التفاعل بين الدوران والمدار

طاقة العزم المغناطيسي في مجال مغناطيسي تُعطى بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \Delta H=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} ,}$$ حيث μ هو العزم المغناطيسي للجسيم، و B هو المجال المغناطيسي الذي يتعرض له.

سنتناول المجال المغناطيسي أولاً. على الرغم من عدم وجود مجال مغناطيسي يؤثر على الإلكترون في إطار سكون النواة، إلا أنه يوجد مجال مغناطيسي في إطار سكون الإلكترون نفسه (انظر الكهرومغناطيسية الكلاسيكية والنسبية الخاصة ). وبإهمال كون هذا الإطار غير قصوري مؤقتًا ، نصل إلى المعادلة التالية: $${\displaystyle \mathbf {B} =-{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}},}$$ حيث v هي سرعة الإلكترون، و E هو المجال الكهربائي الذي يمر عبره. ^{[ أ ]} هنا، في الحد غير النسبي، نفترض أن عامل لورنتز${\displaystyle \gamma \backsimeq 1}$الآن نعلم أن المجال E شعاعي، لذا يمكننا إعادة كتابة${\textstyle \mathbf {E} =\left|E\right|{\frac {\mathbf {r} }{r}}}$ونعلم أيضاً أن زخم الإلكترون${\displaystyle \mathbf {p} =m_{\text{e}}\mathbf {v} }$. باستبدال هذه القيم وتغيير ترتيب الضرب الاتجاهي (باستخدام المتطابقة)${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =-\mathbf {B} \times \mathbf {A} }$) يعطي $${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {p} }{m_{\text{e}}c^{2}}}\left|{\frac {E}{r}}\right|.}$$

بعد ذلك، نعبر عن المجال الكهربائي على أنه تدرج الجهد الكهربائي${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V}$هنا نعتمد تقريب المجال المركزي ، أي أن الجهد الكهروستاتيكي متناظر كرويًا، وبالتالي فهو دالة لنصف القطر فقط. هذا التقريب دقيق للهيدروجين والأنظمة الشبيهة بالهيدروجين. الآن يمكننا القول أن $${\displaystyle |E|=\left|{\frac {\partial V}{\partial r}}\right|={\frac {1}{e}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}},}$$

أين${\displaystyle U=-eV}$هي طاقة الوضع للإلكترون في المجال المركزي، و e هي الشحنة الأولية . نتذكر الآن من الميكانيكا الكلاسيكية أن الزخم الزاوي للجسيم${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$وبجمع كل ذلك معًا، نحصل على $${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} .}$$

عند هذه النقطة، يكون B عددًا موجبًا مضروبًا في L ، مما يعني أن المجال المغناطيسي موازٍ للزخم الزاوي المداري للجسيم، والذي يكون بدوره عموديًا على سرعة الجسيم.

العزم المغناطيسي الدوراني للإلكترون هو $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{S}=-g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}{\frac {\mathbf {S} }{\hbar }},}$$ أين${\displaystyle \mathbf {S} }$هو متجه الدوران (أو الزخم الزاوي الذاتي)،${\displaystyle \mu _{\text{B}}}$هو مغنيتون بور ، و${\displaystyle g_{\text{s}}=2.0023...\approx 2}$هو عامل جي للدوران الإلكتروني . هنا${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$هو ثابت سالب مضروب في الدوران ، لذا فإن العزم المغناطيسي الدوراني يكون معاكساً للدوران.

يتكون جهد الدوران المداري من جزأين. يرتبط جزء لارمور بتفاعل العزم المغناطيسي الدوراني للإلكترون مع المجال المغناطيسي للنواة في الإطار المتحرك للإلكترون. أما المساهمة الثانية فتتعلق بترنح توماس .

طاقة تفاعل لارمور هي $${\displaystyle \Delta H_{\text{L}}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} .}$$

وباستبدال تعابير عزم الدوران المغناطيسي والمجال المغناطيسي في هذه المعادلة، نحصل على $${\displaystyle \Delta H_{\text{L}}={\frac {g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \approx {\frac {2\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .}$$

والآن علينا أن نأخذ في الاعتبار تصحيح توماس للمسار المنحني للإلكترون.

في عام 1926، أعاد ليويلين توماس حساب المسافة بين حالتي الثنائي في البنية الدقيقة للذرة باستخدام نظرية النسبية. ^{[ 2 ]} معدل ترنح توماس${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}}$يرتبط ذلك بالتردد الزاوي للحركة المدارية${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$لجزيء دوار كما يلي: ^{[ 3 ] [ 4 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}=-{\boldsymbol {\omega }}(\gamma -1),}$$ أين${\displaystyle \gamma }$هو عامل لورنتز للجسيم المتحرك. الهاميلتوني الذي ينتج عنه ترنح الدوران${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}}$يُعطى بواسطة $${\displaystyle \Delta H_{\text{T}}={\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}\cdot \mathbf {S} .}$$

إلى أول طلب في${\displaystyle (v/c)^{2}}$، نحصل $${\displaystyle \Delta H_{\text{T}}=-{\frac {\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .}$$

يأخذ جهد الدوران المداري الكلي في جهد كهرساكن خارجي الشكل التالي: $${\displaystyle \Delta H\equiv \Delta H_{\text{L}}+\Delta H_{\text{T}}={\frac {(g_{\text{s}}-1)\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \approx {\frac {\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .}$$ إن التأثير الصافي لترنح توماس هو انخفاض طاقة تفاعل لارمور بمعامل حوالي 1/2، والذي أصبح يُعرف باسم نصف توماس .

بفضل جميع التقريبات المذكورة أعلاه، يمكننا الآن تقييم إزاحة الطاقة التفصيلية في هذا النموذج. تجدر الإشارة إلى أن L _z و S _z لم تعد كميات محفوظة. على وجه الخصوص، نرغب في إيجاد أساس جديد يُقطّر كلاً من H ₀ (الهاميلتوني غير المضطرب) و Δ H. لمعرفة هذا الأساس، نُعرّف أولاً مؤثر الزخم الزاوي الكلي.$${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .}$$

بأخذ حاصل الضرب النقطي لهذا مع نفسه، نحصل على $${\displaystyle \mathbf {J} ^{2}=\mathbf {L} ^{2}+\mathbf {S} ^{2}+2\,\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }$$ (بما أن الخطين L و S يتنقلان)، وبالتالي $${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} ^{2}-\mathbf {L} ^{2}-\mathbf {S} ^{2}\right)}$$

يمكن إثبات أن المؤثرات الخمسة H₀ _و J₂ و L₂ و ^S₂ و Jₑ تتبادل فيما بينها ومع ΔH . لذا ، ^فإن الأساس الذي نبحث عنه هو الأساس الذاتي المتزامن لهذه _{المؤثرات} الخمسة (أي الأساس الذي تكون فيه جميع ^{المؤثرات} الخمسة قطرية). عناصر هذا الأساس لها الأعداد الكمية الخمسة التالية :${\displaystyle n}$(العدد الكمي الرئيسي)،${\displaystyle j}$(العدد الكمي للزخم الزاوي الكلي)،${\displaystyle \ell }$(العدد الكمي لعزم الدوران المداري)،${\displaystyle s}$(العدد الكمي المغزلي)، و${\displaystyle j_{z}}$( المكون z من الزخم الزاوي الكلي).

لتقييم الطاقات، نلاحظ أن $${\displaystyle \left\langle {\frac {1}{r^{3}}}\right\rangle ={\frac {2}{a^{3}n^{3}\;\ell (\ell +1)(2\ell +1)}}}$$ بالنسبة للدوال الموجية الهيدروجينية (هنا)${\displaystyle a=\hbar /(Z\alpha m_{\text{e}}c)}$هو نصف قطر بور مقسومًا على الشحنة النووية Z )؛ و $${\displaystyle \left\langle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \right\rangle ={\frac {1}{2}}{\big (}\langle \mathbf {J} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {L} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {S} ^{2}\rangle {\big )}={\frac {\hbar ^{2}}{2}}{\big (}j(j+1)-\ell (\ell +1)-s(s+1){\big )}.}$$

يمكننا الآن أن نقول ذلك $${\displaystyle \Delta E={\frac {\beta }{2}}{\big (}j(j+1)-\ell (\ell +1)-s(s+1){\big )},}$$ حيث يكون ثابت اقتران الدوران المداري $${\displaystyle \beta =\beta (n,l)=Z^{4}{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}^{2}{\frac {1}{n^{3}a_{0}^{3}\;\ell (\ell +1/2)(\ell +1)}}.}$$

للحصول على النتيجة النسبية الدقيقة، انظر حلول معادلة ديراك لذرة تشبه الهيدروجين .

يحسب الاشتقاق أعلاه طاقة التفاعل في الإطار المرجعي (اللحظي) للإلكترون، وفي هذا الإطار المرجعي يوجد مجال مغناطيسي غائب في الإطار المرجعي للنواة.

ثمة طريقة أخرى تتمثل في حسابها في إطار سكون النواة، انظر على سبيل المثال: جورج ب. فيشر: عزم ثنائي القطب الكهربائي لثنائي قطب مغناطيسي متحرك (1971). ^{[ 5 ]} ومع ذلك، يُتجنب أحيانًا حساب إطار السكون، لأنه يجب مراعاة الزخم الخفي . ^{[ 6 ]}

ستنقسم نطاقات الثقوب في أشباه الموصلات ثلاثية الأبعاد من نوع الزنك بليند بواسطة${\displaystyle \Delta _{0}}$إلى ثقوب ثقيلة وخفيفة (والتي تشكل${\displaystyle \Gamma _{8}}$أربعة توائم في${\displaystyle \Gamma }$نقطة منطقة بريلوين) ونطاق منفصل (${\displaystyle \Gamma _{7}}$ثنائي). بما في ذلك نطاقي توصيل (${\displaystyle \Gamma _{6}}$سترة مزدوجة في${\displaystyle \Gamma }$(نقطة)، يُوصف النظام بنموذج النطاقات الثمانية الفعال لكوهن ولوتينجر . إذا كان الجزء العلوي من نطاق التكافؤ فقط هو محل الاهتمام (على سبيل المثال عندما${\displaystyle E_{\text{F}}\ll \Delta _{0}}$(مستوى فيرمي مقاسًا من أعلى نطاق التكافؤ)، فإن النموذج الفعال المناسب ذو النطاقات الأربعة هو $${\displaystyle H_{\text{KL}}(k_{\text{x}},k_{\text{y}},k_{\text{z}})=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[\left(\gamma _{1}+{{\tfrac {5}{2}}\gamma _{2}}\right)k^{2}-2\gamma _{2}\left(J_{\text{x}}^{2}k_{\text{x}}^{2}+J_{\text{y}}^{2}k_{\text{y}}^{2}+J_{\text{z}}^{2}k_{\text{z}}^{2}\right)-2\gamma _{3}\sum _{m\neq n}J_{m}J_{n}k_{m}k_{n}\right]}$$ أين${\displaystyle \gamma _{1,2,3}}$هي معاملات لوتينجر (المماثلة للكتلة الفعالة المفردة لنموذج النطاق الواحد للإلكترونات) و${\displaystyle J_{{\text{x}},{\text{y}},{\text{z}}}}$هي مصفوفات الزخم الزاوي 3/2 (${\displaystyle m}$(كتلة الإلكترون الحر). وبالاقتران مع المغنطة، سيؤدي هذا النوع من تفاعل الدوران المداري إلى تشويه نطاقات الإلكترونات تبعًا لاتجاه المغنطة، مما يتسبب في تباين مغناطيسي بلوري (نوع خاص من التباين المغناطيسي ). وإذا افتقرت أشباه الموصلات إلى تناظر الانعكاس، فستُظهر نطاقات الثقوب انقسام دريسلهاوس المكعب. ضمن النطاقات الأربعة (الثقوب الخفيفة والثقيلة)، يكون الحد السائد هو $${\displaystyle H_{{\text{D}}3}=b_{41}^{8{\text{v}}8{\text{v}}}[(k_{\text{x}}k_{\text{y}}^{2}-k_{\text{x}}k_{\text{z}}^{2})J_{\text{x}}+(k_{\text{y}}k_{\text{z}}^{2}-k_{\text{y}}k_{\text{x}}^{2})J_{\text{y}}+(k_{\text{z}}k_{\text{x}}^{2}-k_{\text{z}}k_{\text{y}}^{2})J_{\text{z}}]}$$

حيث معلمة المادة${\displaystyle b_{41}^{8{\text{v}}8{\text{v}}}=-81.93\,{\text{meV}}\cdot {\text{nm}}^{3}}$بالنسبة لـ GaAs (انظر الصفحة  72 في كتاب وينكلر، وفقًا لبيانات أحدث، فإن ثابت دريسلهاوس في GaAs هو 9 إلكترون فولت/أنجستروم ^مكعب ؛ ^{[ 15 ]} سيكون الهاميلتوني الكلي هو${\displaystyle H_{\text{KL}}+H_{{\text{D}}3}}$سيخضع غاز الإلكترونات ثنائي الأبعاد في بئر كمومي غير متماثل (أو بنية غير متجانسة) لتفاعل راشبا . ويكون الهاميلتوني الفعال ثنائي النطاق المناسب هو $${\displaystyle H_{0}+H_{\text{R}}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}}\sigma _{0}+\alpha (k_{\text{y}}\sigma _{\text{x}}-k_{\text{x}}\sigma _{\text{y}})}$$ أين${\displaystyle \sigma _{0}}$هي مصفوفة الوحدة 2 × 2،${\displaystyle \sigma _{{\text{x}},{\text{y}}}}$مصفوفات باولي و${\displaystyle m^{*}}$الكتلة الفعالة للإلكترون. الجزء المتعلق بالدوران المداري من الهاميلتوني،${\displaystyle H_{\text{R}}}$يتم تحديدها بواسطة${\displaystyle \alpha }$، والتي تسمى أحيانًا بمعامل راشبا (يختلف تعريفها إلى حد ما)، وهي مرتبطة بعدم تناسق البنية.

التعبيرات المذكورة أعلاه لمصفوفات الدوران المقترنة بتفاعل الدوران المداري${\displaystyle \mathbf {J} }$و${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$إلى الزخم شبه الثابت${\displaystyle \mathbf {k} }$، وإلى الكمون الشعاعي${\displaystyle \mathbf {A} }$من خلال استبدال بايرلز لحقل كهربائي متناوب${\textstyle \mathbf {k} =-i\nabla -{\frac {e}{\hbar c}}\mathbf {A} }$وهي حدود من الرتبة الدنيا لنظرية الاضطراب k·p للوتينجر- كون بدلالة قوى${\displaystyle k}$. كما تُنتج الحدود التالية لهذا التوسع حدودًا تربط بين مؤثرات الدوران لإحداثيات الإلكترون${\displaystyle \mathbf {r} }$في الواقع، إنه ناتج ضربي${\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\times {\mathbf {k} })}$ثابت بالنسبة لانعكاس الزمن. في البلورات المكعبة، يتمتع بتناظر متجه ويكتسب معنى مساهمة الدوران المداري${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{\text{SO}}}$إلى عامل الإحداثيات. بالنسبة للإلكترونات في أشباه الموصلات ذات الفجوة الضيقة${\displaystyle E_{\rm {G}}}$بين نطاقات التوصيل ونطاقات الثقوب الثقيلة، اشتق يافيت المعادلة ^{[ 16 ] [ 17 ]}$${\displaystyle {\mathbf {r} }_{\text{SO}}={\frac {\hbar ^{2}g}{4m_{0}}}\left({\frac {1}{E_{\rm {G}}}}+{\frac {1}{E_{\rm {G}}+\Delta _{0}}}\right)({\boldsymbol {\sigma }}\times {\mathbf {k} })}$$ أين${\displaystyle m_{0}}$كتلة الإلكترون الحر، و${\displaystyle g}$هو${\displaystyle g}$تمت إعادة معايرة العامل بشكل صحيح لتفاعل الدوران المداري. يربط هذا العامل دوران الإلكترون${\displaystyle \mathbf {S} ={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}}$مباشرة إلى المجال الكهربائي${\displaystyle \mathbf {E} }$من خلال طاقة التفاعل${\displaystyle -e(\mathbf {r} _{\text{SO}}\cdot \mathbf {E} )}$.

رنين الدوران ثنائي القطب الكهربائي (EDSR) هو اقتران دوران الإلكترون مع مجال كهربائي متذبذب. على غرار رنين الدوران الإلكتروني (ESR)، حيث يمكن إثارة الإلكترونات بموجة كهرومغناطيسية ذات طاقة ناتجة عن تأثير زيمان ، يمكن تحقيق الرنين في EDSR إذا كان التردد مرتبطًا بانفصال نطاق الطاقة الناتج عن اقتران الدوران المداري في المواد الصلبة. بينما في ESR، يتم الحصول على الاقتران عبر الجزء المغناطيسي من الموجة الكهرومغناطيسية مع العزم المغناطيسي للإلكترون، فإن ESDR هو اقتران الجزء الكهربائي مع دوران وحركة الإلكترونات. وقد اقتُرحت هذه الآلية للتحكم في دوران الإلكترونات في النقاط الكمومية وغيرها من الأنظمة الميزوسكوبية . ^{[ 18 ]}