معادلة باولي

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 67 صور
الموسوعة الحرة

في ميكانيكا الكم ، تُعرف معادلة باولي ، أو معادلة شرودنغر-باولي، بأنها صياغة لمعادلة شرودنغر للجسيمات ذات اللف المغزلي 1/2 ، والتي تأخذ في الحسبان تفاعل اللف المغزلي للجسيم مع مجال كهرومغناطيسي خارجي . وهي تمثل الحد غير النسبي لمعادلة ديراك ، ويمكن استخدامها عندما تتحرك الجسيمات بسرعات أقل بكثير من سرعة الضوء ، بحيث يمكن إهمال التأثيرات النسبية. وقد صاغها فولفغانغ باولي عام 1927. [ 1 ] وتُعرف في صيغتها الخطية باسم معادلة ليفي-ليبلوند .

معادلة

بالنسبة لجسيم كتلتهم{\displaystyle m}والشحنة الكهربائيةq{\displaystyle q}، في مجال كهرومغناطيسي موصوف بواسطة الكمون الشعاعي المغناطيسيأ{\displaystyle \mathbf {A} }والجهد القياسي الكهربائيϕ{\displaystyle \phi }تنص معادلة باولي على ما يلي:

معادلة باولي (بشكل عام) 

[12م(σ⋅(ص^-qأ))2+qϕ]|ψ⟩=أناℏ∂∂ت|ψ⟩{\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }

هناσ=(σx،σy،σz){\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}يتم تجميع معاملات باولي في متجه واحد لتسهيل الاستخدام، و ص^=-أناℏ∇{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }يمثل عامل الزخم في تمثيل الموضع. حالة النظام،|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }(مكتوبة بصيغة ديراك )، يمكن اعتبارها دالة موجية سبينور ثنائية المكونات ، أو متجه عمودي (بعد اختيار الأساس):

|ψ⟩=ψ+|↑⟩+ψ-|↓⟩=⋅[ψ+ψ-]{\displaystyle |\psi \rangle =\psi _{+}|{\mathord {\uparrow }}\rangle +\psi _{-}|{\mathord {\downarrow }}\rangle \,{\stackrel {\cdot }{=}}\,{\begin{bmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{bmatrix}}}.

إن عامل هاميلتون هو مصفوفة 2 × 2 بسبب عوامل باولي .

ح^=12م[σ⋅(ص^-qأ)]2+qϕ{\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} )\right]^{2}+q\phi }

بالتعويض في معادلة شرودنغر، نحصل على معادلة باولي. هذا الهاميلتوني مشابه للهاميلتوني الكلاسيكي لجسيم مشحون يتفاعل مع مجال كهرومغناطيسي. انظر قوة لورنتز لمزيد من التفاصيل حول هذه الحالة الكلاسيكية. حد الطاقة الحركية لجسيم حر في غياب مجال كهرومغناطيسي هو ببساطة ص22م{\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}}أينص{\displaystyle \mathbf {p} } يمثل الزخم الحركي ، بينما في وجود مجال كهرومغناطيسي، فإنه ينطوي على الحد الأدنى من الاقتران.Π=ص-qأ{\displaystyle \mathbf {\Pi } =\mathbf {p} -q\mathbf {A} }أين الآنΠ{\displaystyle \mathbf {\Pi } }الزخم الحركي وص{\displaystyle \mathbf {p} }هو الزخم المتعارف عليه .

يمكن إزالة معاملات باولي من مصطلح الطاقة الحركية باستخدام متطابقة متجه باولي :

(σ⋅أ)(σ⋅ب)=أ⋅ب+أناσ⋅(أ×ب){\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)}

لاحظ أنه على عكس المتجه، فإن المؤثر التفاضليص^-qأ=-أناℏ∇-qأ{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }لها حاصل ضرب اتجاهي غير صفري مع نفسها. ويمكن ملاحظة ذلك من خلال النظر في حاصل الضرب الاتجاهي المطبق على دالة قياسية.ψ{\displaystyle \psi }:

[(ص^-qأ)×(ص^-qأ)]ψ=-q[ص^×(أψ)+أ×(ص^ψ)]=أناqℏ[∇×(أψ)+أ×(∇ψ)]=أناqℏ[ψ(∇×أ)-أ×(∇ψ)+أ×(∇ψ)]=أناqℏبψ{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)\times \left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)\right]\psi &=-q\left[\mathbf {\hat {p}} \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\mathbf {\hat {p}} \psi \right)\right]\\&=iq\hbar \left[\nabla \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]\\&=iq\hbar \يسار[\psi \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)-\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]=iq\hbar \mathbf {B} \psi \end{محاذاة}}}

أينب=∇×أ{\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }هو المجال المغناطيسي.

بالنسبة لمعادلة باولي الكاملة، نحصل بعد ذلك على [ 2 ]

معادلة باولي (الصيغة القياسية) 

ح^|ψ⟩=[12م[(ص^-qأ)2-qℏσ⋅ب]+qϕ]|ψ⟩=أناℏ∂∂ت|ψ⟩{\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =\left[{\frac {1}{2m}}\left[\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }

والتي لا يُعرف عنها سوى عدد قليل من النتائج التحليلية، على سبيل المثال، في سياق تكميم لاندو مع المجالات المغناطيسية المتجانسة أو بالنسبة لمجال مغناطيسي غير متجانس مثالي يشبه كولوم. [ 3 ]

المجالات المغناطيسية الضعيفة

في حالة كون المجال المغناطيسي ثابتًا ومتجانسًا، يمكن التوسع (ص^-qأ)2{\textstyle (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} )^{2}}باستخدام المقياس المتناظرأ^=12ب×ر^{\textstyle \mathbf {\hat {A}} ={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r}} }، أينر{\textstyle \mathbf {r} }هو عامل الموضع، و A هو الآن عامل. نحصل على

(ص^-qأ^)2=|ص^|2-q(ر^×ص^)⋅ب+14q2(|ب|2|ر^|2-|ب⋅ر^|2)≈ص^2-qل^⋅ب،{\displaystyle (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {\hat {A}} )^{2}=|\mathbf {\hat {p}} |^{2}-q(\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\hat {p}} )\cdot \mathbf {B} +{\frac {1}{4}}q^{2}\left(|\mathbf {B} |^{2}|\mathbf {\hat {r}} |^{2}-|\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {r}} |^{2}\right)\approx \mathbf {\hat {p}} ^{2}-q\mathbf {\hat {L}} \cdot \mathbf {B} \,,}

أينل^{\textstyle \mathbf {\hat {L}} }يمثل عامل الزخم الزاوي للجسيم ، وقد أهملنا الحدود المتعلقة بمربع المجال المغناطيسي.ب2{\textstyle B^{2}}وبالتالي، نحصل على

معادلة باولي (المجالات المغناطيسية الضعيفة) 

[12م[|ص^|2-q(ل^+2S^)⋅ب]+qϕ]|ψ⟩=أناℏ∂∂ت|ψ⟩{\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}\left[|\mathbf {\hat {p}} |^{2}-q(\mathbf {\hat {L}} +2\mathbf {\hat {S}} )\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }

أين S=ℏσ/2{\textstyle \mathbf {S} =\hbar {\boldsymbol {\sigma }}/2}يمثل عزم الدوران للجسيم. يُعرف العامل 2 أمام عزم الدوران بعامل ديراك g . المصطلح فيب{\textstyle \mathbf {B} }، يكون على شكل-μ⋅ب{\textstyle -{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }وهو التفاعل المعتاد بين العزم المغناطيسيμ{\textstyle {\boldsymbol {\mu }}}ومجال مغناطيسي، كما هو الحال في تأثير زيمان .

بالنسبة للإلكترون ذي الشحنة-هـ{\textstyle -e}في مجال مغناطيسي ثابت ومتناحٍ، يمكن للمرء أن يبسط المعادلة أكثر باستخدام الزخم الزاوي الكليج=ل+S{\textstyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }ونظرية ويغنر -إيكارت . وهكذا نجد

[|ص|22م+μبزجمج|ب|-هـϕ]|ψ⟩=أناℏ∂∂ت|ψ⟩{\displaystyle \left[{\frac {|\mathbf {p} |^{2}}{2m}}+\mu _{\rm {B}}g_{J}m_{j}|\mathbf {B} |-e\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }

أينμب=هـℏ2م{\textstyle \mu _{\rm {B}}={\frac {e\hbar }{2m}}}هو مغنطون بور ومج{\textstyle m_{j}}هل يرتبط العدد الكمي المغناطيسي بـج{\textstyle \mathbf {J} }. على المدىزج{\textstyle g_{J}}يُعرف هذا باسم عامل لاندي g ، ويُعطى هنا بواسطة

زج=32+34-ℓ(ℓ+1)2ج(ج+1)،{\displaystyle g_{J}={\frac {3}{2}}+{\frac {{\frac {3}{4}}-\ell (\ell +1)}{2j(j+1)}},}[ أ ]

أينℓ{\displaystyle \ell }هو العدد الكمي المداري المرتبط بـل2{\displaystyle L^{2}}وج{\displaystyle j}يمثل العدد الكمي المداري الكلي المرتبط بـج2{\displaystyle J^{2}}.

من معادلة ديراك

يمكن استنتاج معادلة باولي من الحد غير النسبي لمعادلة ديراك ، وهي معادلة الحركة الكمومية النسبية للجسيمات ذات اللف المغزلي 1/2. [ 4 ]

الاشتقاق

يمكن كتابة معادلة ديراك على النحو التالي: أناℏ∂ت(ψ1ψ2)=ج(σ⋅Πψ2σ⋅Πψ1)+qϕ(ψ1ψ2)+مج2(ψ1-ψ2)،{\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=c\,{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{2}\\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{1}\end{pmatrix}}+q\,\phi \,{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}+mc^{2}\,{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\-\psi _{2}\end{pmatrix}},}

أين∂ت=∂∂ت{\textstyle \partial _{t}={\frac {\partial }{\partial t}}}وψ1،ψ2{\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}}هي عبارة عن سبينورات ثنائية المكونات ، تشكل سبينور ديراك .

باستخدام الفرضية التالية: (ψ1ψ2)=هـ-أنامج2تℏ(ψχ)،{\displaystyle {\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=e^{-i{\tfrac {mc^{2}t}{\hbar }}}{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}},} مع اثنين من الدوارات الجديدةψ،χ{\displaystyle \psi ,\chi }تصبح المعادلة أناℏ∂ت(ψχ)=ج(σ⋅Πχσ⋅Πψ)+qϕ(ψχ)+(0-2مج2χ).{\displaystyle i\hbar \partial _{t}{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}}=c\,{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\chi \\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi \end{pmatrix}}+q\,\phi \,{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-2\,mc^{2}\,\chi \end{pmatrix}}.}

في حالة عدم النسبية،∂تχ{\displaystyle \partial _{t}\chi }وتكون الطاقات الحركية والكهروستاتيكية صغيرة مقارنة بطاقة السكون.مج2{\displaystyle mc^{2}}مما يؤدي إلى معادلة ليفي-ليبلوند . [ 5 ] وبالتاليχ≈σ⋅Πψ2مج.{\displaystyle \chi \approx {\frac {{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi }{2\,mc}}\,.}

بإدخالها في الجزء العلوي من معادلة ديراك، نحصل على معادلة باولي (الصيغة العامة): أناℏ∂تψ=[(σ⋅Π)22م+qϕ]ψ.{\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}\,\psi =\left[{\frac {({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }})^{2}}{2\,m}}+q\,\phi \right]\psi .}

من تحويل فولدي-ووثويسن

يُستنتج الاشتقاق الدقيق لمعادلة باولي من معادلة ديراك في مجال خارجي، وذلك بإجراء تحويل فولدي-ووثويسن [ 4 ] مع مراعاة الحدود حتى الرتبة يا(1/مج){\displaystyle {\mathcal {O}}(1/mc)}وبالمثل، يمكن تحديد تصحيحات الرتبة الأعلى لمعادلة باولي، مما يؤدي إلى ظهور حدود تفاعل الدوران المداري وتفاعل داروين ، عند التوسع حتى الرتبةيا(1/(مج)2){\displaystyle {\mathcal {O}}(1/(mc)^{2})}بدلاً من ذلك. [ 6 ]

وصلة باولي

تُشتق معادلة باولي باشتراط اقتران أدنى ، مما يُعطي عامل g يساوي 2. تمتلك معظم الجسيمات الأولية عوامل g شاذة ، تختلف عن 2. في مجال نظرية الحقل الكمومي النسبية ، يُعرَّف اقتران غير أدنى، يُسمى أحيانًا اقتران باولي، لإضافة عامل شاذ.

γμصμ→γμصμ-qγμأμ+أσμνFμν{\displaystyle \gamma ^{\mu }p_{\mu }\to \gamma ^{\mu }p_{\mu }-q\gamma ^{\mu }A_{\mu }+a\sigma _{\mu \nu }F^{\mu \nu }}

أينصμ{\displaystyle p_{\mu }}هو عامل الزخم الرباعي ،أμ{\displaystyle A_{\mu }}هو الجهد الكهرومغناطيسي الرباعي ،أ{\displaystyle a}يتناسب مع عزم ثنائي القطب المغناطيسي الشاذ ،Fμν=∂μأν-∂νأμ{\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}هو موتر الكهرومغناطيسية ، وσμν=أنا2[γμ،γν]{\textstyle \sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]}هي مصفوفات الدوران اللورنتزية ومبدل مصفوفات غاماγμ{\displaystyle \gamma ^{\mu }}[ 7 ] [ 8 ] في سياق ميكانيكا الكم غير النسبية، بدلاً من العمل مع معادلة شرودنغر، فإن اقتران باولي يعادل استخدام معادلة باولي (أو افتراض طاقة زيمان ) لعامل g عشوائي .

انظر أيضاً

الحواشي

  1. ↑ الصيغة المستخدمة هنا خاصة بجسيم ذي لف مغزلي يساوي 1/2، ولهعامل gزS=2{\textstyle g_{S}=2}وعامل جي المداريزل=1{\textstyle g_{L}=1}وبشكل أعم، يتم التعبير عنه بالصيغة التالية:زج=32+مs(مs+1)-ℓ(ℓ+1)2ج(ج+1).{\displaystyle g_{J}={\frac {3}{2}}+{\frac {m_{s}(m_{s}+1)-\ell (\ell +1)}{2j(j+1)}}.}أينمs{\displaystyle m_{s}}هل يرتبط العدد الكمي المغزلي بـS^{\displaystyle {\hat {S}}}.

مراجع

  1. ^ باولي ، وولفجانج (1927). "Zur Quantenmechanik des Magnetischen Elektrons" . Zeitschrift für Physik (باللغة الألمانية). 43 ( 9– 10): 601– 623. بيب كود : 1927ZPhy...43..601P . دوى : 10.1007/BF01397326 . ISSN 0044-3328 . S2CID 128228729 .  
  2. ↑ برانسدن، ب.هـ؛ جواكين، س.ج. (1983). فيزياء الذرات والجزيئات ( الطبعة الأولى). برنتيس هول. ص 638. ISBN   0-582-44401-2.
  3. ↑ سيدلر، دومينيك؛ روكاي، فاسيل؛ روغينثالر، مايكل؛ روبيو، أنجيل (2022-10-26). "فئة من مستويات لاندو المشوهة وأطوار هول في غاز إلكتروني ثنائي الأبعاد خاضع لحقل مغناطيسي غير متجانس" . مجلة Physical Review Research . 4 (4) 043059. Bibcode : 2022PhRvR...4d3059S . doi : 10.1103/PhysRevResearch.4.043059 . hdl : 10810/58724 . ISSN 2643-1564 . S2CID 253175195 .  
  4. 1 2 غرينر، والتر (2012-12-06). ميكانيكا الكم النسبية: معادلات الموجة . سبرينغر. ISBN 978-3-642-88082-7.
  5. ↑ غرينر، والتر (4 أكتوبر 2000). ميكانيكا الكم: مقدمة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-3-540-67458-0.
  6. ↑ فروليش، يورغ؛ ستودر، أوربان م. (1993-07-01). "ثبات القياس وجبر التيار في نظرية الأجسام المتعددة غير النسبية" . مراجعات الفيزياء الحديثة . 65 (3): 733-802 . Bibcode : 1993RvMP...65..733F . doi : 10.1103/RevModPhys.65.733 . ISSN 0034-6861 . 
  7. ↑ داس، أشوك (2008). محاضرات في نظرية الحقل الكمومي . وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-283-287-0.
  8. ↑ باروت، أ.و.؛ ماك إيوان، ج. (يناير 1986). "الحالات الأربع للنيوترينو عديم الكتلة مع اقتران باولي بواسطة ثبات مقياس الدوران" . رسائل في الفيزياء الرياضية . 11 (1): 67-72 . Bibcode : 1986LMaPh..11...67B . doi : 10.1007/BF00417466 . ISSN 0377-9017 . S2CID 120901078 .  

الكتب

  • شوبل، فرانز (2004). الميكانيكا الكمية أنا . سبرينغر. رقم ISBN 978-3-540-43106-0.
  • شوبل، فرانز (2005). Quantenmechanik für Fortgeschrittene . سبرينغر. رقم ISBN 978-3-540-25904-6.
  • كلود كوهين تنودجي؛ برنارد ديو؛ فرانك لالو (2006). ميكانيكا الكم 2 . وايلي، J. ISBN 978-0-471-56952-7.