هوية الاستقطاب

إذا كان الفضاء المتجهي على الأعداد الحقيقية ، فإن متطابقات الاستقطاب هي: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).\\[3pt]\end{alignedat}}}$$

جميع هذه الأشكال المختلفة متكافئة وفقًا لقانون متوازي الأضلاع : ^{[ البرهان 1 ]}$${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.}$$

وهذا يعني أيضاً أن${\displaystyle L^{p}}$لا تُعتبر الفئة فضاء هيلبرت في أي وقت${\displaystyle p\neq 2}$، لأن قانون متوازي الأضلاع غير مُحقق. ولغرض تقديم مثال مضاد، انظر${\displaystyle x=1_{A}}$و${\displaystyle y=1_{B}}$لأي مجموعتين جزئيتين منفصلتين${\displaystyle A,B}$المجال العام${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$واحسب قياس المجموعتين وفقًا لقانون متوازي الأضلاع.

بالنسبة للفضاءات المتجهة على الأعداد المركبة ، فإن الصيغ المذكورة أعلاه ليست دقيقة تمامًا لأنها لا تصف الجزء التخيلي من الضرب الداخلي (المركب). ومع ذلك، يضمن تعبير مماثل الاحتفاظ بكل من الجزأين الحقيقي والتخيلي. يعتمد الجزء المركب من الضرب الداخلي على ما إذا كان مضادًا للخطية في المتغير الأول أو الثاني.${\displaystyle \langle x|y\rangle ,}$والذي يُستخدم عادةً في الفيزياء، سيُفترض أنه مضاد للخطية في الوسيط الأول بينما${\displaystyle \langle x,\,y\rangle ,}$يُفترض أن الدالة المستخدمة عادةً في الرياضيات، والتي تُعتبر دالة مضادة للخطية في وسيطها الثاني ، مرتبطة بالصيغة التالية: $${\displaystyle \langle x,\,y\rangle =\langle y\,|\,x\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in H.}$$

الجزء الحقيقي لأي جداء داخلي (بغض النظر عن أي وسيط مضاد للخطية وبغض النظر عما إذا كان حقيقيًا أو مركبًا) هو تطبيق ثنائي خطي متناظر يكون لأي${\displaystyle x,y\in H}$يساوي دائمًا: ^{[ 4 ] [ البرهان 1 ]}$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}R(x,y):&=\operatorname {Re} \langle x\mid y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \\&={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).\\[3pt]\end{alignedat}}}$$

إنها دائماً خريطة متناظرة ، مما يعني أن ^{[ البرهان 1 ]}$${\displaystyle R(x,y)=R(y,x)\quad {\text{ for all }}x,y\in H,}$$ وهو يحقق أيضًا ما يلي: ^{[ البرهان 1 ]}$${\displaystyle R(ix,y)=-R(x,iy)\quad {\text{ for all }}x,y\in H,}$$ وهذا يعني ببساطة أنه لتحريك عامل من${\displaystyle i}$بالنسبة للحجة الأخرى، أدخل إشارة سالبة. يمكن إثبات هذه الخصائص إما من خصائص الضرب الداخلي مباشرة أو من خصائص المعايير باستخدام متطابقة الاستقطاب.

إثبات خصائص${\displaystyle R}$باستخدام هوية الاستقطاب

يترك $${\displaystyle R(x,y):={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).}$$ ثم${\displaystyle R(y,x)={\frac {1}{4}}\left(\|y+x\|^{2}-\|y-x\|^{2}\right)={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)=R(x,y),}$ مما يثبت أن${\displaystyle R(x,y)=R(y,x)}$⁠ . بالإضافة إلى ذلك، ${\displaystyle R(ix,y)={\frac {1}{4}}\left(\|ix+y\|^{2}-\|ix-y\|^{2}\right)}$ ${\displaystyle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+(1/i)y\|^{2}-\|x-(1/i)y\|^{2}\right)}$ ${\displaystyle ={\frac {1}{4}}\left(\|x-iy\|^{2}-\|x+iy\|^{2}\right)}$ ${\displaystyle =-{\frac {1}{4}}\left(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}\right)}$ ${\displaystyle =-R(x,iy),}$ مما يثبت أن${\displaystyle R(ix,y)=-R(x,iy).}$${\displaystyle \blacksquare }$

بخلاف الجزء الحقيقي، يعتمد الجزء التخيلي من الضرب الداخلي المركب على أي وسيط يكون مضادًا للخطية.

مضاد للخطية في الوسيط الأول

متطابقات الاستقطاب للضرب الداخلي${\displaystyle \langle x\,|\,y\rangle ,}$وهو ما يكون غير خطي في الحجة الأولى ،

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\,|\,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{3}i^{k}\|x+(-i)^{k}y\|^{2}\\&=R(x,y)-iR(x,iy)\\&=R(x,y)+iR(ix,y)\\\end{alignedat}}}$

أين${\displaystyle x,y\in H.}$ المساواة قبل الأخيرة تشبه الصيغة التي تعبر عن دالة خطية${\displaystyle \varphi }$من حيث الجزء الحقيقي منها:${\displaystyle \varphi (y)=\operatorname {Re} \varphi (y)-i(\operatorname {Re} \varphi )(iy).}$

مضاد للخطية في الحجة الثانية

متطابقات الاستقطاب للضرب الداخلي${\displaystyle \langle x,\ y\rangle ,}$وهو أمر غير خطي في الحجة الثانية ، وينتج عن ذلك الخاص بـ${\displaystyle \langle x\,|\,y\rangle }$بحسب العلاقة: ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle$ :=\langle y\,|\,x\rangle ={\overline {\langle x\,|\,y\rangle }}\quad {\text{ for all }}x,y\in H.} لذلك لأي${\displaystyle x,y\in H,}$^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=R(x,y)+iR(x,iy)\\&=R(x,y)-iR(ix,y).\\\end{alignedat}}}$

يمكن صياغة هذا التعبير بشكل متناظر على النحو التالي: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{3}i^{k}\left\|x+i^{k}y\right\|^{2}.}$$

ملخص الحالتين

وبالتالي إذا${\displaystyle R(x,y)+iI(x,y)}$يشير إلى الأجزاء الحقيقية والخيالية لقيمة منتج داخلي ما عند النقطة${\displaystyle (x,y)\in H\times H}$من نطاقها، فإن الجزء التخيلي منها سيكون: $${\displaystyle I(x,y)~=~{\begin{cases}~R({\color {red}i}x,y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {red}1}{\text{st argument}}\\~R(x,{\color {blue}i}y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {blue}2}{\text{nd argument}}\\\end{cases}}}$$ حيث الكمية القياسية${\displaystyle i}$يقع دائمًا في نفس الحجة التي يكون فيها الضرب الداخلي مضادًا للخطية.

باستخدام​${\displaystyle R(ix,y)=-R(x,iy)}$تصبح الصيغة المذكورة أعلاه للجزء التخيلي كما يلي :$${\displaystyle I(x,y)~=~{\begin{cases}-R(x,{\color {black}i}y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {black}1}{\text{st argument}}\\-R({\color {black}i}x,y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {black}2}{\text{nd argument}}\\\end{cases}}}$$

لو${\displaystyle A:H\to Z}$هو تماثل خطي بين فضاءين هيلبرت (لذا${\displaystyle \|Ah\|=\|h\|}$للجميع${\displaystyle h\in H}$) ثم $${\displaystyle \langle Ah,Ak\rangle _{Z}=\langle h,k\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h,k\in H;}$$ أي أن التماثلات الخطية تحافظ على المنتجات الداخلية.

لو${\displaystyle A:H\to Z}$بدلاً من ذلك، يكون قياسًا متساوي القياس مضادًا للخطية.$${\displaystyle \langle Ah,Ak\rangle _{Z}={\overline {\langle h,k\rangle _{H}}}=\langle k,h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h,k\in H.}$$

يمكن كتابة الصيغة الثانية لهوية الاستقطاب على النحو التالي: $${\displaystyle \|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).}$$

هذا في الأساس شكل متجهي لقانون جيب التمام للمثلث المتكون من المتجهات${\displaystyle {\textbf {u}}}$،​​${\displaystyle {\textbf {v}}}$، و​${\displaystyle {\textbf {u}}-{\textbf {v}}}$. على وجه الخصوص، $${\displaystyle {\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}=\|{\textbf {u}}\|\,\|{\textbf {v}}\|\cos \theta ,}$$ أين${\displaystyle \theta }$هي الزاوية بين المتجهين${\displaystyle {\textbf {u}}}$و​${\displaystyle {\textbf {v}}}$⁠ .

تكون المعادلة غير مستقرة عدديًا إذا كانت قيم u و v متشابهة بسبب الإلغاء الكارثي ويجب تجنبها في الحساب العددي.

تُعطى العلاقة الأساسية بين المعيار والضرب القياسي بالمعادلة $${\displaystyle \|{\textbf {v}}\|^{2}={\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}}.}$$

ثم $${\displaystyle {\begin{aligned}\|{\textbf {u}}+{\textbf {v}}\|^{2}&=({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\cdot ({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\\[3pt]&=({\textbf {u}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}})\\[3pt]&=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}+2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}),\end{aligned}}}$$ وبالمثل $${\displaystyle \|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).}$$

يمكن الآن الحصول على الصيغتين (1) و(2) لهوية الاستقطاب عن طريق حل هذه المعادلات لـ ⁠${\displaystyle {\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}}$بينما ينتج الشكل (3) من طرح هاتين المعادلتين. (بجمع هاتين المعادلتين معًا نحصل على قانون متوازي الأضلاع).

تنص نظرية جوردان - فون نيومان القياسية ، كما ذُكر سابقًا، على أنه إذا حقق معيار ما قانون متوازي الأضلاع، فإنه يمكن استنتاجه من خلال جداء داخلي مُعرَّف بواسطة متطابقة الاستقطاب. وهناك صيغ مختلفة لهذه النظرية. ^{[ 7 ]}

عرّف المعاني المختلفة للتعامد:

• متساوي الساقين:${\textstyle \|x+y\|=\|x-y\|}$
• روبرتس:${\textstyle \left\|x+ty\right\|=\left\|x-ty\right\|}$لجميع الكميات العددية${\textstyle t}$.
• فيثاغورس:${\textstyle \left\|x+y\right\|^{2}=\|x\|^{2}+\left\|y\right\|^{2}}$
• بيركوف-جيمس:${\textstyle \|x\|\leq \|x+ty\|}$لجميع الكميات العددية${\textstyle t}$.

يترك${\textstyle V}$ليكن فضاءً متجهيًا على الأعداد الحقيقية أو المركبة.${\textstyle \|\cdot \|}$أن يصبح معيارًا في جميع أنحاء${\textstyle V}$ندرس الشروط التي يُستحث فيها المعيار بواسطة الضرب الداخلي. في العبارات التالية، كلما ظهر عدد قياسي، يمكن تقييد هذا العدد القياسي ليكون حقيقيًا فقط، حتى عندما${\textstyle V}$يتعلق الأمر بالأعداد المركبة.

• (شرط فون نيومان-جوردان) المعيار يحقق هوية متوازي الأضلاع.
• (شرط فون نيومان-جوردان المضعف)${\textstyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=4}$لجميع متجهات الوحدة${\textstyle x,y}$أي أن المعيار يحقق متطابقة متوازي الأضلاع لمتجهات الوحدة.
• لأي${\textstyle x,y\in V}$، مجموعة النقاط المتساوية البعد عن${\textstyle x,y}$مسطح، أي فضاء فرعي أفيني.
• التعامد، سواء بمعنى متساوي الساقين أو بمعنى روبرتس، يكون إما جمعيًا أو متجانسًا على متغير واحد.
• لكل فضاء فرعي ثنائي الأبعاد${\textstyle W\subset V}$لكل${\textstyle x\in W}$، يوجد${\textstyle y\in W}$هذا هو التعامد الذي وضعه روبرتس لـ${\textstyle x}$.
• التعامد المتساوي الساقين يستلزم التعامد الفيثاغورسي.
• التعامد الفيثاغوري يستلزم التعامد متساوي الساقين.
• لو${\textstyle x,y}$إذا كانت متعامدة وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن كذلك${\textstyle x,-y}$.
• التعامد في بيركوف-جيمس متناظر.
• لو${\textstyle \|x\|=\|y\|}$و${\textstyle t,s}$إذا كانت حقيقية، فإذن${\textstyle \|tx+sy\|=\|sx+ty\|}$.

بالنسبة للفضاء المتجهي الحقيقي، يوجد أيضًا الشرط التالي:

• أي شريحة ثنائية الأبعاد من كرة الوحدة هي قطع ناقص، أي قابلة للتحديد كمعاملات${\textstyle \{x\cos \theta +y\sin \theta$ :\theta \in [0,2\pi ]\}} , لبعض متجهات الوحدة${\textstyle x,y}$.

مسألة دوران باناخ-مازور: بالنظر إلى فضاء باناخ قابل للفصل${\textstyle V}$بحيث يكون لأي متجهين وحدة${\textstyle x,y,}$يوجد تماثل خطي شامل${\textstyle T}$بحيث${\textstyle T(x)=y}$أو${\textstyle T(y)=x}$، يكون${\textstyle V}$هل هو متماثل قياسياً مع فضاء هيلبرت؟

الحالة العامة للمسألة مفتوحة . عندما يكون الفضاء محدود الأبعاد، تكون الإجابة نعم. بعبارة أخرى، إذا كان لدينا فضاء متجهي معياري محدود الأبعاد على الأعداد الحقيقية أو المركبة، وإذا أمكن تحويل أي نقطة على كرة الوحدة (تدويرها) إلى أي نقطة أخرى بواسطة تحويل خطي متساوي القياس، فإن المعيار يُستنتج من الضرب الداخلي. ^{[ 8 ]}

لا تقتصر متطابقات الاستقطاب على الضرب الداخلي. إذا${\displaystyle B}$أي شكل ثنائي خطي متناظر على فضاء متجهي، و${\displaystyle Q}$هي الصيغة التربيعية المعرفة بواسطة $${\displaystyle Q(v)=B(v,v),}$$ ثم $${\displaystyle {\begin{aligned}2B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u)-Q(v),\\2B(u,v)&=Q(u)+Q(v)-Q(u-v),\\4B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u-v).\end{aligned}}}$$

تعمم ما يسمى بخريطة التناظر الصيغة الأخيرة، وتستبدل${\displaystyle Q}$بواسطة متعددة حدود متجانسة من الدرجة${\displaystyle k}$محدد بواسطة${\displaystyle Q(v)=B(v,\ldots ,v),}$أين${\displaystyle B}$هو متناظر${\displaystyle k}$الخريطة الخطية. ^{[ 9 ]}

تنطبق الصيغ المذكورة أعلاه حتى في حالة كون حقل الكميات القياسية ذا خاصية اثنين، على الرغم من أن الطرف الأيسر يساوي صفرًا في هذه الحالة. ونتيجة لذلك، في الخاصية اثنين، لا توجد صيغة للشكل الثنائي الخطي المتناظر بدلالة شكل تربيعي، وهما في الواقع مفهومان مختلفان، وهي حقيقة لها تبعات مهمة في نظرية L ؛ وللاختصار، يُشار إلى "الأشكال الثنائية الخطية المتناظرة" في هذا السياق غالبًا باسم "الأشكال المتناظرة".

تنطبق هذه الصيغ أيضًا على الأشكال الثنائية الخطية على الوحدات النمطية فوق حلقة تبديلية ، على الرغم من أنه لا يمكن حلها إلا لـ${\displaystyle B(u,v)}$إذا كان العدد 2 قابلاً للعكس في الحلقة، وإلا فهذه مفاهيم مختلفة. على سبيل المثال، في مجموعة الأعداد الصحيحة، يمكن التمييز بين الأشكال التربيعية الصحيحة والأشكال المتناظرة الصحيحة ، وهي مفهوم أضيق.

وبشكل أعم، في حالة وجود التفاف حلقي أو عندما يكون العدد 2 غير قابل للعكس، يتم التمييز بين${\displaystyle \varepsilon }$- الأشكال التربيعية و${\displaystyle \varepsilon }$الأشكال المتناظرة ؛ يُعرّف الشكل المتناظر شكلاً تربيعياً، وتُسمى هوية الاستقطاب (بدون عامل 2) من شكل تربيعي إلى شكل متناظر " خريطة التناظر "، وهي ليست تماثلاً بشكل عام. تاريخياً، كان هذا تمييزاً دقيقاً: ففي مجال الأعداد الصحيحة، لم تُفهم العلاقة بين "إخراج العدد 2" ( الشكل التربيعي الصحيح ) و"إدخال العدد 2" ( الشكل المتناظر الصحيح ) إلا في خمسينيات القرن العشرين - انظر المناقشة في الشكل التربيعي الصحيح ؛ وفي جبرية نظرية الجراحة ، استخدم ميشينكو في الأصل زمر L المتناظرة ، بدلاً من زمر L التربيعية الصحيحة (كما في وال ورانيكي) - انظر المناقشة في نظرية L.

وأخيرًا، في أي من هذه السياقات، يمكن توسيع هذه المتطابقات لتشمل كثيرات الحدود المتجانسة (أي الأشكال الجبرية ) ذات الدرجة التعسفية ، حيث تُعرف باسم صيغة الاستقطاب ، ويتم استعراضها بمزيد من التفصيل في المقالة المتعلقة باستقطاب الشكل الجبري .