نظرية تويستر

في الفيزياء النظرية ، اقترح روجر بنروز نظرية التويستر عام 1967 ^{[ 1 ]} لتوحيد النسبية العامة ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} ( هندسة الزمكان ) ^{[ 3 ]} وميكانيكا الكم ^{[ 2 ] [ 3 ]} (نظرية الكم) ^{[ 4 ]} ، وقد تطورت لاحقًا لتصبح فرعًا واسع الانتشار من الفيزياء النظرية والرياضية . كانت فكرة بنروز أن فضاء التويستر ينبغي أن يكون الساحة الأساسية للفيزياء التي ينبثق منها الزمكان نفسه. وقد أدى ذلك إلى أدوات رياضية قوية لها تطبيقات في الهندسة التفاضلية والتكاملية ، والمعادلات التفاضلية غير الخطية، ونظرية التمثيل ، وفي الفيزياء في النسبية العامة، ونظرية حقل الكم ، ونظرية سعات التشتت .

نشأت نظرية التويستر في سياق التطورات الرياضية المتسارعة في نظرية النسبية العامة لأينشتاين في أواخر الخمسينيات والستينيات من القرن العشرين، وهي تحمل في طياتها العديد من التأثيرات من تلك الفترة. وعلى وجه الخصوص، أشاد روجر بنروز بإيفور روبنسون باعتباره أحد أهم المؤثرين الأوائل في تطوير نظرية التويستر، وذلك من خلال ابتكاره لما يُعرف بتطابقات روبنسون . ^{[ 5 ]}

فضاء الإسقاط الملتوي${\displaystyle \mathbb {PT} }$هو فضاء إسقاطي ثلاثي الأبعاد${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$، وهو أبسط أنواع الفضاء الجبري المضغوط ثلاثي الأبعاد . وله تفسير فيزيائي على أنه فضاء الجسيمات عديمة الكتلة ذات اللف المغزلي . وهو إسقاط فضاء متجهي معقد رباعي الأبعاد ، أو فضاء تويستر غير إسقاطي.${\displaystyle \mathbb {T} }$، مع شكل هيرميتي للتوقيع (2، 2) وشكل حجم هولومورفي . يمكن فهم هذا بشكل طبيعي على أنه فضاء السبينورات الكيرالية ( ويل ) للمجموعة المطابقة SO(4,2)/Z 2 _لفضاء مينكوفسكي ؛ وهو التمثيل الأساسي لمجموعة السبينات SU(2,2) للمجموعة المطابقة. يمكن توسيع هذا التعريف ليشمل أبعادًا عشوائية، باستثناء أنه بعد البعد الرابع، يُعرَّف فضاء التويستر الإسقاطي بأنه فضاء السبينورات النقية الإسقاطية ^{[ 6 ] [ 7 ]} للمجموعة المطابقة. ^{[ 8 ] [ 9 ]} 

في صيغتها الأصلية، تُشفّر نظرية التويستر الحقول الفيزيائية في فضاء مينكوفسكي بدلالة كائنات تحليلية معقدة في فضاء التويستر عبر تحويل بنروز . وهذا طبيعي بشكل خاص للحقول عديمة الكتلة ذات اللف المغزلي العشوائي . في البداية، تُستنتج هذه الحقول عبر صيغ التكامل الكفافي بدلالة الدوال الهولومورفية الحرة على مناطق في فضاء التويستر. ويمكن فهم دوال التويستر الهولومورفية التي تُنتج حلولًا لمعادلات الحقل عديم الكتلة بشكل أعمق باعتبارها ممثلات تشيك لفئات التماثل التحليلي على مناطق في${\displaystyle \mathbb {PT} }$تم توسيع هذه التطابقات لتشمل بعض الحقول غير الخطية، بما في ذلك الجاذبية الذاتية المزدوجة في بناء بنروز للجرافيتون غير الخطي ^{[ 10 ]} وحقول يانغ-ميلز الذاتية المزدوجة في ما يسمى ببناء وارد؛ ^{[ 11 ]} ويؤدي الأول إلى تشوهات في البنية المعقدة الأساسية للمناطق في${\displaystyle \mathbb {PT} }$والأخيرة إلى حزم متجهات هولومورفية معينة فوق مناطق في${\displaystyle \mathbb {PT} }$وقد كان لهذه البنى تطبيقات واسعة، بما في ذلك على سبيل المثال لا الحصر نظرية الأنظمة القابلة للتكامل . ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}

يُعد شرط الازدواجية الذاتية قيدًا رئيسيًا أمام دمج اللاخطية الكاملة للنظريات الفيزيائية، على الرغم من أنه يكفي لأحاديات القطب واللحظات في نظرية يانغ-ميلز-هيغز (انظر بناء ADHM ). ^{[ 15 ]} تمثلت إحدى المحاولات المبكرة لتجاوز هذا القيد في تقديم مفهوم الأمبيتويستورات بواسطة إيزنبرغ وياسكين وغرين، ^{[ 16 ]} وامتدادها في الفضاء الفائق ، الأمبيتويستورات الفائقة ، بواسطة إدوارد ويتن . ^{[ 17 ]} فضاء الأمبيتويستور هو فضاء أشعة الضوء المعقدة أو الجسيمات عديمة الكتلة، ويمكن اعتباره تعقيدًا أو حزمة مماسية مشتركة لوصف التويستور الأصلي. من خلال توسيع تناظر الأمبيتويستور إلى جوارات رسمية محددة بشكل مناسب، أظهر إيزنبرغ وياسكين وغرين ^{[ 16 ]} التكافؤ بين تلاشي الانحناء على طول هذه الخطوط الصفرية الممتدة ومعادلات مجال يانغ-ميلز الكاملة. ^{[ 16 ]} بيّن ويتن ^{[ 17 ]} أن توسيعًا إضافيًا، ضمن إطار نظرية يانغ-ميلز الفائقة، ليشمل الحقول الفرميونية والقياسية، أدى، في حالة التناظر الفائق N = 1 أو 2 ، إلى ظهور معادلات القيد، بينما في حالة N = 3 (أو 4)، فإن شرط تلاشي الانحناء الفائق على طول خطوط الانحناء الفائق الصفري (المُلتوية الفائقة) يستلزم المجموعة الكاملة من معادلات الحقل ، بما في ذلك معادلات الحقول الفرميونية. وقد ثبت لاحقًا أن هذا يُعطي تكافؤًا تامًا بين معادلات قيد الانحناء الصفري ومعادلات حقل يانغ-ميلز المتناظرة الفائقة. ^{[ 18 ] [ 19 ]} ومن خلال الاختزال البُعدي، يمكن أيضًا استنتاج ذلك من نظير المُلتوية الفائقة لنظرية يانغ-ميلز الفائقة ذات الأبعاد العشرة، N = 1. ^{[ 20 ] [ 21 ]}      

ظهرت صيغ التويستور للتفاعلات خارج القطاع الذاتي المزدوج أيضًا في نظرية الأوتار التويستورية لويتن ، ^{[ 22 ]} وهي نظرية كمومية للخرائط الهولومورفية لسطح ريمان في فضاء التويستور. وقد أدى ذلك إلى ظهور صيغ RSV (رويبان، سبرادلين، وفولوفيتش) المدمجة بشكل ملحوظ لمصفوفات S على مستوى الشجرة لنظريات يانغ-ميلز، ^{[ 23 ]} ولكن درجات حرية الجاذبية فيها أدت إلى ظهور نسخة من الجاذبية الفائقة المطابقة تحد من قابليتها للتطبيق؛ فالجاذبية المطابقة هي نظرية غير فيزيائية تحتوي على أشباح ، ولكن يتم دمج تفاعلاتها مع تفاعلات نظرية يانغ-ميلز في سعات الحلقات المحسوبة عبر نظرية الأوتار التويستورية. ^{[ 24 ]}

على الرغم من أوجه قصورها، أدت نظرية الأوتار التويسترية إلى تطورات سريعة في دراسة سعات التشتت. كان أحدها ما يُعرف بصيغة MHV ^{[ 25 ]،} والتي تستند بشكل فضفاض إلى الأوتار المنفصلة، ​​ولكنها وُضعت على أساس أكثر جوهرية من خلال فعل التويستر لنظرية يانغ-ميلز الكاملة في فضاء التويستر. ^{[ 26 ]} وكان من التطورات الرئيسية الأخرى إدخال التكرار BCFW . ^{[ 27 ]} ولهذا صيغة طبيعية في فضاء التويستر ^{[ 28 ] [ 29 ]} ، والتي بدورها أدت إلى صياغات رائعة لسعات التشتت بدلالة صيغ غراسمان التكاملية [ ^{30 ] [ 31 ] والمضلعات} . [ ^{32 ] وقد} تطورت هذه الأفكار مؤخرًا إلى غراسمان الموجب ^{[ 33 ]} والمجسم السعوي .

تم توسيع نظرية الأوتار التويستورية أولاً بتعميم صيغة سعة يانغ-ميلز RSV، ثم باكتشاف نظرية الأوتار الأساسية . وقد قدم كاشازو وسكينر ^{[ 34 ]} هذا التوسع ليشمل الجاذبية، وصاغه ديفيد سكينر ^{[ 35 ]} كنظرية أوتار تويستورية للجاذبية الفائقة القصوى . ثم وجد كاشازو وهي ويوان صيغًا مماثلة في جميع الأبعاد لنظرية يانغ-ميلز والجاذبية ^{[ 36 ]} ، ولاحقًا لمجموعة متنوعة من النظريات الأخرى ^{[ 37 ]} . بعد ذلك، فُهمت هذه الصيغ على أنها نظريات أوتار في فضاء التويستور المزدوج بواسطة ماسون وسكينر ^{[ 38 ]} ضمن إطار عام يشمل وتر التويستور الأصلي ويمتد ليقدم عددًا من النماذج والصيغ الجديدة ^{[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]} . وبصفتها نظريات أوتار، فإن لها نفس الأبعاد الحرجة لنظرية الأوتار التقليدية. على سبيل المثال، تُعدّ النسخ الفائقة التناظر من النوع الثاني بالغة الأهمية في عشرة أبعاد، وهي تُكافئ نظرية المجال الكاملة لنظريات الجاذبية الفائقة من النوع الثاني في عشرة أبعاد (وهذا يختلف عن نظريات الأوتار التقليدية التي تمتلك أيضًا تسلسلًا هرميًا لانهائيًا إضافيًا من حالات الدوران العالي ذات الكتلة التي تُوفّر إكمالًا فوق بنفسجي ). ويمكن توسيع نطاق هذه النظريات ليشمل صيغًا لسعات الحلقات ^{[ 42 ] [ 43 ]} ، كما يُمكن تعريفها على خلفيات منحنية. ^{[ 44 ]}  

نرمز إلى فضاء مينكوفسكي بـ${\displaystyle M}$، مع الإحداثيات${\displaystyle x^{a}=(t,x,y,z)}$والمقياس اللورنتزي${\displaystyle \eta _{ab}}$إمضاء${\displaystyle (1,3)}$. تقديم مؤشرات السبينور ثنائية المكونات${\displaystyle A=0,1;\;A'=0',1',}$وضبط

${\displaystyle x^{AA'}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}tz&x+iy\\x-iy&t+z\end{pmatrix}}.}$

فضاء التويستر غير الإسقاطي${\displaystyle \mathbb {T} }$هو فضاء متجهي معقد رباعي الأبعاد، إحداثياته ​​مرمزة بـ${\displaystyle Z^{\alpha }=\left(\omega ^{A},\,\pi _{A'}\right)}$أين${\displaystyle \omega ^{A}}$و${\displaystyle \pi _{A'}}$هما ثابتان من نوع Weyl spinor . يمكن التعبير عن الشكل الهرميتي بتعريف اقتران معقد من${\displaystyle \mathbb {T} }$إلى ازدواجيتها${\displaystyle \mathbb {T} ^{*}}$بواسطة${\displaystyle {\bar {Z}}_{\alpha }=\left({\bar {\pi }}_{A},\,{\bar {\omega }}^{A'}\right)}$بحيث يمكن التعبير عن الشكل الهرميتي على النحو التالي

${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }=\omega ^{A}{\bar {\pi }}_{A}+{\bar {\omega }}^{A'}\pi _{A'}.}$

هذا بالإضافة إلى شكل الحجم الهولومورفي،${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta}Z^{\alpha }dZ^{\beta }\wedge dZ^{\gamma }\wedge dZ^{\delta }}$ثابت تحت المجموعة SU(2,2)، وهي غطاء رباعي للمجموعة المطابقة C(1,3) لزمكان مينكوفسكي المضغوط.

ترتبط النقاط في فضاء مينكوفسكي بالفضاءات الفرعية لفضاء التويستر من خلال علاقة الوقوع

${\displaystyle \omega ^{A}=ix^{AA'}\pi _{A'}.}$

تُحفظ علاقة التلاقي في ظل إعادة تحجيم معقدة شاملة للتويستور. يُحدد هذا التحجيم امتدادًا لعمود العلم، واتجاهًا لمستوى العلم، وإشارة دورانية للشعاع .${\displaystyle \mathbf {Z} \in \mathbb {PT} }$ترجمة حقيقية${\displaystyle x^{a}\rightarrow x^{a}+q^{a}}$سيغادر${\displaystyle Z^{\alpha }}$ثابت كلما${\displaystyle q^{a}}$له الشكل${\displaystyle q^{a}=u{\bar {\pi }}^{A}\pi ^{A'}}$، أين${\displaystyle u}$هو عدد حقيقي، لذا فإن عملية التحويل تُغير النقطة${\displaystyle \mathbf {x} }$إلى نقطة أخرى على الشعاع${\displaystyle \mathbf {Z} }$تحديد نقطة${\displaystyle x\in M}$بدلاً من ذلك، يحدد خطًا${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$في${\displaystyle \mathbb {PT} }$مُعَلَّم بواسطة ⁠${\displaystyle \pi _{A'}}$إذا​${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$، ثم${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }}$يتلاشى بالضرورة، ويقع خط الإسقاط المركب المقابل داخل الفضاء خماسي الأبعاد للالتواءات الصفرية.${\displaystyle \mathbb {PN} }$بالنسبة للتويسترات غير الصفرية${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }}$لا تتلاشى هذه الدالة، لذا لا توجد حلول حقيقية. تُفسَّر التويستورات غير الصفرية فيزيائيًا على أنها جسيمات عديمة الكتلة ذات دوران مغزلي. وهي غير متمركزة في الزمكان، إذ لا يوجد شعاع منفرد يمكن اعتباره خط العالم للجسيم.

• استقلالية الخلفية
• الزمكان المعقد
• تاريخ جاذبية الكم الحلقية
• تطابقات روبنسون
• شبكة الدوران
• أشكال هندسية ملتوية

• روجر بنروز (2004)، الطريق إلى الواقع ، ألفريد أ. كنوبف، الفصل 33، الصفحات  958-1009.
• روجر بنروز وولفجانج ريندل (1984)، سبينورز والزمكان؛ المجلد 1، حساب التفاضل والتكامل ثنائي السبينور والحقول النسبية ، مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج.
• روجر بنروز وولفجانج ريندلير (1986)، سبينورز والزمكان؛ المجلد 2، طرق سبينور وتويستور في هندسة الزمكان ، مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج.

• عطية، مايكل؛ دونايسكي، ماسيج؛ ماسون، ليونيل ج. (2017). "نظرية التويستر في عامها الخمسين: من التكاملات الكفافية إلى أوتار التويستر" . وقائع الجمعية الملكية أ: العلوم الرياضية والفيزيائية والهندسية . 473 (2206) 20170530. arXiv : 1704.07464 . Bibcode : 2017RSPSA.47370530A . doi : 10.1098/ rspa.2017.0530 . PMC 5666237. PMID 29118667. S2CID 5735524 .   
• بيرد، ب.، " مقدمة عن التويسترز ".
• هوجيت، إس. وتود، كيه بي (1994). مقدمة في نظرية التويستر ، الطبعة الثانية. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN   9780521456890. OCLC 831625586 .  
• هيوستن، إل بي (1979) التويستورات والجسيمات . سلسلة محاضرات سبرينغر في الفيزياء 97، سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 978-3-540-09244-5.
• هيوستن، إل بي وورد، آر إس، محرران (1979) التطورات في نظرية التويستر . بيتمان. ISBN 0-273-08448-8.
• ماسون، إل جيه وهيوستون، إل بي، محرران (1990) مزيد من التطورات في نظرية التويستر، المجلد الأول: تحويل بنروز وتطبيقاته . سلسلة مذكرات بيتمان البحثية في الرياضيات 231، لونجمان للعلوم والتكنولوجيا. ISBN 0-582-00466-7.
• ماسون، إل جيه، هيوستن، إل بي، وكوباك، بي كيه، محرران (1995). مزيد من التطورات في نظرية التويستر، المجلد الثاني: الأنظمة التكاملية، والهندسة المطابقة، والجاذبية . سلسلة مذكرات بيتمان البحثية في الرياضيات 232، لونجمان للعلوم والتكنولوجيا. ISBN 0-582-00465-9.
• ماسون، إل جيه، هيوستن، إل بي، كوباك، بي كيه، وبولفيرر، كيه، محرران (2001) المزيد من التطورات في نظرية التويستر، المجلد الثالث: فضاءات التويستر المنحنية . ملاحظات بحثية في الرياضيات 424، تشابمان وهال/سي آر سي. ISBN 1-58488-047-3.
• بينروز، روجر (1967)، "جبر التويستر" ، مجلة الفيزياء الرياضية ، 8 (2): 345-366 ، رمز Bibcode : 1967JMP.....8..345P ، doi : 10.1063/1.1705200 ، MR 0216828 {{citation}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link )
• بينروز، روجر (1968)، "تكميم التويستر والزمكان المنحني"، المجلة الدولية للفيزياء النظرية ، 1 (1): 61-99 ، Bibcode : 1968IJTP....1...61P ، doi : 10.1007/BF00668831 ، S2CID 123628735 
• بينروز، روجر (1969)، "حلول معادلات الكتلة السكونية الصفرية" ، مجلة الفيزياء الرياضية ، 10 (1): 38-39 ، Bibcode : 1969JMP....10...38P ، doi : 10.1063/1.1664756{{citation}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link )
• بينروز، روجر (1977)، "برنامج تويستور"، تقارير في الفيزياء الرياضية ، 12 (1): 65-76 ، رمز Bibcode : 1977RpMP...12...65P ، doi : 10.1016/0034-4877(77)90047-7 ، MR 0465032 
• بينروز، روجر (1999). "البرنامج المركزي لنظرية التويستر" . الفوضى، السوليتونات والكسور . 10 ( 2-3 ): 581-611 . Bibcode : 1999CSF....10..581P . doi : 10.1016/S0960-0779(98)00333-6 .
• ويتن، إدوارد (2004)، "نظرية القياس الاضطرابية كنظرية أوتار في فضاء التويستر"، مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية ، 252 ( 1-3 ): 189-258 ، arXiv : hep-th/0312171 ، Bibcode : 2004CMaPh.252..189W ، doi : 10.1007/s00220-004-1187-3 ، S2CID 14300396 

• بينروز، روجر (1999)، " معادلة أينشتاين ونظرية التويستور: التطورات الحديثة "
• بنروز، روجر. هادروفيتش، فيدجا. " نظرية الاعصار. "
• هادروفيتش، فيدجا، " تويستور التمهيدي " .
• بينروز، روجر. " حول أصول نظرية التويستر " .
• جوزسا، ريتشارد (1976)، " تطبيقات علم التماثل الحزمي في نظرية التويستر " .
• دوناجسكي، ماتشي (2009). "نظرية التويستر والمعادلات التفاضلية". مجلة الفيزياء أ: الرياضيات النظرية . 42 (40) 404004. arXiv : 0902.0274 . Bibcode : 2009JPhA...42N4004D . doi : 10.1088/1751-8113/42/40/404004 . S2CID 62774126 . 
• أندرو هودجز ، ملخص التطورات الأخيرة.
• هوجيت، ستيفن (2005)، " عناصر نظرية التويستر " .
• ماسون، إل جيه، " برنامج التويستر وأوتار التويستر: من أوتار التويستر إلى الجاذبية الكمومية؟ "
• سامان، كريستيان (2006). جوانب من هندسة التويستر ونظريات الحقول المتناظرة الفائقة ضمن نظرية الأوتار الفائقة (أطروحة دكتوراه). جامعة هانوفر. arXiv : hep-th/0603098 .
• سبارلينغ، جورج (1999)، " حول عدم تناظر الزمن " .
• سبرادلين، ماركوس (2012). "التقدم والآفاق في نظرية الأوتار الملتوية" (ملف PDF) . hdl : 11299/130081 .
• عالم الرياضيات: تويسترز.
• مراجعة الكون: " نظرية تويستر " .
• أرشيف رسائل تويستر الإخبارية .