نظرية موريرا

التحليل الرياضي → التحليل المركب
تحليل معقد
الأعداد المركبة
عدد حقيقي عدد وهمي طائرة معقدة مركب مركب عدد مركب الوحدة
وظائف معقدة
دالة ذات قيمة معقدة وظيفة تحليلية دالة هولومورفية معادلات كوشي-ريمان سلسلة القوة الرسمية
النظرية الأساسية
الأصفار والأقطاب نظرية كوشي التكاملية بدائية محلية صيغة كوشي التكاملية رقم اللف سلسلة لوران مفردة معزولة نظرية البقايا مبدأ الحجة خريطة مطابقة المعضلة السوداء وظيفة التوافقية معادلة لابلاس
نظرية الدالة الهندسية
الناس
أوغستين لويس كوشي ليونارد أويلر كارل فريدريش جاوس جاك هادامارد كيوشي أوكا برنهارد ريمان كارل وييرستراس
بوابة الرياضيات
ف ت هـ

في التحليل المركب ، وهو فرع من الرياضيات ، تعطي نظرية موريرا ، والتي سميت على اسم جياسينتو موريرا ، معيارًا مهمًا لإثبات أن الدالة مجسمة .

تنص نظرية موريرا على أن الدالة المستمرة ذات القيمة المعقدة f المعرفة على مجموعة مفتوحة D في المستوى المركب والتي تحقق كل منحنى مجزأ مغلق C1 في D يجب ^أن تكون مجسمة على D.$${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0}$$${\displaystyle \gamma }$

إن افتراض نظرية موريرا يعادل أن يكون لـ f مشتق عكسي على  D.

لا يكون عكس النظرية صحيحًا بشكل عام. لا يلزم أن تمتلك الدالة المتماثلة مشتقًا معاكسًا على مجالها، ما لم يفرض المرء افتراضات إضافية. والعكس صحيح على سبيل المثال إذا كان المجال متصلًا ببساطة ؛ هذه هي نظرية كوشي التكاملية ، التي تنص على أن التكامل الخطي للدالة المتماثلة على طول منحنى مغلق يساوي صفرًا.

المثال المضاد القياسي هو الدالة f ( z ) = 1/ z ، والتي تكون متماثلة الشكل على C  − {0}. في أي جوار متصل ببساطة U في C  − {0}، يكون لـ 1/ z مشتق عكسي محدد بواسطة L ( z ) = ln( r ) + iθ ، حيث z = re ^iθ . ونظرًا لغموض θ حتى إضافة أي عدد صحيح مضاعف لـ 2 π ، فإن أي اختيار مستمر لـ θ على U سيكون كافيًا لتحديد مشتق عكسي لـ 1/ z على U. (إن حقيقة أن θ لا يمكن تعريفها بشكل مستمر على منحنى مغلق بسيط يحتوي على الأصل في داخله هي السبب وراء عدم وجود مشتق عكسي لـ 1/ z على كامل نطاقه C  − {0}.) ولأن مشتق الثابت الإضافي يساوي 0، يمكن إضافة أي ثابت إلى المشتق العكسي وستظل النتيجة مشتقًا عكسيًا لـ 1/ z .

بمعنى ما، فإن المثال المضاد 1/ z عالمي: بالنسبة لكل دالة تحليلية ليس لها مشتق عكسي على مجالها، فإن السبب في ذلك هو أن 1/ z نفسها لا تحتوي على مشتق عكسي على C  − {0}.

هناك دليل ابتدائي نسبيًا للنظرية. يتم إنشاء مشتقة عكسية لـ f صراحةً.

بدون فقدان العمومية، يمكن افتراض أن D متصلة . حدد نقطة z ₀ في D ، ولأي ، ليكن منحنى C ¹ مجزأ بحيث و . ثم حدد الدالة F لتكون ${\displaystyle z\in D}$${\displaystyle \gamma :[0,1]\to D}$${\displaystyle \gamma (0)=z_{0}}$${\displaystyle \gamma (1)=z}$$${\displaystyle F(z)=\int _{\gamma }f(\zeta )\,d\zeta .}$$

لنرى أن الدالة محددة جيدًا، افترض أن هناك منحنى C ¹ آخر مجزأ بحيث و . المنحنى (أي المنحنى الذي يجمع مع في الاتجاه المعاكس) هو منحنى C ¹ مجزأ مغلق في D . إذن، ${\displaystyle \tau :[0,1]\to D}$${\displaystyle \tau (0)=z_{0}}$${\displaystyle \tau (1)=z}$${\displaystyle \gamma \tau ^{-1}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \tau }$$${\displaystyle \int _{\gamma}f(\zeta )\,d\zeta +\int _{\tau ^{-1}}f(\zeta )\,d\zeta =\oint _{\gamma \tau ^{-1}}f(\zeta )\,d\zeta =0.}$$

ويترتب على ذلك أن $${\displaystyle \int _{\gamma }f(\zeta )\,d\zeta =\int _{\tau }f(\zeta )\,d\zeta .}$$

ثم باستخدام استمرارية f لتقدير حاصل الفرق، نحصل على أن F ′( z ) =  f ( z ). إذا اخترنا z ₀ مختلفة في D ، فإن F ستتغير بمقدار ثابت: أي نتيجة تكامل f على طول أي منحنى منتظم مجزأ بين z ₀ الجديدة والقديمة، وهذا لا يغير المشتقة.

نظرًا لأن f هي المشتقة للدالة المتماثلة F ، فهي متماثلة. يمكن إثبات حقيقة أن مشتقات الدوال المتماثلة متماثلة باستخدام حقيقة أن الدوال المتماثلة تحليلية ، أي يمكن تمثيلها بمتسلسلة قوى متقاربة ، وحقيقة أن متسلسلات القوى يمكن تفاضلها حدًا بحد. هذا يكمل الإثبات.

تُعد نظرية موريرا أداة قياسية في التحليل المركب . وتُستخدم في أي حجة تقريبًا تتضمن إنشاء دالة هولومورفية غير جبرية.

على سبيل المثال، افترض أن f ₁ و  f ₂ و... هي سلسلة من الدوال المجسمة، تتقارب بشكل موحد إلى دالة متصلة f على قرص مفتوح. وفقًا لنظرية كوشي ، نعلم أنه لكل n ، على طول أي منحنى مغلق C في القرص. ثم يعني التقارب المنتظم أنه لكل منحنى مغلق C ، وبالتالي وفقًا لنظرية موريرا ، يجب أن تكون f مجسمة. يمكن استخدام هذه الحقيقة لإظهار أنه بالنسبة لأي مجموعة مفتوحة Ω ⊆ C ، فإن المجموعة A (Ω) لجميع الدوال التحليلية المحدودة u  : Ω → C هي فضاء باناخ بالنسبة إلى المعيار الأعلى . $${\displaystyle \oint _{C}f_{n}(z)\,dz=0}$$$${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}\lim _{n\to \infty }f_{n}(z)\,dz=\lim _{n\to \infty }\oint _{C}f_{n}(z)\,dz=0}$$

يمكن أيضًا استخدام نظرية موريرا جنبًا إلى جنب مع نظرية فوبيني واختبار فايرستراس M لإظهار تحليلية الدوال المحددة بالمجاميع أو التكاملات، مثل دالة زيتا لريمان أو دالة جاما$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$$ $${\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx.}$$

على وجه التحديد، يُظهِر المرء أنه بالنسبة لمنحنى مغلق مناسب C ، من خلال كتابة ثم استخدام نظرية فوبيني لتبرير تغيير ترتيب التكامل، نحصل على $${\displaystyle \oint _{C}\Gamma (\alpha )\,d\alpha =0}$$$${\displaystyle \oint _{C}\Gamma (\alpha )\,d\alpha =\oint _{C}\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx\,d\alpha }$$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\oint _{C}x^{\alpha -1}e^{-x}\,d\alpha \,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\oint _{C}x^{\alpha -1}\,d\alpha \,dx.}$$

ثم نستخدم تحليلية α ↦ x ^{α −1} لاستنتاج أن التكامل المزدوج أعلاه يساوي 0. وعلى نحو مماثل، في حالة دالة زيتا، يبرر اختبار M تبديل التكامل على طول المنحنى المغلق والمجموع. $${\displaystyle \oint _{C}x^{\alpha -1}\,d\alpha =0,}$$

يمكن إضعاف فرضيات نظرية موريرا بشكل كبير. على وجه الخصوص، يكفي أن يكون التكامل صفرًا لكل مثلث مغلق (صلب) T موجود في المنطقة D. وهذا في الواقع يميز التماثل، أي أن f هو تماثل على D إذا وفقط إذا كانت الشروط المذكورة أعلاه صحيحة. كما يعني ذلك التعميم التالي للحقيقة المذكورة أعلاه حول الحدود المنتظمة للوظائف التماثلية: إذا كانت f ₁ و  f ₂ و... عبارة عن تسلسل من الوظائف التماثلية المحددة على مجموعة مفتوحة Ω ⊆ C تتقارب إلى دالة f بشكل منتظم على مجموعات فرعية مضغوطة من Ω، فإن f هي تماثلية. $${\displaystyle \oint _{\partial T}f(z)\,dz}$$

• معادلات كوشي-ريمان
• طرق تكامل الكنتور
• البقايا (تحليل معقد)
• نظرية ميتاج-ليفلر

• أهلفورس، لارس (1 يناير 1979)، التحليل المركب ، السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية، ماكجرو هيل، رقم ISBN 978-0-07-000657-7، زبل  0395.30001.
• كونواي، جون ب. (1973)، وظائف متغير مركب واحد ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 11، دار نشر سبرينغر ، رقم ISBN 978-3-540-90328-4، زبل  0277.30001.
• جرين، روبرت إي .؛ كرانتز، ستيفن جي. (2006)، نظرية دالة متغير مركب واحد ، دراسات عليا في الرياضيات ، المجلد 40، الجمعية الرياضية الأمريكية، رقم ISBN 0-8218-3962-4
• موريرا، جياسينتو (1886)، “Un teorema fondamentale nella teorica delle funzioni di una variabile complessa”، Rendiconti del Reale Instituto Lombardo di Scienze e Lettere (باللغة الإيطالية)، 19 (2): 304-307، JFM  18.0338.02.
• رودين، والتر (1987) [1966]، التحليل الحقيقي والمعقد (الطبعة الثالثة)، ماكجرو هيل ، ص. xiv+416، ISBN 978-0-07-054234-1، زبل  0925.00005.

• "نظرية موريرا"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• فايستين، إريك دبليو. “نظرية موريرا”. عالم الرياضيات .