دالة وييرشتراس

في الرياضيات ، تُعد دالة فايرشتراس ، التي سُميت نسبةً إلى مكتشفها كارل فايرشتراس ، مثالاً على دالة حقيقية القيمة متصلة في كل مكان ولكنها غير قابلة للتفاضل في أي مكان. وهي أيضاً مثال على منحنى كسري .

لطالما مثّلت دالة فايرشتراس نموذجًا شاذًا ، إذ كانت أول مثال منشور لها (عام 1872) مصممًا خصيصًا لتحدي فكرة أن كل دالة متصلة قابلة للتفاضل باستثناء مجموعة من النقاط المعزولة. ^{[ أ ]} وقد أحدث برهان فايرشتراس، الذي أثبت أن الاتصال لا يستلزم قابلية التفاضل في كل مكان تقريبًا، ثورة في الرياضيات، مُبطلًا العديد من البراهين التي اعتمدت على الحدس الهندسي وتعريفات غامضة للنعومة . لم تكن هذه الأنواع من الدوال محبوبة لدى معاصريها. فعلى سبيل المثال، وصف تشارلز هيرميت ، عندما اكتشف أن إحدى فئات الدوال التي كان يعمل عليها تتمتع بهذه الخاصية، هذه الدوال بأنها "آفة مؤسفة". ^{[ 1 ]} كان من الصعب تصور هذه الدوال حتى ظهور الحواسيب في القرن التالي، ولم تحظَ النتائج بقبول واسع النطاق إلا بعد أن استلزمت التطبيقات العملية، مثل نماذج الحركة البراونية، دوالًا متعرجة لا نهائية (تُعرف اليوم بالمنحنيات الكسورية ). ^{[ 2 ]}

في الورقة البحثية الأصلية لـ Weierstrass، تم تعريف الدالة على أنها متسلسلة فورييه :

$${\displaystyle \ f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x)\ ,}$$

أين${\textstyle \ 0<a<1\ ,}$و${\textstyle \ b\ }$هو عدد صحيح فردي موجب، و

$${\displaystyle \ a\ b>1+{\tfrac {3}{2}}\ \pi ~.}$$

القيمة الدنيا لـ${\textstyle \ b\ }$الذي يوجد له${\textstyle \ 0<a<1\ }$بحيث يتم استيفاء هذه القيود${\textstyle \ b=7~.}$تم تقديم هذا البناء، إلى جانب البرهان على أن الدالة غير قابلة للتفاضل عند أي نقطة، لأول مرة من قبل فايرشتراس في ورقة بحثية قُدمت إلى الأكاديمية الملكية للعلوم في 18  يوليو 1872. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ ب ]}

على الرغم من عدم إمكانية اشتقاقها في أي مكان، فإن الدالة متصلة: لأن حدود المتسلسلة اللانهائية التي تُعرّفها محدودة بـ${\textstyle \ \pm a^{n}\ }$وهذا له مجموع محدود لـ${\textstyle \ 0<a<1\ ,}$يكون تقارب مجموع الحدود منتظمًا وفقًا لاختبار Weierstrass M مع${\textstyle \ M_{n}=a^{n}~.}$بما أن كل مجموع جزئي متصل، فإنه وفقًا لنظرية النهاية المنتظمة ، يترتب على ذلك أن${\textstyle \ f\ }$متصلة. بالإضافة إلى ذلك، بما أن كل مجموع جزئي متصل بانتظام ، فإنه يترتب على ذلك أن${\textstyle \ f\ }$وهي أيضاً متصلة بشكل منتظم.

قد يُتوقع أن يكون للدالة المتصلة مشتقة، أو أن تكون مجموعة النقاط التي لا يمكن اشتقاقها عندها لانهائية قابلة للعد أو محدودة. ووفقًا لفايرشتراس في بحثه، فقد افترض علماء الرياضيات السابقون، بمن فيهم غاوس، صحة هذا الافتراض. ولعل السبب في ذلك هو صعوبة رسم أو تصور دالة متصلة تكون مجموعة نقاطها غير القابلة للاشتقاق مجموعةً غير قابلة للعد. وتوجد نتائج مماثلة لفئات أفضل سلوكًا من الدوال المتصلة، مثل دوال ليبشيتز ، التي يجب أن تكون مجموعة نقاطها غير القابلة للاشتقاق مجموعةً صفريةً وفقًا لنظرية ليبيغ ( نظرية رادماخر ). عندما نحاول رسم دالة متصلة عامة، فإننا عادةً ما نرسم بيان دالة ليبشيتز أو دالة ذات سلوك جيد. علاوة على ذلك، فإن حقيقة أن مجموعة نقاط عدم التفاضل لدالة رتيبة هي قياس صفر تعني أن التذبذبات السريعة لدالة وييرشتراس ضرورية لضمان أنها غير قابلة للتفاضل في أي مكان.

كانت دالة فايرشتراس من أوائل الأشكال الكسورية التي دُرست، على الرغم من أن هذا المصطلح لم يُستخدم إلا لاحقًا. تتميز هذه الدالة بتفاصيلها الدقيقة على جميع المستويات، لذا فإن تكبير جزء من المنحنى لا يُظهر اقترابه تدريجيًا من خط مستقيم. بل على العكس، بين أي نقطتين، مهما كانت المسافة بينهما، لن تكون الدالة رتيبة.

حساب بُعد هاوسدورف${\textstyle \ D\ }$كان رسم دالة فايرشتراس الكلاسيكية مشكلة مفتوحة حتى عام 2018، بينما كان يُعتقد عمومًا أن${\textstyle \ D=2+\log _{b}(a)<2~.}$^{[ 5 ] [ 6 ]} إن كونDأقل من 2 بشكل قاطع يتبع من الشروط على${\textstyle \ a\ }$و${\textstyle \ b\ }$من الأعلى. لم يتم إثبات ذلك بشكل قاطع إلا بعد أكثر من 30  عامًا. ^{[ 7 ]}

يُستخدم مصطلح دالة فايرشتراس غالبًا في التحليل الحقيقي للإشارة إلى أي دالة ذات خصائص وبنية مشابهة لمثال فايرشتراس الأصلي. على سبيل المثال، يمكن استبدال دالة جيب التمام في المتسلسلة اللانهائية بدالة متعرجة خطية متقطعة . وقد أثبت جي إتش هاردي أن الدالة ذات البنية المذكورة أعلاه غير قابلة للتفاضل في أي موضع بافتراضات معينة.${\textstyle \ 0<a<1\ ,~a\ b\geq 1~.}$^{[ 8 ]}

تعتمد دالة فايرشتراس على دالة ريمان السابقة، التي يُزعم أنها غير قابلة للتفاضل في أي مكان. في بعض الأحيان، هذه الدالة $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n^{2}x)}{n^{2}}}}$$ وقد أطلق عليها أيضًا اسم "دالة فايرشتراس" أو "دالة فايرشتراس". ^{[ 9 ]}

بينما ادعى برنارد ريمان بقوة أن الدالة غير قابلة للتفاضل في أي مكان، لم ينشر ريمان أي دليل على ذلك، ولاحظ فايرشتراس أنه لم يجد أي دليل على بقائها سواء في أوراق ريمان أو شفهيًا من طلابه.

في عام 1916، أكد جي إتش هاردي أن الدالة ليس لها مشتقة منتهية في أي قيمة لـ${\textstyle \pi x}$حيث يكون x عددًا غير نسبي أو عددًا نسبيًا على الصورة التالية:${\textstyle {\frac {2A}{4B+1}}}$أو${\textstyle \ {\frac {2A+1}{2B}}\ ,}$حيث A و B عددان صحيحان. ^{[ 8 ]} في عام 1969، وجد جوزيف جيرفر أن دالة ريمان لها تفاضل معرف على كل قيمة من قيم x يمكن التعبير عنه بالشكل التالي:${\textstyle \ {\frac {2A+1}{2B+1}}\ \pi \ }$مع عددين صحيحين A و B ؛ أي مضاعفات نسبية لـ${\displaystyle \ \pi \ }$ببسط ومقام فرديين. عند هذه النقاط، تكون مشتقة الدالة مساوية لـ${\textstyle \ -{\frac {1}{2}}\ }$^{[ 10 ]} في عام 1971، أثبت ج. جيرفر  أن الدالة ليس لها تفاضل منتهٍ عند قيم x التي يمكن التعبير عنها بالشكل التالي:${\textstyle \ {\frac {2A}{2B+1}}\ \pi \ ,}$استكمال مشكلة قابلية تفاضل دالة ريمان. ^{[ 11 ]}

بما أن دالة ريمان قابلة للتفاضل فقط على مجموعة فارغة من النقاط، فإنها غير قابلة للتفاضل تقريبًا في أي مكان .

من الملائم كتابة دالة فايرشتراس بشكل مكافئ على النحو التالي

$${\displaystyle \ W_{\alpha }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b^{-n\alpha }\ \cos(b^{n}\pi x)\ }$$

ل${\textstyle \ \alpha \equiv -{\frac {\ln(a)}{\ln(b)}}~.}$ثم${\textstyle \ W_{\alpha }(x)\ }$هي دالة هولدر متصلة ذات أس α ، أي أن هناك ثابتًا K بحيث

$${\displaystyle \ {\Bigl |}\ W_{\alpha }(x)-W_{\alpha }(y)\ {\Bigr |}\ \leq \ K\ \left|\ x-y\ \right|^{\alpha }\ }$$

للجميع${\textstyle \ x\ }$و${\textstyle \ y~.}$^{[ 12 ]} علاوة على ذلك،${\textstyle \ W_{1}\ }$هولدر متصلة من جميع الرتب${\textstyle \ \alpha <1\ }$لكنها ليست متصلة وفقًا لشرط ليبشيتز .

اتضح أن دالة فايرشتراس ليست مثالاً معزولاً على الإطلاق: فعلى الرغم من أنها "مرضية"، إلا أنها "نموذجية" أيضاً للدوال المتصلة:

• من الناحية الطوبولوجية : مجموعة الدوال الحقيقية غير القابلة للتفاضل في أي مكان على [0,  1] هي مجموعة متقاربة في الفضاء المتجهي C ([0, 1]; ℝ) لجميع الدوال الحقيقية المتصلة على [0, 1] ذات طوبولوجيا التقارب المنتظم . ^{[ 13 ] [ 14 ]} 
• من منظور نظرية القياس : عندما يُزوَّد الفضاء C ([0, 1]; ℝ) بمقياس وينر الكلاسيكي γ ، فإن مجموعة الدوال القابلة للتفاضل عند أي نقطة من [0, 1] يكون قياسها γ صفرًا . وينطبق الأمر نفسه حتى عند أخذ "شرائح" محدودة الأبعاد من C ([0, 1]; ℝ) ، بمعنى أن الدوال غير القابلة للتفاضل عند أي نقطة تُشكِّل مجموعة فرعية سائدة من C ([0, 1]; ℝ) . 

• منحنى بلانكمانج
• ندفة ثلج كوتش
• دالة غير متصلة في أي مكان

مراجع عامة

• الدالة المتعرجة والوحشية التي حطمت حساب التفاضل والتكامل - مجلة كوانتا
• فايستين، إريك دبليو. “وظيفة فايرستراس” . عالم الرياضيات .(دالة وييرشتراس مختلفة، وهي أيضاً متصلة وغير قابلة للتفاضل في أي مكان)
• إثبات وجود دالة متصلة غير قابلة للتفاضل في أي مكان باستخدام مبدأ باناش للانكماش .
• إثبات وجود دالة متصلة رتيبة في أي مكان باستخدام نظرية فئة باير .
• يوهان ثيم. "الدوال المتصلة غير القابلة للتفاضل في أي مكان" . رسالة ماجستير، جامعة لوليا للتكنولوجيا، 2003. مؤرشفة من الأصل في 22 فبراير 2017. تم الاطلاع عليها في 28 يوليو 2006 .
• دالة فايرشتراس في المستوى المركب. مؤرشفة في 24 سبتمبر 2009 في آلة Wayback . شكل كسري جميل.
• SpringerLink - مجلة تحليل فورييه وتطبيقاته، المجلد 16، العدد 1: براهين بسيطة لعدم قابلية التفاضل في أي مكان لدالة فايرشتراس وحالات النمو البطيء
• دوال فايرشتراس: متصلة ولكنها غير قابلة للتفاضل في أي مكان
• دالة وييرشتراس التي وضعها برنت نيلسون في بيركلي، تُظهر عدم قابليتها للتفاضل