قلم رصاص (هندسة)

في الهندسة ، القلم هو مجموعة من الأشكال الهندسية ذات خاصية مشتركة، على سبيل المثال مجموعة الخطوط التي تمر بنقطة معينة في مستوى ، أو مجموعة الدوائر التي تمر بنقطتين معطيتين في مستوى.

على الرغم من أن تعريف القلم الرصاص غامض إلى حد ما، إلا أن السمة المشتركة هي أن القلم الرصاص يُعرَّف بمعامل يمكن تحديد قيمته من أي عنصرين من عناصره. وللتأكيد على الطبيعة ثنائية الأبعاد لهذا القلم الرصاص، يُشار إليه أحيانًا بالقلم الرصاص المسطح . ^{[ 1 ]}

يمكن استخدام أي شكل هندسي في رسم بياني. ومن الأشكال الشائعة الخطوط، والمستويات، والدوائر، والقطوع المخروطية، والكرات، والمنحنيات العامة. حتى النقاط يمكن استخدامها. الرسم البياني للنقاط هو مجموعة جميع النقاط الواقعة على خط معين. ^{[ 2 ]} ويُطلق على هذه المجموعة عادةً اسم نطاق النقاط.

في الطائرة ، دع${\displaystyle \ell }$و${\displaystyle \ell '}$لنفترض أن لدينا خطين متقاطعين مختلفين. وللتوضيح، لنفترض أن${\displaystyle \ell }$لها المعادلة،${\displaystyle aX+bY+c=0}$و${\displaystyle \ell '}$لها المعادلة${\displaystyle a'X+b'Y+c'=0}$. ثم $${\displaystyle \lambda \ell +\mu \ell '=0,}$$ يمثل، بالنسبة للكميات العددية المناسبة${\displaystyle \lambda }$و${\displaystyle \mu }$أي خط يمر عبر تقاطع${\displaystyle \ell =0}$و${\displaystyle \ell '=0}$تُسمى هذه المجموعة من الخطوط التي تمر بنقطة مشتركة بحزمة الخطوط . ^{[ 3 ]} وتُسمى النقطة المشتركة لحزمة الخطوط برأس الحزمة.

في المستوى الأفيني ذي التوازي الانعكاسي ، تُشكّل مجموعة الخطوط المتوازية فئة تكافؤ تُسمى حزمة الخطوط المتوازية . ^{[ 4 ]} يتوافق هذا المصطلح مع التعريف السابق، حيث أنه في الامتداد الإسقاطي الفريد للمستوى الأفيني إلى مستوى إسقاطي، تُضاف نقطة واحدة ( نقطة عند اللانهاية ) إلى كل خط في حزمة الخطوط المتوازية، مما يجعلها حزمة بالمعنى المذكور أعلاه في المستوى الإسقاطي.

قلم من أنصاف الخطوط ، ويسمى أيضاً نصف قلم ، هو مجموعة من أنصاف الخطوط التي تشترك في رأس مشترك. ^{[ 5 ] [ 6 ]} ويستخدم في علم البصريات كنموذج لحزم القلم .

حزمة المستويات هي مجموعة المستويات التي تمر بخط مستقيم معين في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يُسمى محور الحزمة. ويُشار إلى الحزمة أحيانًا باسم الحزمة المحورية ^{[ 7 ]} أو مروحة المستويات أو حزمة المستويات ^{[ 8 ]} . على سبيل المثال، تُحدد خطوط الطول للكرة الأرضية بواسطة حزمة المستويات على محور دوران الأرض.

يلتقي مستويان متقاطعان في خط مستقيم في الفضاء ثلاثي الأبعاد، ومن ثم، يتم تحديد المحور وبالتالي جميع المستويات في القلم.

الفضاء الرباعي للأعداد الرباعية${\displaystyle \mathbb {H} =\{a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} |a,b,c,d\in \mathbb {R} \}}$يمكن اعتبارها حزمة محورية من المستويات المركبة التي تشترك جميعها في نفس الخط الحقيقي. في الواقع، تحتوي الكواترنيونات على كرة من الوحدات التخيلية ، أي${\displaystyle \{b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} |(b,c,d)\in S^{2}\}}$وزوج من النقاط المتقابلة على هذه الكرة، بالإضافة إلى المحور الحقيقي، يُولِّد مستوىً مُركَّباً. ويُشكِّل اتحاد جميع هذه المستويات المُركَّبة الجبر الرباعي للأعداد الرباعية.

أي زوج من الدوائر في المستوى له محور جذري ، وهو الخط الذي يضم جميع النقاط التي لها نفس القوة بالنسبة للدائرتين. حزمة الدوائر (أو النظام المحوري ) هي مجموعة جميع الدوائر في المستوى التي لها نفس المحور الجذري. ^{[ 9 ]} وللشمولية، يُقال إن الدوائر متحدة المركز لها الخط عند اللانهاية كمحور جذري.

توجد خمسة أنواع من حزم الدوائر، ^{[ 10 ]} وتمثل عائلتا دوائر أبولو في الرسم التوضيحي أعلاه نوعين منها. يُحدد كل نوع بدائرتين تُسميان مولدات الحزمة. عند وصفها جبريًا، من الممكن أن تقبل المعادلات حلولًا تخيلية. الأنواع هي:

• يُعرَّف القلم الإهليلجي ( مجموعة الدوائر الحمراء في الشكل) بمولدين يمران ببعضهما في نقطتين فقط . كل دائرة في القلم الإهليلجي تمر بالنقطتين نفسيهما. ولا يتضمن القلم الإهليلجي أي دوائر وهمية.
• يُعرَّف القلم الزائدي (مجموعة الدوائر الزرقاء في الشكل) بمولدين لا يتقاطعان في أي نقطة. ويشمل دوائر حقيقية، ودوائر تخيلية، ودائرتين نقطيتين متدهورتين تُسميان نقاط بونسيليه للقلم. تنتمي كل نقطة في المستوى إلى دائرة واحدة فقط من دوائر القلم.
• يُعرَّف الشريط المكافئ (كحالة حدية) عندما تتماس دائرتان مولدتان عند نقطة واحدة . ويتكون من مجموعة من الدوائر الحقيقية، جميعها متماسّة عند نقطة مشتركة واحدة. كما تنتمي الدائرة المنحلة ذات نصف القطر صفر عند تلك النقطة إلى هذا الشريط.
• عائلة من الدوائر متحدة المركز متمركزة في مركز مشترك (يمكن اعتبارها حالة خاصة من قلم زائدي حيث تكون النقطة الأخرى هي النقطة عند اللانهاية).
• مجموعة الخطوط المستقيمة التي تمر بنقطة مشتركة؛ ينبغي تفسيرها على أنها دوائر تمر جميعها بالنقطة عند اللانهاية (يمكن اعتبارها حالة خاصة من قلم القطع الناقص). ^{[ 11 ] [ 12 ]}

شكل قلبي كغلاف لقلم من الدوائر

يمكن الحصول على نوع آخر من حزم الدوائر كما يلي: لنفترض دائرة معينة (تُسمى دائرة المولد ) ونقطة مميزة P على دائرة المولد. تشكل مجموعة جميع الدوائر التي تمر بالنقطة P وتقع مراكزها على دائرة المولد حزمة دوائر. غلاف هذه الحزمة هو شكل قلبي .

تُحدد الكرة بشكل فريد بأربع نقاط غير واقعة في مستوى واحد . وبشكل أعم، تُحدد الكرة بشكل فريد بأربعة شروط، مثل المرور بنقطة، أو التماس مع مستوى، وما إلى ذلك. ^{[ 15 ]} هذه الخاصية مماثلة لخاصية أن ثلاث نقاط غير واقعة على استقامة واحدة تُحدد دائرة فريدة في مستوى واحد.

وبالتالي، يتم تحديد الكرة بشكل فريد من خلال (أي أنها تمر عبر) دائرة ونقطة ليست في مستوى تلك الدائرة.

بفحص الحلول المشتركة لمعادلات كرتين ، يتضح أن الكرتين تتقاطعان في دائرة، ويُسمى المستوى الذي يحتوي على هذه الدائرة بالمستوى الجذري للكرتين المتقاطعتين. ^{[ 16 ]} مع أن المستوى الجذري هو مستوى حقيقي، إلا أن الدائرة قد تكون وهمية (أي لا تشترك الكرتان في أي نقطة حقيقية) أو قد تتكون من نقطة واحدة (أي تكون الكرتان متماستين عند تلك النقطة). ^{[ 17 ]}

لو${\displaystyle f(x,y,z)=0}$و${\displaystyle g(x,y,z)=0}$إذا كانت معادلات كرتين مختلفتين $${\displaystyle \lambda f(x,y,z)+\mu g(x,y,z)=0}$$ وهي أيضًا معادلة كرة لأي قيم للمعاملات${\displaystyle \lambda }$و${\displaystyle \mu }$تُسمى مجموعة جميع الكرات التي تحقق هذه المعادلة حزمة كرات محددة بالكرتين الأصليتين. في هذا التعريف، يُسمح للكرة أن تكون مستوية (نصف قطرها لانهائي، ومركزها في اللانهاية)، وإذا كانت كلتا الكرتين الأصليتين مستويتين، فإن جميع كرات الحزمة تكون مستوية، وإلا فلا يوجد سوى مستوى واحد (المستوى الجذري) في الحزمة. ^{[ 18 ]}

إذا لم تتكون حزمة الكرات من جميع المستويات، فهناك ثلاثة أنواع من الحزم: ^{[ 17 ]}

• إذا تقاطعت الكرات في دائرة حقيقية C ، فإن الحزمة تتكون من جميع الكرات التي تحتوي على C ، بما في ذلك المستوى الجذري. تقع مراكز جميع الكرات العادية في الحزمة على خط يمر بمركز C وعمودي على المستوى الجذري.
• إذا تقاطعت الكرات في دائرة وهمية، فإن جميع كرات الحزمة تمر أيضًا بهذه الدائرة الوهمية، ولكنها ككرات عادية تكون منفصلة (لا تشترك في أي نقاط حقيقية). ويكون خط المراكز عموديًا على المستوى الجذري، وهو مستوى حقيقي في الحزمة يحتوي على الدائرة الوهمية.
• إذا تقاطعت الكرات في نقطة A ، فإن جميع الكرات في الحزمة تكون مماسية عند A ، ويكون المستوى الجذري هو المستوى المماس المشترك لجميع هذه الكرات. ويكون خط المراكز عموديًا على المستوى الجذري عند A.

جميع الخطوط المماسية من نقطة ثابتة في المستوى الجذري إلى كرات قلم الرصاص لها نفس الطول. ^{[ 17 ]}

المستوى الجذري هو المحل الهندسي لمراكز جميع الكرات المتعامدة مع جميع الكرات في حزمة من الكرات. علاوة على ذلك، فإن الكرة المتعامدة مع أي كرتين من حزمة الكرات تكون متعامدة مع جميع الكرات الأخرى، ويقع مركزها في المستوى الجذري للحزمة. ^{[ 17 ]}

يُحدد القطع المخروطي (غير المنحط) تمامًا بخمس نقاط تقع في مستوى واحد (لا تقع ثلاث منها على استقامة واحدة)، ويُطلق على نظام القطوع المخروطية التي تمر بمجموعة ثابتة من أربع نقاط (أيضًا في مستوى واحد ولا تقع ثلاث منها على استقامة واحدة) اسم حزمة القطوع المخروطية . ^{[ 19 ]} تُسمى النقاط الأربع المشتركة بنقاط الأساس للحزمة. يمر عبر أي نقطة أخرى غير نقاط الأساس قطع مخروطي واحد من الحزمة. يُعمم هذا المفهوم مفهوم حزمة الدوائر.

في مستوى إسقاطي مُعرَّف على حقل مغلق جبريًا، يتقاطع أي قطعين مخروطيين في أربع نقاط (مع مراعاة التعددية)، ومن ثمّ، يتم تحديد حزمة القطوع المخروطية بناءً على هذه النقاط الأربع. علاوة على ذلك، تُحدِّد النقاط الأساسية الأربع ثلاثة أزواج من الخطوط ( قطوع مخروطية متدهورة تمر عبر النقاط الأساسية، ويحتوي كل خط من الزوج على نقطتين أساسيتين فقط)، وبالتالي، تحتوي كل حزمة من القطوع المخروطية على ثلاثة قطوع مخروطية متدهورة على الأكثر. ^{[ 20 ]}

يمكن تمثيل حزمة من القطوع المخروطية جبريًا بالطريقة التالية. ليكن${\displaystyle C_{1}}$و${\displaystyle C_{2}}$ليكن قطعان مخروطيان متميزان في مستوى إسقاطي معرف على حقل مغلق جبريًا${\displaystyle K}$لكل زوج${\displaystyle (\lambda ,\mu )}$من عناصر${\displaystyle K}$، وليس كلاهما صفر، التعبير: $${\displaystyle \lambda C_{1}+\mu C_{2}}$$ يمثل قطعًا مخروطيًا في القلم الرصاص يتم تحديده بواسطة${\displaystyle C_{1}}$و${\displaystyle C_{2}}$يمكن تجسيد هذا التمثيل الرمزي باستخدام قدر ضئيل من التجاوز في استخدام الرموز (باستخدام نفس الرموز للدلالة على الشيء وكذلك المعادلة التي تُعرّف الشيء). بالتفكير في${\displaystyle C_{1}}$على سبيل المثال، كصيغة تربيعية ثلاثية ، إذن${\displaystyle C_{1}=0}$هي معادلة "القطع المخروطي"${\displaystyle C_{1}}$"... ويمكن تحقيق إدراك ملموس آخر من خلال التفكير في${\displaystyle C_{1}}$باعتبارها المصفوفة المتناظرة 3×3 التي تمثلها. إذا${\displaystyle C_{1}}$و${\displaystyle C_{2}}$إذا كانت هناك تجسيدات ملموسة كهذه، فإن كل عنصر من عناصر المجموعة المذكورة أعلاه سيحقق ذلك أيضًا. وبما أن الإعداد يستخدم إحداثيات متجانسة في مستوى إسقاطي، فإن تمثيلين ملموسين (سواء كانا معادلتين أو مصفوفتين) يعطيان نفس القطع المخروطي إذا اختلفا بثابت ضربي غير صفري.

بشكل أعم، يُعدّ القلم حالة خاصة من نظام القواسم الخطية حيث يكون فضاء المعاملات خطًا إسقاطيًا . على سبيل المثال، تُكتب أقلام المنحنيات النموذجية في المستوى الإسقاطي على النحو التالي:$${\displaystyle \lambda C+\mu C'=0}$$

أين${\displaystyle C=0}$،${\displaystyle C'=0}$هي منحنيات مستوية.

يُنسب إلى جيرارد ديزارج ابتكار مصطلح "قلم الخطوط" ( ordonnance de lignes ). ^{[ 21 ]}

قدم جي بي هالستيد، أحد أوائل مؤلفي الهندسة الإسقاطية الحديثة، مصطلحي " المستقيم المتطابق " و "القلم المسطح " لتعريف الزاوية : "المستقيمات التي لها نفس التقاطع هي مستقيمات متطابقة". كما أن "مجموع جميع المستقيمات المتطابقة والمتساوية في المستوى يسمى قلمًا مسطحًا " و"جزء من قلم مسطح محدد بضلعين من المستقيمات يسمى زاوية " . ^{[ 22 ]}

• تعديل الحزمة
• قلم رصاص ليفشيتز
• قلم رصاص ماتريكس
• شعاع قلم رصاص
• التليف
• الموضع

• ألبرت، أبراهام أدريان (2016) [1949]، الهندسة التحليلية الصلبة ، دوفر، ISBN 978-0-486-81026-3
• آرتين، إي. (1957)، الجبر الهندسي ، دار نشر إنترساينس
• فولكنر، تي إي (1952)، الهندسة الإسقاطية (  الطبعة الثانية)، إدنبرة: أوليفر وبويد، رقم ISBN 9780486154893{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• هالستيد، جورج بروس (1906)، الهندسة الإسقاطية التركيبية ، نيويورك: وايلي
• جونسون، روجر أ. (2007) [1929]، الهندسة الإقليدية المتقدمة ، دوفر، ISBN 978-0-486-46237-0
• بيدو، دان (1988) [1970]، الهندسة / دورة شاملة ، دوفر، ISBN 0-486-65812-0
• بفايفر، ريتشارد إي؛ فان هوك، كاثلين (1993)، "الدوائر والمتجهات والجبر الخطي"، مجلة الرياضيات ، 66 (2): 75-86 ، doi : 10.2307/2691113 ، JSTOR 2691113 
• صموئيل، بيير (1988)، الهندسة الإسقاطية ، نصوص جامعية في الرياضيات (قراءات في الرياضيات)، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 0-387-96752-4
• شويردتفيغر، هانز (1979) [1962]، هندسة الأعداد المركبة: هندسة الدائرة، تحويل موبيوس، الهندسة غير الإقليدية ، دوفر، ص 8-10 .
• يونغ، جون ويسلي (1971) [1930]، الهندسة الإسقاطية ، سلسلة كاروس رقم 4، الجمعية الرياضية الأمريكية
• وودز، فريدريك س. (1961) [1922]، الهندسة العليا / مقدمة في الأساليب المتقدمة في الهندسة التحليلية ، دوفر

• وايسشتاين، إريك دبليو ، "قلم رصاص" ، عالم الرياضيات