية لتسلسل ثابت متكرر من الرتبة${\displaystyle d+1}$إذا كانت الشروط الأولية تقع على متعددة حدود من الدرجة${\displaystyle d-1}$أو أقل، فإن التسلسل الثابت المتكرر يخضع أيضًا لمعادلة من الدرجة الأدنى.

يترك${\displaystyle L}$لتكن لغة منتظمة ، ولتكن${\displaystyle s_{n}}$ليكن عدد الكلمات ذات الطول${\displaystyle n}$في${\displaystyle L}$. ثم${\displaystyle (s_{n})_{n=0}^{\infty }}$هي دالة تكرارية ثابتة. ^{[ 10 ]} على سبيل المثال،${\displaystyle s_{n}=2^{n}}$بالنسبة للغة جميع السلاسل الثنائية،${\displaystyle s_{n}=1}$بالنسبة للغة جميع السلاسل الأحادية، و${\displaystyle s_{n}=F_{n+2}}$بالنسبة للغة جميع السلاسل الثنائية التي لا تحتوي على رقمين متتاليين يساويان 1. وبشكل أعم، أي دالة يقبلها جهاز آلي مُثقَّل على الأبجدية الأحادية${\displaystyle \Sigma =\{a\}}$فوق نصف الحلبة${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\times )}$(وهو في الواقع حلقة ، بل وحتى حقل ) ثابت-تكراري.

إن متواليات أعداد جاكوبستال ، وأعداد بادوفان ، وأعداد بيل ، وأعداد بيرين ^{[ 2 ]} هي متواليات ثابتة متكررة.

متتابعة العوامل​${\displaystyle 1,1,2,6,24,120,720,\ldots }$ليست دالة ثابتة تكرارية. وبشكل أعم، فإن كل دالة ثابتة تكرارية تكون محدودة تقاربياً بدالة أسية (انظر #التوصيف المغلق الشكل ) وينمو تسلسل المضروب بشكل أسرع من ذلك.

التسلسل الكاتالوني${\displaystyle 1,1,2,5,14,42,132,\ldots }$ليست دالة ثابتة متكررة. وذلك لأن الدالة المولدة لأعداد كاتالان ليست دالة كسرية (انظر #التعريفات المكافئة ).

${\displaystyle F_{n}={\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}.}$

تعريف متتالية فيبوناتشي باستخدام المصفوفات.

تسلسل${\displaystyle (s_{n})_{n=0}^{\infty }}$ثابت-تكراري من رتبة أقل من أو تساوي${\displaystyle d}$إذا وفقط إذا كان من الممكن كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle s_{n}=uA^{n}v}$

أين${\displaystyle u}$هو${\displaystyle 1\times d}$متجه،${\displaystyle A}$هو${\displaystyle d\times d}$المصفوفة ، و${\displaystyle v}$هو${\displaystyle d\times 1}$المتجه، حيث تنتمي عناصره إلى نفس المجال (الأعداد الصحيحة، الأعداد النسبية، الأعداد الجبرية، الأعداد الحقيقية، أو الأعداد المركبة) الذي تنتمي إليه المتتالية الأصلية. تحديداً،${\displaystyle v}$يمكن اعتبارها الأولى${\displaystyle d}$قيم المتسلسلة،${\displaystyle A}$التحويل الخطي الذي يحسب${\displaystyle s_{n+1},s_{n+2},\ldots ,s_{n+d}}$من${\displaystyle s_{n},s_{n+1},\ldots ,s_{n+d-1}}$، و${\displaystyle u}$المتجه${\displaystyle [0,0,\ldots ,0,1]}$[ ^{11 ]​}

غير متجانس	متجانس
${\displaystyle s_{n}=1+s_{n-1}}$	${\displaystyle s_{n}=2s_{n-1}-s_{n-2}}$
${\displaystyle s_{0}=0}$	${\displaystyle s_{0}=0;s_{1}=1}$

تعريف متتالية الأعداد الطبيعية${\displaystyle s_{n}=n}$، باستخدام تكرار غير متجانس والنسخة المتجانسة المكافئة.

المعادلة التكرارية الخطية غير المتجانسة هي معادلة على الشكل التالي:

${\displaystyle s_{n}=c_{1}s_{n-1}+c_{2}s_{n-2}+\dots +c_{d}s_{n-d}+c}$

أين${\displaystyle c}$هو ثابت إضافي. أي متتالية تحقق علاقة تكرارية خطية غير متجانسة تكون ثابتة التكرار. هذا لأن طرح معادلة${\displaystyle s_{n-1}}$من المعادلة لـ${\displaystyle s_{n}}$ينتج عنه تكرار متجانس لـ${\displaystyle s_{n}-s_{n-1}}$ومنها يمكننا حل المعادلة التالية:${\displaystyle s_{n}}$للحصول على

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{n}=&(c_{1}+1)s_{n-1}\\&+(c_{2}-c_{1})s_{n-2}+\dots +(c_{d}-c_{d-1})s_{n-d}\\&-c_{d}s_{n-d-1}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }F_{n}x^{n}={\frac {x}{1-x-x^{2}}}.}$

تعريف متتالية فيبوناتشي باستخدام دالة مولدة.

تكون المتتالية ثابتة التكرار تحديدًا عندما تكون دالتها المولدة

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}=s_{0}+s_{1}x^{1}+s_{2}x^{2}+s_{3}x^{3}+\cdots }$

هي دالة كسرية${\displaystyle p(x)\,/\,q(x)}$، أين${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$هي كثيرات الحدود و${\displaystyle q(0)=1}$^{[ 3 ]} علاوة على ذلك ، فإن ترتيب المتتالية هو الحد الأدنى${\displaystyle d}$بحيث يكون له شكل مع${\displaystyle {\text{deg }}q(x)\leq d}$و${\displaystyle {\text{deg }}p(x)<d}$[ ^{12 ]​}

المقام هو متعدد الحدود الذي تم الحصول عليه من متعدد الحدود المساعد عن طريق عكس ترتيب المعاملات ، ويتم تحديد البسط من خلال القيم الأولية للمتتالية: ^{[ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}={\frac {b_{0}+b_{1}x^{1}+b_{2}x^{2}+\dots +b_{d-1}x^{d-1}}{1-c_{1}x^{1}-c_{2}x^{2}-\dots -c_{d}x^{d}}},}$

أين

${\displaystyle b_{n}=s_{n}-c_{1}s_{n-1}-c_{2}s_{n-2}-\dots -c_{d}s_{n-d}.}$^{[ 15 ]}

ويترتب على ما سبق أن المقام${\displaystyle q(x)}$يجب أن تكون كثيرة حدود غير قابلة للقسمة على${\displaystyle x}$(وخاصة غير الصفرية).

${\displaystyle \{(an+b)_{n=0}^{\infty }:a,b\in \mathbb {R} \}}$

فضاء متجهي ثنائي الأبعاد للمتتاليات المولدة بواسطة المتتالية${\displaystyle s_{n}=n}$.

تسلسل${\displaystyle (s_{n})_{n=0}^{\infty }}$تكون الدالة ثابتة التكرار إذا وفقط إذا كانت مجموعة المتتاليات

${\displaystyle \left\{(s_{n+r})_{n=0}^{\infty }:r\geq 0\right\}}$

يتم احتواؤها في فضاء متتابعات ( فضاء متجهات المتتابعات) ذي بُعد محدود. أي،${\displaystyle (s_{n})_{n=0}^{\infty }}$يتم احتواؤها في فضاء فرعي محدود الأبعاد من${\displaystyle \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}$مغلق تحت عامل الإزاحة إلى اليسار . ^{[ 16 ] [ 17 ]}

يرجع هذا التوصيف إلى الترتيب-${\displaystyle d}$يمكن فهم علاقة التكرار الخطي على أنها دليل على وجود تبعية خطية بين المتتاليات${\displaystyle (s_{n+r})_{n=0}^{\infty }}$ل${\displaystyle r=0,\ldots ,d}$يُظهر امتداد هذه الحجة أن رتبة المتتالية تساوي بُعد فضاء المتتاليات المُوَلَّد بواسطة${\displaystyle (s_{n+r})_{n=0}^{\infty }}$للجميع${\displaystyle r}$[ ^{18 ] [ 17 ]​}

مجموع متتابعتين ثابتتين متكررتين هو أيضًا متتابعتان ثابتتان متكررتان. ^{[ 25 ] [ 26 ]} على سبيل المثال، مجموع${\displaystyle s_{n}=2^{n}}$و${\displaystyle t_{n}=n}$يكون${\displaystyle u_{n}=2^{n}+n}$(${\displaystyle 1,3,6,11,20,\ldots }$، وهو ما يحقق التكرار${\displaystyle u_{n}=4u_{n-1}-5u_{n-2}+2u_{n-3}}$يمكن إيجاد العلاقة التكرارية الجديدة عن طريق جمع الدوال المولدة لكل متتالية.

وبالمثل، فإن حاصل ضرب متتابعتين ثابتتين متكررتين هو متتابعة ثابتة متكررة. ^{[ 25 ]} على سبيل المثال، حاصل ضرب${\displaystyle s_{n}=2^{n}}$و${\displaystyle t_{n}=n}$يكون${\displaystyle u_{n}=n\cdot 2^{n}}$(${\displaystyle 0,2,8,24,64,\ldots }$، وهو ما يحقق التكرار${\displaystyle u_{n}=4u_{n-1}-4u_{n-2}}$.

تسلسل الإزاحة إلى اليسار${\displaystyle u_{n}=s_{n+1}}$وتسلسل الإزاحة إلى اليمين${\displaystyle u_{n}=s_{n-1}}$(مع${\displaystyle u_{0}=0}$تُعتبر الدوال التكرارية ثابتة لأنها تُحقق نفس علاقة التكرار. على سبيل المثال، لأن${\displaystyle s_{n}=2^{n}}$هي دالة تكرارية ثابتة، وكذلك${\displaystyle u_{n}=2^{n+1}}$.

بشكل عام، تكون المتتاليات الثابتة المتكررة مغلقة تحت العمليات التالية، حيث${\displaystyle s=(s_{n})_{n\in \mathbb {N} },t=(t_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$تشير إلى المتتاليات المتكررة الثابتة،${\displaystyle f(x),g(x)}$وهي دوالها المولدة، و${\displaystyle d,e}$وهي أوامرهم، على التوالي. ^{[ 27 ]}

العمليات على المتتاليات الثابتة المتكررة

عملية	تعريف	متطلبات	دالة توليد مكافئة	طلب
المجموع حسب الفصل الدراسي${\displaystyle s+t}$	${\displaystyle (s+t)_{n}=s_{n}+t_{n}}$	—	${\displaystyle f(x)+g(x)}$	${\displaystyle \leq d+e}$[ 25 ]
المنتج حسب المدة${\displaystyle s\cdot t}$	${\displaystyle (s\cdot t)_{n}=s_{n}\cdot t_{n}}$	—	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta }}g\left({\frac {x}{\zeta }}\right)\;\mathrm {d} \zeta }$[ 28 ] [ 29 ]	${\displaystyle \leq d\cdot e}$[ 11 ] [ 25 ]
منتج كوشي${\displaystyle s*t}$	${\displaystyle (s*t)_{n}=\sum _{i=0}^{n}s_{i}t_{n-i}}$	—	${\displaystyle f(x)g(x)}$	${\displaystyle \leq d+e}$[ 27 ]
التحول إلى اليسار${\displaystyle Ls}$	${\displaystyle (Ls)_{n}=s_{n+1}}$	—	${\displaystyle {\frac {f(x)-s_{0}}{x}}}$	${\displaystyle \leq d}$[ 27 ]
التحويل إلى اليمين${\displaystyle Rs}$	${\displaystyle (Rs)_{n}={\begin{cases}s_{n-1}&n\geq 1\\0&n=0\end{cases}}}$	—	${\displaystyle xf(x)}$	${\displaystyle \leq d+1}$[ 27 ]
معكوس كوشي${\displaystyle s^{(-1)}}$	${\displaystyle (s^{(-1)})_{n}=\sum _{{i_{1}+\dots +i_{k}=n} \atop {i_{1},\ldots ,i_{k}\neq 0}}(-1)^{k}s_{i_{1}}s_{i_{2}}\cdots s_{i_{k}}}$	${\displaystyle s_{0}=1}$	${\displaystyle {\frac {1}{f(x)}}}$	${\displaystyle \leq d+1}$[ 27 ]
كلين ستار${\displaystyle s^{(*)}}$	${\displaystyle (s^{(*)})_{n}=\sum _{{i_{1}+\dots +i_{k}=n} \atop {i_{1},\ldots ,i_{k}\neq 0}}s_{i_{1}}s_{i_{2}}\cdots s_{i_{k}}}$	${\displaystyle s_{0}=0}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-f(x)}}}$	${\displaystyle \leq d+1}$[ 27 ]

يُستنتج الانغلاق تحت الجمع والضرب حدًا حدًا من التوصيف ذي الصيغة المغلقة بدلالة كثيرات الحدود الأسية. ويُستنتج الانغلاق تحت جداء كوشي من توصيف الدالة المولدة. ^{[ 27 ]} الشرط${\displaystyle s_{0}=1}$يُعدّ معكوس كوشي ضروريًا في حالة المتتاليات العددية الصحيحة، ولكن يمكن استبداله بـ${\displaystyle s_{0}\neq 0}$إذا كانت المتتالية على أي حقل (أعداد نسبية، أو جبرية، أو حقيقية، أو مركبة). ^{[ 27 ]}

على الرغم من استيفائها لصيغة محلية بسيطة، إلا أن المتتالية الثابتة المتكررة قد تُظهر سلوكًا عالميًا معقدًا. عرّف صفر المتتالية الثابتة المتكررة بأنه عدد صحيح غير سالب.${\displaystyle n}$بحيث${\displaystyle s_{n}=0}$تنص نظرية سكوليم-مالر-ليخ على أن أصفار المتتالية تتكرر في النهاية: توجد ثوابت${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle n>M}$،${\displaystyle s_{n}=0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle s_{n+N}=0}$تنطبق هذه النتيجة على متتالية ثابتة متكررة على الأعداد المركبة، أو بشكل أعم، على أي حقل ذي خاصية صفرية. ^{[ 30 ]}

يمكن أيضًا دراسة نمط الأصفار في متتالية ثابتة متكررة من منظور نظرية الحوسبة . وللقيام بذلك، يجب وصف المتتالية${\displaystyle s_{n}}$يجب إعطاؤها وصفًا محدودًا ؛ ويمكن القيام بذلك إذا كانت المتتالية على الأعداد الصحيحة أو الأعداد النسبية أو الأعداد الجبرية. ^{[ 11 ]} بالنظر إلى مثل هذا الترميز للمتتاليات${\displaystyle s_{n}}$يمكن دراسة المشكلات التالية:

مشاكل اتخاذ القرار البارزة

مشكلة	وصف	الحالة [ 11 ] [ 31 ]
وجود الصفر ( مسألة سكوليم )	عند الإدخال${\displaystyle (s_{n})_{n=0}^{\infty }}$، يكون${\displaystyle s_{n}=0}$بالنسبة للبعض${\displaystyle n}$؟	يفتح
عدد لا نهائي من الأصفار	عند الإدخال${\displaystyle (s_{n})_{n=0}^{\infty }}$، يكون${\displaystyle s_{n}=0}$لعدد لا نهائي من${\displaystyle n}$؟	قابل للبت فيه
في النهاية، كل شيء صفر	عند الإدخال${\displaystyle (s_{n})_{n=0}^{\infty }}$، يكون${\displaystyle s_{n}=0}$لجميع الأحجام الكبيرة بما فيه الكفاية${\displaystyle n}$؟	قابل للبت فيه
الإيجابية	عند الإدخال${\displaystyle (s_{n})_{n=0}^{\infty }}$، يكون${\displaystyle s_{n}>0}$للجميع${\displaystyle n}$؟	يفتح
الإيجابية في نهاية المطاف	عند الإدخال${\displaystyle (s_{n})_{n=0}^{\infty }}$، يكون${\displaystyle s_{n}>0}$لجميع الأحجام الكبيرة بما فيه الكفاية${\displaystyle n}$؟	يفتح

لأن مربع متتالية ثابتة متكررة${\displaystyle s_{n}^{2}}$لا تزال الدالة ثابتة التكرار (انظر خصائص الإغلاق )، وتختزل مشكلة وجود الصفر في الجدول أعلاه إلى الإيجابية، وتختزل مشكلة الأصفار اللانهائية إلى الإيجابية النهائية. كما تختزل مشاكل أخرى إلى تلك الواردة في الجدول أعلاه: على سبيل المثال، ما إذا كانت${\displaystyle s_{n}=c}$بالنسبة للبعض${\displaystyle n}$يختزل الأمر إلى وجود الصفر بالنسبة للمتتالية${\displaystyle s_{n}-c}$كمثال ثانٍ، بالنسبة للمتتاليات في الأعداد الحقيقية، فإن الإيجابية الضعيفة (هي${\displaystyle s_{n}\geq 0}$للجميع${\displaystyle n}$؟) يؤدي إلى إيجابية التسلسل${\displaystyle -s_{n}}$(لأن الإجابة يجب أن تكون منفية، وهذا اختزال تورينج ).

قد تُقدّم نظرية سكوليم-مالر-ليخ إجابات لبعض هذه الأسئلة، إلا أن برهانها غير بنائي . فهي تنص على أنه بالنسبة لجميع${\displaystyle n>M}$تتكرر الأصفار؛ ومع ذلك، فإن قيمة${\displaystyle M}$من غير المعروف أنها قابلة للحساب، لذا فإن هذا لا يؤدي إلى حل لمشكلة وجود الصفر. ^{[ 11 ]} من ناحية أخرى، فإن النمط الدقيق الذي يتكرر بعد${\displaystyle n>M}$قابلة للحساب. ^{[ 11 ] [ 32 ]} لهذا السبب فإن مشكلة الأصفار اللانهائية قابلة للحل: ما عليك سوى تحديد ما إذا كان النمط المتكرر بلا نهاية فارغًا.

تُعرف نتائج قابلية الحسم عندما يكون ترتيب المتتالية صغيرًا. على سبيل المثال، تُعتبر مسألة سكوليم قابلة للحسم بالنسبة للمتتاليات الجبرية التي يصل ترتيبها إلى 4. ^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]} كما أنها قابلة للحسم بالنسبة للمتتاليات العددية العكسية التي يصل ترتيبها إلى 7، أي المتتاليات التي يمكن استكمالها عكسيًا في الأعداد الصحيحة. ^{[ 31 ]}

تُعرف نتائج قابلية الحسم أيضًا في ظل افتراضات معينة غير مثبتة في نظرية الأعداد . على سبيل المثال، تُعرف قابلية الحسم للمتتاليات الكسرية من الرتبة حتى 5، وذلك وفقًا لتخمين يُعرف بتخمين سكولم أو مبدأ الأسي المحلي-العالمي. كما تُعرف قابلية الحسم لجميع المتتاليات الكسرية البسيطة (تلك التي لها متعددة حدود مميزة بسيطة ) وفقًا لتخمين سكولم وتخمين شانيل الضعيف من الرتبة p-adic. ^{[ 36 ]}

يترك${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$لتكن الجذور المميزة لمتتالية تكرارية ثابتة${\displaystyle s}$نقول إن المتتالية متدهورة إذا كانت النسبة${\displaystyle r_{i}/r_{j}}$هو أصل الوحدة ، لأي${\displaystyle i\neq j}$غالبًا ما يكون من الأسهل دراسة المتتاليات غير المنحلة، ويمكن اختزال ذلك باستخدام النظرية التالية: إذا${\displaystyle s}$تم الطلب${\displaystyle d}$وهو موجود في حقل رقمي${\displaystyle K}$درجة علمية${\displaystyle k}$زيادة${\displaystyle \mathbb {Q} }$ثم هناك ثابت${\displaystyle M(k,d)\leq {\begin{cases}\exp(2d(3\log d)^{1/2})&{\text{if }}k=1,\\2^{kd+1}&{\text{if }}k\geq 2\end{cases}}}$

بحيث يكون لبعض${\displaystyle M\leq M(k,d)}$كل تسلسل فرعي${\displaystyle s_{Mn+\ell }}$إما أن تكون قيمتها صفرًا تمامًا أو غير متدهورة. ^{[ 37 ]}