Integer sequence

In mathematics, an integer sequence is a sequence (i.e., an ordered list) of integers.

An integer sequence may be specified explicitly by giving a formula for its nth term, or implicitly by giving a relationship between its terms. For example, the sequence 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... (the Fibonacci sequence) is formed by starting with 0 and 1 and then adding any two consecutive terms to obtain the next one: an implicit description (sequence A000045 in the OEIS). The sequence 0, 3, 8, 15, ... is formed according to the formula ${\displaystyle n^{2}-1}$ for the nth term: an explicit definition.

Alternatively, an integer sequence may be defined by a property which members of the sequence possess and other integers do not possess. For example, we can determine whether a given integer is a perfect number, (sequence A000396 in the OEIS), even though we do not have a formula for the nth perfect number.

An integer sequence is computable if there exists an algorithm that, given ${\displaystyle n}$, calculates ${\displaystyle a_{n}}$, for all ${\displaystyle n>0}$. The set of computable integer sequences is countable. The set of all integer sequences is uncountable (with cardinality equal to that of the continuum), and so not all integer sequences are computable.

Although some integer sequences have definitions, there is no systematic way to define what it means for an integer sequence to be definable in the universe or in any absolute (model independent) sense.

Suppose the set ${\displaystyle M}$ is a transitive model of ZFC set theory. The transitivity of ${\displaystyle M}$ implies that the integers and integer sequences inside ${\displaystyle M}$ are actually integers and sequences of integers. An integer sequence is a definable sequence relative to ${\displaystyle M}$ if there exists some formula ${\displaystyle P(x)}$ in the language of set theory, with one free variable and no parameters, which is true in ${\displaystyle M}$ for that integer sequence and false in ${\displaystyle M}$ for all other integer sequences. In each such ${\displaystyle M}$, there are definable integer sequences that are not computable, such as sequences that encode the Turing jumps of computable sets.

For some transitive models ${\displaystyle M}$ of ZFC, every sequence of integers in ${\displaystyle M}$ is definable relative to ${\displaystyle M}$أما بالنسبة للبعض الآخر، فبعض متواليات الأعداد الصحيحة فقط هي كذلك. لا توجد طريقة منهجية لتحديدها في${\displaystyle M}$هي نفسها مجموعة المتتاليات القابلة للتعريف بالنسبة إلى${\displaystyle M}$وقد لا توجد تلك المجموعة حتى في بعض هذه الحالات${\displaystyle M}$وبالمثل، فإن الخريطة من مجموعة الصيغ التي تحدد متواليات الأعداد الصحيحة في${\displaystyle M}$لا يمكن تعريف متواليات الأعداد الصحيحة التي تحددها في${\displaystyle M}$وقد لا يكون موجودًا في${\displaystyle M}$ومع ذلك، في أي نموذج يمتلك خريطة تعريف كهذه، لن تكون بعض المتتاليات العددية في النموذج قابلة للتعريف بالنسبة إلى النموذج. ^{[ 1 ]}

لو${\displaystyle M}$إذا احتوت على جميع المتتاليات العددية الصحيحة، فإن مجموعة المتتاليات العددية الصحيحة القابلة للتعريف في${\displaystyle M}$سيوجد في${\displaystyle M}$ويكون قابلاً للعد وقابلاً للعد في${\displaystyle M}$.

تُسمى سلسلة الأعداد الصحيحة الموجبة سلسلة كاملة إذا كان من الممكن التعبير عن كل عدد صحيح موجب كمجموع للقيم في السلسلة، باستخدام كل قيمة مرة واحدة على الأكثر.

تتضمن متواليات الأعداد الصحيحة التي لها أسماء خاصة بها ما يلي:

• متتالية ثابتة متكررة
• موسوعة إلكترونية لتسلسلات الأعداد الصحيحة
• قائمة متواليات الأعداد الصحيحة

• هامكينز، جويل ديفيد؛ لينيتسكي، ديفيد؛ ريتز، جوناس (2013)، "نماذج نظرية المجموعات القابلة للتعريف نقطيًا"، مجلة المنطق الرمزي ، 78 (1): 139-156 ، arXiv : 1105.4597 ، doi : 10.2178/jsl.7801090 ، S2CID 43689192 .

• مجلة متواليات الأعداد الصحيحة . المقالات متاحة مجاناً عبر الإنترنت.