اختبار مربع كاي لبيرسون

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 108 صور
الموسوعة الحرة

اختبار مربع كاي لبيرسون أو اختبار بيرسونχ2{\displaystyle \chi ^{2}}اختبار مربع كاي هو اختبار إحصائي يُطبق على مجموعات من البيانات الفئوية لتقييم احتمالية أن يكون أي اختلاف مُلاحظ بين المجموعات قد نشأ بالصدفة. وهو الأكثر استخدامًا من بين العديد من اختبارات مربع كاي (مثل اختبار ييتس ، ونسبة الاحتمال ، واختبار السلاسل الزمنية ، إلخ) - وهي إجراءات إحصائية تُقيّم نتائجها بالرجوع إلى توزيع مربع كاي . وقد درس كارل بيرسون خصائصه لأول مرة عام 1900. [ 1 ] في السياقات التي يكون فيها من المهم تحسين التمييز بين إحصائية الاختبار وتوزيعها، تُستخدم أسماء مشابهة لاختبار أو إحصائية مربع كاي لبيرسون . وهو اختبار قيمة احتمالية (p-value) .

من الأمثلة البسيطة على ذلك اختبار فرضية أن النرد العادي ذو الستة أوجه "عادل" (أي أن احتمالية حدوث جميع النتائج الست متساوية). في هذه الحالة، تكون البيانات المرصودة هي(يا1،يا2،...،يا6){\displaystyle (O_{1},O_{2},...,O_{6})}، عدد مرات سقوط النرد على كل رقم. الفرضية الصفرية هيمuلتأنانoمأناأل(شمال؛1/6،...،1/6){\displaystyle \mathrm {Multinomial} (N;1/6,...,1/6)}، وχ2:=∑أنا=16(ياأنا-شمال/6)2شمال/6{\textstyle \chi ^{2}:=\sum \limits _{i=1}^{6}{\frac {{\left(O_{i}-N/6\right)}^{2}}{N/6}}}كما هو موضح أدناه، إذاχ2>11.07{\displaystyle \chi ^{2}>11.07}إذاً، يمكن رفض عدالة النرد على مستوىص<0.05{\displaystyle p<0.05}.

إجراء

الإعداد كالتالي: [ 2 ] [ 3 ]

  • قبل التجربة، يحدد المجرب عددًا معينًاشمال{\displaystyle N}عدد العينات المطلوب أخذها.
  • البيانات المرصودة هي(يا1،يا2،...،يان){\displaystyle (O_{1},O_{2},...,O_{n})}، وهو عدد العينات من مجموعة محدودة من الفئات المعطاة. وهي تحقق∑أناياأنا=شمال{\textstyle \sum _{i}O_{i}=N}.
  • الفرضية الصفرية هي أن أعداد العد مأخوذة من توزيع متعدد الحدودمuلتأنانoمأناأل(شمال؛ص1،...،صن){\displaystyle \mathrm {Multinomial} (N;p_{1},...,p_{n})}أي أن البيانات الأساسية يتم أخذ عينات منها بشكل مستقل ومتطابق التوزيع من توزيع فئوي.جأتهـزoرأناجأل(ص1،...،صن){\displaystyle \mathrm {Categorical} (p_{1},...,p_{n})}ضمن الفئات المحددة.
  • يُعرَّف إحصاء اختبار مربع كاي لبيرسون على النحو التالي:χ2:=∑أنا(ياأنا-شمالصأنا)2شمالصأنا{\textstyle \chi ^{2}:=\sum _{i}{\frac {{\left(O_{i}-Np_{i}\right)}^{2}}{Np_{i}}}}يتم حساب قيمة p لإحصائية الاختبار إما عدديًا أو عن طريق البحث عنها في جدول.
  • إذا كانت قيمة p صغيرة بما يكفي (عادةً p < 0.05 حسب الاتفاق)، فسيتم رفض الفرضية الصفرية، ونستنتج أن البيانات المرصودة لا تتبع التوزيع متعدد الحدود.

الاستخدام

يُستخدم اختبار مربع كاي لبيرسون لتقييم ثلاثة أنواع من المقارنة: جودة المطابقة ، والتجانس ، والاستقلال .

  • يحدد اختبار جودة المطابقة ما إذا كان توزيع التردد الملاحظ يختلف عن التوزيع النظري.
  • يقارن اختبار التجانس توزيع الأعداد لمجموعتين أو أكثر باستخدام نفس المتغير الفئوي (على سبيل المثال، اختيار النشاط - الكلية، أو الخدمة العسكرية، أو العمل، أو السفر - لخريجي مدرسة ثانوية تم الإبلاغ عنه بعد عام من التخرج، مرتبة حسب سنة التخرج، لمعرفة ما إذا كان عدد الخريجين الذين يختارون نشاطًا معينًا قد تغير من دفعة إلى أخرى، أو من عقد إلى آخر). [ 4 ]
  • يقيّم اختبار الاستقلال ما إذا كانت الملاحظات التي تتكون من مقاييس لمتغيرين، معبر عنها في جدول التوافق ، مستقلة عن بعضها البعض (على سبيل المثال، استطلاع ردود الأشخاص من جنسيات مختلفة لمعرفة ما إذا كانت جنسية الشخص مرتبطة بالاستجابة).

بالنسبة للاختبارات الثلاثة جميعها، تتضمن الإجراءات الحسابية الخطوات التالية:

  1. احسب إحصائية اختبار مربع كاي ،χ2{\displaystyle \chi ^{2}}، وهو ما يشبه مجموع مربعات الانحرافات المعيارية بين الترددات المرصودة والنظرية (انظر أدناه).
  2. حدد درجات الحرية ، df ، لتلك الإحصائية.
    1. لاختبار مدى جودة المطابقة، df = Cats − Params ، حيث Cats هو عدد فئات الملاحظة التي يتعرف عليها النموذج، و Params هو عدد المعلمات في النموذج المعدلة لجعل النموذج يناسب الملاحظات بشكل أفضل: عدد الفئات التي تم تقليلها بعدد المعلمات المناسبة في التوزيع.
    2. لاختبار التجانس، تكون درجات الحرية = (الصفوف - 1) × (الأعمدة - 1) ، حيث يمثل عدد الصفوف عدد الفئات (أي الصفوف في جدول التوافق المرتبط)، ويمثل عدد الأعمدة عدد المجموعات المستقلة (أي الأعمدة في جدول التوافق المرتبط). [ 4 ]
    3. لاختبار الاستقلال، تكون درجات الحرية = (الصفوف - 1) × (الأعمدة - 1) ، حيث يمثل عدد الصفوف في هذه الحالة عدد الفئات في أحد المتغيرات، ويمثل عدد الأعمدة عدد الفئات في المتغير الثاني. [ 4 ]
  3. حدد مستوى الثقة المطلوب ( مستوى الدلالة ، أو قيمة p ، أو مستوى ألفا المقابل ) لنتيجة الاختبار.
  4. يقارنχ2{\displaystyle \chi ^{2}}إلى القيمة الحرجة من توزيع كاي تربيع بدرجات حرية df ومستوى الثقة المحدد (أحادي الجانب، لأن الاختبار في اتجاه واحد فقط، أي هل قيمة الاختبار أكبر من القيمة الحرجة؟)، وهو ما يعطي في كثير من الحالات تقريبًا جيدًا لتوزيعχ2{\displaystyle \chi ^{2}}.
  5. قم بتأييد أو رفض الفرضية الصفرية التي تنص على أن التوزيع التكراري الملاحظ هو نفسه التوزيع النظري بناءً على ما إذا كانت إحصائية الاختبار تتجاوز القيمة الحرجة لـχ2{\displaystyle \chi ^{2}}إذا تجاوزت إحصائية الاختبار القيمة الحرجة لـχ2{\displaystyle \chi ^{2}}، الفرضية الصفرية (ح0{\displaystyle H_{0}}( لا يوجد فرق بين التوزيعات) يمكن رفضها، ويمكن رفض الفرضية البديلة (ح1{\displaystyle H_{1}}يمكن قبول التوزيعات التي يوجد فرق بينها، وذلك بمستوى الثقة المحدد. إذا انخفضت إحصائية الاختبار عن الحد الأدنىχ2{\displaystyle \chi ^{2}}إذا كانت القيمة، فلا يمكن التوصل إلى استنتاج واضح، ويتم دعم الفرضية الصفرية (نفشل في رفض الفرضية الصفرية)، على الرغم من أنها ليست مقبولة بالضرورة.

اختبار مدى ملاءمة التوزيع

توزيع منتظم منفصل

في هذه الحالةشمال{\displaystyle N}يتم تقسيم الملاحظات بينن{\displaystyle n}الخلايا. يتمثل أحد التطبيقات البسيطة في اختبار الفرضية القائلة بأنه في عموم السكان، ستظهر القيم في كل خلية بنفس التردد. وبالتالي، يتم حساب "التردد النظري" لأي خلية (في ظل الفرضية الصفرية للتوزيع المنتظم المنفصل ) على النحو التالي:هـأنا=شمالن،{\displaystyle E_{i}={\frac {N}{n}}\,,} وانخفاض درجات الحرية هوص=1{\displaystyle p=1}، نظرياً بسبب الترددات المرصودةياأنا{\displaystyle O_{i}}يجب أن يكون مجموعها مساوياً لـشمال{\displaystyle N}.

ومن الأمثلة المحددة لتطبيقاته تطبيقه لاختبار رتبة السجل.

توزيعات أخرى

عند اختبار ما إذا كانت المشاهدات متغيرات عشوائية ينتمي توزيعها إلى عائلة معينة من التوزيعات، يتم حساب "التكرارات النظرية" باستخدام توزيع من تلك العائلة مُلائم بطريقة قياسية. ويتم حساب انخفاض درجات الحرية على النحو التالي:ص=s+1{\displaystyle p=s+1}، أينs{\displaystyle s}يمثل عدد المعاملات المستخدمة في ملاءمة التوزيع. على سبيل المثال، عند فحص توزيع جاما المعمم ذي الثلاثة معاملات ،ص=4{\displaystyle p=4}وعند التحقق من التوزيع الطبيعي (حيث تكون المعلمات هي المتوسط ​​والانحراف المعياري)،ص=3{\displaystyle p=3}وعند التحقق من توزيع بواسون (حيث تكون المعلمة هي القيمة المتوقعة)،ص=2{\displaystyle p=2}وبالتالي، سيكون هناكن-ص{\displaystyle np}درجات الحرية، حيثن{\displaystyle n}هو عدد الفئات.

لا تعتمد درجات الحرية على عدد المشاهدات كما هو الحال في توزيع t للطالب أو توزيع F. على سبيل المثال، عند اختبار نزاهة نرد سداسي الأوجه، ستكون هناك خمس درجات حرية لوجود ست فئات أو معلمات (كل رقم)؛ ولا يؤثر عدد مرات رمي ​​النرد على عدد درجات الحرية.

حساب إحصائية الاختبار

توزيع مربع كاي ، يوضح X 2 على المحور السيني وقيمة P على المحور الصادي.

قيمة إحصائية الاختبار هي

χ2=∑أنا=1ن(ياأنا-هـأنا)2هـأنا=شمال∑أنا=1ن(ياأنا/شمال-صأنا)2صأنا{\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {{\left(O_{i}-E_{i}\right)}^{2}}{E_{i}}}=N\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(O_{i}/N-p_{i}\right)^{2}}{p_{i}}}}

أين

  • χ2{\displaystyle \chi ^{2}}= إحصائية اختبار بيرسون التراكمية، والتي تقترب بشكل مقارب من aχ2{\displaystyle \chi ^{2}}توزيع .
  • ياأنا{\displaystyle O_{i}}= عدد الملاحظات من النوع i .
  • شمال{\displaystyle N}= إجمالي عدد المشاهدات
  • هـأنا=شمالصأنا{\displaystyle E_{i}=Np_{i}}= العدد المتوقع (النظري) للنوع i ، الذي تؤكده الفرضية الصفرية القائلة بأن نسبة النوع i في المجتمع هيصأنا{\displaystyle p_{i}}
  • ن{\displaystyle n} = عدد الخلايا في الجدول.

يمكن بعد ذلك استخدام إحصائية مربع كاي لحساب قيمة الاحتمال (p-value) عن طريق مقارنة قيمة الإحصائية بتوزيع مربع كاي . عدد درجات الحرية يساوي عدد الخلايا.ن{\displaystyle n}، مطروحًا منه انخفاض درجات الحرية،ص{\displaystyle p}.

يمكن أيضًا حساب إحصائية مربع كاي على النحو التالي:

χ2=∑أنا=1نياأنا2هـأنا-شمال.{\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {O_{i}^{2}}{E_{i}}}-N.}

هذه النتيجة هي نتيجة لنظرية ذات الحدين.

تكون النتيجة المتعلقة بعدد درجات الحرية صحيحة عندما تكون البيانات الأصلية متعددة الحدود، وبالتالي تكون المعلمات المُقدَّرة فعالة في تقليل إحصائية مربع كاي. ولكن بشكل عام، عندما لا يتطابق تقدير الاحتمال الأقصى مع تقدير مربع كاي الأدنى، فإن التوزيع سيقع في مكان ما بين توزيع مربع كاي ذين-1-ص{\displaystyle n-1-p}ون-1{\displaystyle n-1}درجات الحرية (انظر على سبيل المثال Chernoff و Lehmann، 1954).

أظهر اختبار مربع كاي وجود ارتباط ذي دلالة إحصائية بين مستوى التعليم المُنجز والالتزام بالفحوصات الدورية (χ²(3) = 14.6090، p = 0.002). وتشير النسب إلى أنه مع ارتفاع مستوى التعليم، تزداد نسبة الأفراد الذين يلتزمون بالفحوصات الدورية. تحديدًا، يلتزم خريجو الجامعات والكليات بالفحوصات الدورية بنسبة أعلى (31.52%) مقارنةً بمن لم يُكملوا المرحلة الثانوية (8.44%). قد تُشير هذه النتيجة إلى أن ارتفاع مستوى التعليم يرتبط بزيادة احتمالية تبني سلوكيات تُعزز الصحة، مثل الالتزام بالفحوصات الدورية.

طريقة بايز

في الإحصاء البايزي ، يُستخدم توزيع ديريشليه كتوزيع مسبق مترافق . أما إذا تم استخدام توزيع مسبق منتظم، فإن تقدير الاحتمال الأقصى لاحتمالية المجتمع هو الاحتمالية المرصودة، ويمكن حساب منطقة موثوقية حول هذا التقدير أو تقدير آخر.

اختبار الاستقلال الإحصائي

في هذه الحالة، تتكون "الملاحظة" من قيم نتيجتين، والفرضية الصفرية هي أن حدوث هاتين النتيجتين مستقل إحصائيًا . تُخصص كل ملاحظة لخلية واحدة من مصفوفة ثنائية الأبعاد (تُسمى جدول التوافق ) وفقًا لقيم النتيجتين. إذا كان الجدول يحتوي على r صفًا و c عمودًا، فإن "التكرار النظري" لخلية ما، بافتراض استقلال النتائج، هو

هـأنا،ج=شمالصأنا⋅ص⋅ج،{\displaystyle E_{i,j}=Np_{i\cdot }p_{\cdot j},}

أينشمال{\displaystyle N}يمثل حجم العينة الإجمالي (مجموع جميع الخلايا في الجدول)، و

صأنا⋅=ياأنا⋅شمال=∑ج=1جياأنا،جشمال،{\displaystyle p_{i\cdot }={\frac {O_{i\cdot }}{N}}=\sum _{j=1}^{c}{\frac {O_{i,j}}{N}},}

يمثل هذا الجزء نسبة المشاهدات من النوع i مع تجاهل سمة العمود (نسبة إجمالي الصفوف)، و ص⋅ج=يا⋅جشمال=∑أنا=1رياأنا،جشمال{\displaystyle p_{\cdot j}={\frac {O_{\cdot j}}{N}}=\sum _{i=1}^{r}{\frac {O_{i,j}}{N}}}

يمثل هذا النسبة المئوية للملاحظات من النوع j مع تجاهل سمة الصف (نسبة إجمالي العمود). يشير مصطلح " التكرارات " إلى الأرقام المطلقة وليس إلى القيم المعيارية.

قيمة إحصائية الاختبار هي

χ2=∑أنا=1ر∑ج=1ج(ياأنا،ج-هـأنا،ج)2هـأنا،ج=شمال∑أنا،جصأنا⋅ص⋅ج((ياأنا،ج/شمال)-صأنا⋅ص⋅جصأنا⋅ص⋅ج)2\begin{aligned}\chi^2&=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c}{\frac{\left(O_{i,j}-E_{i,j}\right)}^2}{E_{i,j}}}\\[1ex]&=N\sum_{i,j}p_{i\cdot}p_{\cdotj}{\left(\frac{\left(O_{i,j}/N\right)-p_{i\cdot}p_{\cdotj}}{p_{i\cdot}p_{\cdotj}}}\right)}^2\end{aligned}}}

لاحظ أنχ2{\displaystyle \chi ^{2}}يساوي صفرًا إذا وفقط إذاياأنا،ج=هـأنا،ج∀أنا،ج{\displaystyle O_{i,j}=E_{i,j}\forall i,j}أي فقط إذا كان العدد المتوقع والعدد الحقيقي للملاحظات متساويين في جميع الخلايا.

يؤدي تطبيق نموذج "الاستقلال" إلى تقليل عدد درجات الحرية بمقدار p = r + c − 1. ويساوي عدد درجات الحرية عدد الخلايا rc ، مطروحًا منه مقدار النقص في درجات الحرية، p ، والذي يُختزل إلى ( r − 1)( c − 1) . 

في اختبار الاستقلال، المعروف أيضًا باختبار التجانس، يُفسَّر احتمال مربع كاي الأقل من أو يساوي 0.05 (أو قيمة إحصائية مربع كاي عند أو أكبر من النقطة الحرجة 0.05) عادةً من قِبَل الباحثين التطبيقيين على أنه مبرر لرفض الفرضية الصفرية التي تنص على أن متغير الصف مستقل عن متغير العمود. [ 6 ] أما الفرضية البديلة فتتعلق بوجود ارتباط أو علاقة بين المتغيرات، دون تحديد طبيعة هذه العلاقة.

الافتراضات

اختبار مربع كاي، عند استخدامه مع التقريب القياسي بأن توزيع مربع كاي قابل للتطبيق، له الافتراضات التالية: [ 7 ]

عينة عشوائية بسيطة
تُعدّ بيانات العينة عينة عشوائية من توزيع أو مجتمع إحصائي ثابت، حيث يكون لكل مجموعة من أفراد المجتمع الإحصائي ذي حجم العينة المحدد احتمال متساوٍ للاختيار. وقد طُوّرت صيغ مختلفة من الاختبار للعينات المعقدة، مثل تلك التي تُرجّح فيها البيانات. ويمكن استخدام أشكال أخرى، مثل أخذ العينات الهادفة . [ 8 ]
حجم العينة (الجدول بأكمله)
يُفترض وجود عينة ذات حجم كبير بما فيه الكفاية. إذا أُجري اختبار مربع كاي على عينة أصغر حجمًا، فسيؤدي ذلك إلى استنتاج غير دقيق. قد يقع الباحث، باستخدام اختبار مربع كاي على عينات صغيرة، في خطأ من النوع الثاني . يُفضّل استخدام اختبار كاش للعينات الصغيرة . [ 9 ] [ 10 ]
عدد الخلايا المتوقع
عدد الخلايا المتوقع كافٍ. تتطلب بعض الجداول 5 خلايا أو أكثر، بينما تتطلب جداول أخرى 10 خلايا أو أكثر. القاعدة العامة هي وجود 5 خلايا أو أكثر في جميع خلايا الجدول ذي المصفوفة 2×2، و5 خلايا أو أكثر في 80% من خلايا الجداول الأكبر حجمًا، مع عدم وجود أي خلية بعدد متوقع يساوي صفرًا. عند عدم استيفاء هذا الشرط، يتم تطبيق تصحيح ييتس .
استقلال
يُفترض دائمًا أن المشاهدات مستقلة عن بعضها البعض. وهذا يعني أنه لا يمكن استخدام اختبار مربع كاي لاختبار البيانات المترابطة (مثل الأزواج المتطابقة أو بيانات اللوحات). في هذه الحالات، قد يكون اختبار ماكنيمار أكثر ملاءمة.

يُعد اختبار فيشر الدقيق اختبارًا يعتمد على افتراضات مختلفة ؛ فإذا تحقق افتراضه بثبات التوزيعات الهامشية، يكون أكثر دقة في تحديد مستوى الدلالة، لا سيما مع قلة عدد المشاهدات. في الغالبية العظمى من التطبيقات، لا يتحقق هذا الافتراض، وبالتالي يكون اختبار فيشر الدقيق متحفظًا للغاية وغير شامل بشكل صحيح. [ 11 ]

الاشتقاق

الاشتقاق باستخدام نظرية النهاية المركزية

يتم تقريب التوزيع الصفري لإحصائية بيرسون مع j صفوف و k أعمدة بواسطة توزيع كاي تربيع مع ( k  −  1)( j  −  1) درجة حرية. [ 12 ]

ينشأ هذا التقريب كتوزيع حقيقي، في ظل الفرضية الصفرية، إذا كانت القيمة المتوقعة معطاة بتوزيع متعدد الحدود . بالنسبة لأحجام العينات الكبيرة، تنص نظرية النهاية المركزية على أن هذا التوزيع يميل نحو توزيع طبيعي متعدد المتغيرات معين .

خليتين

في الحالة الخاصة التي لا يوجد فيها سوى خليتين في الجدول، فإن القيم المتوقعة تتبع التوزيع ذي الحدين . يا∼سلة المهملات⁡(ن،ص)،{\displaystyle O\sim \operatorname {Bin} (n,p),} أين

p = الاحتمالية، في ظل الفرضية الصفرية،
ن = عدد المشاهدات في العينة.

في المثال أعلاه، الاحتمال المفترض لملاحظة ذكر هو 0.5، مع 100 عينة. وبالتالي نتوقع ملاحظة 50 ذكراً.

إذا كانت قيمة n كبيرة بما يكفي، فيمكن تقريب التوزيع ذي الحدين المذكور أعلاه بتوزيع غاوسي (طبيعي)، وبالتالي فإن إحصائية اختبار بيرسون تقارب توزيع كاي تربيع. سلة المهملات⁡(ن،ص)≈شمال(نص،نص(1-ص)).{\displaystyle \operatorname {Bin} (n,p)\approx {\mathcal {N}}{\big (}np,np(1-p){\big )}.}

لنفترض أن O1 هو عدد المشاهدات من العينة الموجودة في الخلية الأولى. يمكن التعبير عن إحصائية اختبار بيرسون على النحو التالي: (يا1-نص)2نص+(ن-يا1-ن(1-ص))2ن(1-ص)،{\displaystyle {\frac {(O_{1}-np)^{2}}{np}}+{\frac {{\big (}n-O_{1}-n(1-p){\big )}^{2}}{n(1-p)}},} والذي يمكن التعبير عنه بدوره على النحو التالي (يا1-نصنص(1-ص))2.{\displaystyle \left({\frac {O_{1}-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)^{2}.}

بالتقريب الطبيعي للتوزيع ذي الحدين، يكون هذا مربع متغير طبيعي معياري واحد، وبالتالي فهو موزع كتوزيع كاي تربيع بدرجة حرية واحدة. لاحظ أن المقام هو انحراف معياري واحد للتقريب الغاوسي، لذا يمكن كتابته على النحو التالي: (يا1-μ)2σ2.{\displaystyle {\frac {(O_{1}-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}.}

لذا، بما يتوافق مع معنى توزيع مربع كاي، فإننا نقيس مدى احتمالية عدد الانحرافات المعيارية الملاحظة بعيدًا عن المتوسط ​​في ظل التقريب الغاوسي (وهو تقريب جيد لـ n كبير ).

ثم يتم دمج توزيع مربع كاي على يمين قيمة الإحصائية للحصول على قيمة p ، والتي تساوي احتمال الحصول على إحصائية مساوية أو أكبر من الإحصائية الملاحظة، بافتراض الفرضية الصفرية.

جداول الطوارئ ثنائية الأبعاد

عند تطبيق الاختبار على جدول طوارئ يحتوي على صفين وعمودين، يكون الاختبار مكافئًا لاختبار Z للنسب.

العديد من الخلايا

تؤدي حجج مشابهة لما سبق إلى النتيجة المرجوة، وإن كانت التفاصيل أكثر تعقيدًا. يمكن تطبيق تغيير متعامد للمتغيرات لتحويل الحدود الحدية في إحصائية الاختبار إلى مربع واحد أقل من المتغيرات العشوائية الطبيعية المعيارية المستقلة والمتطابقة التوزيع. [ 13 ]

لنثبت الآن أن التوزيع يقترب بالفعل بشكل تقاربي منχ2{\displaystyle \chi ^{2}}التوزيع عندما يقترب عدد المشاهدات من اللانهاية.

يتركن{\displaystyle n}ليكن عدد المشاهدات،م{\displaystyle m}عدد الخلايا وصأنا{\displaystyle p_{i}}احتمال وقوع الملاحظة في الخلية رقم i ، لـ1≤أنا≤م{\displaystyle 1\leq i\leq m}نرمز بـ{كأنا}{\displaystyle \{k_{i}\}}التكوين حيث يوجد لكل iكأنا{\displaystyle k_{i}}الملاحظات في الخلية رقم i . لاحظ أن ∑أنا=1مكأنا=نو∑أنا=1مصأنا=1.{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}k_{i}=n\quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{m}p_{i}=1.}

يتركχP2({كأنا}،{صأنا}){\displaystyle \chi _{P}^{2}(\{k_{i}\},\{p_{i}\})}ليكن إحصائية اختبار بيرسون التراكمية لمثل هذا التكوين، وليكنχP2({صأنا}){\displaystyle \chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})}ليكن توزيع هذه الإحصائية. سنبين أن الاحتمال الأخير يقترب منχ2{\displaystyle \chi ^{2}}التوزيع معم-1{\displaystyle m-1}درجات الحرية، كمان→∞.{\displaystyle n\to \infty .}

لأي قيمة عشوائية T: P(χP2({صأنا})>تي)=∑{كأنا|χP2({كأنا}،{صأنا})>تي}ن!ك1!⋯كم!∏أنا=1مصأناكأنا.{\displaystyle P{\big (}\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})>T{\big )}=\sum _{\{k_{i}\mid \chi _{P}^{2}(\{k_{i}\},\{p_{i}\})>T\}}{\frac {n!}{k_{1}!\cdots k_{m}!}}\prod _{i=1}^{m}{p_{i}}^{k_{i}}.}

سنستخدم إجراءً مشابهًا للتقريب الوارد في نظرية دي موافر-لابلاس . مساهمات من صغيرةكأنا{\displaystyle k_{i}}وهي من الدرجة الثانية فين{\displaystyle n}وبالتالي بالنسبة للأحجام الكبيرةن{\displaystyle n}يمكننا استخدام صيغة ستيرلينغ لكليهمان!{\displaystyle n!}وكأنا!{\displaystyle k_{i}!}للحصول على ما يلي: P(χP2({صأنا})>تي)∼∑{كأنا|χP2({كأنا}،{صأنا})>تي}∏أنا=1م(نصأناكأنا)كأنا2πن∏أنا=1م2πكأنا.{\displaystyle P{\big (}\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})>T{\big )}\sim \sum _{\{k_{i}\mid \chi _{P}^{2}(\{k_{i}\},\{p_{i}\})>T\}}\prod _{i=1}^{m}\left({\frac {np_{i}}{k_{i}}}\right)^{k_{i}}{\sqrt {\frac {2\pi n}{\prod _{i=1}^{m}2\pi k_{i}}}}.}

عن طريق استبدال xأنا=كأنا-نصأنان،أنا=1،⋯،م-1،{\displaystyle x_{i}={\frac {k_{i}-np_{i}}{\sqrt {n}}},\quad i=1,\cdots ,m-1,} قد نقترب من القيم الكبيرةن{\displaystyle n}المجموع علىكأنا{\displaystyle k_{i}}بواسطة التكامل علىxأنا{\displaystyle x_{i}}مع ملاحظة أن كم=نصم-ن∑أنا=1م-1xأنا،{\displaystyle k_{m}=np_{m}-{\sqrt {n}}\sum _{i=1}^{m-1}x_{i},} نصل إلى P(χP2({صأنا})>تي)∼2πن∏أنا=1م2πكأنا∫Ω[∏أنا=1م-1ندxأنا]××{∏أنا=1م-1(1+xأنانصأنا)-(نصأنا+نxأنا)(1-∑أنا=1م-1xأنانصم)-(نصم-ن∑أنا=1م-1xأنا)}=2πن∏أنا=1م(2πنصأنا+2πنxأنا)∫Ω{∏أنا=1م-1ندxأنا}××{∏أنا=1م-1خبرة⁡[-(نصأنا+نxأنا)ln⁡(1+xأنانصأنا)]خبرة⁡[-(نصم-ن∑أنا=1م-1xأنا)ln⁡(1-∑أنا=1م-1xأنانصم)]}،{\displaystyle {\begin{aligned}P{\big (}\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\}{\big )}>T)&\sim {\sqrt {\frac {2\pi n}{\prod _{i=1}^{m}2\pi k_{i}}}}\int _{\Omega }\left[\prod _{i=1}^{m-1}{\sqrt {n}}dx_{i}\right]\times \\&\qquad \times \left\{\prod _{i=1}^{m-1}\left(1+{\frac {x_{i}}{{\sqrt {n}}p_{i}}}\right)^{-(np_{i}+{\sqrt {n}}x_{i})}\left(1-{\frac {\sum _{i=1}^{m-1}x_{i}}{{\sqrt {n}}p_{m}}}\right)^{-\left(np_{m}-{\sqrt {n}}\sum _{i=1}^{m-1}x_{i}\right)}\right\}\\&={\sqrt {\frac {2\pi n}{\prod _{i=1}^{m}\left(2\pi np_{i}+2\pi {\sqrt {n}}x_{i}\right)}}}\int _{\Omega }\left\{\prod _{i=1}^{m-1}{{\sqrt {n}}dx_{i}}\right\}\times \\&\qquad \times \left\{\prod _{i=1}^{m-1}\exp \left[-\left(np_{i}+{\sqrt {n}}x_{i}\right)\ln \left(1+{\frac {x_{i}}{{\sqrt {n}}p_{i}}}\right)\right]\exp \left[-\left(np_{m}-{\sqrt {n}}\sum _{i=1}^{m-1}x_{i}\right)\ln \left(1-{\frac {\sum _{i=1}^{m-1}x_{i}}{{\sqrt {n}}p_{m}}}\right)\right]\right\},\end{aligned}}} أينΩ{\displaystyle \Omega }هي المجموعة المعرفة من خلالχP2({كأنا}،{صأنا})=χP2({نxأنا+نصأنا}،{صأنا})>تي{\displaystyle \chi _{P}^{2}(\{k_{i}\},\{p_{i}\})=\chi _{P}^{2}(\{{\sqrt {n}}x_{i}+np_{i}\},\{p_{i}\})>T}.

عن طريق توسيع اللوغاريتم وأخذ الحدود الرئيسية فين{\displaystyle n}، نحصل P(χP2({صأنا})>تي)∼1(2π)م-1∏أنا=1مصأنا∫Ω[∏أنا=1م-1دxأنا]∏أنا=1م-1خبرة⁡[-12∑أنا=1م-1xأنا2صأنا-12صم(∑أنا=1م-1xأنا)2].{\displaystyle P{\big (}\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})>T{\big )}\sim {\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{m-1}\prod _{i=1}^{m}p_{i}}}}\int _{\Omega }\left[\prod _{i=1}^{m-1}dx_{i}\right]\prod _{i=1}^{m-1}\exp \left[-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{m-1}{\frac {x_{i}^{2}}{p_{i}}}-{\frac {1}{2p_{m}}}\left(\sum _{i=1}^{m-1}x_{i}\right)^{2}\right].}

معامل بيرسون تشي،χP2({كأنا}،{صأنا})=χP2({نxأنا+نصأنا}،{صأنا}){\displaystyle \chi _{P}^{2}(\{k_{i}\},\{p_{i}\})=\chi _{P}^{2}(\{{\sqrt {n}}x_{i}+np_{i}\},\{p_{i}\})}، هو بالضبط وسيط الأس (باستثناء −1/2؛ لاحظ أن الحد الأخير في وسيط الأس يساوي(كم-نصم)2/(نصم){\displaystyle (k_{m}-np_{m})^{2}/(np_{m})}).

يمكن كتابة هذه الحجة على النحو التالي -12∑أنا،ج=1م-1xأناأأناجxج،أأناج=دلتاأناجصأنا+1صم،أنا،ج=1،⋯،م-1.{\displaystyle -{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{m-1}x_{i}A_{ij}x_{j},\quad A_{ij}={\frac {\delta _{ij}}{p_{i}}}+{\frac {1}{p_{m}}},\quad i,j=1,\cdots ,m-1.}

أ{\displaystyle A}هو متناظر منتظم(م-1)×(م-1){\displaystyle (m-1)\times (m-1)}المصفوفة، وبالتالي قابلة للتقطير . لذلك من الممكن إجراء تغيير خطي للمتغيرات في{xأنا}{\displaystyle \{x_{i}\}}حتى الحصول علىم-1{\displaystyle m-1}متغيرات جديدة{yأنا}{\displaystyle \{y_{i}\}}لهذا السبب. ∑أنا،ج=1م-1xأناأأناجxج=∑أنا=1م-1yأنا2.{\displaystyle \sum _{i,j=1}^{m-1}x_{i}A_{ij}x_{j}=\sum _{i=1}^{m-1}y_{i}^{2}.}

هذا التغيير الخطي للمتغيرات لا يعدو كونه ضربًا للتكامل في مصفوفة جاكوبية ثابتة ، فنحصل على P(χP2({صأنا})>تي)∼ج∫∑أنا=1م-1yأنا2>تي{∏أنا=1م-1دyأنا}∏أنا=1م-1خبرة⁡[-12(∑أنا=1م-1yأنا2)]،{\displaystyle P{\big (}\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})>T{\big )}\sim C\int _{\sum _{i=1}^{m-1}y_{i}^{2}>T}\left\{\prod _{i=1}^{m-1}dy_{i}\right\}\prod _{i=1}^{m-1}\exp \left[-{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{m-1}y_{i}^{2}\right)\right],} حيث C ثابت.

هذا هو احتمال أن يكون مجموع مربعاتم-1{\displaystyle m-1}ستكون المتغيرات المستقلة ذات التوزيع الطبيعي بمتوسط ​​صفر وتباين واحد أكبر من T ، أي أنχ2{\displaystyle \chi ^{2}}معم-1{\displaystyle m-1}درجات الحرية أكبر من T.

وهكذا فقد أثبتنا أنه عند الحد حيثن→∞،{\displaystyle n\to \infty ,}يقترب توزيع مربع كاي لبيرسون من توزيع مربع كاي معم-1{\displaystyle m-1}درجات الحرية.

يوجد اشتقاق بديل في صفحة التوزيع متعدد الحدود .

أمثلة

عدالة النرد

تم رمي نرد سداسي الأوجه 60 مرة. عدد المرات التي ظهر فيها الرقم 1، 2، 3، 4، 5، و6 هو 5، 8، 9، 8، 10، و20 مرة على التوالي. هل النرد متحيز، وفقًا لاختبار مربع كاي لبيرسون عند مستوى دلالة 95% و/أو 99%؟

الفرضية الصفرية هي أن النرد غير متحيز، وبالتالي من المتوقع أن يظهر كل رقم نفس عدد المرات، وفي هذه الحالة، 60 / ن = 10. ويمكن جدولة النتائج على النحو التالي :

أنا{\displaystyle i}ياأنا{\displaystyle O_{i}}هـأنا{\displaystyle E_{i}}ياأنا-هـأنا{\displaystyle O_{i}-E_{i}}(ياأنا-هـأنا)2{\displaystyle (O_{i}-E_{i})^{2}}
1510- 525
2810-2​4
3910- 11
4810-2​4
5101000
6201010100
مجموع134

ثم نستشير جدول القيم الحرجة للذيل العلوي لتوزيع كاي تربيع ، حيث تشير القيمة الجدولية إلى مجموع مربعات المتغيرات مقسومًا على النتائج المتوقعة. بالنسبة للمثال الحالي، هذا يعني χ2=2510+410+110+410+010+10010=13.4.{\displaystyle \chi ^{2}={\frac {25}{10}}+{\frac {4}{10}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {4}{10}}+{\frac {0}{10}}+{\frac {100}{10}}=13.4.}

هذه هي النتيجة التجريبية التي نرغب في تقدير مدى احتمالية حدوثها (مع نرد عادل).

درجات الحرية​احتمال أقل من القيمة الحرجة
0.900.950.9750.990.999
59.23611.07012.83315.08620.515

يقع المجموع التجريبي البالغ 13.4 بين القيمتين الحرجتين لمستوى الدلالة أو الثقة ( قيمة الاحتمال ) 97.5% و99%. وبالتحديد، فإن الحصول على 20 رمية للرقم 6، في حين أن القيمة المتوقعة هي 10 فقط، أمر غير مرجح باستخدام نرد متوازن.

اختبار مربع كاي لجودة المطابقة

في هذا السياق، تُعتبر ترددات كل من التوزيعات النظرية والتجريبية أعدادًا غير مُعَيَّرة، وبالنسبة لاختبار مربع كاي، فإن أحجام العينات الإجماليةشمال{\displaystyle N}يجب أن تكون قيم كلا التوزيعين (مجموع جميع خلايا جداول الطوارئ المقابلة ) متطابقة.

على سبيل المثال، لاختبار فرضية أن عينة عشوائية مكونة من 100 شخص قد سُحبت من مجتمع يتساوى فيه عدد الرجال والنساء، تتم مقارنة العدد الفعلي للرجال والنساء بالعدد النظري البالغ 50 رجلاً و50 امرأة. فإذا كان عدد الرجال في العينة 44 وعدد النساء 56، فإن

χ2=(44-50)250+(56-50)250=1.44.{\displaystyle \chi ^{2}={\frac {{\left(44-50\right)}^{2}}{50}}+{\frac {{\left(56-50\right)}^{2}}{50}}=1.44.}

إذا كانت الفرضية الصفرية صحيحة (أي يتم اختيار الرجال والنساء باحتمالية متساوية)، فسيتم سحب إحصائية الاختبار من توزيع مربع كاي بدرجة حرية واحدة (لأنه إذا كان تردد الذكور معروفًا، فسيتم تحديد تردد الإناث).

تشير دراسة توزيع كاي تربيع بدرجة حرية واحدة إلى أن احتمال ملاحظة هذا الفرق (أو فرق أكبر منه) إذا كان عدد الرجال والنساء متساوياً في المجتمع يبلغ حوالي 0.23. هذا الاحتمال أعلى من المعايير المتعارف عليها للدلالة الإحصائية (0.01 أو 0.05)، لذا لا نرفض عادةً الفرضية الصفرية التي تنص على أن عدد الرجال في المجتمع يساوي عدد النساء (أي أننا نعتبر عيّنتنا ضمن النطاق المتوقع لنسبة 50/50 بين الذكور والإناث).

اختبار مربع كاي للتجانس

يُستخدم اختبار مربع كاي لتجانس النسب (أي مقارنة النسب بين المجموعات في جدول التوافق) بشكل متكرر للتحقق مما إذا كانت صفوف جدول توافق معين غير سالبةم×ن{\displaystyle m\times n}مصفوفة الطوارئأ{\displaystyle A}متناسبة.

يعتبرتي{\displaystyle T}تم تصنيف نتائج التجارب متعددة الحدود وفقًا لمعيارين: العضوية في أحدن{\displaystyle n}المجموعات والتعيين إلى واحدة منم{\displaystyle m}يمكن تصنيف النتائج في فئات.م×ن{\displaystyle m\times n}جدول الطوارئ، حيثياأناج{\displaystyle O_{ij}}يشير إلى التكرار الملاحظ في الصفأنا{\displaystyle i}والعمودج{\displaystyle j}، مع إجمالي الصفوفياأنا⋅{\displaystyle O_{i\cdot }}إجمالي الأعمدةيا⋅ج{\displaystyle O_{\cdot j}}والمجموع الكليتي{\displaystyle T}.

يتركياأناج{\displaystyle O_{ij}}يشير إلى التردد الملاحظ في الخلية المقابلة للصفأنا{\displaystyle i}والعمودج{\displaystyle j}، لأنا=1،2،...،م{\displaystyle i=1,2,\dots ,m}وج=1،2،...،ن{\displaystyle j=1,2,\dots ,n}حدد مجموع الصفوف

Rأنا=∑ج=1نياأناج،أنا=1،...،م،{\displaystyle R_{i}=\sum _{j=1}^{n}O_{ij},\quad i=1,\dots ,m,}

مجموع الأعمدة

جج=∑أنا=1مياأناج،ج=1،...،ن،{\displaystyle C_{j}=\sum _{i=1}^{m}O_{ij},\quad j=1,\dots ,n,}

والمجموع الكلي

تي=∑أنا=1م∑ج=1نياأناج.{\displaystyle T=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}O_{ij}.}

الفرضية الصفرية هي

ح0:π1ج=π2ج=⋯=πمج،∀ج∈1،...،ن،{\displaystyle H_{0}:\pi _{1j}=\pi _{2j}=\cdots =\pi _{mj},\quad \forall j\in {1,\dots ,n},}

أينπأناج∈[0،1]{\displaystyle \pi _{ij}\in [0,1]}يشير إلى نسبة الأفراد في المجموعةأنا{\displaystyle i}يندرج ضمن الفئةج{\displaystyle j}، مع∑ج=1نπأناج=1{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\pi _{ij}=1}لكلأنا{\displaystyle i}.

تحتح0{\displaystyle H_{0}}التردد المتوقع في الخلية(أنا،ج){\displaystyle (i,j)}يكون

هـأناج=Rأناججتي،أنا=1،...،م؛؛ج=1،...،ن.{\displaystyle E_{ij}={\tfrac {R_{i}C_{j}}{T}},\quad i=1,\dots ,m;;j=1,\dots ,n.}

ثم تكون إحصائية اختبار مربع كاي لبيرسون

χإحصائية2=∑أنا=1م∑ج=1ن(ياأناج-هـأناج)2هـأناج.{\displaystyle \chi _{\text{stat}}^{2}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}{\frac {(O_{ij}-E_{ij})^{2}}{E_{ij}}}.}

على سبيل المثال، لنفترض وجود مجموعتين من الطلاب (المجموعة 1 والمجموعة 2) وثلاثة تفضيلات للدراسة (بمفردك، مع الأقران، دروس خصوصية).ياأناج{\displaystyle O_{ij}}يشير إلى التردد الملاحظ في الصفأنا{\displaystyle i}(تفضيل) والعمودج{\displaystyle j}(مجموعة).

الترددات المرصودة هي كما يلي:

التفضيلالمجموعة 1المجموعة الثانيةإجمالي الصف
وحيد12820
مع الأقران182240
الدروس الخصوصية103040
إجمالي العمود4060100

في ظل الفرضية الصفريةح0{\displaystyle H_{0}}، تكون الصفوف متناسبة بين المجموعات.

يتم حساب الترددات المتوقعة باستخدام:

هـأناج=Rأنا⋅ججتي،{\displaystyle E_{ij}={\frac {R_{i}\cdot C_{j}}{T}},}

أينRأنا{\displaystyle R_{i}}هو مجموع الصف،جج{\displaystyle C_{j}}هو مجموع العمود، وتي{\displaystyle T}هذا هو المجموع الكلي.

على سبيل المثال، بالنسبة للصف الأول والعمود الأول:

هـ11=20⋅40100=8.{\displaystyle E_{11}={\frac {20\cdot 40}{100}}=8.}

الترددات المتوقعة هي:

التفضيلالمجموعة 1المجموعة الثانية
وحيد812
مع الأقران1624
الدروس الخصوصية1624

إذن، تكون إحصائية مربع كاي لبيرسون كما يلي:

χإحصائية2=∑أنا=13∑ج=12(ياأناج-هـأناج)2هـأناج=7.5.{\displaystyle \chi _{\text{stat}}^{2}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{2}{\frac {(O_{ij}-E_{ij})^{2}}{E_{ij}}}=7.5.}

مع(3-1)(2-1)=2{\displaystyle (3-1)(2-1)=2}درجات الحرية، يمكن مقارنة هذه القيمة بتوزيع مربع كاي لاختبار الفرضية الصفرية.

عيوب الاختبار

يفشل تقريب توزيع كاي تربيع إذا كانت التكرارات المتوقعة منخفضة للغاية. [ 14 ] [ 15 ]

عادةً ما يكون ذلك مقبولاً طالما أن نسبة الأحداث ذات الترددات المتوقعة الأقل من 5 لا تتجاوز 20%. [ 7 ] عندما تكون هناك درجة حرية واحدة فقط، فإن التقريب غير موثوق به إذا كانت الترددات المتوقعة أقل من 10. في هذه الحالة، يمكن الحصول على تقريب أفضل عن طريق تقليل القيمة المطلقة لكل فرق بين الترددات المرصودة والمتوقعة بمقدار 0.5 قبل التربيع؛ وهذا ما يسمى تصحيح ييتس للاستمرارية .

في الحالات التي تكون فيها القيمة المتوقعة (E) صغيرة (مما يشير إلى احتمالية منخفضة في المجتمع الإحصائي، و/أو عدد قليل من المشاهدات)، قد يفشل التقريب الطبيعي للتوزيع متعدد الحدود، وفي هذه الحالة، يكون من الأنسب استخدام اختبار G ، وهو إحصائية اختبار تعتمد على نسبة الاحتمال . عندما يكون حجم العينة الإجمالي صغيرًا، من الضروري استخدام اختبار دقيق مناسب، عادةً ما يكون إما اختبار ذي الحدين أو، بالنسبة لجداول التوافق ، اختبار فيشر الدقيق . يستخدم هذا الاختبار التوزيع الشرطي لإحصائية الاختبار بالنظر إلى المجاميع الهامشية، وبالتالي يفترض أن الهوامش قد حُددت قبل الدراسة؛ وتُعد البدائل، مثل اختبار بوشلو، التي لا تفترض ذلك، أكثر قوة بشكل عام .

في اختبار بيرسون للتجانس، إذا كانت جميع عناصر المصفوفةأ{\displaystyle A}يتم ضربها بثابت موجبج{\displaystyle c}يتم أيضًا ضرب إحصائية مربع كاي لبيرسون بـج{\displaystyle c}:

χإحصائية2(جأ)=جχإحصائية2(أ).{\displaystyle \chi _{\text{stat}}^{2}(cA)=c\chi _{\text{stat}}^{2}(A).}

لذلك، إذا كانت جميع صفوفأ{\displaystyle A}متناسبة تمامًا،

χإحصائية2(جأ)=جχإحصائية2(أ)=0{\displaystyle \chi _{\text{stat}}^{2}(cA)=c\chi _{\text{stat}}^{2}(A)=0}

لأيج{\displaystyle c}وأي مستوى من الأهميةα{\displaystyle \alpha }. خلاف ذلك،χإحصائية2(جأ){\displaystyle \chi _{\text{stat}}^{2}(cA)}يمكن أن تصبح كبيرة أو صغيرة بشكل تعسفيج{\displaystyle c}يزداد أو ينقص. وبالتالي، عند مستوى دلالة ثابتα{\displaystyle \alpha }، الفرضية الصفريةح0{\displaystyle H_{0}}سيتم رفضها بثقة1-α{\displaystyle 1-\alpha }متىج{\displaystyle c}كبيرة بما يكفي، ولا يتم رفضها عندماج{\displaystyle c}صغير بما فيه الكفاية. [ 15 ] أي أن إحصائية مربع كاي تزداد خطيًا عندما يتم ضرب جدول التوافق بأكمله بعامل ثابت، مما يعكس التناسب النسبي بين التكرارات الملاحظة والمتوقعة.

يمكن إثبات أنχ2{\displaystyle \chi ^{2}}الاختبار هو تقريب منخفض الرتبة لـΨ{\displaystyle \Psi }اختبار. [ 16 ] تتضح الأسباب المذكورة أعلاه للمشاكل المذكورة أعلاه عند دراسة الحدود ذات الرتبة الأعلى.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ بيرسون، كارل (1900). "حول معيار أن نظامًا معينًا من الانحرافات عن الاحتمال في حالة نظام متغيرات مترابطة يكون من الممكن افتراض أنه نشأ بشكل معقول عن أخذ عينات عشوائية" . المجلة الفلسفية . السلسلة 5. 50 (302): 157-175 . doi : 10.1080/14786440009463897 .
  2. ↑ لوكاس، أوريستيس؛ تشونغ، هو ريون (2022). "التوصيف القائم على الإنتروبيا لقيود النمذجة". arXiv : 2206.14105 [ stat.ME ].
  3. ↑ لوكاس، أوريستيس؛ تشونغ، هو ريون (2023). "التجريبية الكاملة: التعلم من البيانات". arXiv : 2311.08315 [ math.ST ].
  4. 1 2 3 ديفيد إي. بوك، بول إف. فيلمان، ريتشارد دي. دي فو (2007). "الإحصاء، نمذجة العالم"، الصفحات 606-627، بيرسون أديسون ويسلي، بوسطن، ISBN 0-13-187621-X
  5. ↑ "1.3.6.7.4. القيم الحرجة لتوزيع كاي تربيع" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 14 أكتوبر 2014 .
  6. ↑ "القيم الحرجة لتوزيع كاي تربيع" . دليل NIST/SEMATECH الإلكتروني للأساليب الإحصائية . المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا.
  7. 1 2 ماكهيو، ماري (15 يونيو 2013). "اختبار مربع كاي للاستقلال" . بيوكيميا ميديكا . 23 (2): 143-149 . doi : 10.11613/BM.2013.018 . PMC 3900058. PMID 23894860 .  
  8. ↑ انظر: فيلد، آندي. اكتشاف الإحصاءات باستخدام برنامج SPSS .للافتراضات المتعلقة باختبار مربع كاي.
  9. ↑ كاش، و. (1979). "تقدير المعلمات في علم الفلك من خلال تطبيق نسبة الاحتمال" . المجلة الفيزيائية الفلكية . 228 : 939. Bibcode : 1979ApJ...228..939C . doi : 10.1086/156922 . ISSN 0004-637X . 
  10. ↑ "إحصاءات النقد والتنبؤ المستقبلي" . hesperia.gsfc.nasa.gov . تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 أكتوبر 2021 .
  11. ↑ "صياغة بايزية لتحليل البيانات الاستكشافي واختبار جودة المطابقة" (ملف PDF) . المجلة الإحصائية الدولية. ص 375. 
  12. ↑ الإحصاء للتطبيقات. MIT OpenCourseWare . المحاضرة 23. نظرية بيرسون. تم الاطلاع بتاريخ 21 مارس 2007.
  13. ↑ بنهامو، إريك؛ ميلوت، فالنتين (3 سبتمبر 2018). "سبعة براهين لاختبار بيرسون كاي تربيع للاستقلال وتفسيره البياني". الصفحات 5-6 . arXiv : 1808.09171 [ math.ST ]. 
  14. ↑ فرانك، تي إم؛ هو، تي؛ كريستي، سي إيه (2012). "اختبار مربع كاي: كثير الاستخدام وكثيرًا ما يُساء تفسيره". المجلة الأمريكية للتقييم . 33 (3): 448-458 .
  15. 1 2 غورفيتش، ف.؛ ناوموفا، م. (2025). "قضايا حرجة في اختبار مربع كاي لبيرسون" . الأساليب الرياضية الحديثة . 3 (2): 101-109 . doi : 10.64700/mmm.75 .
  16. ↑ جاينز، إي تي (2003). نظرية الاحتمالات: منطق العلم . سي. مطبعة الجامعة. ص 298. ISBN  978-0-521-59271-0.( الرابط يؤدي إلى نسخة مجزأة من مارس 1996. )

مراجع