الوضع العادي

في نظرية الموجات في الفيزياء والهندسة، يعتبر النمط في النظام الديناميكي حالة موجة مستقرة من الإثارة، حيث تتأثر جميع مكونات النظام بشكل جيبي عند تردد ثابت مرتبط بهذا النمط.

لأنه لا يمكن لأي نظام حقيقي أن يتناسب تمامًا مع إطار الموجة المستقرة، يتم اعتبار مفهوم النمط بمثابة توصيف عام لحالات التذبذب المحددة، وبالتالي يتم التعامل مع النظام الديناميكي بطريقة خطية ، حيث يمكن إجراء التراكب الخطي للحالات.

ومن الأمثلة النموذجية ما يلي:

• في النظام الديناميكي الميكانيكي، يعتبر الحبل المهتز أوضح مثال على نمط، حيث يكون الحبل هو الوسط، والإجهاد الواقع على الحبل هو الإثارة، وإزاحة الحبل بالنسبة لحالته الساكنة هي المتغير النمطي.
• في نظام ديناميكي صوتي، تعتبر درجة الصوت الواحدة نمطًا، حيث يكون الهواء هو الوسط، وضغط الصوت في الهواء هو الإثارة، وإزاحة جزيئات الهواء هي المتغير النمطي.
• في نظام ديناميكي هيكلي، يعتبر المبنى الشاهق المتذبذب تحت محوره الأكثر انحناءً نمطًا، حيث تكون جميع مواد المبنى - في ظل التبسيطات العددية المناسبة - هي الوسط، والضغوط الزلزالية/الرياح/البيئية هي الإثارات والإزاحات هي المتغير النمطي.
• في نظام ديناميكي كهربائي، يكون التجويف الرنيني المصنوع من جدران معدنية رقيقة، والذي يحيط بمساحة مجوفة، لمسرع الجسيمات، نظام موجة واقفة نقية، وبالتالي مثال على نمط، حيث تكون المساحة المجوفة للتجويف هي الوسط، ومصدر الترددات الراديوية ( كليسترون أو مصدر ترددات راديوية آخر) هو الإثارة، والمجال الكهرومغناطيسي هو المتغير النمطي.
• عند الحديث عن الموسيقى ، فإن الأنماط الطبيعية للآلات المهتزة (الأوتار، أنابيب الهواء، الطبول، إلخ) تسمى " النغمات التوافقية ".

كما يجد مفهوم الأنماط الطبيعية تطبيقًا في أنظمة ديناميكية أخرى، مثل البصريات ، وميكانيكا الكم ، وديناميكيات الغلاف الجوي ، وديناميكيات الجزيئات .

يمكن إثارة معظم الأنظمة الديناميكية في عدة أنماط، وربما في آن واحد. يتميز كل نمط بتردد واحد أو عدة ترددات، وفقًا لحقل المتغيرات النمطية. على سبيل المثال، يُعرَّف الحبل المهتز في الفضاء ثنائي الأبعاد بتردد واحد (إزاحة محورية أحادية البعد)، بينما يُعرَّف الحبل المهتز في الفضاء ثلاثي الأبعاد بترددين (إزاحة محورية ثنائية الأبعاد).

بالنسبة لسعة معينة على المتغير النمطي، سيخزن كل نمط كمية محددة من الطاقة بسبب الإثارة الجيبية.

سيكون الوضع الطبيعي أو السائد لنظام ذي أوضاع متعددة هو الوضع الذي يخزن الحد الأدنى من الطاقة لسعة معينة للمتغير الوضعي، أو بشكل مكافئ، بالنسبة لكمية معينة من الطاقة المخزنة، سيكون الوضع السائد هو الوضع الذي يفرض أقصى سعة للمتغير الوضعي.

يتميز نمط الاهتزاز بتردد نمطي وشكل نمطي. ويُرقم وفقًا لعدد أنصاف الموجات في الاهتزاز. على سبيل المثال، إذا أظهر عارضة مهتزة مثبتة الطرفين شكلًا نمطيًا لنصف موجة جيبية (قمة واحدة على العارضة المهتزة)، فإنها تهتز في النمط 1. أما إذا كان لها شكل موجة جيبية كاملة (قمة واحدة وقاع واحد)، فإنها تهتز في النمط 2.

في نظام ثنائي الأبعاد أو أكثر، كالقرص الموضح في الصورة، يُعطى كل بُعد رقم نمط. باستخدام الإحداثيات القطبية ، لدينا إحداثي قطري وإحداثي زاوي. عند القياس من المركز إلى الخارج على طول الإحداثي القطري، نلاحظ موجة كاملة، لذا فإن رقم النمط في الاتجاه القطري هو 2. أما الاتجاه الآخر فهو أكثر تعقيدًا، إذ يُؤخذ نصف القرص فقط في الاعتبار نظرًا لطبيعة اهتزاز القرص غير المتناظرة (أو ما يُسمى بالتناظر المائل ) في الاتجاه الزاوي. وبالتالي، عند القياس بزاوية 180° على طول الاتجاه الزاوي، نلاحظ نصف موجة، لذا فإن رقم النمط في الاتجاه الزاوي هو 1. إذن، رقم نمط النظام هو 2-1 أو 1-2، اعتمادًا على الإحداثي الذي يُعتبر "الأول" والإحداثي الذي يُعتبر "الثاني" (لذا من المهم دائمًا تحديد رقم النمط الذي يتوافق مع كل اتجاه إحداثي).

في الأنظمة الخطية، يكون كل نمط مستقلاً تماماً عن جميع الأنماط الأخرى. وبشكل عام، تتميز جميع الأنماط بترددات مختلفة (حيث تتميز الأنماط ذات الترددات المنخفضة بترددات أقل) وأشكال نمطية مختلفة.

في نظام أحادي البعد، عند نمط اهتزاز معين، توجد عقد، أو مواضع يكون فيها الإزاحة صفرًا دائمًا. تتوافق هذه العقد مع نقاط في شكل النمط حيث يكون شكل النمط صفرًا. وبما أن اهتزاز النظام يُعطى بضرب شكل النمط في دالة زمنية، فإن إزاحة نقاط العقد تظل صفرًا في جميع الأوقات.

عند توسيع هذه العقد إلى نظام ثنائي الأبعاد، تصبح خطوطًا يكون فيها الإزاحة دائمًا صفرًا. إذا شاهدت الرسوم المتحركة أعلاه، سترى دائرتين (إحداهما في منتصف المسافة تقريبًا بين الحافة والمركز، والأخرى على الحافة نفسها) وخطًا مستقيمًا ينصف القرص، حيث تكون الإزاحة قريبة من الصفر. في نظام مثالي، تساوي هذه الخطوط صفرًا تمامًا، كما هو موضح على اليمين.

لنفترض وجود جسمين متساويين (لا يتأثران بالجاذبية)، كتلة كل منهما m ، متصلين بثلاثة نوابض، لكل منها ثابت نابض k . يتم توصيلهما بالطريقة التالية، مما يشكل نظامًا متناظرًا فيزيائيًا:

حيث تكون نقاط الحافة ثابتة ولا يمكنها الحركة. لنفترض أن _x1 ( t ) يمثل الإزاحة الأفقية للكتلة اليسرى، و x2(t) يمثل _إزاحة الكتلة اليمنى .

باعتبار التسارع ( المشتقة الثانية لـ x ( t ) بالنسبة للزمن) هو${\textstyle {\ddot {x}}}$معادلات الحركة هي :

$${\displaystyle {\begin{aligned}m{\ddot {x}}_{1}&=-kx_{1}+k(x_{2}-x_{1})=-2kx_{1}+kx_{2}\\m{\ddot {x}}_{2}&=-kx_{2}+k(x_{1}-x_{2})=-2kx_{2}+kx_{1}\end{aligned}}}$$

بما أننا نتوقع حركة تذبذبية من النمط الطبيعي (حيث تكون ω هي نفسها لكلا الكتلتين)، فإننا نحاول:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}(t)&=A_{1}e^{i\omega t}\\x_{2}(t)&=A_{2}e^{i\omega t}\end{aligned}}}$$

وبإدخال هذه القيم في معادلات الحركة نحصل على:

$${\displaystyle {\begin{aligned}-\omega ^{2}mA_{1}e^{i\omega t}&=-2kA_{1}e^{i\omega t}+kA_{2}e^{i\omega t}\\-\omega ^{2}mA_{2}e^{i\omega t}&=kA_{1}e^{i\omega t}-2kA_{2}e^{i\omega t}\end{aligned}}}$$

وبحذف العامل الأسي (لأنه مشترك بين جميع الحدود) والتبسيط ينتج ما يلي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\omega ^{2}m-2k)A_{1}+kA_{2}&=0\\kA_{1}+(\omega ^{2}m-2k)A_{2}&=0\end{aligned}}}$$

وفي تمثيل المصفوفة :

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\omega ^{2}m-2k&k\\k&\omega ^{2}m-2k\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\end{pmatrix}}=0}$$

_{إذا كانت} المصفوفة على اليسار قابلة للعكس، فإن الحل الوحيد هو الحل التافه ( A1 , A2 ) = ( x1 _, x2 ) = (0, 0) . _{أما الحلول غير التافهة ،} فتُوجد لقيم ω التي تجعل المصفوفة على اليسار منفردة ؛ أي غير قابلة للعكس. ويترتب على ذلك أن محدد المصفوفة يجب أن يساوي صفرًا، لذا:

$${\displaystyle (\omega ^{2}m-2k)^{2}-k^{2}=0}$$

بحل المعادلة لإيجاد قيمة ω ، يكون الحلان الموجبان هما:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{1}&={\sqrt {\frac {k}{m}}}\\\omega _{2}&={\sqrt {\frac {3k}{m}}}\end{aligned}}}$$

بتعويض ω1 في المصفوفة وحل المعادلة لإيجاد (A1, A2 ) _، نحصل _على ( 1 , 1) _. وبتعويض ω2 نحصل على (1, -1) _. (هذه المتجهات هي متجهات ذاتية ، والترددات هي قيم ذاتية ).

الوضع الطبيعي الأول هو: $${\displaystyle {\vec {\eta }}_{1}={\begin{pmatrix}x_{1}^{1}(t)\\x_{2}^{1}(t)\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{1}t+\varphi _{1})}}$$

وهذا يتوافق مع تحرك الكتلتين في نفس الاتجاه وفي نفس الوقت. يُطلق على هذا النمط اسم النمط المتناظر عكسيًا.

الوضع الطبيعي الثاني هو:

$${\displaystyle {\vec {\eta }}_{2}={\begin{pmatrix}x_{1}^{2}(t)\\x_{2}^{2}(t)\end{pmatrix}}=c_{2}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{2}t+\varphi _{2})}}$$

يتوافق هذا مع تحرك الكتل في اتجاهين متعاكسين، بينما يظل مركز الكتلة ثابتًا. يُطلق على هذا النمط اسم النمط المتناظر.

الحل العام هو تراكب للأوضاع الطبيعية حيث يتم تحديد c ₁ و c ₂ و φ ₁ و φ ₂ من خلال الشروط الأولية للمسألة.

يمكن تعميم العملية الموضحة هنا وصياغتها باستخدام الشكلية الميكانيكية اللاغرانجية أو الميكانيكية الهاميلتونية .

الموجة المستقرة هي شكل مستمر من الأنماط الطبيعية. في الموجة المستقرة، تتذبذب جميع عناصر الفضاء (أي إحداثيات ( س ، ص ، ع ) ) بنفس التردد وبنفس الطور (تصل إلى نقطة التوازن معًا)، ولكن لكل منها سعة مختلفة.

الشكل العام للموجة المستقرة هو:

$${\displaystyle \Psi (t)=f(x,y,z)(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t))}$$

حيث يمثل f ( x , y , z ) اعتماد السعة على الموقع، و cos/sine هي التذبذبات في الوقت.

فيزيائيًا، تتشكل الموجات المستقرة من تداخل (تراكب) الموجات وانعكاساتها (مع أنه يمكن القول أيضًا بالعكس؛ أي أن الموجة المتحركة هي تراكب لموجات مستقرة). يحدد الشكل الهندسي للوسط نمط التداخل، وبالتالي يحدد شكل الموجة المستقرة f ( x , y , z ) . يُطلق على هذا التغير المكاني اسم النمط الطبيعي .

عادةً، في المسائل ذات الاعتماد المستمر على ( س ، ص ، ع )، لا يوجد عدد محدود أو منفرد من الأنماط الطبيعية، بل يوجد عدد لا نهائي منها. أما إذا كانت المسألة محدودة (أي مُعرَّفة على جزء محدود من الفضاء)، فيوجد عدد قابل للعد من الأنماط الطبيعية (عادةً ما يكون مرقمًا من ن = ١، ٢، ٣، ... ). وإذا كانت المسألة غير محدودة، فيوجد طيف متصل من الأنماط الطبيعية.

في أي مادة صلبة، عند أي درجة حرارة، لا تكون الجسيمات الأولية (مثل الذرات أو الجزيئات) ثابتة، بل تهتز حول مواقعها المتوسطة. في المواد العازلة، تُعزى قدرة المادة الصلبة على تخزين الطاقة الحرارية بشكل شبه كامل إلى هذه الاهتزازات. يمكن التنبؤ بالعديد من الخصائص الفيزيائية للمادة الصلبة (مثل معامل المرونة) بمعرفة ترددات اهتزاز الجسيمات. أبسط افتراض (لأينشتاين) هو أن جميع الجسيمات تتذبذب حول مواقعها المتوسطة بنفس التردد الطبيعي ν . وهذا يُعادل افتراض أن جميع الذرات تهتز بشكل مستقل بتردد ν . افترض أينشتاين أيضًا أن حالات الطاقة المسموح بها لهذه التذبذبات هي توافقيات، أو مضاعفات صحيحة لـ hν . يمكن وصف طيف أشكال الموجات رياضيًا باستخدام متسلسلة فورييه لتقلبات الكثافة الجيبية (أو الفونونات الحرارية ).

أدرك ديباي لاحقًا أن كل مذبذب مرتبط ارتباطًا وثيقًا بمذبذباته المجاورة في جميع الأوقات. وهكذا، باستبدال مذبذبات أينشتاين غير المترابطة بنفس العدد من المذبذبات المترابطة، ربط ديباي الاهتزازات المرنة لجسم صلب أحادي البعد بعدد أنماط الاهتزاز الخاصة رياضيًا لوتر مشدود (انظر الشكل). يُشار إلى النغمة النقية ذات التردد الأدنى بالنغمة الأساسية، وتُسمى مضاعفات هذا التردد بالنغمات التوافقية. خصص ديباي لأحد المذبذبات تردد الاهتزاز الأساسي للكتلة الصلبة بأكملها. وخصص للمذبذبات المتبقية ترددات التوافقيات لتلك النغمة الأساسية، مع تحديد أعلى هذه الترددات بحركة أصغر وحدة أساسية.

تُعدّ أنماط الاهتزاز الطبيعية للبلورة، بشكل عام، تراكباً للعديد من النغمات التوافقية، لكل منها سعة وطور مناسبان. أما الفونونات ذات الطول الموجي الأطول (التردد المنخفض) فهي تحديداً تلك الاهتزازات الصوتية التي تُؤخذ في الاعتبار في نظرية الصوت. يمكن لكل من الموجات الطولية والمستعرضة أن تنتشر عبر المواد الصلبة، بينما، بشكل عام، لا تدعم السوائل إلا الموجات الطولية.

في النمط الطولي ، يتطابق انزياح الجسيمات عن مواضع اتزانها مع اتجاه انتشار الموجة. وتُعرف الموجات الطولية الميكانيكية أيضاً بموجات الضغط . أما في الأنماط المستعرضة ، فتتحرك الجسيمات بشكل عمودي على اتجاه انتشار الموجة.

وفقًا لنظرية الكم، فإن متوسط ​​طاقة نمط الاهتزاز الطبيعي لمادة صلبة بلورية ذات تردد مميز ν هو:

$${\displaystyle E(\nu )={\frac {1}{2}}h\nu +{\frac {h\nu }{e^{h\nu /kT}-1}}}$$

يمثل الحد (1/2) hν " طاقة النقطة الصفرية "، أو الطاقة التي يمتلكها المذبذب عند الصفر المطلق. وتقترب E ( ν ) من القيمة الكلاسيكية kT عند درجات الحرارة العالية.

$${\displaystyle E(\nu )=kT\left[1+{\frac {1}{12}}\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)^{2}+O\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)^{4}+\cdots \right]}$$

بمعرفة الصيغة الديناميكية الحرارية،

$${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{N,V}={\frac {1}{T}}}$$

الإنتروبيا لكل نمط طبيعي هي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}S\left(\nu \right)&=\int _{0}^{T}{\frac {d}{dT}}E\left(\nu \right){\frac {dT}{T}}\\[10pt]&={\frac {E\left(\nu \right)}{T}}-k\log \left(1-e^{-{\frac {h\nu }{kT}}}\right)\end{aligned}}}$$

الطاقة الحرة هي:

$${\displaystyle F(\nu )=E-TS=kT\log \left(1-e^{-{\frac {h\nu }{kT}}}\right)}$$

والذي، بالنسبة لـ kT ≫ hν ، يميل إلى:

$${\displaystyle F(\nu )=kT\log \left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}$$

لحساب الطاقة الداخلية والحرارة النوعية، يجب معرفة عدد أنماط الاهتزاز الطبيعية بتردد يقع بين القيمتين ν و ν + dν . لنفترض أن هذا العدد هو f ( ν ) dν . بما أن العدد الإجمالي لأنماط الاهتزاز الطبيعية هو 3N ، فإن الدالة f ( ν ) تُعطى بالصيغة التالية:

$${\displaystyle \int f(\nu )\,d\nu =3N}$$

يتم إجراء التكامل على جميع ترددات البلورة. عندئذٍ، تُعطى الطاقة الداخلية U بالعلاقة التالية:

$${\displaystyle U=\int f(\nu )E(\nu )\,d\nu }$$