الأسس الرياضية لميكانيكا الكم

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 23 صور
الموسوعة الحرة

كتاب "الأسس الرياضية لميكانيكا الكم " ( بالألمانية : Mathematicsche Grundlagen der Quantenmechanik ) هو كتاب في ميكانيكا الكم ألفه جون فون نيومان عام 1932. يُعدّ هذا الكتاب عملاً مبكراً هاماً في تطوير الصياغة الرياضية لميكانيكا الكم . [ 1 ] يلخص الكتاب بشكل أساسي النتائج التي نشرها فون نيومان في أبحاث سابقة. [ 2 ]

قام فون نيومان بصياغة ميكانيكا الكم باستخدام مفهوم فضاءات هيلبرت والمؤثرات الخطية. [ 3 ] أقرّ بالعمل السابق لبول ديراك في الصياغة الرياضية لميكانيكا الكم، لكنه كان متشككًا في استخدام ديراك لدوال دلتا . كتب الكتاب في محاولة ليكون أكثر دقة رياضية من ديراك. [ 4 ] كان هذا آخر كتاب لفون نيومان باللغة الألمانية، وبعد ذلك بدأ النشر باللغة الإنجليزية. [ 5 ]

تاريخ النشر

نُشر الكتاب لأول مرة باللغة الألمانية عام ١٩٣٢ من قِبل دار نشر سبرينغر . [ ٢ ] تُرجم إلى الفرنسية على يد ألكساندرو بروكا عام ١٩٤٦، [ ٦ ] وإلى الإسبانية عام ١٩٤٩. [ ٧ ] ونُشرت ترجمة إنجليزية له بقلم روبرت ت. باير عام ١٩٥٥ من قِبل مطبعة جامعة برينستون . كما نُشرت ترجمة روسية له، حررها نيكولاي بوغوليوبوف ، من قِبل دار نشر ناوكا عام ١٩٦٤. وصدرت طبعة إنجليزية جديدة، حررها نيكولاس أ. ويلر، عام ٢٠١٨ من قِبل مطبعة جامعة برينستون. [ ٨ ]

جدول المحتويات

وفقًا لإصدار عام 2018، فإن الفصول الرئيسية هي: [ 8 ]

  1. اعتبارات تمهيدية
  2. فضاء هيلبرت المجرد
  3. الإحصاء الكمي
  4. التطور الاستنتاجي للنظرية
  5. اعتبارات عامة
  6. عملية القياس

عملية القياس

في الفصل السادس، يطور فون نيومان نظرية القياس الكمي. ويتناول فون نيومان القياس من خلال تحديد نوعين من العمليات: [ أ ] [ 9 ]

  • العملية الأولى: أثناء القياس، تتطور الحالة الكمومية للنظام إلى حالة مختلطة من الحالات الذاتية للمتغير المقاس. هذه العملية غير سببية (نتيجة القياس الواحد لا تعتمد فقط على الحالة الأولية) وغير قابلة للانعكاس.
  • العملية الثانية: عندما يكون النظام غير قابل للملاحظة، تتطور الحالة وفقًا لمعادلة شرودنغر . هذه العملية سببية وقابلة للعكس.

كان فون نيومان قلقًا من أن وجود عمليتين غير متوافقتين ينتهك ما أسماه مبدأ التوازي النفسي-الفيزيائي، مما يشير إلى ضرورة إمكانية وصف كل عملية عقلية كعملية فيزيائية. [ 9 ] ويجادل فون نيومان بأن هذه المسألة لا تظهر في ميكانيكا الكم، لأنها تحدد الحدود بين المرصود والمراقب بشكل اعتباطي على طول سلسلة من الأنظمة الفرعية. [ 9 ]

تبدأ هذه السلسلة بنظام كمومي يُراد قياس متغيره. عندما يتفاعل النظام مع جهاز القياس، يحدث بينهما تشابك كمومي. ونتيجةً لذلك، لا يصل النظام إلى حالة ذاتية محددة للمتغير، ولا يُظهر جهاز القياس قيمةً محددة. وعند إضافة المُراقب إلى الصورة، يُشير الوصف إلى أن جسده (بما في ذلك الدماغ) متشابك أيضًا مع جهاز القياس والنظام. تُعرف هذه السلسلة بسلسلة فون نيومان . وتكمن المشكلة حينها في فهم كيفية حدوث الانهيار إلى إحدى الحالات الذاتية من هذه السلسلة. [ 10 ] وقد أثبت فون نيومان أنه فيما يتعلق بالنتائج النهائية، يمكن إيقاف السلسلة عند أي نقطة، ويمكن إدخال انهيار دالة الموجة عند أي نقطة لتفسير النتائج. [ 11 ] [ 9 ]

التفسيرات

يُعدّ مخطط قياس فون نيومان جزءًا من تفسير كوبنهاغن التقليدي الذي يفترض حدوث انهيار، إلا أن تفسيرات بديلة لميكانيكا الكم انبثقت من هذه الفكرة. [ 12 ] اعتبر يوجين ويغنر أن سلسلة فون نيومان تعني أن الوعي يُسبب انهيار الدالة الموجية. مع ذلك، رفض ويغنر هذه الفكرة بعد تطوير نظرية التفكك الكمي . [ 10 ] طوّر هيو إيفريت الثالث تفسير العوالم المتعددة استنادًا إلى عمليات فون نيومان، مع الإبقاء على العملية الثانية فقط. [ 11 ]

دليل على عدم وجود متغيرات خفية

إحدى الفقرات المهمة هي حجتها الرياضية ضد فكرة المتغيرات الخفية . استند ادعاء فون نيومان على افتراض أن أي توليفة خطية من المؤثرات الهرميتية تمثل كمية قابلة للرصد، وأن القيمة المتوقعة لهذه المؤثر المركب تتبع توليفة القيم المتوقعة للمؤثرات نفسها. [ 13 ]

يفترض فون نيومان الافتراضات التالية: [ 14 ]

  1. لشيء قابل للملاحظةR{\displaystyle R}، دالةو{\displaystyle f}يتم تمثيل ذلك المتغير القابل للملاحظة بواسطةو(R){\displaystyle f(R)}.
  2. بالنسبة لمجموع المتغيرات القابلة للملاحظةR{\displaystyle R}وS{\displaystyle S}يتم تمثيلها بواسطة العمليةR+S{\displaystyle R+S}، بغض النظر عن علاقات التبادل المتبادل .
  3. إن التطابق بين الكميات القابلة للرصد والمؤثرات الهرميتية هو تطابق واحد لواحد.
  4. إذا كان الملاحظR{\displaystyle R}إذا كان عاملًا غير سالب ، فإن قيمته المتوقعة⟨R⟩≥0{\displaystyle \langle R\rangle \geq 0}.
  5. مسلمة الجمعية: بالنسبة للكميات القابلة للرصد العشوائيةR{\displaystyle R}وS{\displaystyle S}والأعداد الحقيقيةأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}لدينا⟨أR+بS⟩=أ⟨R⟩+ب⟨S⟩{\displaystyle \langle aR+bS\rangle =a\langle R\rangle +b\langle S\rangle }لجميع التشكيلات الممكنة.

ثم يوضح فون نيومان أنه يمكن للمرء أن يكتب

⟨R⟩=∑م،نρنمRمن=تير(ρR){\displaystyle \langle R\rangle =\sum _{m,n}\rho _{nm}R_{mn}=\mathrm {Tr} (\rho R)}

بالنسبة للبعضρ{\displaystyle \rho }، أينRمن{\displaystyle R_{mn}}وρنم{\displaystyle \rho _{nm}}هي عناصر المصفوفة في أساس ما. ويختتم البرهان بالإشارة إلى أنρ{\displaystyle \rho }يجب أن تكون هيرميتية وغير سالبة محددة (⟨ρ⟩≥0{\displaystyle \langle \rho \rangle \geq 0}بحسب التصميم. [ 14 ] بالنسبة لفون نيومان، كان هذا يعني إمكانية استنتاج التمثيل الإحصائي للحالات من المسلمات. وبالتالي، لا توجد حالات "خالية من التشتت": [ ب ] من المستحيل إعداد نظام بحيث تكون جميع القياسات قابلة للتنبؤ. ولكن إذا وُجدت متغيرات خفية، فإن معرفة قيمها ستجعل نتائج جميع القياسات قابلة للتنبؤ، وبالتالي لا يمكن أن توجد متغيرات خفية. [ 14 ] يجادل فون نيومان بأنه في حال العثور على حالات خالية من التشتت، يجب تعديل الافتراضات من 1 إلى 3. [ 15 ]

يخلص فون نيومان إلى ما يلي: [ 16 ]

إذا وُجدت كميات فيزيائية أخرى، لم تُكتشف بعد، بالإضافة إلى تلك التي تُمثلها المؤثرات في ميكانيكا الكم، فإن العلاقات التي تفترضها ميكانيكا الكم ستفشل حتمًا بالنسبة للكميات المعروفة حاليًا، تلك التي ناقشناها سابقًا. لذا، فالأمر ليس، كما يُفترض غالبًا، مسألة إعادة تفسير لميكانيكا الكم، بل يجب أن يكون النظام الحالي لميكانيكا الكم خاطئًا موضوعيًا، حتى يكون من الممكن وصف العمليات الأولية بوصف آخر غير الوصف الإحصائي.

— الصفحات 324-325

الرفض

رُفض هذا البرهان في وقت مبكر من عام 1935 من قِبل غريت هيرمان التي وجدت خللاً فيه. [ 15 ] تنطبق فرضية الجمع المذكورة أعلاه على الحالات الكمومية، ولكنها لا تنطبق بالضرورة على قياسات الحالات الخالية من التشتت، وتحديدًا عند النظر في الكميات القابلة للرصد غير التبادلية. [ 14 ] [ 13 ] لا تتطلب الحالات الخالية من التشتت استعادة خاصية الجمع إلا عند حساب المتوسط ​​على المعاملات الخفية. [ 14 ] [ 13 ] على سبيل المثال، بالنسبة لنظام ذي لف مغزلي 1/2 ، فإن قياسات(σx+σy){\displaystyle (\sigma _{x}+\sigma _{y})}يمكن أن تأخذ قيمًا±2{\displaystyle \pm {\sqrt {2}}}لحالة خالية من التشتت، ولكن قياسات مستقلة لـσx{\displaystyle \sigma _{x}}وσy{\displaystyle \sigma _{y}}لا يمكن أن تأخذ إلا قيمًا من±1{\displaystyle \pm 1}(يمكن أن يكون مجموعها±2{\displaystyle \pm 2}أو​0{\displaystyle 0}[ 17 ] وبالتالي ،لا يزال من الممكن أن تعيد نظرية المتغيرات الخفية إنتاج ميكانيكا الكم إحصائيًا . [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]

مع ذلك، ظل نقد هيرمان غير معروف نسبيًا حتى عام 1974 عندما أعاد ماكس جامر اكتشافه . [ 15 ] في عام 1952، صاغ ديفيد بوم تفسير بوم لميكانيكا الكم من منظور إحصائي، مشيرًا إلى وجود حد لصحة برهان فون نيومان. [ 14 ] [ 13 ] أعاد جون ستيوارت بيل طرح هذه المسألة على نطاق أوسع في عام 1966. [ 13 ] [ 14 ] بيّن بيل أن نتائج هذا الافتراض تتعارض مع نتائج القياسات غير المتوافقة، والتي لم تُؤخذ صراحةً في اعتبارات فون نيومان. [ 14 ]

استقبال

كان يُعتبر الكتاب الأكثر شمولاً في ميكانيكا الكم عند صدوره. [ 2 ] [ 18 ] وقد أُشيد به لنهجه البديهي. [ 2 ] قارن جاكوب تاماركين في مراجعته كتاب فون نيومان بما قدمته أعمال نيلز هنريك أبيل أو أوغستين لويس كوشي للتحليل الرياضي في القرن التاسع عشر، ولكن في مجال ميكانيكا الكم. [ 19 ] [ 20 ]

قال فريمان دايسون إنه تعلم ميكانيكا الكم من الكتاب. [ 5 ] ويشير دايسون إلى أنه في أربعينيات القرن العشرين، لم يُستشهد بعمل فون نيومان على نطاق واسع في العالم الناطق بالإنجليزية، إذ لم يُترجم الكتاب إلى الإنجليزية حتى عام 1955، وأيضًا لأن عالمي الرياضيات والفيزياء كانا متباعدين بشكل كبير في ذلك الوقت. [ 5 ]

لاحظ ماكس جامر أن الدافع الرئيسي لبول ديراك في تأليف كتاب "مبادئ ميكانيكا الكم " (1930) كان تقديم شرحٍ وافٍ في الفيزياء، مع اعتبار الرياضيات أداةً في هذا السياق. وفي هذا الصدد، شكّل كتاب جون فون نيومان " الأسس الرياضية لميكانيكا الكم" ، بتأكيده الصارم على الدقة الرياضية ، إضافةً قيّمةً لكتاب ديراك. [ 21 ] : 367

الأعمال المقتبسة في الكتاب

  • فون نيومان، ج. (1927). “Mathematische Begründung der Quantenmechanik [الأساس الرياضي لميكانيكا الكم]”. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen، فئة الرياضيات والفيزياء : 1–57 .
  • فون نيومان، ج. (1927). “Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik [النظرية الاحتمالية لميكانيكا الكم]”. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen، فئة الرياضيات والفيزياء : 245–272 .
  • فون نيومان، ج. (1927). “الديناميكية الحرارية الكمومية الميكانيكية Gesamtheiten [الديناميكا الحرارية للكميات الميكانيكية الكمومية]”. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen، Mathematisch-Physikalische Klasse . 102 : 273 – 291.
  • فون نيومان، ج. (1929). “Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren [نظرية القيمة الذاتية العامة للمشغلين الوظيفيين الهرميتيين]”. الرياضيات : 49– 131. دوى : 10.1007 / BF01782338 .
  • فون نيومان، ج. (1931). "Die Eindeutigkeit der Schrödingerschen Operatoren [تفرد مشغلي شرودنغر]". الرياضيات أنالن . 104 : 570– 578. دوى : 10.1007 / bf01457956 . S2CID 120528257 . 

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ يعتبر بعض المؤلفين العملية الثالثة بمثابة انهيار (اختزال الحالة) للدالة الموجية.
  2. ↑ حالة خالية من التشتت|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }يمتلك العقارσR=⟨ψ|R2|ψ⟩-⟨ψ|R|ψ⟩2=0{\displaystyle \sigma _{R}=\langle \psi |R^{2}|\psi \rangle -\langle \psi |R|\psi \rangle ^{2}=0}للجميعR{\displaystyle R}(حالة ذاتية أم لا).

مراجع

  1. ↑ فان هوف، ليون (1958). "مساهمات فون نيومان في نظرية الكم" . نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات 64 ( 3): 95-100 . doi : 10.1090/s0002-9904-1958-10206-2 .
  2. 1 2 3 4 مارجيناو، هنري (1933). "مراجعة كتاب: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik " . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 39 (7): 493-495 . دوى : 10.1090 / S0002-9904-1933-05665-3 . السيد 1562667 . 
  3. ↑ "جون فون نيومان | سيرته الذاتية، إنجازاته، اختراعاته، وحقائقه | بريتانيكا" . www.britannica.com . 24-10-2024 . تاريخ الاطلاع: 4-12-2024 .
  4. ↑ كرونز، فريد؛ لوفر، تريسي (2024)، "نظرية الكم والدقة الرياضية" ، في زالتا، إدوارد ن.؛ نودلمان، أوري (محرران)، موسوعة ستانفورد للفلسفة (طبعة ربيع 2024 )، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تاريخ الاسترجاع 2024-12-04 
  5. 1 2 3 دايسون، فريمان (2013-02-01). "جولة في حديقة جوني فون نيومان" . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 60 (2): 154. doi : 10.1090/noti942 . ISSN 0002-9920 . 
  6. ^ “نيومان (فون) : Les fondements mathématiques de la Mécanique quantique، 1946” . www.gabay-editeur.com (باللغة الفرنسية) . تم الاسترجاع بتاريخ 2024-12-04 . 
  7. ↑ هالموس، بي آر (1973). "أسطورة جون فون نيومان" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 80 (4): 382-394 . doi : 10.2307/2319080 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2319080 .  
  8. ١ ٢ جون فون نيومان (٢٠١٨). نيكولاس أ. ويلر (محرر). الأسس الرياضية لميكانيكا الكم. طبعة جديدة . ترجمة روبرت ت. باير. مطبعة جامعة برينستون. ISBN 9781400889921.
  9. 1 2 3 4 ريدي، ميكلوس؛ ستولتسنر ، مايكل (2013/03/09). جون فون نيومان وأسس فيزياء الكم . سبرينغر العلوم والإعلام التجاري. رقم ISBN 978-94-017-2012-0.
  10. 1 2 إسفيلد، مايكل. مراجعة مقالية: وجهة نظر ويغنر عن الواقع المادي .
  11. 1 2 ثاهيلد، فريد هـ. (2005-08-01). "هل يؤدي الوعي حقًا إلى انهيار الدالة الموجية؟: حل بيوفيزيائي موضوعي محتمل لمشكلة القياس" . أنظمة حيوية . 81 (2): 113-124 . arXiv : quant-ph/0509042 . Bibcode : 2005BiSys..81..113T . doi : 10.1016/j.biosystems.2005.03.001 . ISSN 0303-2647 . PMID 16009281 .  
  12. ↑ زيه، إتش دي (2000). " [ لم يُعثر على عنوان ] " . رسائل أسس الفيزياء . 13 (3): 221-233 . doi : 10.1023/A:1007895803485 .
  13. 1 2 3 4 5 6 بيل، جون س. (1966-07-01). "حول مشكلة المتغيرات الخفية في ميكانيكا الكم" . مراجعات الفيزياء الحديثة . 38 (3): 447-452 . Bibcode : 1966RvMP...38..447B . doi : 10.1103/RevModPhys.38.447 . ISSN 0034-6861 . OSTI 1444158 .  
  14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 بالنتين، ل. إي. (1970-10-01). "التفسير الإحصائي لميكانيكا الكم" . مراجعات الفيزياء الحديثة . 42 (4): 358-381 . Bibcode : 1970RvMP...42..358B . doi : 10.1103/RevModPhys.42.358 . ISSN 0034-6861 . 
  15. 1 2 3 4 ميرمين، ن. ديفيد؛ شاك، روديجر (2018). "هوميروس أومأ: إغفال فون نيومان المثير للدهشة" . أسس الفيزياء . 48 (9): 1007-1020 . arXiv : 1805.10311 . Bibcode : 2018FoPh...48.1007M . doi : 10.1007/s10701-018-0197-5 . ISSN 0015-9018 . 
  16. ↑ ألبرتسون، جيمس (1961-08-01). "برهان فون نيومان للمعاملات الخفية" . المجلة الأمريكية للفيزياء . 29 (8): 478-484 . Bibcode : 1961AmJPh..29..478A . doi : 10.1119/1.1937816 . ISSN 0002-9505 . 
  17. ↑ بوب، جيفري (2010). "برهان فون نيومان على عدم وجود متغيرات خفية: إعادة تقييم" . أسس الفيزياء . 40 ( 9-10 ): 1333-1340 . arXiv : 1006.0499 . Bibcode : 2010FoPh...40.1333B . doi : 10.1007/s10701-010-9480-9 . ISSN 0015-9018 . 
  18. ↑ هوف، ليون فان (1958). "مساهمات فون نيومان في نظرية الكم" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 64 (3.P2): 95-99 . doi : 10.1090/S0002-9904-1958-10206-2 . ISSN 0002-9904 . 
  19. ↑ "كتب جون فون نيومان" . تاريخ الرياضيات . تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 ديسمبر 2024 .
  20. ^ تاماركين، دينار (1935). "مراجعة لـ Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik" . الرياضيات الأمريكية الشهرية . 42 (4): 237-239 . دوى : 10.2307/2302105 . ISSN 0002-9890 . جستور 2302105 .  
  21. ↑ جامر، ماكس (1966). التطور المفاهيمي لميكانيكا الكم . ماكجرو هيل. ISBN 9780883186176.