خرائط متعددة الشعب

في الرياضيات ، وبشكل أكثر تحديداً في الهندسة التفاضلية والطوبولوجيا ، يتم دراسة أنواع مختلفة من الخرائط أو الدوال بين المتشعبات ، سواء كأشياء في حد ذاتها أو لما تقدمه من ضوء .

وكما توجد أنواع مختلفة من المتشعبات، توجد أنواع مختلفة من خرائط المتشعبات.

في الطوبولوجيا الهندسية ، تتوافق الأنواع الأساسية للتطبيقات مع فئات مختلفة من المتشعبات: DIFF للدوال الملساء بين المتشعبات القابلة للتفاضل ، وPL للدوال الخطية القطعية بين المتشعبات الخطية القطعية ، وTOP للدوال المتصلة بين المتشعبات الطوبولوجية . هذه بنى أضعف تدريجيًا، مع أنها لا تُحتوى داخل بعضها كمجموعات: فالدوال الملساء ليست خطية قطعية، والدوال الخطية القطعية ليست ملساء، باستثناء الدوال الخطية الشاملة. تشمل مجموعة المتشعبات الملساء قطعيًا كلًا من المتشعبات الملساء والمتشعبات الخطية القطعية، لكن التطبيقات القابلة للتفاضل قطعيًا ليست مغلقة تحت التركيب، لذا فهي لا تُشكل فئة. مع ذلك، يقبل كل متشعب أملس قطعيًا بنية خطية قطعية، لذا فإن PL، كفئة، تقع بين DIFF وTOP.

بالإضافة إلى هذه الفئات العامة من الخرائط، هناك خرائط ذات خصائص خاصة؛ قد تشكل هذه الخرائط فئات أو لا تشكل فئات، وقد تتم مناقشتها بشكل عام على أساس فئوي أو لا تتم مناقشتها بشكل عام.

في الطوبولوجيا الهندسية، تُعدّ التضمينات نوعًا أساسيًا ، وتُعتبر نظرية العقد مثالًا محوريًا عليها، بالإضافة إلى تعميمات مثل الغمر ، والغمر الجزئي ، والفضاءات المغطاة ، والفضاءات المغطاة المتفرعة . ومن النتائج الأساسية نظرية ويتني للتضمين ونظرية ويتني للغمر .

في الهندسة المعقدة، تُستخدم مساحات التغطية المتفرعة لنمذجة أسطح ريمان ، ولتحليل الخرائط بين الأسطح، كما هو الحال مع صيغة ريمان-هرويتز .

في الهندسة الريمانية، يمكن للمرء أن يطلب خرائط للحفاظ على المقياس الريماني، مما يؤدي إلى مفاهيم التضمينات المتساوية القياس ، والغمر المتساوي القياس ، والغمر الريماني ؛ والنتيجة الأساسية هي نظرية تضمين ناش .

من الأمثلة الأساسية على الدوال بين المتشعبات الدوال ذات القيم العددية على المتشعب.${\displaystyle \scriptstyle f\colon M\to \mathbb {R} }$أو${\displaystyle \scriptstyle f\colon M\to \mathbb {C} ,}$تُسمى أحيانًا بالدوال المنتظمة أو الدوال الوظيفية ، قياسًا على الهندسة الجبرية أو الجبر الخطي. وهي ذات أهمية في حد ذاتها، ولدراسة الفضاء المتشعب الأساسي.

في الطوبولوجيا الهندسية، أكثر الدوال التي يتم دراستها شيوعًا هي دوال مورس ، والتي تنتج تحليلات الجسم المقبض ، والتي تعمم إلى دوال مورس-بوت ويمكن استخدامها على سبيل المثال لفهم المجموعات الكلاسيكية، كما هو الحال في دورية بوت .

في التحليل الرياضي ، يُدرس عادةً حل المعادلات التفاضلية الجزئية ، ومن الأمثلة المهمة على ذلك التحليل التوافقي ، حيث تُدرس الدوال التوافقية : نواة مؤثر لابلاس . ويؤدي هذا إلى دوال مثل التوافقيات الكروية ، وإلى طرق نواة الحرارة لدراسة المتشعبات، مثل سماع شكل الطبل وبعض براهين نظرية مؤشر أتياس-سينجر .

يُعدّ التكرار الأحادي حول نقطة التفرد أو نقطة التفرع جزءًا مهمًا من تحليل هذه الدوال.

الدوال الثنائية للدوال ذات القيم العددية - الخرائط${\displaystyle \scriptstyle M\to \mathbb {R} }$– هي خرائط${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} \to M,}$والتي تُقابل المنحنيات أو المسارات في فضاء متعدد الشعب. ويمكن تعريفها أيضًا عندما يكون المجال عبارة عن فترة.${\displaystyle [a,b],}$وخاصة فترة الوحدة${\displaystyle [0,1],}$أو عندما يكون المجال دائرة (أو مسارًا دوريًا) S ¹ ، مما ينتج عنه حلقة. تُستخدم هذه لتعريف المجموعة الأساسية ، والسلاسل في نظرية التماثل ، والمنحنيات الجيوديسية ، والهندسة الانقباضية .

تؤدي المسارات والحلقات المضمنة إلى نظرية العقد ، والهياكل ذات الصلة مثل الروابط والضفائر والتشابكات .

تُعد المشعبات الريمانية حالات خاصة من الفضاءات المترية ، وبالتالي يكون لدى المرء مفهوم استمرارية ليبشيتز ، وشرط هولدر ، بالإضافة إلى بنية خشنة ، مما يؤدي إلى مفاهيم مثل الخرائط الخشنة والروابط مع نظرية المجموعة الهندسية .

• التصنيف: خرائط المشعبات