تقسيم الأعداد الصحيحة

في نظرية الأعداد والتوافقية ، يُعرف تقسيم العدد الصحيح غير السالب n، أو تقسيم الأعداد الصحيحة $،$ بأنه طريقة لكتابة $n$ كمجموع أعداد صحيحة موجبة . يُعتبر مجموعان يختلفان فقط في ترتيب حدودهما تقسيمًا واحدًا. (إذا كان الترتيب مهمًا، يصبح المجموع تركيبًا ). على سبيل المثال، يمكن تقسيم $العدد 4$ بخمس طرق مختلفة:

4

3 + 1

2 + 2

2 + 1 + 1

1 + 1 + 1 + 1

التقسيم الوحيد للصفر هو المجموع الفارغ، الذي لا يحتوي على أجزاء.

التركيب المعتمد على الترتيب $1 + 3$ هو نفس التقسيم مثل $3 + 1$ ، والتركيبان المتميزان $1 + 2 + 1$ و $1 + 1 + 2$ يمثلان نفس التقسيم مثل $2 + 1 + 1$ .

يُسمى كل حد في التقسيم جزءًا . يُعطى عدد تقسيمات العدد $n$ بدالة التقسيم $p (n)$ . لذا ، $p (4) = 5.$ ويعني الرمز $λ ⊢ n أن$ $λ$ تقسيم للعدد $n$ .

يمكن تمثيل التقسيمات بيانياً باستخدام مخططات يونغ أو مخططات فيريرز . وتظهر هذه التقسيمات في عدد من فروع الرياضيات والفيزياء ، بما في ذلك دراسة كثيرات الحدود المتناظرة والمجموعة المتناظرة ، وفي نظرية تمثيل المجموعات بشكل عام.

أمثلة

الأقسام السبعة للعدد 5 هي

5
4 + 1
3 + 2
3 + 1 + 1
2 + 2 + 1
2 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1

يتعامل بعض المؤلفين مع التقسيم على أنه سلسلة غير متزايدة من الحدود، بدلاً من كونه تعبيراً يحتوي على علامات جمع. على سبيل المثال، يمكن كتابة التقسيم 2 + 2 + 1 على شكل المجموعة $(2، 2، 1)$ أو بالشكل الأكثر اختصاراً $(2$ $2$ $, 1)$ حيث يشير الرقم العلوي إلى عدد مرات تكرار جزء معين.

يمكن كتابة رمز التعددية هذا للتقسيم بشكل بديل على النحو التالي $1^{m_{1}}2^{m_{2}}3^{m_{3}}\cdots$ حيث يمثل $m1$ عدد الآحاد، ويمثل $m2$ عدد الآحاد، وهكذا. (يمكن حذف المكونات التي يكون فيها $m1 = 0$ ). على سبيل المثال، في هذه الصيغة، تُكتب تجزئات العدد 5 على $النحو$ $التالي$ $:$ $5^{1},1^{1}4^{1},2^{1}3^{1},1^{2}3^{1},1^{1}2^{2},1^{3}2^{1}$ ، و $1^{5}$ .

تمثيلات تخطيطية للتقسيمات

توجد طريقتان شائعتان لتمثيل التقسيمات باستخدام الرسوم البيانية: رسوم فيريرز البيانية، نسبةً إلى نورمان ماكلويد فيريرز ، ورسوم يونغ البيانية، نسبةً إلى ألفريد يونغ . ولكلتا الطريقتين عدة اصطلاحات ممكنة؛ هنا، نستخدم الترميز الإنجليزي ، مع محاذاة الرسوم البيانية في الزاوية العلوية اليسرى.

مخطط فيريرز

يمكن تمثيل تقسيم العدد 14 إلى 6 + 4 + 3 + 1 بالرسم التخطيطي التالي:

تُرتب الدوائر الأربع عشرة في أربعة صفوف، كل منها بحجم جزء من التقسيم. وتُعرض أدناه الرسوم البيانية لتقسيمات العدد 4 الخمسة:


4	=	3 + 1	=	2 + 2	=	2 + 1 + 1	=	1 + 1 + 1 + 1

مخطط يونغ

يُعد مخطط يونغ (ويُسمى أيضًا مخطط فيريرز) تمثيلًا مرئيًا بديلًا لتقسيم الأعداد الصحيحة . فبدلًا من تمثيل التقسيم بالنقاط، كما في مخطط فيريرز، يستخدم مخطط يونغ مربعات أو مربعات. وبالتالي، فإن مخطط يونغ للتقسيم 5 + 4 + 1 هو

بينما يكون مخطط فيريرز لنفس التقسيم هو

على الرغم من أن هذا التباين البسيط ظاهريًا لا يستحق الذكر بشكل منفصل، إلا أن مخططات يونغ تُعدّ مفيدة للغاية في دراسة الدوال المتناظرة ونظرية تمثيل الزمر : فملء مربعات مخططات يونغ بأعداد (أو أحيانًا بأشكال أكثر تعقيدًا) تخضع لقواعد مختلفة يؤدي إلى مجموعة من الأشكال تُسمى جداول يونغ ، وهذه الجداول لها أهمية في التوافقية ونظرية التمثيل. ^{[ 1 ]} وباعتبارها نوعًا من الأشكال المكونة من مربعات متجاورة متصلة ببعضها، فإن مخططات يونغ هي نوع خاص من متعددات الأشكال . ^{[ 2 ]}

دالة التقسيم

دالة التقسيم $p(n)$ يحسب تقسيمات عدد صحيح غير سالب $n$ . على سبيل المثال، $p(4)=5$ لأن العدد الصحيح $4$ يحتوي على الأقسام الخمسة $1+1+1+1$ ، $1+1+2$ ، $1+3$ ، $2+2$ ، و $4$ قيم هذه الدالة لـ $n=0,1,2,\dots$ نكون:

1، 1، 2، 3، 5، 7، 11، 15، 22، 30، 42، 56، 77، 101، 135، 176، 231، 297، 385، 490، 627، 792، 1002، 1255، 1575، 1958، 2436، 3010، 3718، 4565، 5604، ... (التسلسل A000041 في OEIS ) .

الدالة المولدة لـ $p$ يكون

\sum _{n=0}^{\infty }p(n)q^{n}=\prod _{j=1}^{\infty }\sum _{i=0}^{\infty }q^{ji}=\prod _{j=1}^{\infty }(1-q^{j})^{-1}.

لا توجد صيغة مغلقة معروفة لدالة التقسيم، ولكن لها متسلسلات تقاربها بدقة، وعلاقات تكرارية يمكن من خلالها حسابها بدقة. وهي تنمو كدالة أسية للجذر التربيعي لمتغيرها ، [ ³^]^كما يلي:

p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}\exp \left({\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}\right)

مثل

n\to \infty

في عام 1937، وجد هانز رادماخر طريقة لتمثيل دالة التقسيم $p(n)$ بواسطة المتسلسلة المتقاربة

$p(n)={\frac {1}{\pi {\sqrt {2}}}}\sum _{k=1}^{\infty }A_{k}(n){\sqrt {k}}\cdot {\frac {d}{dn}}\left({{\frac {1}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}\sinh \left[{{\frac {\pi }{k}}{\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}}\,\,\,\right]}\right)$ أين

$A_{k}(n)=\sum _{0\leq m<k,\;(m,k)=1}e^{\pi i\left(s(m,k)-2nm/k\right)}.$ و $s(m,k)$ هو مجموع ديديكيند .

المعكوس الضربي لدالة توليدها هو دالة أويلر ؛ وبحسب نظرية أويلر للأعداد الخماسية، فإن هذه الدالة هي مجموع متناوب لقوى الأعداد الخماسية لوسيطها.

p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots

اكتشف سرينيفاسا رامانوجان أن دالة التقسيم لها أنماط غير تافهة في الحساب النمطي ، والمعروفة الآن باسم تطابقات رامانوجان . على سبيل المثال، كلما كان التمثيل العشري لـ $n$ ينتهي بالرقم 4 أو 9، وهو عدد أقسام $n$ سيكون قابلاً للقسمة على 5. ^{[ 4 ]}

الأقسام المقيدة

في كل من علم التوافيق ونظرية الأعداد، تُدرس عائلات التقسيمات الخاضعة لقيود مختلفة بشكل متكرر. ^{[ 5 ]} يستعرض هذا القسم بعضًا من هذه القيود.

التقسيمات المترافقة والتقسيمات المترافقة ذاتيًا

إذا قلبنا مخطط التقسيم 6 + 4 + 3 + 1 على طول قطره الرئيسي ، فسنحصل على تقسيم آخر للعدد 14:

	↔
6 + 4 + 3 + 1	=	4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1

بتحويل الصفوف إلى أعمدة، نحصل على التقسيم 4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1 للعدد 14. يُقال إن هذه التقسيمات مترافقة . ^{[ 6 ]} في حالة العدد 4، يُعدّ التقسيمان 4 و1 + 1 + 1 + 1 زوجين مترافقين، كما أن التقسيمين 3 + 1 و2 + 1 + 1 مترافقان. ومن التقسيمات ذات الأهمية الخاصة، التقسيم 2 + 2، الذي يكون له نفس التقسيم مترافقًا. يُقال إن هذه التقسيمات مترافقة ذاتيًا . ^{[ 7 ]}

الادعاء : عدد التقسيمات المترافقة ذاتيًا هو نفسه عدد التقسيمات ذات الأجزاء الفردية المتميزة.

البرهان (مخطط) : الملاحظة الأساسية هي أنه يمكن " طي " كل جزء فردي في المنتصف لتشكيل مخطط مترافق ذاتيًا:

↔

يمكن للمرء بعد ذلك الحصول على تقابل بين مجموعة التقسيمات ذات الأجزاء الفردية المتميزة ومجموعة التقسيمات المترافقة ذاتيًا، كما هو موضح في المثال التالي:

	↔
9 + 7 + 3	=	5 + 5 + 4 + 3 + 2
المنطقة الفردية		الاقتران الذاتي

أجزاء غريبة وأجزاء مميزة

من بين 22 قسمة للعدد 8، هناك 6 أقسام تحتوي على أجزاء فردية فقط :

7 + 1
5 + 3
5 + 1 + 1 + 1
3 + 3 + 1 + 1
3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

بدلاً من ذلك، يمكننا حساب التقسيمات التي لا يتكرر فيها أي رقم أكثر من مرة. يُسمى هذا النوع من التقسيمات تقسيمًا ذا أجزاء مميزة . إذا قمنا بحساب تقسيمات العدد 8 ذات الأجزاء المميزة، فسنحصل أيضًا على 6.

8
7 + 1
6 + 2
5 + 3
5 + 2 + 1
4 + 3 + 1

هذه خاصية عامة. لكل عدد موجب، يساوي عدد التقسيمات ذات الأجزاء الفردية عدد التقسيمات ذات الأجزاء المتميزة، ويرمز لها بـ q ( n ). ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} وقد أثبت ليونارد أويلر هذه النتيجة عام 1748 ^{[ 10 ]} ، ثم عُممت لاحقًا في نظرية غلايشر .

لكل نوع من أنواع التقسيم المقيد، توجد دالة مقابلة لعدد التقسيمات التي تحقق القيد المحدد. ومن الأمثلة المهمة على ذلك دالة q ( n ) (التقسيمات إلى أجزاء متميزة). القيم القليلة الأولى لـ q ( n ) هي (بدءًا من q (0)=1):

1، 1، 1، 2، 2، 3، 4، 5، 6، 8، 10، ... (التسلسل A000009 في OEIS ) .

الدالة المولدة لـ q ( n ) معطاة بواسطة ^{[ 11 ]}

\sum _{n=0}^{\infty }q(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }(1+x^{k})=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2k-1}}}.

تعطي نظرية العدد الخماسي علاقة تكرارية لـ q : ^{[ 12 ]}

q ( k ) = ak + _q ( k - 1) + q ( k - 2) - q ( k - 5) - q ( k - 7 ) + q ( k - 12) + q ( k - 15) - q ( k - 22) - ...

حيث _{يكون k} هو ( − 1) ^m إذا كان k = 3 m ²− m لعدد صحيح m ويكون 0 خلاف ذلك.

حجم أو عدد محدود من الأجزاء

بأخذ المرافقات، يكون عدد تقسيمات العدد $n$ إلى k أجزاء بالضبط ، $p k (n)$ مساويًا لعدد تقسيمات العدد $n$ التي يكون فيها أكبر جزء بحجم $k$ . تحقق الدالة $p$ $k$ $($ $n$ $)$ العلاقة التكرارية التالية:

p k (n) = p k (n - k) + p k -1 (n - 1)

بقيم ابتدائية $p 0 (0) = 1$ و $p k (n) = 0$ إذا كان $n \leq 0 أو k \leq 0$ و $n$ و $k$ ليسا كلاهما صفرًا. ^{[ 13 ]}

يمكن استعادة الدالة p ( n ) عن طريق

p(n)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}(n).

إحدى الدوال المولدة المحتملة لمثل هذه التقسيمات، مع اعتبار k ثابتًا و n متغيرًا، هي

\sum _{n\geq 0}p_{k}(n)x^{n}=x^{k}\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-x^{i}}}.

بشكل أعم، إذا كانت T مجموعة من الأعداد الصحيحة الموجبة، فإن عدد تجزئات n التي تنتمي جميع أجزائها إلى T ، له دالة مولدة

\prod _{t\in T}(1-x^{t})^{-1}.

يمكن استخدام هذا لحل مسائل صرف العملات (حيث تحدد المجموعة T العملات المتاحة). في حالتين خاصتين، يكون عدد تقسيمات n التي تكون جميع أجزائها إما 1 أو 2 (أو، بصورة مكافئة، عدد تقسيمات n إلى 1 أو 2 جزء) هو

\left\lfloor {\frac {n}{2}}+1\right\rfloor ,

وعدد تقسيمات n التي تكون فيها جميع الأجزاء 1 أو 2 أو 3 (أو، بشكل مكافئ، عدد تقسيمات n إلى ثلاثة أجزاء على الأكثر) هو أقرب عدد صحيح إلى ( n + 3) ² / 12. ^{[ 14 ]}

تقسيمات في مستطيل ومعاملات ذات الحدين الغاوسي

يمكن أيضًا تحديد عدد الأجزاء وحجمها في آنٍ واحد. لنفترض أن $p (N, M; n)$ يُمثل عدد تجزئات $n التي تحتوي على$ $M$ جزءًا على الأكثر ، وحجم كل جزء منها $N$ على الأكثر . وبصورة مكافئة، هذه هي التجزئات التي يقع مخطط يونغ الخاص بها داخل مستطيل $M \times N.$ توجد علاقة تكرارية $p(N,M;n)=p(N,M-1;n)+p(N-1,M;n-M)$ تم الحصول عليها من خلال ملاحظة أن $p(N,M;n)-p(N,M-1;n)$ يحسب تقسيمات $n إلى$ $M$ أجزاء بالضبط بحجم $N$ على الأكثر ، وطرح 1 من كل جزء من هذا التقسيم ينتج عنه تقسيم $n - M$ $إلى M$ أجزاء على الأكثر . ^{[ 15 ]}

يُعرَّف معامل التوزيع الثنائي الغاوسي على النحو التالي: ${k+\ell \choose \ell }_{q}={k+\ell \choose k}_{q}={\frac {\prod _{j=1}^{k+\ell }(1-q^{j})}{\prod _{j=1}^{k}(1-q^{j})\prod _{j=1}^{\ell }(1-q^{j})}}.$ يرتبط معامل التوزيع الثنائي الغاوسي بالدالة المولدة لـ $p (N, M; n)$ من خلال المساواة $\sum _{n=0}^{MN}p(N,M;n)q^{n}={M+N \choose M}_{q}.$

ساحة رانك ودورفي

رتبة التقسيم هي أكبر عدد k بحيث يحتوي التقسيم على k جزءًا على الأقل ، حجم كل جزء منها k على الأقل . على سبيل المثال، التقسيم 4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1 له رتبة 3 لأنه يحتوي على 3 أجزاء حجمها ≥ 3، ولكنه لا يحتوي على 4 أجزاء حجمها ≥ 4. في مخطط فيريرز أو مخطط يونغ لتقسيم رتبته r ، يُعرف مربع المدخلات في الزاوية العلوية اليسرى، والذي أبعاده r × r، بمربع دورفي .

يُستخدم مربع دورفي في علم التوافيق في إثباتات متطابقات التقسيم المختلفة. ^{[ 16 ]} كما أن له أهمية عملية تتمثل في مؤشر h .

يُطلق أحيانًا على إحصائية مختلفة اسم رتبة التقسيم (أو رتبة دايسون)، وهي الفرق $\lambda _{k}-k$ لتقسيم إلى k أجزاء مع الجزء الأكبر $\lambda _{k}$ تظهر هذه الإحصائية (التي لا علاقة لها بتلك المذكورة أعلاه) في دراسة توافقات رامانوجان .

شبكة يونغ

يوجد ترتيب جزئي طبيعي على التقسيمات يُعطى بتضمين مخططات يونغ. تُعرف هذه المجموعة المرتبة جزئيًا باسم شبكة يونغ . عُرّفت الشبكة في الأصل في سياق نظرية التمثيل ، حيث تُستخدم لوصف التمثيلات غير القابلة للاختزال للمجموعات المتناظرة S<sub> _n</sub> لجميع قيم n ، بالإضافة إلى خصائص تفرعها، في خاصية الصفر. كما حظيت بدراسة معمقة لخصائصها التوافقية البحتة؛ ولا سيما أنها المثال المحفز لمجموعة جزئية مرتبة تفاضلية .

تقسيمات عشوائية

توجد نظرية عميقة للتقسيمات العشوائية المختارة وفقًا لتوزيع الاحتمال المنتظم على المجموعة المتناظرة عبر تناظر روبنسون-شينستيد . في عام 1977، بيّن كلٌّ من لوغان وشيب، وفيرشيك وكيروف، أن مخطط يونغ لتقسيم كبير نموذجي يقترب تقاربًا مقاربًا من رسم بياني لدالة تحليلية معينة تُصغّر دالة وظيفية معينة. في عام 1988، وسّع بايك وديفت وجوهانسون هذه النتائج لتحديد توزيع أطول متتالية فرعية متزايدة لتبديل عشوائي بدلالة توزيع تريسي-ويدوم . ^{[ 17 ]} ربط أوكونكوف هذه النتائج بتوافقية أسطح ريمان ونظرية التمثيل. ^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}

انظر أيضاً

رتبة التقسيم ، مفهوم مختلف للرتبة
ذراع التقسيم
ترتيب الهيمنة
التحليل إلى عوامل
تحليل الأعداد الصحيحة إلى عواملها الأولية
تقسيم مجموعة
النجوم والخطوط (التوافيق)
التقسيم المستوي
العدد المهذب ، الذي يُعرَّف بتقسيمات إلى أعداد صحيحة متتالية.
التقسيم المضاعف
الطريق ذو الاثني عشر وجهاً
صيغة إيوينز لأخذ العينات
صيغة فا دي برونو
تقسيم متعدد
متطابقات نيوتن
وظيفة الأجزاء الأصغر
تجزئة غولدباخ هي تجزئة عدد زوجي إلى أعداد أولية (انظر حدسية غولدباخ ).
دالة التقسيم لكوستانت

ملحوظات

↑ أندروز 1976 ، ص 199.
↑ جوسوات-فيرجيس، ماثيو (2010)، "التقابلات بين الحشوات المتجنبة للأنماط في مخططات يونغ"، مجلة نظرية التوافيق ، السلسلة أ، 117 (8): 1218-1230 ، arXiv : 0801.4928 ، doi : 10.1016/j.jcta.2010.03.006 ، MR 2677686 ، S2CID 15392503 .
↑ أندروز 1976 ، ص 69.
↑ هاردي ورايت 2008 ، ص 380.
↑ ألدر، هنري ل. (1969). "متطابقات التقسيم - من أويلر إلى الوقت الحاضر" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 76 (7): 733-746 . doi : 10.2307/2317861 . JSTOR 2317861 .
↑ هاردي ورايت 2008 ، ص 362.
↑ هاردي ورايت 2008 ، ص 368.
↑ هاردي ورايت 2008 ، ص 365.
↑ يتبع الترميز أبراموفيتز وستيجون 1964 ، ص 825
↑ أندروز، جورج إي. (1971). نظرية الأعداد . فيلادلفيا: شركة دبليو بي سوندرز. ص 149-150 .
↑ أبراموفيتز وستيجون 1964 ، ص 825 ، 24.2.2 معادلة I(B)
^ أبراموفيتز وستيغون 1964 ، ص. 826 ، 24.2.2 مكافئ. الثاني (أ)
↑ ريتشارد ستانلي، التوافقية العددية ، المجلد 1، الطبعة الثانية. مطبعة جامعة كامبريدج، 2012. الفصل 1، القسم 1.7.
↑ هاردي، جي إتش (1920). بعض المسائل الشهيرة في نظرية الأعداد . مطبعة كلارندون.
↑ أندروز 1976 ، ص 33-34.
↑ انظر، على سبيل المثال، ستانلي 1999 ، ص 58
↑ روميك، دان (2015). الرياضيات المدهشة لأطول المتتاليات المتزايدة . كتب معهد الإحصاء الرياضي. نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-107-42882-9.
↑ أوكونكوف، أندريه (2000). "المصفوفات العشوائية والتباديل العشوائية". إشعارات البحوث الرياضية الدولية . 2000 (20): 1043. doi : 10.1155/S1073792800000532 . S2CID 14308256 . {{cite journal}}: CS1 maint: unflagged free DOI ( link )
↑ أوكونكوف، أ. (1 أبريل 2001). "التقسيمات الإسفينية اللانهائية والعشوائية" . مجلة سيليكتا ماثيماتيكا . 7 (1): 57-81 . arXiv : math/9907127 . doi : 10.1007/PL00001398 . ISSN 1420-9020 . S2CID 119176413 .

مراجع

أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين (1964). دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية . وزارة التجارة الأمريكية، المكتب الوطني للمعايير. ISBN 0-486-61272-4.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
أندروز، جورج إي. (1976). نظرية التقسيمات . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-63766-X.
أندروز، جورج إي.؛ إريكسون، كيمو (2004). تقسيمات الأعداد الصحيحة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-60090-1.
أبوستول، توم م. (1990) [1976]. الدوال النمطية ومتسلسلات ديريشليه في نظرية الأعداد . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد 41 ( الطبعة الثانية). نيويورك وغيرها: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 0-387-97127-0. Zbl 0697.10023 . (انظر الفصل 5 للحصول على مقدمة تربوية حديثة لصيغة رادماخر) .
بونا، ميكلوس (2002). جولة في علم التوافيق: مقدمة في التعداد ونظرية الرسوم البيانية . دار النشر العالمية العلمية. رقم ISBN 981-02-4900-4.(مقدمة تمهيدية لموضوع تقسيمات الأعداد الصحيحة، بما في ذلك مناقشة رسوم فيريرز البيانية)
هاردي، جي إتش ؛ رايت، إي إم (2008) [1938]. مدخل إلى نظرية الأعداد . مراجعة دي آر هيث براون وجيه إتش سيلفرمان . مقدمة بقلم أندرو وايلز . ( الطبعة السادسة). أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد . ISBN 978-0-19-921986-5. السيد 2445243 . زبل 1159.11001 .
ليمر، د. هـ. (1939). " حول باقي وتقارب متسلسلة دالة التقسيم" . معاملات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 46 : 362-373 . doi : 10.1090/S0002-9947-1939-0000410-9 . MR 0000410. Zbl 0022.20401 . يوفر الصيغة الرئيسية (بدون مشتقات)، والباقي، والصيغة القديمة لـ A _k ( n ).)
غوبتا، هانزراج؛ غويثر، سي إي؛ ميلر، جيه سي بي (1962). الجمعية الملكية للرياضيات. الجداول . المجلد 4، جداول التقسيمات.(يحتوي على نص، وقائمة مراجع شبه كاملة، لكنهم (وأبراموفيتز) أغفلوا صيغة سيلبرغ لـ A _k ( n )، الموجودة في كتاب وايتمان.)
ماكدونالد، إيان ج. (1979). الدوال المتناظرة ومتعددات حدود هول . سلسلة دراسات أكسفورد الرياضية. مطبعة جامعة أكسفورد . ISBN 0-19-853530-9. Zbl 0487.20007 . (انظر القسم الأول.1)
ناثانسون، إم بي (2000). الأساليب الأولية في نظرية الأعداد . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 195. سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 0-387-98912-9. Zbl 0953.11002 .
راديماخر، هانز (1974). الأوراق المجمعة لهانز راديماخر . المجلد. ضد الثاني. مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ص 100-07 ، 108-22 ، 460-75 .
سوتوي، ماركوس دو. (2003). موسيقى الأعداد الأولية . نيويورك: بيرينال-هاربر كولينز. ISBN 9780066210704.
ستانلي، ريتشارد ب. (1999). التوافقية العددية . المجلد 1 و2. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-56069-1.
وايتمان، أ. ل. (1956). "مجموع مرتبط بمتسلسلة دالة التقسيم" . مجلة المحيط الهادئ للرياضيات . 6 (1): 159-176 . doi : 10.2140/pjm.1956.6.159 . Zbl 0071.04004 . (يقدم صيغة سيلبرغ. الصيغة الأقدم هي توسيع فورييه المحدود لسيلبرغ.)

روابط خارجية

"التقسيم" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
حاسبة التقسيم والتركيب
فايستين، إريك دبليو. “التقسيم” . عالم الرياضيات .
ويلف، هربرت س. محاضرات حول تجزئة الأعداد الصحيحة (ملف PDF) ، مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 26 فبراير 2021 ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 فبراير 2021
العد باستخدام التقسيمات مع جداول مرجعية إلى الموسوعة الإلكترونية لتسلسلات الأعداد الصحيحة
أقسام الأعداد الصحيحة. مؤرشفة بتاريخ 22 أكتوبر 2014 في قاعدة بيانات FindStat عبر Wayback Machine.
وحدة Integer::Partition Perl من CPAN
خوارزميات سريعة لتوليد تقسيمات الأعداد الصحيحة
توليد جميع الأقسام: مقارنة بين ترميزين
غرايم، جيمس (28 أبريل 2016). "التقسيمات - نامبرفايل" (فيديو) . برادي هاران . مؤرشف من الأصل بتاريخ 11 ديسمبر 2021. تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 مايو 2016 .

[FOOTNOTEAndrews1976199-1] أندروز 1976 ، ص 199.

[2] جوسوات-فيرجيس، ماثيو (2010)، "التقابلات بين الحشوات المتجنبة للأنماط في مخططات يونغ"، مجلة نظرية التوافيق ، السلسلة أ، 117 (8): 1218-1230 ، arXiv : 0801.4928 ، doi : 10.1016/j.jcta.2010.03.006 ، MR 2677686 ، S2CID 15392503 .

[FOOTNOTEAndrews197669-3] أندروز 1976 ، ص 69.

[FOOTNOTEHardyWright2008380-4] هاردي ورايت 2008 ، ص 380.

[5] ألدر، هنري ل. (1969). "متطابقات التقسيم - من أويلر إلى الوقت الحاضر" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 76 (7): 733-746 . doi : 10.2307/2317861 . JSTOR 2317861 .

[FOOTNOTEHardyWright2008362-6] هاردي ورايت 2008 ، ص 362.

[FOOTNOTEHardyWright2008368-7] هاردي ورايت 2008 ، ص 368.

[FOOTNOTEHardyWright2008365-8] هاردي ورايت 2008 ، ص 365.

[9] يتبع الترميز أبراموفيتز وستيجون 1964 ، ص 825

[10] أندروز، جورج إي. (1971). نظرية الأعداد . فيلادلفيا: شركة دبليو بي سوندرز. ص 149-150 .

[11] أبراموفيتز وستيجون 1964 ، ص 825 ، 24.2.2 معادلة I(B)

[12] أبراموفيتز وستيغون 1964 ، ص. 826 ، 24.2.2 مكافئ. الثاني (أ)

[13] ريتشارد ستانلي، التوافقية العددية ، المجلد 1، الطبعة الثانية. مطبعة جامعة كامبريدج، 2012. الفصل 1، القسم 1.7.

[14] هاردي، جي إتش (1920). بعض المسائل الشهيرة في نظرية الأعداد . مطبعة كلارندون.

[FOOTNOTEAndrews197633–34-15] أندروز 1976 ، ص 33-34.

[16] انظر، على سبيل المثال، ستانلي 1999 ، ص 58

[17] روميك، دان (2015). الرياضيات المدهشة لأطول المتتاليات المتزايدة . كتب معهد الإحصاء الرياضي. نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-107-42882-9.

[18] أوكونكوف، أندريه (2000). "المصفوفات العشوائية والتباديل العشوائية". إشعارات البحوث الرياضية الدولية . 2000 (20): 1043. doi : 10.1155/S1073792800000532 . S2CID 14308256 . {{cite journal}}: CS1 maint: unflagged free DOI ( link )

[19] أوكونكوف، أ. (1 أبريل 2001). "التقسيمات الإسفينية اللانهائية والعشوائية" . مجلة سيليكتا ماثيماتيكا . 7 (1): 57-81 . arXiv : math/9907127 . doi : 10.1007/PL00001398 . ISSN 1420-9020 . S2CID 119176413 .

[ 1 ]

[ 2 ]

3

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]