دوال جاكوبي الإهليلجية

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 388 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعدّ دوال جاكوبي الإهليلجية مجموعة من الدوال الإهليلجية الأساسية . وتُستخدم في وصف حركة البندول ، وكذلك في تصميم المرشحات الإهليلجية الإلكترونية . بينما تُعرَّف الدوال المثلثية بالنسبة للدائرة، تُعتبر دوال جاكوبي الإهليلجية تعميمًا يشمل القطوع المخروطية الأخرى ، وخاصة القطع الناقص. وتتجلى العلاقة بالدوال المثلثية في الترميز، على سبيل المثال، من خلال الترميز المطابق.سن{\displaystyle \operatorname {sn} }لالخطيئة{\displaystyle \sin }تُستخدم دوال جاكوبي الإهليلجية في المسائل العملية أكثر من دوال فايرشتراس الإهليلجية ، لأنها لا تتطلب تعريف أو فهم مفاهيم التحليل المركب . وقد قدمها كارل غوستاف جاكوب جاكوبي ( 1829 ) . وكان كارل فريدريش غاوس قد درس دوال جاكوبي الإهليلجية الخاصة عام 1797، ولا سيما دوال ليمنيسكات الإهليلجية [ 1 ]، ولكن نُشر عمله في وقت لاحق. 

ملخص

المستطيل الأساسي في المستوى المركب لـu{\displaystyle u}

يوجد اثنا عشر دالة إهليلجية لجاكوبي يُرمز لها بـpq⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}، أينص{\displaystyle \mathrm {p} }وq{\displaystyle \mathrm {q} }هل أي من هذه الأحرفج{\displaystyle \mathrm {c} }،s{\displaystyle \mathrm {s} }،ن{\displaystyle \mathrm {n} }، ود{\displaystyle \mathrm {d} }(وظائف من الشكل)ص⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {pp} (u,m)}يتم ضبطها بسهولة على الوحدة من أجل اكتمال الترميز.)u{\displaystyle u}هذا هو جوهر الحجة، وم{\displaystyle m}يمثل المعامل، وكلاهما قد يكون معقدًا. في الواقع، دوال جاكوبي الإهليلجية ميرومورفية في كليهما.u{\displaystyle u}وم{\displaystyle m}[ 2 ] توزيع الأصفار والأقطاب فيu{\displaystyle u}المستوى - معروف جيدًا. ومع ذلك، فإن مسائل توزيع الأصفار والأقطاب فيم{\displaystyle m}لا يزال مستوى - بحاجة إلى مزيد من البحث. [ 2 ]

في المستوى المركب للحجةu{\displaystyle u}تشكل الدوال الاثنتا عشرة شبكة متكررة من الأقطاب والأصفار البسيطة . [ 3 ] اعتمادًا على الدالة، سيكون لمتوازي الأضلاع المتكرر ، أو الخلية الأساسية، أضلاع بطول2ك{\displaystyle 2K}أو4ك{\displaystyle 4K}على المحور الحقيقي، و2ك′{\displaystyle 2K'}أو4ك′{\displaystyle 4K'}على المحور التخيلي، حيثك=ك(م){\displaystyle K=K(m)}وك′=ك(1-م){\displaystyle K'=K(1-m)}تُعرف هذه الفترات باسم الفترات الربعية معك(⋅){\displaystyle K(\cdot )}وهو التكامل الإهليلجي من النوع الأول. يمكن تحديد طبيعة الخلية الأولية من خلال فحص "المستطيل المساعد" (عادةً ما يكون متوازي أضلاع)، وهو مستطيل يتكون من نقطة الأصل.(0،0){\displaystyle (0,0)}في إحدى الزوايا، و (ك،ك′){\displaystyle (K,K')}باعتبارها الزاوية المقابلة قطريًا. وكما هو موضح في الرسم التخطيطي، تُسمى الزوايا الأربع للمستطيل المساعدs{\displaystyle \mathrm {s} }،ج{\displaystyle \mathrm {c} }،د{\displaystyle \mathrm {d} }، ون{\displaystyle \mathrm {n} }، بالتحرك عكس اتجاه عقارب الساعة من نقطة الأصل. الدالةpq⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}سيكون له صفر فيص{\displaystyle \mathrm {p} }الزاوية وعمود عندq{\displaystyle \mathrm {q} }الزاوية. تتوافق الدوال الاثنتا عشرة مع الطرق الاثنتي عشرة لترتيب هذه الأقطاب والأصفار في زوايا المستطيل.

عندما يدور النقاشu{\displaystyle u}المعاملم{\displaystyle m}حقيقية، مع0<م<1{\displaystyle 0<m<1}،ك{\displaystyle K}وك′{\displaystyle K'}ستكون حقيقية وسيكون متوازي الأضلاع المساعد في الواقع مستطيلاً، وستكون جميع دوال جاكوبي الإهليلجية ذات قيم حقيقية على الخط الحقيقي.

بما أن دوال جاكوبي الإهليلجية دورية مزدوجة فيu{\displaystyle u}تُحلل هذه الدوال عبر سطح حلقي – ​​في الواقع، يمكن اعتبار نطاقها سطحًا حلقيًا، تمامًا كما تُعرّف دالتا الجيب وجيب التمام على دائرة. بدلًا من وجود دائرة واحدة فقط، لدينا الآن حاصل ضرب دائرتين، إحداهما حقيقية والأخرى تخيلية. يمكن استبدال المستوى المركب بسطح حلقي مركب . محيط الدائرة الأولى هو4ك{\displaystyle 4K}والثاني4ك′{\displaystyle 4K'}، أينك{\displaystyle K}وك′{\displaystyle K'}هي فترات الربع . لكل دالة صفران وقطبان في موقعين متقابلين على السطح الحلقي. من بين النقاط0{\displaystyle 0}،ك{\displaystyle K}،ك+أناك′{\displaystyle K+iK'}،أناك′{\displaystyle iK'}يوجد صفر واحد وقطب واحد.

تكون دوال جاكوبي الإهليلجية دوالًا دورية مزدوجة، ودوالًا ميرومورفية تحقق الخصائص التالية:

  • يوجد صفر بسيط في الزاويةص{\displaystyle \mathrm {p} }وعمود بسيط في الزاوية q{\displaystyle \mathrm {q} }.
  • العدد المركبص-q{\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {q} }يساوي نصف دورة الدالةpq⁡u{\displaystyle \operatorname {pq} u}أي الوظيفةpq⁡u{\displaystyle \operatorname {pq} u}دوري في الاتجاهpq{\displaystyle \operatorname {pq} }، مع كون الفترة2(ص-q){\displaystyle 2(\mathrm {p} -\mathrm {q} )}الوظيفةpq⁡u{\displaystyle \operatorname {pq} u}كما أنها دورية في الاتجاهين الآخرينصص′{\displaystyle \mathrm {pp} '}وصq′{\displaystyle \mathrm {pq} '}، مع فترات بحيثص-ص′{\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {p} '}وص-q′{\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {q} '}هي فترات ربع سنوية.
alt=دالة جاكوبي الإهليلجية sn {\displaystyle \operatorname {sn} } , k = 0.8 {\displaystyle k=0.8}
دالة جاكوبي الإهليلجيةسن{\displaystyle \operatorname {sn} }
alt=دالة جاكوبي الإهليلجية cn {\displaystyle \operatorname {cn} } , k = 0.8 {\displaystyle k=0.8}
دالة جاكوبي الإهليلجيةcn{\displaystyle \operatorname {cn} }
alt=دالة جاكوبي الإهليلجية dn {\displaystyle \operatorname {dn} } , k = 0.8 {\displaystyle k=0.8}
دالة جاكوبي الإهليلجيةدن{\displaystyle \operatorname {dn} }
alt=دالة جاكوبي الإهليلجية sc {\displaystyle \operatorname {sc} } , k = 0.8 {\displaystyle k=0.8}
دالة جاكوبي الإهليلجيةSC{\displaystyle \operatorname {sc} }
رسومات بيانية لأربع دوال إهليلجية لجاكوبي في المستوى المركب لـu{\displaystyle u}توضح هذه الصور سلوكها الدوري المزدوج. تم إنشاء الصور باستخدام نسخة من طريقة تلوين المجال . [ 4 ] جميعها لها قيمك=م{\displaystyle k={\sqrt {m}}}يساوي0.8{\displaystyle 0.8}.

الترميز

يمكن تمثيل الدوال الإهليلجية برموز متنوعة، مما قد يُسبب بعض الالتباس في الموضوع. الدوال الإهليلجية هي دوال لمتغيرين. قد يُعبَّر عن المتغير الأول بدلالة السعة.φ{\displaystyle \varphi }أو بشكل أكثر شيوعاً، من حيثu{\displaystyle u}موضح أدناه. قد يُعطى المتغير الثاني بدلالة المعامل .م{\displaystyle m}أو كمعامل إهليلجيك{\displaystyle k}، أينك2=م{\displaystyle k^{2}=m}أو من حيث الزاوية المعياريةα{\displaystyle \alpha }، أينم=الخطيئة2⁡α{\displaystyle m=\sin ^{2}\alpha }مع تحياتك{\displaystyle k}وم{\displaystyle m}تُعرَّف بأنهام′=1-م{\displaystyle m'=1-m}وك′=م′{\textstyle k'={\sqrt {m'}}}تُستخدم هذه المصطلحات الأربعة أدناه دون تعليق لتبسيط التعبيرات المختلفة.

تُكتب دوال جاكوبي الإهليلجية الاثنتي عشرة عمومًا على النحو التالي:pq⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}أينص{\displaystyle \mathrm {p} }وq{\displaystyle \mathrm {q} }هل أي من هذه الأحرفج{\displaystyle \mathrm {c} }،s{\displaystyle \mathrm {s} }،ن{\displaystyle \mathrm {n} }، ود{\displaystyle \mathrm {d} }. دوال من الشكلص⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {pp} (u,m)}تُضبط هذه الدوال ببساطة على الوحدة من أجل اكتمال الترميز. وتُعتبر الدوال "الرئيسية" عمومًاcn⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)}،سن⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)}ودن⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)}والتي يمكن اشتقاق جميع الدوال الأخرى منها ، وغالبًا ما تُكتب التعبيرات بدلالة هذه الدوال الثلاث فقط، ومع ذلك، فإن العديد من التناظرات والتعميمات يُعبَّر عنها غالبًا بشكل أكثر ملاءمة باستخدام المجموعة الكاملة. (هذا الترميز يعود إلى جودرمان وجلايشر وليس ترميز جاكوبي الأصلي).

في جميع أنحاء هذا المقال،pq⁡(u،ت2)=pq⁡(u؛ت){\displaystyle \operatorname {pq} (u,t^{2})=\operatorname {pq} (u;t)}.

ترتبط الدوال ببعضها البعض من الناحية الرمزية عن طريق قاعدة الضرب: (تم حذف الوسائط)

pq⋅ص′q′=صq′⋅ص′q{\displaystyle \operatorname {pq} \cdot \operatorname {p'q'} =\operatorname {pq'} \cdot \operatorname {p'q} }

ومنها يمكن اشتقاق علاقات أخرى شائعة الاستخدام:

العلاقات العامةرمز الاستجابة السريعة=pq{\displaystyle {\frac {\operatorname {pr} }{\operatorname {qr} }}=\operatorname {pq} }العلاقات العامة⋅rq=pq{\displaystyle \operatorname {pr} \cdot \operatorname {rq} =\operatorname {pq} }1qp=pq{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {qp} }}=\operatorname {pq} }

وتنتج قاعدة الضرب مباشرة من تحديد الدوال الإهليلجية مع دوال نيفيل ثيتا [ 5 ]

pq⁡(u،م)=θص(u،م)θq(u،م){\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}} لاحظ أيضًا ما يلي:

ك(م)=ك(ك2)=∫01دت(1-ت2)(1-مت2)=∫01دت(1-ت2)(1-ك2ت2).{\displaystyle K(m)=K(k^{2})=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-mt^{2})}}}=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}.}

التعريف بدلالة معكوسات التكاملات الإهليلجية

نموذج سعة جاكوبي (المقاسة على طول المحور الرأسي) كدالة للمتغيرات المستقلة u والمعامل k

يوجد تعريف يربط الدوال الإهليلجية بمعكوس التكامل الإهليلجي غير الكامل من النوع الأولF{\displaystyle F}تأخذ هذه الدوال المعاملاتu{\displaystyle u}وم{\displaystyle m}كمدخلات. الـφ{\displaystyle \varphi }ذلك يرضي

u=F(φ|م)=∫0φدθ1-مالخطيئة2⁡θ{\displaystyle u=F(\varphi |m)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}

يُطلق عليه سعة جاكوبي :

أكون⁡(u|م)=φ.{\displaystyle \operatorname {am} (u|m)=\varphi .}

في هذا الإطار، تُعطى دالة الجيب الإهليلجية sn u (باللاتينية: sinus amplitudinis ) بالصيغة التالية: 

سن⁡(u|م)=الخطيئة⁡أكون⁡(u|م){\displaystyle \operatorname {sn} (u|m)=\sin \operatorname {am} (u|m)}

وجيب التمام الإهليلجي cn u (باللاتينية: cosinus amplitudinis ) يُعطى بالصيغة التالية: 

cn⁡(u|م)=كوس⁡أكون⁡(u|م){\displaystyle \operatorname {cn} (u|m)=\cos \operatorname {am} (u|m)}

وسعة الدلتا dn u (باللاتينية: delta amplitudinis ) [ ملاحظة 1 ] 

دن⁡(u|م)=ددuأكون⁡(u|م).{\displaystyle \operatorname {dn} (u|m)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {am} (u|m).} في ما سبق، القيمةم{\displaystyle m}هو مُعامل حر ، يُفترض عادةً أنه حقيقي بحيث0≤م≤1{\displaystyle 0\leq m\leq 1}(لكنها قد تكون معقدة بشكل عام)، وبالتالي يمكن اعتبار الدوال الإهليلجية معطاة بمتغيرين،u{\displaystyle u}والمعامل م{\displaystyle m}أما الدوال الإهليلجية التسع المتبقية فيمكن بناؤها بسهولة من الدوال الثلاث المذكورة أعلاه (سن{\displaystyle \operatorname {sn} }،cn{\displaystyle \operatorname {cn} }،دن{\displaystyle \operatorname {dn} }، ويتم تقديمها في قسم أدناه. لاحظ أنه عندماφ=π/2{\displaystyle \varphi =\pi /2}، الذي - التيu{\displaystyle u}ثم يساوي فترة الربع ك{\displaystyle K}.

في السياق الأكثر عمومية،أكون⁡(u|م){\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}هي دالة متعددة القيم (فيu{\displaystyle u}) مع عدد لا نهائي من نقاط التفرع اللوغاريتمية (تختلف الفروع بمضاعفات صحيحة لـ2π{\displaystyle 2\pi }أي النقاط2sك(م)+(4ت+1)ك(1-م)أنا{\displaystyle 2sK(m)+(4t+1)K(1-m)i}و2sك(م)+(4ت+3)ك(1-م)أنا{\displaystyle 2sK(m)+(4t+3)K(1-m)i}أينs،ت∈Z{\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} }[ 6 ] يمكن تحويل هذه الدالة متعددة القيم إلى دالة أحادية القيمة عن طريق قطع المستوى المركب على طول القطع المستقيمة التي تصل بين نقاط التفرع هذه (يمكن إجراء القطع بطرق غير متكافئة، مما ينتج عنه دوال أحادية القيمة غير متكافئة)، وبالتاليأكون⁡(u|م){\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}تحليلي في كل مكان باستثناء قطع الفروع . على النقيض من ذلك،الخطيئة⁡أكون⁡(u|م){\displaystyle \sin \operatorname {am} (u|m)}والدوال الإهليلجية الأخرى ليس لها نقاط تفرع، وتعطي قيمًا متسقة لكل فرع من فروعأكون{\displaystyle \operatorname {am} }وهي دوال ميرومورفية في المستوى العقدي بأكمله. وبما أن كل دالة إهليلجية ميرومورفية في المستوى العقدي بأكمله (بحسب التعريف)،أكون⁡(u|م){\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}(عند اعتبارها دالة ذات قيمة واحدة) ليست دالة إهليلجية.

ومع ذلك، هناك قطع معين لـأكون⁡(u|م){\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}يمكن صنعه فيu{\displaystyle u}-مستوى بواسطة قطع مستقيمة من2sك(م)+(4ت+1)ك(1-م)أنا{\displaystyle 2sK(m)+(4t+1)K(1-m)i}ل2sك(م)+(4ت+3)ك(1-م)أنا{\displaystyle 2sK(m)+(4t+3)K(1-m)i}معs،ت∈Z{\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} }ثم يبقى فقط تعريفأكون⁡(u|م){\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}عند نقاط التقاطع الفرعية، يتم الحفاظ على الاستمرارية من اتجاه معين. ثمأكون⁡(u|م){\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}تصبح أحادية القيمة ودورية بشكل فردي فيu{\displaystyle u}بأقل فترة زمنية4أناك(1-م){\displaystyle 4iK(1-m)}ولها نقاط تفرد عند نقاط التفرع اللوغاريتمي المذكورة أعلاه. إذام∈R{\displaystyle m\in \mathbb {R} }وم≤1{\displaystyle m\leq 1}،أكون⁡(u|م){\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}متصل فيu{\displaystyle u}على الخط الحقيقي. عندمام>1{\displaystyle m>1}، قطع الفروعأكون⁡(u|م){\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}فيu{\displaystyle u}-الطائرة تعبر خط الأعداد الحقيقية عند2(2s+1)ك(1/م)/م{\displaystyle 2(2s+1)K(1/m)/{\sqrt {m}}}لs∈Z{\displaystyle s\in \mathbb {Z} }لذلك من أجلم>1{\displaystyle m>1}،أكون⁡(u|م){\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}غير متصل فيu{\displaystyle u}على الخط الحقيقي ويقفز متجاوزًا2π{\displaystyle 2\pi }على الانقطاعات.

لكن تحديدأكون⁡(u|م){\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}تؤدي هذه الطريقة إلى قطع فروع معقدة للغاية فيم{\displaystyle m}-المستوى ( ليسu{\displaystyle u}-plane)؛ لم يتم وصفها بالكامل حتى الآن.

يترك هـ(φ|م)=∫0φ1-مالخطيئة2⁡θدθ{\displaystyle E(\varphi |m)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta } ليكن التكامل الإهليلجي غير الكامل من النوع الثاني ذو المعاملم{\displaystyle m}.

ويمكن تعريف دالة إيبسيلون لجاكوبي على النحو التالي:هـ(u|م)=هـ(أكون⁡(u|م)|م){\displaystyle {\mathcal {E}}(u|m)=E(\operatorname {am} (u|m)|m)} لu∈R{\displaystyle u\in \mathbb {R} }و0<م<1{\displaystyle 0<m<1}وباستخدام الاستمرار التحليلي في كل متغير من المتغيرات الأخرى: تكون دالة جاكوبي إبسيلون ميرومورفية في المستوى العقدي بأكمله (في كليهما).u{\displaystyle u}وم{\displaystyle m}). أو بدلاً من ذلك، في كل منu{\displaystyle u}-المستوى وم{\displaystyle m}-المستوى، [ 7 ]هـ(u|م)=∫0uدن2⁡(ت|م)دت؛{\displaystyle {\mathcal {E}}(u|m)=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(t|m)\,\mathrm {d} t;}هـ{\displaystyle {\mathcal {E}}}يتم تحديدها جيدًا بهذه الطريقة لأن جميع بقايات↦دن⁡(ت|م)2{\displaystyle t\mapsto \operatorname {dn} (t|m)^{2}}بما أن قيمها تساوي صفرًا، فإن التكامل مستقل عن المسار. لذا، فإن معامل إبسيلون جاكوبي يربط التكامل الإهليلجي غير الكامل من النوع الأول بالتكامل الإهليلجي غير الكامل من النوع الثاني. هـ(φ|م)=هـ(F(φ|م)|م).{\displaystyle E(\varphi |m)={\mathcal {E}}(F(\varphi |m)|m).} دالة جاكوبي إبسيلون ليست دالة إهليلجية، ولكنها تظهر عند اشتقاق دوال جاكوبي الإهليلجية بالنسبة للمعامل.

تُعرَّف دالة جاكوبي zn بواسطةالزنك⁡(u|م)=هـ(u|م)-هـ(م)ك(م)u.{\displaystyle \operatorname {zn} (u|m)={\mathcal {E}}(u|m)-{\frac {E(m)}{K(m)}}u.} هي دالة دورية مفردة وهي دالة ميرومورفية فيu{\displaystyle u}لكن ليس فيم{\displaystyle m}(بسبب قطع الفروع)هـ{\displaystyle E}وك{\displaystyle K}). فترة الحد الأدنى فيu{\displaystyle u}يكون2ك(م){\displaystyle 2K(m)}وهي مرتبطة بدالة زيتا لجاكوبي من خلالZ(φ|م)=الزنك⁡(F(φ|م)|م).{\displaystyle Z(\varphi |m)=\operatorname {zn} (F(\varphi |m)|m).}

تاريخياً، عُرّفت دوال جاكوبي الإهليلجية لأول مرة باستخدام السعة. أما في النصوص الحديثة حول الدوال الإهليلجية، فتُعرّف دوال جاكوبي الإهليلجية بوسائل أخرى، مثل نسب دوال ثيتا (انظر أدناه)، ويتم تجاهل السعة.

وبعبارة حديثة، يمكن التعبير عن العلاقة بالتكاملات الإهليلجية كما يلي:سن⁡(F(φ|م)|م)=الخطيئة⁡φ{\displaystyle \operatorname {sn} (F(\varphi |m)|m)=\sin \varphi }(أوcn⁡(F(φ|م)|م)=كوس⁡φ{\displaystyle \operatorname {cn} (F(\varphi |m)|m)=\cos \varphi }) بدلاً منأكون⁡(F(φ|م)|م)=φ{\displaystyle \operatorname {am} (F(\varphi |m)|m)=\varphi }.

التعريف كعلم المثلثات: قطع جاكوبي الناقص

رسم بياني لقطع جاكوبي الناقص ( x² + y² / b² = 1، حيث b عدد حقيقي ) ودوال جاكوبي الناقصة الاثنتي عشرة pq ( u , m ) لقيم محددة للزاوية φ والمعامل b . المنحنى المتصل هو القطع الناقص، حيث m = 1 − 1/ b² و u = F ( φ , m ) حيث F ( ⋅ , ⋅ ) هو التكامل الناقص من النوع الأول (مع المعامل b) .            م=ك2{\displaystyle m=k^{2}}المنحنى المنقط هو دائرة الوحدة. الخطوط المماسية من الدائرة والقطع الناقص عند x  =  cd والتي تتقاطع مع المحور x عند dc موضحة باللون الرمادي الفاتح.

كوس⁡φ،الخطيئة⁡φ{\displaystyle \cos \varphi ,\,\sin \varphi }يتم تعريفها على دائرة الوحدة بنصف قطرر=1{\displaystyle r=1}والزاويةφ={\displaystyle \varphi =}طول قوس دائرة الوحدة مقاسًا من المحور السيني الموجب . وبالمثل، تُعرَّف دوال جاكوبي الإهليلجية على القطع الناقص للوحدة معأ=1{\displaystyle a=1}وب≥1{\displaystyle b\geq 1}. يترك

x2+y2ب2=1،م=1-1ب2،x=ركوس⁡φ،y=رالخطيئة⁡φ.{\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad m=1-{\frac {1}{b^{2}}},\\&x=r\cos \varphi ,\quad y=r\sin \varphi .\end{aligned}}}

ثم0≤م<1{\displaystyle 0\leq m<1}و

ر(φ،م)=11-مالخطيئة2⁡φ.{\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}}\,.}

لكل زاويةφ{\displaystyle \varphi }المعلمة u=u(φ،م)=∫0φر(θ،م)دθ{\displaystyle u=u(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }r(\theta ,m)\,d\theta } يتم حساب التكامل الإهليلجي غير الكامل من النوع الأول. على دائرة الوحدة (أ=ب=1{\displaystyle a=b=1})u{\displaystyle u}سيكون طول القوس. ومع ذلك، فإن العلاقة بينu{\displaystyle u}أما حساب طول قوس القطع الناقص فهو أكثر تعقيداً. [ 8 ]

يتركP=(x،y)=(ركوس⁡φ،رالخطيئة⁡φ){\displaystyle P=(x,y)=(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}لتكن نقطة على القطع الناقص، ولتكنP′=(x′،y′)=(كوس⁡φ،الخطيئة⁡φ){\displaystyle P'=(x',y')=(\cos \varphi ,\sin \varphi )}لتكن النقطة التي تتقاطع عندها دائرة الوحدة مع الخط بينP{\displaystyle P}والأصليا{\displaystyle O}ثم العلاقات المألوفة من دائرة الوحدة

x′=كوس⁡φ،y′=الخطيئة⁡φ{\displaystyle x'=\cos \varphi ,\quad y'=\sin \varphi }

اقرأ من أجل القطع الناقص

x′=cn⁡(u،م)،y′=سن⁡(u،م).{\displaystyle x'=\operatorname {cn} (u,m),\quad y'=\operatorname {sn} (u,m).}

إذن، إسقاطات نقطة التقاطعP′{\displaystyle P'}من الخطياP{\displaystyle OP}مع وجود دائرة الوحدة على المحورين السيني والصادي ، تكون ببساطةcn⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)}وسن⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)}يمكن تفسير هذه الإسقاطات على أنها "تعريف كعلم المثلثات". باختصار،

cn⁡(u،م)=xر(φ،م)،سن⁡(u،م)=yر(φ،م)،دن⁡(u،م)=1ر(φ،م).{\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)={\frac {x}{r(\varphi ,m)}},\quad \operatorname {sn} (u,m)={\frac {y}{r(\varphi ,m)}},\quad \operatorname {dn} (u,m)={\frac {1}{r(\varphi ,m)}}.}

لـx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}قيم النقطةP{\displaystyle P}مع u{\displaystyle u}المعاملم{\displaystyle m}نحصل على ذلك بإدخال العلاقة

ر(φ،م)=1دن⁡(u،م){\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,m)}}}

داخلx=ر(φ،م)كوس⁡φ{\displaystyle x=r(\varphi ,m)\cos \varphi }وy=ر(φ،م)الخطيئة⁡φ{\displaystyle y=r(\varphi ,m)\sin \varphi }، نجد

x=cn⁡(u،م)دن⁡(u،م)،y=سن⁡(u،م)دن⁡(u،م).{\displaystyle x={\frac {\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}}.}

يمكن اعتبار العلاقات الأخيرة لإحداثيات x و y للنقاط على القطع الناقص الواحدي بمثابة تعميم للعلاقاتx=كوس⁡φ{\displaystyle x=\cos \varphi }وy=الخطيئة⁡φ{\displaystyle y=\sin \varphi }للحصول على إحداثيات النقاط على دائرة الوحدة.

يلخص الجدول التالي تعابير جميع دوال جاكوبي الإهليلجية pq(u,m) في المتغيرات ( x , y , r ) و( φ , dn) معر=x2+y2{\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}.

دوال جاكوبي الإهليلجية pq[ u , m ] كدوال لـ { x , y , r } و { φ ,dn}
q
جsند
ص
ج1x/y=سرير أطفال⁡(φ){\displaystyle x/y=\cot(\varphi )}x/ر=كوس⁡(φ){\displaystyle x/r=\cos(\varphi )}x=كوس⁡(φ)/دن{\displaystyle x=\cos(\varphi )/\operatorname {dn} }
sy/x=لون برونزي⁡(φ){\displaystyle y/x=\tan(\varphi )}1y/ر=الخطيئة⁡(φ){\displaystyle y/r=\sin(\varphi )}y=الخطيئة⁡(φ)/دن{\displaystyle y=\sin(\varphi )/\operatorname {dn} }
نر/x=ثانية⁡(φ){\displaystyle r/x=\sec(\varphi )}ر/y=csc⁡(φ){\displaystyle r/y=\csc(\varphi )}1ر=1/دن{\displaystyle r=1/\operatorname {dn} }
د1/x=ثانية⁡(φ)دن{\displaystyle 1/x=\sec(\varphi )\operatorname {dn} }1/y=csc⁡(φ)دن{\displaystyle 1/y=\csc(\varphi )\operatorname {dn} }1/ر=دن{\displaystyle 1/r=\operatorname {dn} }1

التعريف بدلالة دوال جاكوبي ثيتا

باستخدام التكاملات الإهليلجية

بصورة مكافئة، يمكن تعريف دوال جاكوبي الإهليلجية بدلالة دوال ثيتا . [ 9 ] معz،τ∈ج{\displaystyle z,\tau \in \mathbb {C} }بحيثأنا⁡τ>0{\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}، يترك

θ1(z|τ)=∑ن=-∞∞(-1)ن-12هـ(2ن+1)أناz+πأناτ(ن+12)2،{\displaystyle \theta _{1}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-{\frac {1}{2}}}e^{(2n+1)iz+\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}},}θ2(z|τ)=∑ن=-∞∞هـ(2ن+1)أناz+πأناτ(ن+12)2،{\displaystyle \theta _{2}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{(2n+1)iz+\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}},}θ3(z|τ)=∑ن=-∞∞هـ2نأناz+πأناτن2،{\displaystyle \theta _{3}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2niz+\pi i\tau n^{2}},}θ4(z|τ)=∑ن=-∞∞(-1)نهـ2نأناz+πأناτن2{\displaystyle \theta _{4}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{2niz+\pi i\tau n^{2}}} ودعθ2(τ)=θ2(0|τ){\displaystyle \theta _{2}(\tau )=\theta _{2}(0|\tau )}،θ3(τ)=θ3(0|τ){\displaystyle \theta _{3}(\tau )=\theta _{3}(0|\tau )}،θ4(τ)=θ4(0|τ){\displaystyle \theta _{4}(\tau )=\theta _{4}(0|\tau )}ثم معك=ك(م){\displaystyle K=K(m)}،ك′=ك(1-م){\displaystyle K'=K(1-m)}،ζ=πu/(2ك){\displaystyle \zeta =\pi u/(2K)}وτ=أناك′/ك{\displaystyle \tau =iK'/K}،

سن⁡(u،م)=θ3(τ)θ1(ζ|τ)θ2(τ)θ4(ζ|τ)،cn⁡(u،م)=θ4(τ)θ2(ζ|τ)θ2(τ)θ4(ζ|τ)،دن⁡(u،م)=θ4(τ)θ3(ζ|τ)θ3(τ)θ4(ζ|τ).{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {\theta _{3}(\tau )\theta _{1}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {cn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{2}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {dn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{3}(\zeta |\tau )}{\theta _{3}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}}.\end{aligned}}}

يمكن التعبير عن دالة جاكوبي zn بواسطة دوال ثيتا أيضًا: الزنك⁡(u،م)=π2كθ4′(ζ|τ)θ4(ζ|τ)=π2كθ3′(ζ|τ)θ3(ζ|τ)+مسن⁡(u،م)cn⁡(u،م)دن⁡(u،م)=π2كθ2′(ζ|τ)θ2(ζ|τ)+دن⁡(u،م)سن⁡(u،م)cn⁡(u،م)=π2كθ1′(ζ|τ)θ1(ζ|τ)-cn⁡(u،م)دن⁡(u،م)سن⁡(u،م){\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {zn} (u,m)&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{4}'(\zeta |\tau )}{\theta _{4}(\zeta |\tau )}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{3}'(\zeta |\tau )}{\theta _{3}(\zeta |\tau )}}+m{\frac {\operatorname {sn} (u,m)\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{2}'(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\zeta |\tau )}}+{\frac {\operatorname {dn} (u,m)\operatorname {sn} (u,m)}{\operatorname {cn} (u,m)}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{1}'(\zeta |\tau )}{\theta _{1}(\zeta |\tau )}}-{\frac {\operatorname {cn} (u,m)\operatorname {dn} (u,m)}{\operatorname {sn} (u,m)}}\end{aligned}}} أين′{\displaystyle '}يشير إلى المشتقة الجزئية بالنسبة للمتغير الأول.

استخدام الانعكاس المعياري

في الواقع، يختلف تعريف دوال جاكوبي الإهليلجية في كتاب ويتاكر وواتسون قليلاً عن التعريف المذكور أعلاه (لكنه مكافئ له)، ويعتمد على الانعكاس المعياري: الدالةλ{\displaystyle \lambda }، كما هو محدد بواسطة

المنطقةF1{\displaystyle F_{1}}في المستوى المركب. يحده نصفا دائرة من الأسفل، وشعاع من اليسار وشعاع من اليمين.

λ(τ)=θ2(τ)4θ3(τ)4،{\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}},} يفترض كل قيمة فيج-{0،1}{\displaystyle \mathbb {C} -\{0,1\}}مرة واحدة ومرة ​​واحدة فقط [ 10 ] في F1-(∂F1∩{τ∈ح:يكرر⁡τ<0}){\displaystyle F_{1}-(\partial F_{1}\cap \{\tau \in \mathbb {H} :\operatorname {Re} \tau <0\})} حيثح{\displaystyle \mathbb {H} }هو النصف العلوي من المستوى المركب،∂F1{\displaystyle \partial F_{1}}هي حدودF1{\displaystyle F_{1}}و F1={τ∈ح:|يكرر⁡τ|≤1،|يكرر⁡(1/τ)|≤1}.{\displaystyle F_{1}=\{\tau \in \mathbb {H}  بهذه الطريقة، كل م=تعريفλ(τ)∈ج-{0،1}{\displaystyle m\,{\overset {\text{def}}{=}}\,\lambda (\tau )\in \mathbb {C} -\{0,1\}}يمكن ربطها بواحد فقطτ{\displaystyle \tau }ثم يُعرّف ويتاكر وواتسون دوال جاكوبي الإهليلجية على النحو التالي: سن⁡(u،م)=θ3(τ)θ1(ζ|τ)θ2(τ)θ4(ζ|τ)،cn⁡(u،م)=θ4(τ)θ2(ζ|τ)θ2(τ)θ4(ζ|τ)،دن⁡(u،م)=θ4(τ)θ3(ζ|τ)θ3(τ)θ4(ζ|τ){\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {\theta _{3}(\tau )\theta _{1}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {cn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{2}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {dn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{3}(\zeta |\tau )}{\theta _{3}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}}\end{aligned}}} أينζ=u/θ3(τ)2{\displaystyle \zeta =u/\theta _{3}(\tau )^{2}}في الكتاب، يفرضون قيدًا إضافيًا علىم{\displaystyle m}(الذي - التيم∉(-∞،0)∪(1،∞){\displaystyle m\notin (-\infty ,0)\cup (1,\infty )})، لكنها في الواقع ليست قيدًا ضروريًا (انظر مرجع كوكس). أيضًا، إذام=0{\displaystyle m=0}أوم=1{\displaystyle m=1}، تتحول الدوال الإهليلجية لجاكوبي إلى دوال غير إهليلجية كما هو موضح أدناه.

التعريف بدلالة دوال ثيتا لنفيل

يمكن تعريف دوال جاكوبي الإهليلجية ببساطة شديدة باستخدام دوال نيفيل ثيتا : [ 11 ]

pq⁡(u،م)=θص(u،م)θq(u،م){\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}}

غالباً ما يتم تبسيط نواتج الضرب المعقدة لدوال جاكوبي الإهليلجية باستخدام هذه المتطابقات.

تحويلات جاكوبي

التحولات الخيالية لجاكوبي

رسم بياني لمنحنى جاكوبي المنحط ( x² + y² / b² = 1 ، b = ∞ ) ودوال  جاكوبي الإهليلجية الاثنتي عشرة pq( u , 1) لقيمة معينة للزاوية φ . المنحنى المتصل هو القطع الناقص المنحط ( x² = 1 ) حيث m = 1 و u = F ( φ , 1) حيث F ( ⋅ , ⋅ ) هو التكامل الإهليلجي من النوع الأول. المنحنى المتقطع هو دائرة الوحدة. بما أن هذه هي دوال جاكوبي عندما m = 0 (دوال مثلثية دائرية) ولكن بزوايا تخيلية، فإنها تُقابل الدوال المثلثية الزائدية الست.              

تربط تحويلات جاكوبي التخيلية بين دوال مختلفة للمتغير التخيلي iu، أو بعبارة أخرى، بين قيم مختلفة للمعامل m . بدلالة الدوال الرئيسية: [ 12 ] : 506

cn⁡(u،م)=nc⁡(أناu،1-م){\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)=\operatorname {nc} (i\,u,1\!-\!m)}سن⁡(u،م)=-أناSC⁡(أناu،1-م){\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=-i\operatorname {sc} (i\,u,1\!-\!m)}دن⁡(u،م)=العاصمة واشنطن⁡(أناu،1-م){\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)=\operatorname {dc} (i\,u,1\!-\!m)}

باستخدام قاعدة الضرب، يمكن التعبير عن جميع الدوال الأخرى بدلالة الدوال الثلاث المذكورة أعلاه. ويمكن كتابة التحويلات بشكل عام على النحو التالي:pq⁡(u،م)=γpqpq′⁡(أناu،1-م){\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}يوضح الجدول التاليγpqpq′⁡(أناu،1-م){\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}بالنسبة لـ pq( u,m ) المحدد . [ 11 ] (الوسائط(أناu،1-م){\displaystyle (i\,u,1\!-\!m)}(يتم قمعها)

جاكوبي: التحولات الخياليةγpqpq′⁡(أناu،1-م){\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}
q
جsند
ص
ج1إن إسncاختصار الثاني
s- i sn1- i sc- i sd
نcni cs1قرص مضغوط
ددنi dsالعاصمة واشنطن1

بما أن الدوال المثلثية الزائدية تتناسب مع الدوال المثلثية الدائرية ذات الوسائط التخيلية، فإنه يترتب على ذلك أن دوال جاكوبي ستنتج الدوال الزائدية عندما m=1. [ 5 ] : 249 في الشكل، انحط منحنى جاكوبي إلى خطين رأسيين عند x  =  1 و x  =  −1.

التحولات الحقيقية لجاكوبي

تُعطي تحويلات جاكوبي الحقيقية [ 5 ] : 308 تعابير للدوال الإهليلجية بدلالة قيم متبادلة لـ m . ويمكن كتابة هذه التحويلات بشكل عام على النحو التالي:pq⁡(u،م)=γpqpq′⁡(كu،1/م){\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}يوضح الجدول التاليγpqpq′⁡(كu،1/م){\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}بالنسبة لـ pq( u,m ) المحدد . [ 11 ] (الوسائط(كu،1/م){\displaystyle (k\,u,1/m)}(يتم قمعها)

تحولات جاكوبي الحقيقيةγpqpq′⁡(كu،1/م){\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}
q
جsند
ص
ج1{\displaystyle 1}كds{\displaystyle k\operatorname {ds} }دن{\displaystyle \operatorname {dn} }العاصمة واشنطن{\displaystyle \operatorname {dc} }
s1كsd{\displaystyle {\frac {1}{k}}\operatorname {sd} }1{\displaystyle 1}1كسن{\displaystyle {\frac {1}{k}}\operatorname {sn} }1كSC{\displaystyle {\frac {1}{k}}\operatorname {sc} }
ناختصار الثاني{\displaystyle \operatorname {nd} }كns{\displaystyle k\operatorname {ns} }1{\displaystyle 1}nc{\displaystyle \operatorname {nc} }
دقرص مضغوط{\displaystyle \operatorname {cd} }كسي إس{\displaystyle k\operatorname {cs} }cn{\displaystyle \operatorname {cn} }1{\displaystyle 1}

تحولات جاكوبي الأخرى

يمكن دمج تحويلات جاكوبي الحقيقية والخيالية بطرق مختلفة للحصول على ثلاثة تحويلات أبسط. [ 5 ] : 214. التحويلات الحقيقية والخيالية هما تحويلان في مجموعة ( D3 أو المجموعة غير التوافقية ) من ستة تحويلات. إذا

μR(م)=1/م{\displaystyle \mu _{R}(m)=1/m}

يمثل التحويل الخاص بالمعامل m في التحويل الحقيقي، و

μأنا(م)=1-م=م′{\displaystyle \mu _{I}(m)=1-m=m'}

إذا كان تحويل m في التحويل التخيلي، فيمكن بناء التحويلات الأخرى من خلال التطبيق المتتالي لهذين التحويلين الأساسيين، مما ينتج عنه ثلاث احتمالات أخرى فقط:

μأناR(م)=μأنا(μR(م))=-م′/مμRأنا(م)=μR(μأنا(م))=1/م′μRأناR(م)=μR(μأنا(μR(م)))=-م/م′{\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{IR}(m)&=&\mu _{I}(\mu _{R}(m))&=&-m'/m\\\mu _{RI}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(m))&=&1/m'\\\mu _{RIR}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(\mu _{R}(m)))&=&-m/m'\end{aligned}}}

تُنتج هذه التحويلات الخمسة، بالإضافة إلى تحويل التطابق ( μU ( m ) = m ) ، المجموعة السداسية العناصر. وفيما يتعلق بدوال جاكوبي الإهليلجية، يمكن التعبير عن التحويل العام باستخدام ثلاث دوال فقط:  

سي إس⁡(u،م)=γأناجs′⁡(γأناu،μأنا(م)){\displaystyle \operatorname {cs} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {cs'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}ns⁡(u،م)=γأنانs′⁡(γأناu،μأنا(م)){\displaystyle \operatorname {ns} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ns'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}ds⁡(u،م)=γأنادs′⁡(γأناu،μأنا(م)){\displaystyle \operatorname {ds} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ds'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}

حيث i = U، I، IR، R، RI، أو RIR، لتحديد التحويل، و γ i هو عامل ضرب مشترك بين هذه الدوال الثلاث، وتشير الفتحة إلى الدالة المُحوَّلة. يمكن بناء الدوال المُحوَّلة التسع الأخرى من الدوال الثلاث المذكورة أعلاه. سبب اختيار الدوال cs، ns، ds لتمثيل التحويل هو أن الدوال الأخرى ستكون نسبًا من هذه الدوال الثلاث (باستثناء معكوساتها) وبالتالي ستُحذف عوامل الضرب.

يسرد الجدول التالي عوامل الضرب لدوال ps الثلاث، وقيم m ' المحولة ، وأسماء الدوال المحولة لكل من التحويلات الستة. [ 5 ] : 214 (كما هو معتاد ، k2 = m ، 1 − k2 = k12 = m ' والوسائط (        γأناu،μأنا(م){\displaystyle \gamma _{i}u,\mu _{i}(m)}) يتم قمعها)

معايير التحويلات الستة
التحويل iγأنا{\displaystyle \gamma _{i}}μأنا(م){\displaystyle \mu _{i}(m)}cs'ns'ds'
يو1مسي إسnsds
أناأنامnsسي إسds
العلاقات الدوليةأنا−م'/مdsسي إسns
Rك1/مdsnsسي إس
رود آيلاندik 11/مnsdsسي إس
RIRك 1−م/م'سي إسdsns

وهكذا، على سبيل المثال، يمكننا إنشاء الجدول التالي لتحويل RIR. [ 11 ] يُكتب التحويل عمومًاpq⁡(u،م)=γpqصq′⁡(ك′u،-م/م′){\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\,\operatorname {pq'} (k'\,u,-m/m')}(الحجج)(ك′u،-م/م′){\displaystyle (k'\,u,-m/m')}(يتم قمعها)

تحويل RIRγpqصq′⁡(ك′u،-م/م′){\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\,\operatorname {pq'} (k'\,u,-m/m')}
q
جsند
ص
ج1k' csقرص مضغوطcn
s1ك′{\displaystyle {\frac {1}{k'}}}SC11ك′{\displaystyle {\frac {1}{k'}}}sd1ك′{\displaystyle {\frac {1}{k'}}}سن
نالعاصمة واشنطنك′{\displaystyle k'}ds1دن
دncك′{\displaystyle k'}nsاختصار الثاني1

تكمن قيمة تحويلات جاكوبي في أنه يمكن تحويل أي مجموعة من دوال جاكوبي الإهليلجية ذات أي معامل حقيقي القيمة m إلى مجموعة أخرى يكون فيها0<م≤1/2{\displaystyle 0<m\leq 1/2}وبالنسبة للقيم الحقيقية لـ u ، ستكون قيم الدالة حقيقية. [ 5 ] : ص 215

تحويلات السعة

فيما يلي، يتم حذف المتغير الثاني ويكون مساوياً لـم{\displaystyle m}:

الخطيئة⁡(أكون⁡(u+v)+أكون⁡(u-v))=2سن⁡ucn⁡uدن⁡v1-مسن2⁡uسن2⁡v،{\displaystyle \sin(\operatorname {am} (u+v)+\operatorname {am} (u-v))={\frac {2\operatorname {sn} u\operatorname {cn} u\operatorname {dn} v}{1-m\operatorname {sn} ^{2}u\operatorname {sn} ^{2}v}},}كوس⁡(أكون⁡(u+v)-أكون⁡(u-v))=cn2⁡v-سن2⁡vدن2⁡u1-مسن2⁡uسن2⁡v{\displaystyle \cos(\operatorname {am} (u+v)-\operatorname {am} (u-v))={\dfrac {\operatorname {cn} ^{2}v-\operatorname {sn} ^{2}v\operatorname {dn} ^{2}u}{1-m\operatorname {sn} ^{2}u\operatorname {sn} ^{2}v}}} حيث تكون كلتا الهويتين صالحتين للجميعu،v،م∈ج{\displaystyle u,v,m\in \mathbb {C} }بحيث يكون كلا الجانبين محددين بشكل جيد.

مع

م1=(1-م′1+م′)2،{\displaystyle m_{1}=\left({\frac {1-{\sqrt {m'}}}{1+{\sqrt {m'}}}}\right)^{2},}

لدينا

كوس⁡(أكون⁡(u،م)+أكون⁡(ك-u،م))=-سن⁡((1-م′)u،1/م1)،{\displaystyle \cos(\operatorname {am} (u,m)+\operatorname {am} (K-u,m))=-\operatorname {sn} ((1-{\sqrt {m'}})u,1/m_{1}),}الخطيئة⁡(أكون⁡(م′u،-م/م′)+أكون⁡((1-م′)u،1/م1))=سن⁡(u،م)،{\displaystyle \sin(\operatorname {am} ({\sqrt {m'}}u,-m/m')+\operatorname {am} ((1-{\sqrt {m'}})u,1/m_{1}))=\operatorname {sn} (u,m),}الخطيئة⁡(أكون⁡((1+م′)u،م1)+أكون⁡((1-م′)u،1/م1))=الخطيئة⁡(2أكون⁡(u،م)){\displaystyle \sin(\operatorname {am} ((1+{\sqrt {m'}})u,m_{1})+\operatorname {am} ((1-{\sqrt {m'}})u,1/m_{1}))=\sin(2\operatorname {am} (u,m))}

حيث تكون جميع الهويات صالحة للجميعu،م∈ج{\displaystyle u,m\in \mathbb {C} }بحيث يكون كلا الجانبين محددين بشكل جيد.

قطع جاكوبي الزائدي

رسم بياني لقطع جاكوبي الزائدي ( x² + y² / b² = 1، حيث b جزء تخيلي ) ودوال جاكوبي الإهليلجية الاثنتي عشرة pq( u , m ) لقيم محددة للزاوية φ والمعامل b . المنحنى المتصل هو القطع الزائدي، حيث m = 1 − 1 / b² و u = F ( φ , m ) حيث F ( ⋅ , ⋅ ) هو التكامل الإهليلجي من النوع الأول. المنحنى المتقطع هو دائرة الوحدة. بالنسبة للمثلث ds-dc، σ = sin( φ )cos( φ ).            

عند إدخال الأعداد المركبة، نجد أن القطع الناقص لدينا له قطع زائد مرتبط به:

x2-y2ب2=1{\displaystyle x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} من خلال تطبيق تحويل جاكوبي التخيلي [ 11 ] على الدوال الإهليلجية في المعادلة أعلاه لـ x و y . 

x=1دن⁡(u،1-م)،y=سن⁡(u،1-م)دن⁡(u،1-م){\displaystyle x={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,1-m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,1-m)}{\operatorname {dn} (u,1-m)}}}

ويترتب على ذلك أنه يمكننا وضعx=دن⁡(u،1-م)،y=سن⁡(u،1-م){\displaystyle x=\operatorname {dn} (u,1-m),y=\operatorname {sn} (u,1-m)}إذن، للقطع الناقص لدينا قطع ناقص مزدوج باستبدال m بـ 1-m. وهذا يؤدي إلى الطارة المركبة المذكورة في المقدمة. [ 13 ] عمومًا، قد يكون m عددًا مركبًا ، ولكن عندما يكون m عددًا حقيقيًا و m<0، يكون المنحنى قطعًا ناقصًا محوره الأكبر في اتجاه x. عند m=0 يكون المنحنى دائرة، وبالنسبة لـ 0<m<1، يكون المنحنى قطعًا ناقصًا محوره الأكبر في اتجاه y. عند m  =  1، يتحول المنحنى إلى خطين رأسيين عند x  =  ±1. بالنسبة لـ m  >  1، يكون المنحنى قطعًا زائدًا. عندما يكون m عددًا مركبًا وليس عددًا حقيقيًا، يكون x أو y أو كلاهما عددًا مركبًا، ولا يمكن وصف المنحنى على مخطط x - y حقيقي .

الوظائف الثانوية

يؤدي عكس ترتيب الحرفين الأولين من اسم الدالة إلى الحصول على مقلوب الدوال الثلاث المذكورة أعلاه:

ns⁡(u)=1سن⁡(u)،nc⁡(u)=1cn⁡(u)،اختصار الثاني⁡(u)=1دن⁡(u).{\displaystyle \operatorname {ns} (u)={\frac {1}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {nc} (u)={\frac {1}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {nd} (u)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u)}}.}

وبالمثل، فإن نسب الدوال الأساسية الثلاث تتوافق مع الحرف الأول من البسط متبوعًا بالحرف الأول من المقام:

SC⁡(u)=سن⁡(u)cn⁡(u)،sd⁡(u)=سن⁡(u)دن⁡(u)،العاصمة واشنطن⁡(u)=دن⁡(u)cn⁡(u)،ds⁡(u)=دن⁡(u)سن⁡(u)،سي إس⁡(u)=cn⁡(u)سن⁡(u)،قرص مضغوط⁡(u)=cn⁡(u)دن⁡(u).{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sc} (u)&={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},&\operatorname {sd} (u)&={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}},&\operatorname {dc} (u)&={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},\\[1ex]\operatorname {ds} (u)&={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},&\operatorname {cs} (u)&={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},&\operatorname {cd} (u)&={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}}.\end{aligned}}} باختصار، لدينا

pq⁡(u)=pn⁡(u)qn⁡(u){\displaystyle \operatorname {pq} (u)={\frac {\operatorname {pn} (u)}{\operatorname {qn} (u)}}}

حيث يمثل الحرفان p و q أيًا من الأحرف s أو c أو d.

الدورية والأقطاب والبقايا

رسوم بيانية لطور الدوال الإهليلجية الاثنتي عشرة لجاكوبي pq(u,m) كدالة ذات وسيط مركب u، مع توضيح الأقطاب والأصفار. تغطي الرسوم البيانية دورة كاملة في الاتجاهين الحقيقي والخيالي، ويشير الجزء الملون إلى الطور وفقًا لدائرة الألوان في أسفل اليمين (والتي تحل محل دالة dd البسيطة). المناطق ذات القيمة المطلقة الأقل من 1/3 ملونة بالأسود، مما يشير تقريبًا إلى موقع الصفر، بينما المناطق ذات القيمة المطلقة الأكبر من 3 ملونة بالأبيض، مما يشير تقريبًا إلى موقع القطب. تستخدم جميع الرسوم البيانية m  =  2/3 مع K  = K ( m )، K ′ = K (1 − m )، و K ( ⋅ ) هو التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الأول. تشير الأسهم عند الأقطاب إلى اتجاه الطور الصفري. تشير الأسهم إلى اليمين واليسار إلى البواقي الحقيقية الموجبة والسالبة على التوالي. تشير الأسهم إلى الأعلى والأسفل إلى البواقي التخيلية الموجبة والسالبة على التوالي.     

في المستوى المركب للمتغير u ، تُشكّل دوال جاكوبي الإهليلجية نمطًا متكررًا من الأقطاب (والأصفار). جميع بواقي الأقطاب لها نفس القيمة المطلقة، وتختلف فقط في الإشارة. لكل دالة pq( u , m ) دالة عكسية (بالمعنى الضربي) qp( u , m ) حيث يتم تبديل مواقع الأقطاب والأصفار. تختلف فترات التكرار عمومًا في الاتجاهين الحقيقي والخيالي، ومن هنا جاء استخدام مصطلح "دورية مزدوجة" لوصفها.

بالنسبة لسعة جاكوبي ودالة إبسيلون جاكوبي: أكون⁡(u+2ك،م)=أكون⁡(u،م)+π،{\displaystyle \operatorname {am} (u+2K,m)=\operatorname {am} (u,m)+\pi ,}أكون⁡(u+4أناك′،م)=أكون⁡(u،م)،{\displaystyle \operatorname {am} (u+4iK',m)=\operatorname {am} (u,m),}هـ(u+2ك،م)=هـ(u،م)+2هـ،{\displaystyle {\mathcal {E}}(u+2K,m)={\mathcal {E}}(u,m)+2E,}هـ(u+2أناك′،م)=هـ(u،م)+2أناهـك′ك-πأناك{\displaystyle {\mathcal {E}}(u+2iK',m)={\mathcal {E}}(u,m)+2iE{\frac {K'}{K}}-{\frac {\pi i}{K}}} أينهـ(م){\displaystyle E(m)}هو التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الثاني ذو المعاملم{\displaystyle m}.

يمكن التعبير عن الدورية المزدوجة لدوال جاكوبي الإهليلجية على النحو التالي:

pq⁡(u+2αك(م)+2أناβك(1-م)،م)=(-1)γpq⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {pq} (u+2\alpha K(m)+2i\beta K(1-m)\,,\,m)=(-1)^{\gamma }\operatorname {pq} (u,m)}

حيث α و β أي زوج من الأعداد الصحيحة. K ( ⋅ ) هو التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الأول، والمعروف أيضًا باسم ربع الدورة . يُعطى أسّ الوحدة السالبة ( γ ) في الجدول التالي:

γ{\displaystyle \gamma }
q
جsند
ص
ج0βα  + β α
sβ0αα  + β 
نα  + β α0β
دαα  + β β0

عندما يكون العامل (−1) γ مساويًا لـ −1، تُعبّر المعادلة عن شبه دورية. وعندما يكون مساويًا للواحد، تُعبّر عن دورية كاملة. على سبيل المثال، يمكن ملاحظة أنه بالنسبة للمدخلات التي تحتوي على α فقط عندما تكون α زوجية، تُعبّر المعادلة أعلاه عن دورية كاملة، وتكون للدالة دورات كاملة مقدارها 4K ( m ) و2 iK (1  − m ). وبالمثل، فإن الدوال التي تحتوي على β فقط لها دورات كاملة مقدارها 2K(m) و4 iK (1 − m )، بينما تلك التي تحتوي على α + β لها دورات كاملة مقدارها 4K ( m ) و4 iK (1 − m ).     

في الرسم البياني على اليمين، الذي يُمثل وحدة تكرار واحدة لكل دالة، مُشيرًا إلى الطور وموقع الأقطاب والأصفار، يُمكن ملاحظة عدد من الانتظامات: معكوس كل دالة يقع مُقابل القطر، وله نفس حجم خلية الوحدة، مع تبديل الأقطاب والأصفار. يتوافق ترتيب الأقطاب والأصفار في المستطيل المساعد المُكوّن من (0,0)، ( K ,0)، (0, K ′ )، و( K , K ′ ) مع وصف موضع الأقطاب والأصفار المذكور في المقدمة أعلاه. كذلك، يُعد حجم الأشكال البيضاوية البيضاء التي تُشير إلى الأقطاب مقياسًا تقريبيًا للقيمة المطلقة للباقي عند ذلك القطب. ترد بواقي الأقطاب الأقرب إلى نقطة الأصل في الشكل (أي في المستطيل المساعد) في الجدول التالي:

بقايا دوال جاكوبي الإهليلجية
q
جsند
ص
ج1-أناك{\displaystyle -{\frac {i}{k}}}-1ك{\displaystyle -{\frac {1}{k}}}
s-1ك′{\displaystyle -{\frac {1}{k'}}}1ك{\displaystyle {\frac {1}{k}}}-أناكك′{\displaystyle -{\frac {i}{k\,k'}}}
ن-1ك′{\displaystyle -{\frac {1}{k'}}}1-أناك′{\displaystyle -{\frac {i}{k'}}}
د-11-أنا{\displaystyle -i}

عند الاقتضاء، تكون للأقطاب المزاحة للأعلى بمقدار 2K أو لليمين بمقدار 2K ′ نفس القيمة ولكن بإشارات معكوسة، بينما تكون للأقطاب المقابلة قطريًا نفس القيمة. لاحظ أن الأقطاب والأصفار على الحافتين اليسرى والسفلية تُعتبر جزءًا من الخلية الأساسية، بينما تلك الموجودة على الحافتين العلوية واليمنى لا تُعتبر كذلك.

يمكن في الواقع استخدام المعلومات المتعلقة بالأقطاب لتوصيف الدوال الإهليلجية لجاكوبي: [ 14 ]

الوظيفةu↦سن⁡(u،م){\displaystyle u\mapsto \operatorname {sn} (u,m)}هي الدالة الإهليلجية الفريدة التي لها أقطاب بسيطة عند2رك+(2s+1)أناك′{\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'}(معر،s∈Z{\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }) مع البقايا(-1)ر/م{\displaystyle (-1)^{r}/{\sqrt {m}}}أخذ القيمة0{\displaystyle 0}في0{\displaystyle 0}.

الوظيفةu↦cn⁡(u،م){\displaystyle u\mapsto \operatorname {cn} (u,m)}هي الدالة الإهليلجية الفريدة التي لها أقطاب بسيطة عند2رك+(2s+1)أناك′{\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'}(معر،s∈Z{\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }) مع البقايا(-1)ر+s-1أنا/م{\displaystyle (-1)^{r+s-1}i/{\sqrt {m}}}أخذ القيمة1{\displaystyle 1}في0{\displaystyle 0}.

الوظيفةu↦دن⁡(u،م){\displaystyle u\mapsto \operatorname {dn} (u,m)}هي الدالة الإهليلجية الفريدة التي لها أقطاب بسيطة عند2رك+(2s+1)أناك′{\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'}(معر،s∈Z{\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }) مع البقايا(-1)s-1أنا{\displaystyle (-1)^{s-1}i}أخذ القيمة1{\displaystyle 1}في0{\displaystyle 0}.

القيم الخاصة

جلسةم=-1{\displaystyle m=-1}تعطي الدوال الإهليلجية للمنسكيتsl{\displaystyle \operatorname {sl} }وcl{\displaystyle \operatorname {cl} }:

sl⁡u=سن⁡(u،-1)،cl⁡u=قرص مضغوط⁡(u،-1)=cn⁡(u،-1)دن⁡(u،-1).{\displaystyle \operatorname {sl} u=\operatorname {sn} (u,-1),\quad \operatorname {cl} u=\operatorname {cd} (u,-1)={\frac {\operatorname {cn} (u,-1)}{\operatorname {dn} (u,-1)}}.}

متىم=0{\displaystyle m=0}أوم=1{\displaystyle m=1}، يتم اختزال دوال جاكوبي الإهليلجية إلى دوال غير إهليلجية:

وظيفةم = 0م = 1
سن⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)}الخطيئة⁡u{\displaystyle \sin u}tanh⁡u{\displaystyle \tanh u}
cn⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)}كوس⁡u{\displaystyle \cos u}سيش⁡u{\displaystyle \operatorname {sech} u}
دن⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)}1{\displaystyle 1}سيش⁡u{\displaystyle \operatorname {sech} u}
ns⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {ns} (u,m)}csc⁡u{\displaystyle \csc u}ملابس⁡u{\displaystyle \coth u}
nc⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {nc} (u,m)}ثانية⁡u{\displaystyle \sec u}ضرب بالعصا⁡u{\displaystyle \cosh u}
اختصار الثاني⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {nd} (u,m)}1{\displaystyle 1}ضرب بالعصا⁡u{\displaystyle \cosh u}
sd⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {sd} (u,m)}الخطيئة⁡u{\displaystyle \sin u}سينه⁡u{\displaystyle \sinh u}
قرص مضغوط⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {cd} (u,m)}كوس⁡u{\displaystyle \cos u}1{\displaystyle 1}
سي إس⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {cs} (u,m)}سرير أطفال⁡u{\displaystyle \cot u}سي إس سي إتش⁡u{\displaystyle \operatorname {csch} u}
ds⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {ds} (u,m)}csc⁡u{\displaystyle \csc u}سي إس سي إتش⁡u{\displaystyle \operatorname {csch} u}
العاصمة واشنطن⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {dc} (u,m)}ثانية⁡u{\displaystyle \sec u}1{\displaystyle 1}
SC⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {sc} (u,m)}لون برونزي⁡u{\displaystyle \tan u}سينه⁡u{\displaystyle \sinh u}

بالنسبة لسعة جاكوبي،أكون⁡(u،0)=u{\displaystyle \operatorname {am} (u,0)=u}وأكون⁡(u،1)=جيد⁡u{\displaystyle \operatorname {am} (u,1)=\operatorname {gd} u}أينجيد{\displaystyle \operatorname {gd} }هي دالة غودرمان .

بشكل عام، إذا لم يكن أي من p أو q هو d، فإنpq⁡(u،1)=pq⁡(جيد⁡(u)،0){\displaystyle \operatorname {pq} (u,1)=\operatorname {pq} (\operatorname {gd} (u),0)}.

الهويات

صيغة نصف الزاوية

سن⁡(u2،م)=±1-cn⁡(u،م)1+دن⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {sn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\operatorname {cn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}}cn⁡(u2،م)=±cn⁡(u،م)+دن⁡(u،م)1+دن⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {cn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {\operatorname {cn} (u,m)+\operatorname {dn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}}دن⁡(u2،م)=±م′+دن⁡(u،م)+مcn⁡(u،م)1+دن⁡(u،م){\displaystyle \operatorname {dn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {m'+\operatorname {dn} (u,m)+m\operatorname {cn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}}

صيغ K

تركيبة نصف كيلو كالوري

سن⁡[12ك(ك)؛ك]=21+ك+1-ك{\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\frac {\sqrt {2}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}}

cn⁡[12ك(ك)؛ك]=21-ك241+ك+1-ك{\displaystyle \operatorname {cn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}}

دن⁡[12ك(ك)؛ك]=1-ك24{\displaystyle \operatorname {dn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}

تركيبة ثيرد كي

سن⁡[13ك(x3x6+1+1)؛x3x6+1+1]=2x4-x2+1-x2+2+x2+1-12x4-x2+1-x2+2+x2+1+1{\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\frac {1}{3}}K\left({\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}\right);{\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}\right]={\frac {{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}-1}{{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}}

للحصول على x 3 ، نأخذ ظل ضعف ظل الزاوية العكسية للمقياس.

كما تؤدي هذه المعادلة إلى قيمة sn للجزء الثالث من K :

ك2s4-2ك2s3+2s-1=0{\displaystyle k^{2}s^{4}-2k^{2}s^{3}+2s-1=0}

s=سن⁡[13ك(ك)؛ك]{\displaystyle s=\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k);k\right]}

تؤدي هذه المعادلات إلى القيم الأخرى لدوال جاكوبي:

cn⁡[23ك(ك)؛ك]=1-سن⁡[13ك(ك)؛ك]{\displaystyle \operatorname {cn} \left[{\tfrac {2}{3}}K(k);k\right]=1-\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k);k\right]}

دن⁡[23ك(ك)؛ك]=1/سن⁡[13ك(ك)؛ك]-1{\displaystyle \operatorname {dn} \left[{\tfrac {2}{3}}K(k);k\right]=1/\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k);k\right]-1}

صيغة فيفث كي

للمعادلة التالية الحل التالي:

4ك2x6+8ك2x5+2(1-ك2)2x-(1-ك2)2=0{\displaystyle 4k^{2}x^{6}+8k^{2}x^{5}+2(1-k^{2})^{2}x-(1-k^{2})^{2}=0}

x=12-12ك2سن⁡[25ك(ك)؛ك]2سن⁡[45ك(ك)؛ك]2=سن⁡[45ك(ك)؛ك]2-سن⁡[25ك(ك)؛ك]22سن⁡[25ك(ك)؛ك]سن⁡[45ك(ك)؛ك]{\displaystyle x={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}k^{2}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {2}{5}}K(k);k\right]^{2}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {4}{5}}K(k);k\right]^{2}={\frac {\operatorname {sn} \left[{\frac {4}{5}}K(k);k\right]^{2}-\operatorname {sn} \left[{\frac {2}{5}}K(k);k\right]^{2}}{2\operatorname {sn} \left[{\frac {2}{5}}K(k);k\right]\operatorname {sn} \left[{\frac {4}{5}}K(k);k\right]}}}

للحصول على قيم sn، نضع الحل x في التعبيرات التالية:

سن⁡[25ك(ك)؛ك]=(1+ك2)-1/22(1-x-x2)(x2+1-xx2+1){\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\tfrac {2}{5}}K(k);k\right]=(1+k^{2})^{-1/2}{\sqrt {2(1-x-x^{2})(x^{2}+1-x{\sqrt {x^{2}+1}})}}}

سن⁡[45ك(ك)؛ك]=(1+ك2)-1/22(1-x-x2)(x2+1+xx2+1){\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\tfrac {4}{5}}K(k);k\right]=(1+k^{2})^{-1/2}{\sqrt {2(1-x-x^{2})(x^{2}+1+x{\sqrt {x^{2}+1}})}}}

العلاقات بين مربعات الدوال

يمكن استنتاج العلاقات بين مربعات الدوال من علاقتين أساسيتين (تم حذف الوسيطين ( u , m )): cn2+سن2=1{\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+\operatorname {sn} ^{2}=1}cn2+م′سن2=دن2{\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+m'\operatorname {sn} ^{2}=\operatorname {dn} ^{2}} حيث m  +  m'  =  1. الضرب بأي دالة من الشكل nq ينتج عنه معادلات أكثر عمومية:

cq2+مربع2=nq2{\displaystyle \operatorname {cq} ^{2}+\operatorname {sq} ^{2}=\operatorname {nq} ^{2}}cq2⁡+م′مربع2=dq2{\displaystyle \operatorname {cq} ^{2}{}+m'\operatorname {sq} ^{2}=\operatorname {dq} ^{2}}

عندما تكون q  = d ، فإن هذه المعادلات تتوافق حسابيًا مع معادلات دائرة الوحدة ( x2+y2=ر2{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}) والقطع الناقص للوحدة (x2+م′y2=1{\displaystyle x^{2}{}+m'y^{2}=1})، حيث x  = cd و y = sd و r = nd . باستخدام قاعدة الضرب، يمكن اشتقاق علاقات أخرى. على سبيل المثال:     

-دن2⁡+م′=-مcn2=مسن2-م{\displaystyle -\operatorname {dn} ^{2}{}+m'=-m\operatorname {cn} ^{2}=m\operatorname {sn} ^{2}-m}

-م′اختصار الثاني2⁡+م′=-مم′sd2=مقرص مضغوط2-م{\displaystyle -m'\operatorname {nd} ^{2}{}+m'=-mm'\operatorname {sd} ^{2}=m\operatorname {cd} ^{2}-m}

م′SC2⁡+م′=م′nc2=العاصمة واشنطن2-م{\displaystyle m'\operatorname {sc} ^{2}{}+m'=m'\operatorname {nc} ^{2}=\operatorname {dc} ^{2}-m}

سي إس2⁡+م′=ds2=ns2-م{\displaystyle \operatorname {cs} ^{2}{}+m'=\operatorname {ds} ^{2}=\operatorname {ns} ^{2}-m}

نظريات الجمع

تحقق الدوال علاقتين تربيعيتين (مع إهمال الاعتماد على m ). cn2⁡(u)+سن2⁡(u)=1،{\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}(u)+\operatorname {sn} ^{2}(u)=1,\,}

دن2⁡(u)+مسن2⁡(u)=1.{\displaystyle \operatorname {dn} ^{2}(u)+m\operatorname {sn} ^{2}(u)=1.\,}

من هذا نلاحظ أن (cn, sn, dn) تُحدد منحنىً إهليلجيًا ، وهو تقاطع السطحين التربيعيين المُحددين بالمعادلتين السابقتين. ويمكننا الآن تعريف قانون المجموعة لنقاط على هذا المنحنى باستخدام صيغ الجمع لدوال جاكوبي [ 3 ].

cn⁡(x+y)=cn⁡(x)cn⁡(y)-سن⁡(x)سن⁡(y)دن⁡(x)دن⁡(y)1-مسن2⁡(x)سن2⁡(y)،سن⁡(x+y)=سن⁡(x)cn⁡(y)دن⁡(y)+سن⁡(y)cn⁡(x)دن⁡(x)1-مسن2⁡(x)سن2⁡(y)،دن⁡(x+y)=دن⁡(x)دن⁡(y)-مسن⁡(x)سن⁡(y)cn⁡(x)cn⁡(y)1-مسن2⁡(x)سن2⁡(y).{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} (x+y)&={\operatorname {cn} (x)\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\operatorname {sn} (y)\operatorname {dn} (x)\operatorname {dn} (y) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {sn} (x+y)&={\operatorname {sn} (x)\operatorname {cn} (y)\operatorname {dn} (y)+\operatorname {sn} (y)\operatorname {cn} (x)\operatorname {dn} (x) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {dn} (x+y)&={\operatorname {dn} (x)\operatorname {dn} (y)-m\operatorname {sn} (x)\operatorname {sn} (y)\operatorname {cn} (x)\operatorname {cn} (y) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}}.\end{aligned}}}

تحقق دالتا جاكوبي إبسيلون و zn نظرية شبه الجمع: هـ(x+y،م)=هـ(x،م)+هـ(y،م)-مسن⁡(x،م)سن⁡(y،م)سن⁡(x+y،م)،الزنك⁡(x+y،م)=الزنك⁡(x،م)+الزنك⁡(y،م)-مسن⁡(x،م)سن⁡(y،م)سن⁡(x+y،م).{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {E}}(x+y,m)&={\mathcal {E}}(x,m)+{\mathcal {E}}(y,m)-m\operatorname {sn} (x,m)\operatorname {sn} (y,m)\operatorname {sn} (x+y,m),\\\operatorname {zn} (x+y,m)&=\operatorname {zn} (x,m)+\operatorname {zn} (y,m)-m\operatorname {sn} (x,m)\operatorname {sn} (y,m)\operatorname {sn} (x+y,m).\end{aligned}}}

يمكن اشتقاق صيغ الزاوية المزدوجة بسهولة من المعادلات أعلاه بوضع x  = y . [ 3 ] أما صيغ نصف الزاوية [ 11 ] [ 3 ] فتكون جميعها على الشكل التالي: 

pq⁡(12u،م)2=وص/وq{\displaystyle \operatorname {pq} ({\tfrac {1}{2}}u,m)^{2}=f_{\mathrm {p} }/f_{\mathrm {q} }}

أين: وج=cn⁡(u،م)+دن⁡(u،م){\displaystyle f_{\mathrm {c} }=\operatorname {cn} (u,m)+\operatorname {dn} (u,m)}وs=1-cn⁡(u،م){\displaystyle f_{\mathrm {s} }=1-\operatorname {cn} (u,m)}ون=1+دن⁡(u،م){\displaystyle f_{\mathrm {n} }=1+\operatorname {dn} (u,m)}ود=(1+دن⁡(u،م))-م(1-cn⁡(u،م)){\displaystyle f_{\mathrm {d} }=(1+\operatorname {dn} (u,m))-m(1-\operatorname {cn} (u,m))}

دوال جاكوبي الإهليلجية كحلول للمعادلات التفاضلية العادية غير الخطية

المشتقات بالنسبة للمتغير الأول

مشتقات الدوال الإهليلجية الأساسية الثلاث لجاكوبي (بالنسبة للمتغير الأول، معم{\displaystyle m}الثابت) هو: ددzسن⁡(z)=cn⁡(z)دن⁡(z)،{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sn} (z)=\operatorname {cn} (z)\operatorname {dn} (z),}ددzcn⁡(z)=-سن⁡(z)دن⁡(z)،{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cn} (z)=-\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z),}ددzدن⁡(z)=-مسن⁡(z)cn⁡(z).{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {dn} (z)=-m\operatorname {sn} (z)\operatorname {cn} (z).}

يمكن استخدام هذه الدوال لاشتقاق مشتقات جميع الدوال الأخرى كما هو موضح في الجدول أدناه (تم حذف الوسيطين (u,m)):

المشتقاتددupq⁡(u،م){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {pq} (u,m)}
q
جsند
ص
ج0−ds ns−dn sn−م' ند سد
sدي سي إن سي0cn dncd nd
ندي سي إس سي−cs ds0m cd sd
دm' nc sc−cs ns− m cn sn0

أيضًا ددzهـ(z)=دن⁡(z)2.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\mathcal {E}}(z)=\operatorname {dn} (z)^{2}.}

باستخدام نظريات الجمع المذكورة أعلاه، وبالنسبة لقيمة معينة لـ m حيث 0  < m < 1، فإن الدوال الرئيسية هي بالتالي حلول للمعادلات التفاضلية العادية غير الخطية التالية :   

  • أكون⁡(x){\displaystyle \operatorname {am} (x)}يحل المعادلات التفاضليةد2yدx2+مالخطيئة⁡(y)كوس⁡(y)=0{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+m\sin(y)\cos(y)=0}و

(دyدx)2=1-مالخطيئة⁡(y)2{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=1-m\sin(y)^{2}}(لx{\displaystyle x}(ليس على فرع مقطوع)

  • سن⁡(x){\displaystyle \operatorname {sn} (x)}يحل المعادلات التفاضليةد2yدx2+(1+م)y-2مy3=0{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+m)y-2my^{3}=0}و(دyدx)2=(1-y2)(1-مy2){\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-my^{2})}
  • cn⁡(x){\displaystyle \operatorname {cn} (x)}يحل المعادلات التفاضليةد2yدx2+(1-2م)y+2مy3=0{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2m)y+2my^{3}=0}و(دyدx)2=(1-y2)(1-م+مy2){\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-m+my^{2})}
  • دن⁡(x){\displaystyle \operatorname {dn} (x)}يحل المعادلات التفاضليةد2yدx2-(2-م)y+2y3=0{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2-m)y+2y^{3}=0}و(دyدx)2=(y2-1)(1-م-y2){\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-m-y^{2})}

الدالة التي تحل معادلة البندول التفاضلية بدقة ، د2θدت2+جالخطيئة⁡θ=0،{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}+c\sin \theta =0,} بزاوية ابتدائيةθ0{\displaystyle \theta _{0}}والسرعة الزاوية الابتدائية تساوي صفرًا

θ=2دالة الجيب العكسية⁡(مقرص مضغوط⁡(جت،م))=2أكون⁡(1+م2(جت+ك)،4م(1+م)2)-2أكون⁡(1+م2(جت-ك)،4م(1+م)2)-π{\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=2\arcsin({\sqrt {m}}\operatorname {cd} ({\sqrt {c}}t,m))\\&=2\operatorname {am} \left({\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}}({\sqrt {c}}t+K),{\frac {4{\sqrt {m}}}{(1+{\sqrt {m}})^{2}}}\right)-2\operatorname {am} \left({\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}}({\sqrt {c}}t-K),{\frac {4{\sqrt {m}}}{(1+{\sqrt {m}})^{2}}}\right)-\pi \end{aligned}}} أينم=الخطيئة⁡(θ0/2)2{\displaystyle m=\sin(\theta _{0}/2)^{2}}،ج>0{\displaystyle c>0}وت∈R{\displaystyle t\in \mathbb {R} }.

المشتقات بالنسبة للمتغير الثاني

مع الحجة الأولىz{\displaystyle z}ثابتة، المشتقات بالنسبة للمتغير الثانيم{\displaystyle m}وهي كالتالي: [ 15 ]

ددمسن⁡(z)=دن⁡(z)cn⁡(z)((1-م)z-هـ(z)+مقرص مضغوط⁡(z)سن⁡(z))2م(1-م)،ددمcn⁡(z)=سن⁡(z)دن⁡(z)((م-1)z+هـ(z)-مسن⁡(z)قرص مضغوط⁡(z))2م(1-م)،ددمدن⁡(z)=سن⁡(z)cn⁡(z)((م-1)z+هـ(z)-دن⁡(z)SC⁡(z))2(1-م)،ددمهـ(z)=cn⁡(z)(سن⁡(z)دن⁡(z)-cn⁡(z)هـ(z))2(1-م)-z2سن⁡(z)2.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {sn} (z)&={\frac {\operatorname {dn} (z)\operatorname {cn} (z)((1-m)z-{\mathcal {E}}(z)+m\operatorname {cd} (z)\operatorname {sn} (z))}{2m(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {cn} (z)&={\frac {\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z)((m-1)z+{\mathcal {E}}(z)-m\operatorname {sn} (z)\operatorname {cd} (z))}{2m(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {dn} (z)&={\frac {\operatorname {sn} (z)\operatorname {cn} (z)((m-1)z+{\mathcal {E}}(z)-\operatorname {dn} (z)\operatorname {sc} (z))}{2(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}{\mathcal {E}}(z)&={\frac {\operatorname {cn} (z)(\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z)-\operatorname {cn} (z){\mathcal {E}}(z))}{2(1-m)}}-{\frac {z}{2}}\operatorname {sn} (z)^{2}.\end{aligned}}}

التوسع من حيث الاسم

ليكن الاسم​q=خبرة⁡(-πك′(م)/ك(م))=هـأناπτ{\displaystyle q=\exp(-\pi K'(m)/K(m))=e^{i\pi \tau }}،أنا⁡(τ)>0{\displaystyle \operatorname {Im} (\tau )>0}،م=ك2{\displaystyle m=k^{2}}ودعv=πu/(2ك(م)){\displaystyle v=\pi u/(2K(m))}ثم تُفكك الدوال على شكل متسلسلات لامبرت

أكون⁡(u،م)=πu2ك(م)+2∑ن=1∞qنن(1+q2ن)الخطيئة⁡(2نv)،{\displaystyle \operatorname {am} (u,m)={\frac {\pi u}{2K(m)}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n(1+q^{2n})}}\sin(2nv),}

سن⁡(u،م)=2πكك(م)∑ن=0∞qن+1/21-q2ن+1الخطيئة⁡((2ن+1)v)،{\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)={\frac {2\pi }{kK(m)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin((2n+1)v),}

cn⁡(u،م)=2πكك(م)∑ن=0∞qن+1/21+q2ن+1كوس⁡((2ن+1)v)،{\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)={\frac {2\pi }{kK(m)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos((2n+1)v),}

دن⁡(u،م)=π2ك(م)+2πك(م)∑ن=1∞qن1+q2نكوس⁡(2نv)،{\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)={\frac {\pi }{2K(m)}}+{\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos(2nv),}

الزنك⁡(u،م)=2πك(م)∑ن=1∞qن1-q2نالخطيئة⁡(2نv){\displaystyle \operatorname {zn} (u,m)={\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{2n}}}\sin(2nv)}

متى|أنا⁡(u/ك)|<أنا⁡(أناك′/ك).{\displaystyle \left|\operatorname {Im} (u/K)\right|<\operatorname {Im} (iK'/K).}

تم نشر توسعات متسلسلات القوى ثنائية المتغيرات بواسطة شيت. [ 16 ]

الحوسبة السريعة

توفر نسب دالة ثيتا طريقة فعالة لحساب دوال جاكوبي الإهليلجية. وهناك طريقة بديلة تعتمد على المتوسط ​​الحسابي الهندسي وتحويلات لاندن : [ 6 ]

تهيئة أ0=1،ب0=1-م{\displaystyle a_{0}=1,\,b_{0}={\sqrt {1-m}}} أين0<م<1{\displaystyle 0<m<1}. يُعرِّف أن=أن-1+بن-12،بن=أن-1بن-1،جن=أن-1-بن-12{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+b_{n-1}}{2}},\,b_{n}={\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}},\,c_{n}={\frac {a_{n-1}-b_{n-1}}{2}}} أينن≥1{\displaystyle n\geq 1}ثم حدد φشمال=2شمالأشمالu{\displaystyle \varphi _{N}=2^{N}a_{N}u} لu∈R{\displaystyle u\in \mathbb {R} }وثابتشمال∈شمال{\displaystyle N\in \mathbb {N} }. لو φن-1=12(φن+دالة الجيب العكسية⁡(جنأنالخطيئة⁡φن)){\displaystyle \varphi _{n-1}={\frac {1}{2}}\left(\varphi _{n}+\arcsin \left({\frac {c_{n}}{a_{n}}}\sin \varphi _{n}\right)\right)} لن≥1{\displaystyle n\geq 1}، ثم أكون⁡(u،م)=φ0،الزنك⁡(u،م)=∑ن=1شمالجنالخطيئة⁡φن{\displaystyle \operatorname {am} (u,m)=\varphi _{0},\quad \operatorname {zn} (u,m)=\sum _{n=1}^{N}c_{n}\sin \varphi _{n}} مثلشمال→∞{\displaystyle N\to \infty }يتميز هذا بتقاربه السريع. ومن ثم، يصبح من السهل حساب جميع دوال جاكوبي الإهليلجية من سعة جاكوبي.أكون{\displaystyle \operatorname {am} }على الخط الحقيقي. [ ملاحظة 2 ]

بالإضافة إلى نظريات الجمع للدوال الإهليلجية (التي تنطبق على الأعداد المركبة بشكل عام) وتحويلات جاكوبي، يمكن استخدام طريقة الحساب الموضحة أعلاه لحساب جميع دوال جاكوبي الإهليلجية في المستوى المركب بأكمله.

هناك طريقة أخرى للحساب السريع لدوال جاكوبي الإهليلجية عبر المتوسط ​​الحسابي الهندسي، وتجنب حساب سعة جاكوبي، تعود إلى هربرت إي. سالزر: [ 17 ]

يترك 0≤م≤1،0≤u≤ك(م)،أ0=1،ب0=1-م،{\displaystyle 0\leq m\leq 1,\,0\leq u\leq K(m),\,a_{0}=1,\,b_{0}={\sqrt {1-m}},}أن+1=أن+بن2،بن+1=أنبن،جن+1=أن-بن2.{\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\,b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\,c_{n+1}={\frac {a_{n}-b_{n}}{2}}.} تعيين yشمال=أشمالالخطيئة⁡(أشمالu)yشمال-1=yشمال+أشمالجشمالyشمالyشمال-2=yشمال-1+أشمال-1جشمال-1yشمال-1⋮=⋮y0=y1+م4y1.{\displaystyle {\begin{aligned}y_{N}&={\frac {a_{N}}{\sin(a_{N}u)}}\\y_{N-1}&=y_{N}+{\frac {a_{N}c_{N}}{y_{N}}}\\y_{N-2}&=y_{N-1}+{\frac {a_{N-1}c_{N-1}}{y_{N-1}}}\\\vdots &=\vdots \\y_{0}&=y_{1}+{\frac {m}{4y_{1}}}.\end{aligned}}} ثم سن⁡(u،م)=1y0cn⁡(u،م)=1-1y02دن⁡(u،م)=1-مy02{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {1}{y_{0}}}\\\operatorname {cn} (u,m)&={\sqrt {1-{\frac {1}{y_{0}^{2}}}}}\\\operatorname {dn} (u,m)&={\sqrt {1-{\frac {m}{y_{0}^{2}}}}}\end{aligned}}} مثلشمال→∞{\displaystyle N\to \infty }.

ومع ذلك، تُعرض أدناه طريقة أخرى لحساب سريع ومتقارب لدالة الجيب الإهليلجية لجاكوبي، والتي وُجدت في الأدبيات. [ 18 ]

يترك:

أ0=uب0=1-1-م1+1-مأ1=أ01+ب0ب1=1-1-ب021+1-ب02⋮=⋮⋮=⋮أن=أن-11+بن-1بن=1-1-بن-121+1-بن-12{\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}=u&b_{0}={\frac {1-{\sqrt {1-m}}}{1+{\sqrt {1-m}}}}\\&a_{1}={\frac {a_{0}}{1+b_{0}}}&b_{1}={\frac {1-{\sqrt {1-b_{0}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-b_{0}^{2}}}}}\\&\vdots =\vdots &\vdots =\vdots \\&a_{n}={\frac {a_{n-1}}{1+b_{n-1}}}&b_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-b_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-b_{n-1}^{2}}}}}\\\end{aligned}}}

ثم اضبط:

yن+1=الخطيئة⁡(أن)yن=yن+1(1+بن)1+yن+12بن⋮=⋮y0=y1(1+ب0)1+y12ب0{\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=\sin(a_{n})\\y_{n}&={\frac {y_{n+1}(1+b_{n})}{1+y_{n+1}^{2}b_{n}}}\\\vdots &=\vdots \\y_{0}&={\frac {y_{1}(1+b_{0})}{1+y_{1}^{2}b_{0}}}\\\end{aligned}}}

ثم:

سن⁡(u،م)=y0 مثل ن→∞{\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=y_{0}{\text{ as }}n\rightarrow \infty }.

التقريب بدلالة الدوال الزائدية

يمكن توسيع دوال جاكوبي الإهليلجية بدلالة الدوال الزائدية. عندمام{\displaystyle m}يقترب من الوحدة، بحيثم′2{\displaystyle m'^{2}}وقوى أعلى من م′{\displaystyle m'}إذا أمكن إهمالها، فلدينا: [ 19 ] [ 20 ]

  • sn( u ):سن⁡(u،م)≈tanh⁡(u)+14م′(سينه⁡(u)ضرب بالعصا⁡(u)-u)سيش2⁡(u).{\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)\approx \tanh(u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\operatorname {sech} ^{2}(u).}
  • cn( u ):cn⁡(u،م)≈سيش⁡(u)-14م′(سينه⁡(u)ضرب بالعصا⁡(u)-u)tanh⁡(u)سيش⁡(u).{\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)\approx \operatorname {sech} (u)-{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\tanh(u)\operatorname {sech} (u).}
  • dn( u ):دن⁡(u،م)≈سيش⁡(u)+14م′(سينه⁡(u)ضرب بالعصا⁡(u)+u)tanh⁡(u)سيش⁡(u).{\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)\approx \operatorname {sech} (u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)+u)\tanh(u)\operatorname {sech} (u).}

بالنسبة لسعة جاكوبي، أكون⁡(u،م)≈جيد⁡(u)+14م′(سينه⁡(u)ضرب بالعصا⁡(u)-u)سيش⁡(u).{\displaystyle \operatorname {am} (u,m)\approx \operatorname {gd} (u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\operatorname {sech} (u).}

الكسور المستمرة

بافتراض الأعداد الحقيقيةأ،ص{\displaystyle a,p}مع0<أ<ص{\displaystyle 0<a<p}والنوم​q=هـπأناτ{\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}،أنا⁡(τ)>0{\displaystyle \operatorname {Im} (\tau )>0}بمعامل إهليلجيك(τ)=1-ك′(τ)2=(ϑ10(0؛τ)/ϑ٠٠(0؛τ))2{\textstyle k(\tau )={\sqrt {1-k'(\tau )^{2}}}=(\vartheta _{10}(0;\tau )/\vartheta _{00}(0;\tau ))^{2}}. لوك[τ]=ك(ك(τ)){\displaystyle K[\tau ]=K(k(\tau ))}، أينك(x)=π/2⋅2F1(1/2،1/2؛1؛x2){\displaystyle K(x)=\pi /2\cdot {}_{2}F_{1}(1/2,1/2;1;x^{2})}إذا كان التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الأول ، فإنه يحقق توسيع الكسر المستمر التالي [ 21 ]دن((ص/2-أ)τك[صτ2]؛ك(صτ2))ك′(صτ2)=∑ن=-∞∞qص/2ن2+(ص/2-أ)ن∑ن=-∞∞(-1)نqص/2ن2+(ص/2-أ)ن=-1+21-qأ+qص-أ1-qص+(qأ+q2ص-أ)(qأ+ص+qص-أ)1-q3ص+qص(qأ+q3ص-أ)(qأ+2ص+qص-أ)1-q5ص+q2ص(qأ+q4ص-أ)(qأ+3ص+qص-أ)1-q7ص+⋯{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {{\textrm {dn}}\left((p/2-a)\tau K\left[{\frac {p\tau }{2}}\right];k\left({\frac {p\tau }{2}}\right)\right)}{\sqrt {k'\left({\frac {p\tau }{2}}\right)}}}={\frac {\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }q^{p/2n^{2}+(p/2-a)n}}{\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{p/2n^{2}+(p/2-a)n}}}\\[4pt]&=-1+{\cfrac {2}{1-{\cfrac {q^{a}+q^{p-a}}{1-q^{p}+{\cfrac {(q^{a}+q^{2p-a})(q^{a+p}+q^{p-a})}{1-q^{3p}+{\cfrac {q^{p}(q^{a}+q^{3p-a})(q^{a+2p}+q^{p-a})}{1-q^{5p}+{\cfrac {q^{2p}(q^{a}+q^{4p-a})(q^{a+3p}+q^{p-a})}{1-q^{7p}+\cdots }}}}}}}}}}\end{aligned}}} الكسور المستمرة المعروفة التي تتضمنسن(ت)،cn(ت){\displaystyle {\textrm {sn}}(t),{\textrm {cn}}(t)}ودن(ت){\displaystyle {\textrm {dn}}(t)}بمعامل إهليلجيك{\displaystyle k}نكون

لz∈ج{\displaystyle z\in \mathbb {C} }،|ك|<1{\displaystyle |k|<1}[ 22 ] صفحة 374∫0∞سن(ت)هـ-تzدت=112(1+ك2)+z2-1⋅22⋅3ك232(1+ك2)+z2-3⋅42⋅5ك252(1+ك2)+z2-⋯{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {sn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{1^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {1\cdot 2^{2}\cdot 3k^{2}}{3^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {3\cdot 4^{2}\cdot 5k^{2}}{5^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots }

لz∈ج∖{0}{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}،|ك|<1{\displaystyle |k|<1}[ 22 ] صفحة 375 ∫0∞سن2(ت)هـ-تzدت=2z-122(1+ك2)+z2-2⋅32⋅4ك242(1+ك2)+z2-4⋅52⋅6ك262(1+ك2)+z2-⋯{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {sn}}^{2}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {2z^{-1}}{2^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {2\cdot 3^{2}\cdot 4k^{2}}{4^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {4\cdot 5^{2}\cdot 6k^{2}}{6^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots }

لz∈ج∖{0}{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}،|ك|<1{\displaystyle |k|<1}[ 23 ] صفحة 220 ∫0∞cn(ت)هـ-تzدت=1z+12z+22ك2z+32z+42ك2z+52z+⋯{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {cn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{z+{}}}\,{\frac {1^{2}}{z+{}}}\,{\frac {2^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {3^{2}}{z+{}}}\,{\frac {4^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {5^{2}}{z+{}}}\cdots }

لz∈ج∖{0}{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}،|ك|<1{\displaystyle |k|<1}[ 22 ] صفحة 374∫0∞دن(ت)هـ-تzدت=1z+12ك2z+22z+32ك2z+42z+52ك2z+⋯{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {dn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{z+{}}}\,{\frac {1^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {2^{2}}{z+{}}}\,{\frac {3^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {4^{2}}{z+{}}}\,{\frac {5^{2}k^{2}}{z+{}}}\cdots }

لz∈ج{\displaystyle z\in \mathbb {C} }،|ك|<1{\displaystyle |k|<1}[ 22 ] صفحة 375 ∫0∞سن(ت)cn(ت)دن(ت)هـ-تzدت=12⋅12(2-ك2)+z2-1⋅22⋅3ك42⋅32(2-ك2)+z2-3⋅42⋅5ك42⋅52(2-ك2)+z2-⋯{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {{\textrm {sn}}(t){\textrm {cn}}(t)}{{\textrm {dn}}(t)}}e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\cdot 1^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {1\cdot 2^{2}\cdot 3k^{4}}{2\cdot 3^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {3\cdot 4^{2}\cdot 5k^{4}}{2\cdot 5^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots }

الدوال العكسية

يمكن تعريف معكوسات دوال جاكوبي الإهليلجية بشكل مشابه لتعريف معكوسات الدوال المثلثية ؛ إذاx=سن⁡(ξ،م){\displaystyle x=\operatorname {sn} (\xi ,m)}،ξ=arcsn⁡(x،م){\displaystyle \xi =\operatorname {arcsn} (x,m)}يمكن تمثيلها كتكاملات إهليلجية، [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] وقد تم إيجاد تمثيلات لها على شكل متسلسلات قوى. [ 27 ] [ 3 ]

  • arcsn⁡(x،م)=∫0xدت(1-ت2)(1-مت2){\displaystyle \operatorname {arcsn} (x,m)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-mt^{2})}}}}
  • قوس⁡(x،م)=∫x1دت(1-ت2)(1-م+مت2){\displaystyle \operatorname {arccn} (x,m)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-m+mt^{2})}}}}
  • arcdn⁡(x،م)=∫x1دت(1-ت2)(ت2+م-1){\displaystyle \operatorname {arcdn} (x,m)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(t^{2}+m-1)}}}}

إسقاط الخريطة

إسقاط بيرس الخماسي هو إسقاط خريطة يعتمد على الدوال الإهليلجية اليعقوبية.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ إذاu∈R{\displaystyle u\in \mathbb {R} }وم{\displaystyle m}يقتصر على[0،1]{\displaystyle [0,1]}، ثمدن⁡(u|م){\displaystyle \operatorname {dn} (u|m)}ويمكن كتابتها أيضاً على النحو التالي:1-مالخطيئة2⁡أكون⁡(u|م).{\displaystyle {\sqrt {1-m\sin ^{2}\operatorname {am} (u|m)}}.}
  2. ↑ لـدن{\displaystyle \operatorname {dn} }وظيفة، دن⁡(u،م)=cn⁡(u،م)سن⁡(ك(م)-u،م){\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)={\frac {\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {sn} (K(m)-u,m)}}}يمكن استخدامها.

الاقتباسات

  1. ↑ أرميتاج، جيه في؛ إيبرلين، دبليو إف (2006). الدوال الإهليلجية (  الطبعة الأولى). مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-78078-0.ص 48
  2. 1 2 ووكر، بيتر (2003). "تحليلية دوال جاكوبيان بالنسبة للمعامل k" . وقائع الجمعية الملكية . 459 (2038): 2569-2574 . doi : 10.1098/rspa.2003.1157 . JSTOR 3560143 . 
  3. 1 2 3 4 5 أولفر، إف دبليو جيه؛ وآخرون ، المحررون. (22-12-2017). "المكتبة الرقمية للدوال الرياضية التابعة للمعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (الإصدار 1.0.17)" . المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 26-02-2018 . 
  4. ↑ "cplot، حزمة بايثون لرسم الدوال ذات القيم المركبة" . GitHub .
  5. 1 2 3 4 5 6 نيفيل، إريك هارولد (1944). الدوال الإهليلجية اليعقوبية . أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد.
  6. 1 2 سالا، كينيث ل. (نوفمبر 1989). "تحويلات دالة سعة جاكوبيان وحسابها باستخدام المتوسط ​​الحسابي الهندسي". مجلة SIAM للتحليل الرياضي . 20 (6): 1514-1528 . doi : 10.1137/0520100 .
  7. ↑ راينهارت، دبليو بي؛ ووكر، بي إل (2010)، "الدوال الإهليلجية اليعقوبية" ، في أولفر، فرانك دبليو جيه ؛ لوزير، دانيال إم؛ بوافير، رونالد إف؛ كلارك، تشارلز دبليو (محررون)، دليل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا للدوال الرياضية ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ .
  8. ↑ كارلسون، بي سي (2010)، "التكاملات الإهليلجية" ، في أولفر، فرانك دبليو جيه ؛ لوزير، دانيال إم؛ بويسفيرت، رونالد إف؛ كلارك، تشارلز دبليو (محررون)، دليل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا للدوال الرياضية ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ .
  9. ↑ ويتاكر، إدموند تايلور ؛ واتسون، جورج نيفيل (1927). دورة في التحليل الحديث ( الطبعة الرابعة). مطبعة جامعة كامبريدج. ص 492.  
  10. ↑ كوكس، ديفيد أرشيبالد (يناير 1984). "المتوسط ​​الحسابي الهندسي لغوس" . التعليم الرياضي . 30 (2): 290.
  11. 1 2 3 4 5 6 "مقدمة إلى دوال جاكوبي الإهليلجية" . موقع وولفرام للدوال . وولفرام ريسيرش، 2018. تم الاطلاع عليه في 7 يناير 2018 .
  12. ↑ ويتاكر، إي تي ؛ واتسون، جي إن (1940). دورة في التحليل الحديث . نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: شركة ماكميلان.
  13. ↑ "الدوال الإهليلجية: المتغيرات المركبة" .
  14. ↑ ويتاكر، إدموند تايلور ؛ واتسون، جورج نيفيل (1927). دورة في التحليل الحديث ( الطبعة الرابعة). مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 504-505 .  
  15. ↑ ديكسون، ألفريد كاردو (1894). الخصائص الأولية للدوال الإهليلجية، مع أمثلة . ماكميلان. الصفحات 73-75 . 
  16. ↑ شيت، ألويس (1976). "خصائص معاملات متسلسلة تايلور لدوال جاكوبيان الإهليلجية" . مجلة الرياضيات الحاسوبية 30 ( 133): 143-147 . doi : 10.1090/S0025-5718-1976-0391477-3 . MR 0391477 . 
  17. ↑ سالزر، هربرت إي. (يوليو 1962). "حساب سريع للدوال الإهليلجية اليعقوبية" . اتصالات رابطة آلات الحوسبة . 5 (7): 399. doi : 10.1145/368273.368573 .
  18. ↑ سميث، جون آي. (5 مايو 1971). "معاملات السعة للنمطين الزوجي والفردي للخطوط المقترنة في الركيزة المعلقة". معاملات IEEE في نظرية وتقنيات الميكروويف . MTT-19 (5): 430. doi : 10.1109/TMTT.1971.1127543 .
  19. ↑ راينهارت، دبليو بي؛ ووكر، بي إل (2010)، "الدوال الإهليلجية اليعقوبية" ، في أولفر، فرانك دبليو جيه ؛ لوزير، دانيال إم؛ بوافير، رونالد إف؛ كلارك، تشارلز دبليو (محررون)، دليل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا للدوال الرياضية ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ .
  20. ↑ راينهارت، دبليو بي؛ ووكر، بي إل (2010)، "الدوال الإهليلجية اليعقوبية" ، في أولفر، فرانك دبليو جيه ؛ لوزير، دانيال إم؛ بوافير، رونالد إف؛ كلارك، تشارلز دبليو (محررون)، دليل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا للدوال الرياضية ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ .
  21. ↑ باجيس، ن. (2018). تقييمات المتسلسلات المتعلقة بدالة جاكوبي الإهليلجية (نسخة أولية). arXiv : 1803.09445 .
  22. 1 2 3 4 H.S. Wall. (1948). "النظرية التحليلية للكسور المستمرة"، فان نوستراند، نيويورك.
  23. ^ بيرون، أو. (1957). "Die Lehre von den Kettenbruchen"، الفرقة الثانية، BG Teubner، شتوتغارت.
  24. ↑ راينهارت، دبليو بي؛ ووكر، بي إل (2010)، "§22.15 الدوال العكسية" ، في أولفر، فرانك دبليو جيه ؛ لوزير، دانيال إم؛ بويسفيرت، رونالد إف؛ كلارك، تشارلز دبليو (محررون)، دليل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا للدوال الرياضية ، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ .
  25. ↑ إيرهاردت، وولفغانغ. "الوظائف الخاصة في AMath وDAMath: دليل مرجعي وملاحظات تنفيذية" (ملف PDF) . ص 42. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 31 يوليو 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 يوليو 2013 . 
  26. ↑ بيرد، بي إف؛ فريدمان، إم دي (1971). دليل التكاملات الإهليلجية للمهندسين والعلماء ( الطبعة الثانية). برلين: سبرينغر-فيرلاغ. 
  27. ↑ كارلسون، بي سي (2008). "متسلسلات القوى للدوال الإهليلجية ذات المصفوفة اليعقوبية العكسية" (ملف PDF) . رياضيات الحساب . 77 (263): 1615-1621 . doi : 10.1090/s0025-5718-07-02049-2 . تاريخ الاسترجاع: 17 يوليو 2013 .

مراجع