متوازي المستطيلات

متوازي المستطيلات
يكتب	منشور بليسيوهيدرو
وجوه	6 متوازيات أضلاع
الحواف	12
الرؤوس	8
مجموعة التناظر	C i , [2 + ,2 + ], ( × ), order 2
ملكيات	محدب، زونوهيدرون

في الهندسة ، متوازي المستطيلات هو شكل ثلاثي الأبعاد يتكون من ستة متوازيات أضلاع ⁽ يُستخدم مصطلح المعين أحيانًا بهذا ^{المعنى )} . وبالمثل، فهو يُشبه متوازي الأضلاع كما يُشبه المكعب المربع .

ثلاثة تعريفات مكافئة لمتوازي المستطيلات هي

• مجسم سداسي الأوجه بثلاثة أزواج من الأوجه المتوازية،
• مجسم متعدد الأوجه بستة أوجه ( سداسي الأوجه )، كل منها متوازي أضلاع، و
• منشور قاعدته متوازي أضلاع .

المستطيل المستطيل (ستة أوجه مستطيلة )، والمكعب (ستة أوجه مربعة )، والمعين (ستة أوجه معينية ) كلها حالات خاصة من متوازي المستطيلات.

يُنطق الآن عادةً متوازي السطوح / ˌpærəˌlɛlɪˈpɪpɪd / أو / ˌpærəˌlɛlɪˈpaɪpɪd / ;​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ ^{[ 1 ]} تقليديًا ، كان / ˌpærəlɛlˈɛpɪpɛd / PARR -ə-lel- ^EP -ih - ped [ 2 ^{] بسبب} أصل الكلمة في اليونانية القديمة παραππεδον ( parallēlepípedon ) ( مع قصيرة -i-)، وتعني الجسم . "وجود طائرات متوازية ".

تُعتبر متوازيات المستطيلات فئة فرعية من رتبة المنشوريات .

يمكن اعتبار أي من أزواج الأوجه المتوازية الثلاثة بمثابة مستويات القاعدة للمنشور. يتكون متوازي المستطيلات من ثلاث مجموعات من أربعة حواف متوازية؛ وتكون الحواف داخل كل مجموعة متساوية في الطول.

تنتج متوازيات المستطيلات من التحويلات الخطية للمكعب ( في الحالات غير المنحلة: التحويلات الخطية التقابلية).

بما أن لكل وجه تناظرًا نقطيًا ، فإن متوازي المستطيلات هو شكل زونوهيدروني . كما أن لمتوازي المستطيلات بأكمله تناظرًا نقطيًا من النوع C _i (انظر أيضًا النظام ثلاثي الميل ). كل وجه، عند النظر إليه من الخارج، هو صورة معكوسة للوجه المقابل. الوجوه عمومًا حلزونية ، لكن متوازي المستطيلات ليس كذلك.

يمكن إنشاء تبليط يملأ الفراغ باستخدام نسخ متطابقة من أي متوازي مستطيلات.

المتوازي المستطيلات هو منشور قاعدته متوازي أضلاع . ومن هنا يأتي حجمه${\displaystyle V}$مساحة متوازي المستطيلات هي حاصل ضرب مساحة القاعدة${\displaystyle B}$والارتفاع${\displaystyle h}$(انظر الرسم التوضيحي). مع

• ${\displaystyle B=\left|\mathbf {a} \right|\cdot \left|\mathbf {b} \right|\cdot \sin \gamma =\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|}$(أين${\displaystyle \gamma }$الزاوية بين المتجهين${\displaystyle \mathbf {a} }$و${\displaystyle \mathbf {b} }$)، و
• ${\displaystyle h=\left|\mathbf {c} \right|\cdot \left|\cos \theta \right|}$(أين${\displaystyle \theta }$هي الزاوية بين المتجه${\displaystyle \mathbf {c} }$والمتجه العمودي على القاعدة)، نحصل على:

$${\displaystyle V=B\cdot h=\left(\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \gamma \right)\cdot \left|\mathbf {c} \right|\left|\cos \theta \right|=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\left|\cos \theta \right|=\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|.}$$ يُطلق على حاصل الضرب المختلط لثلاثة متجهات اسم الضرب الثلاثي . ويمكن وصفه بواسطة المحدد . وبالتالي، بالنسبة لـ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})^{\mathsf {T}},~\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})^{\mathsf {T}},~\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})^{\mathsf {T}},}$الحجم هو:

$${\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|.}$$

الإصدار الأول

هناك طريقة أخرى لإثبات ( V1 ) وهي استخدام المكون القياسي في اتجاه${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$من متجه${\displaystyle \mathbf {c} }$: $${\displaystyle {\begin{align}V=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|\left|\operatorname {scal} _{\mathbf {a} \times \mathbf {b} }\mathbf {c} \right|=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|{\frac {\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|}{\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|}}=\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {ج} \right|.\end{aligned}}}$$ والنتيجة تلي ذلك.

يستخدم تمثيل بديل للحجم الخصائص الهندسية (الزوايا وأطوال الحواف) فقط:

$${\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}},}$$

الإصدار الثاني

أين${\displaystyle \alpha =\angle (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$،${\displaystyle \beta =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )}$،${\displaystyle \gamma =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$، و${\displaystyle a,b,c}$هي أطوال الحواف.

رباعي الأوجه المقابل

حجم أي رباعي الأوجه الذي يشترك في ثلاثة حواف متقاربة مع متوازي السطوح يساوي سدس حجم متوازي السطوح هذا (انظر البرهان ).

مساحة سطح متوازي المستطيلات هي مجموع مساحات متوازيات الأضلاع المحيطة به: $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=2\cdot \left(|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |+|\mathbf {a} \times \mathbf {c} |+|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |\right)\\&=2\left(ab\sin \gamma +bc\sin \alpha +ca\sin \beta \right).\end{aligned}}}$$ (للحصول على معلومات حول التسمية: انظر القسم السابق.)

علاقات المجموعة الفرعية للتناظر الثماني الأوجه مع مركز الانعكاس

حالات خاصة من متوازي المستطيلات

استمارة	مكعب	متوازي مستطيلات مربع	شبه منحرف ثلاثي	متوازي مستطيلات مكعب الشكل	منشور معيني قائم	منشور متوازي الأضلاع قائم	منشور معيني مائل
قيود	${\displaystyle a=b=c}$${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ }}$	${\displaystyle a=b}$${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ }}$	${\displaystyle a=b=c}$${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma }$	${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ }}$	${\displaystyle a=b}$${\displaystyle \alpha =\beta =90^{\circ }}$	${\displaystyle \alpha =\beta =90^{\circ }}$	${\displaystyle a=b}$${\displaystyle \alpha =\beta }$
التناظر	يا طلب رقم 48	طلب D 4h رقم 16	D 3d order 12	طلب D 2h رقم 8		طلب رقم 4 ( ساعتان )
صورة
وجوه	6 مربعات	مربعان، 4 مستطيلات	6 معينات	6 مستطيلات	4 مستطيلات، 2 معينات	4 مستطيلات، 2 متوازي أضلاع	معينان، 4 متوازيات أضلاع

• يُعرف متوازي المستطيلات ذو التناظر O _{h باسم} المكعب ، والذي يحتوي على ستة أوجه مربعة متطابقة.
• يُعرف متوازي المستطيلات ذو التناظر D _{4h باسم} المكعب المربع ، والذي يحتوي على وجهين مربعين وأربعة أوجه مستطيلة متطابقة.
• يُعرف متوازي المستطيلات ذو التناظر D _{3d باسم} شبه منحرف ثلاثي الأضلاع ، والذي يحتوي على ستة أوجه معينية متطابقة (يسمى أيضًا معين متساوي الأوجه ).
• بالنسبة للمتوازيات المستطيلة ذات التناظر D _2h ، هناك حالتان:
  • متوازي المستطيلات : له ستة أوجه مستطيلة (يسمى أيضًا متوازي المستطيلات ، أو أحيانًا ببساطة متوازي المستطيلات ).
  • المنشور المعيني القائم : له وجهان معينيان وأربعة أوجه مستطيلة متطابقة.
• بالنسبة للمتوازيات المستطيلة ذات التناظر C _2h ، هناك حالتان:
  • المنشور المتوازي الأضلاع القائم : له أربعة أوجه مستطيلة ووجهان متوازيان الأضلاع.
  • المنشور المعيني المائل : له وجهان معينيان، بينما من بين الوجوه الأخرى، اثنان متجاوران متساويان والآخران كذلك (الزوجان هما صورة معكوسة لبعضهما البعض).

المتوازي المستطيلات المثالي هو متوازي مستطيلات ذو أطوال صحيحة للحواف والأقطار الداخلية والخارجية . في عام ٢٠٠٩، تم إثبات وجود عشرات من متوازيات المستطيلات المثالية، ^{[ ٣ ]} مجيبًا بذلك على سؤال مفتوح طرحه ريتشارد جاي . أحد الأمثلة له حواف ٢٧١ و١٠٦ و١٠٣، وأقطار داخلية صغرى ١٠١ و٢٦٦ و٢٥٥، وأقطار داخلية كبرى ١٨٣ و٣١٢ و٣٢٣، وأقطار خارجية ٣٧٤ و٣٠٠ و٢٧٨ و٢٧٢.

من المعروف وجود بعض متوازيات السطوح المثالية التي لها وجهان مستطيلان. لكن من غير المعروف ما إذا كان هناك أي متوازي سطوح تكون جميع أوجهه مستطيلة؛ في هذه الحالة سيكون متوازي مستطيلات مثالي .

أطلق كوكسيتر على تعميم متوازي المستطيلات في الأبعاد الأعلى اسم متوازي السطوح . وفي الأدبيات الحديثة، يُستخدم مصطلح متوازي المستطيلات غالبًا في الأبعاد الأعلى (أو الأبعاد المحدودة التعسفية) أيضًا. ^{[ 4 ]}

في الفضاء ذي الأبعاد n، يُطلق عليه تحديدًا اسم متوازي السطوح ذي الأبعاد n ، أو ببساطة متوازي السطوح n (أو متوازي المستطيلات n ). وبالتالي، فإن متوازي الأضلاع هو متوازي سطوح ثنائي الأبعاد، ومتوازي المستطيلات هو متوازي سطوح ثلاثي الأبعاد.

تتقاطع أقطار متوازي السطوح ذي البعد n في نقطة واحدة، وتنصفها هذه النقطة. ولا يُغير انعكاس هذه النقطة متوازي السطوح ذي البعد n من شكله. انظر أيضًا: النقاط الثابتة لمجموعات التناظر في الفضاء الإقليدي .

تشكل الحواف المتشععة من أحد رؤوس متوازي السطوح k إطارًا k${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}$من الفضاء المتجهي، ويمكن استعادة متوازي السطوح من هذه المتجهات، عن طريق أخذ تركيبات خطية من المتجهات، بأوزان تتراوح بين 0 و 1.

الحجم ذو البعد n لمتوازي السطوح ذي البعد n المضمن في${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$أين${\displaystyle m\geq n}$يمكن حساب الحجم باستخدام محدد غرام . أو بدلاً من ذلك، يكون الحجم هو معيار الضرب الخارجي للمتجهات: $${\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|.}$$

إذا كان m = n ، فإن هذا يعادل القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة المكونة من مكونات المتجهات n .

صيغة لحساب حجم متوازي السطوح ذي البعد n، P في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، والتي رؤوسها n + 1 هي${\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}}$، يكون $${\displaystyle \mathrm {Vol} (P)=\left|\det \left(\left[V_{0}\ 1\right]^{\mathsf {T}},\left[V_{1}\ 1\right]^{\mathsf {T}},\ldots ,\left[V_{n}\ 1\right]^{\mathsf {T}}\right)\right|,}$$ أين${\displaystyle [V_{i}\ 1]}$هو متجه الصف المتكون من خلال دمج مكونات${\displaystyle V_{i}}$و 1.

وبالمثل، فإن حجم أي مجسم بسيط من النوع n يشترك في n من الحواف المتقاربة لمتوازي السطوح يساوي حجم واحد 1/ n ! من حجم متوازي السطوح هذا.

مصطلح متوازي المستطيلات مشتق من الكلمة اليونانية القديمة παραλληλεπίπεδον ( parallēlepípedon ، وتعني "جسم ذو أسطح مستوية متوازية")، وهي مشتقة من parallēl (متوازي) + epípedon (سطح مستوٍ)، من epí- (على) + pedon (أرض). وبالتالي، فإن أوجه متوازي المستطيلات مستوية، والأوجه المتقابلة متوازية. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

في اللغة الإنجليزية، ورد مصطلح parallelipipedon في ترجمة هنري بيلينجسلي لكتاب العناصر لإقليدس عام 1570. أما التهجئة parallelepipedum فقد استُخدمت في طبعة عام 1644 من كتاب Cursus mathematicus لبيير هيريجون . وفي عام 1663، ورد مصطلح parallelepiped، وهو المصطلح المستخدم حاليًا، في كتاب Chorea gigantum لوالتر تشارلتون . ^{[ 5 ]}

يُظهر قاموس تشارلز هاتون (1795) التهجئتين parallelopiped و parallelopipedon ، مما يدل على تأثير الصيغة المركبة parallelo- ، كما لو كان العنصر الثاني pipedon بدلاً من epipedon . ويُدرج قاموس نوح ويبستر (1806) التهجئة parallelopiped . ويصف قاموس أكسفورد الإنجليزي، في طبعته الصادرة عام 1989، التهجئتين parallelopiped (و parallelipiped ) صراحةً بأنهما صيغتان غير صحيحتين، لكنهما مُدرجتان دون تعليق في طبعة عام 2004، مع ذكر النطق الذي يُشدد فيه على المقطع الخامس pi ( /paɪ/ ).

• قوائم الأشكال

• Coxeter, HSM Regular Polytopes , 3rd ed. New York: Dover, p.  122, 1973. (يعرف متوازي الأضلاع بأنه تعميم لمتوازي الأضلاع ومتوازي المستطيلات في n-diments.)

• وايسشتاين، إريك دبليو. "متوازي المستطيلات" . عالم الرياضيات .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "متوازي الأضلاع" . عالم الرياضيات .
• نموذج ورقي لمتوازي المستطيلات (الشبكة)