ما قبل الحدسية

في فلسفة الرياضيات ، يُطلق مصطلح "ما قبل الحدسيين" على عدد من علماء الرياضيات المؤثرين الذين تشاركوا آراءً متشابهة حول طبيعة الرياضيات، وذلك على يد ل . إ. ج. براور. وقد استخدم براور هذا المصطلح لأول مرة في محاضراته التي ألقاها عام 1951 في جامعة كامبريدج ، حيث وصف الاختلافات بين فلسفته الحدسية والفلسفات السابقة لها: ^{[ 1 ]}

كانت المدرسة ما قبل الحدسية، بقيادة بوانكاريه وبوريل وليبيغ ، ذات توجه مختلف تمامًا عن المدرسة الشكلية القديمة التي أسسها ديديكيند وكانتور وبيانو وزيرميلو وكوتورا وغيرهم . ويبدو أن هؤلاء المفكرين قد تبنوا موقفًا رصديًا معدلًا فيما يتعلق بإدخال الأعداد الطبيعية ، ومبدأ الاستقراء الكامل [ ... ] . بالنسبة لهذه النظريات، حتى تلك التي استُنتجت باستخدام المنطق الكلاسيكي، فقد افترضوا وجودًا ودقةً مستقلين عن اللغة والمنطق ، واعتبروا عدم تناقضها أمرًا مؤكدًا، حتى بدون برهان منطقي. أما بالنسبة للمتصل، فيبدو أنهم لم يبحثوا عن أصل خارج عن اللغة والمنطق تمامًا.

هذا الإحساس بالتعريف سمح لبوانكاريه بالجدال مع برتراند راسل حول نظرية جوزيبي بيانو البديهية للأعداد الطبيعية .

تنص البديهية الخامسة لبيانو على ما يلي:

• اسمح بذلك؛ الصفر له خاصية P ؛
• وإذا كان كل عدد طبيعي أقل من العدد x يتمتع بالخاصية P، فإن x يتمتع أيضًا بالخاصية P.
• لذلك ؛ كل عدد طبيعي له الخاصية P.

هذا هو مبدأ الاستقراء الكامل ، الذي يُثبت أن خاصية الاستقراء ضرورية للنظام. ولأن بديهية بيانو لا نهائية كالأعداد الطبيعية ، يصعب إثبات أن الخاصية P تنطبق على أي قيمة لـ x وأيضًا على x  +  1. ما يمكن فعله هو القول بأنه إذا أظهرت التجارب التي أجريت بعد عدد n من المحاولات أن الخاصية P محفوظة في x و x  +  1، فيمكننا استنتاج أنها ستظل صحيحة بعد n  +  1 محاولة. لكن هذا في حد ذاته استقراء. ومن ثم، فإن الحجة تُصادر على المطلوب .

انطلاقاً من هذا، يجادل بوانكاريه بأنه إذا فشلنا في إثبات اتساق بديهيات بيانو للأعداد الطبيعية دون الوقوع في حلقة مفرغة، فإن مبدأ الاستقراء الكامل لا يمكن إثباته بالمنطق العام .

وهكذا، فإن الحساب والرياضيات عمومًا ليسا تحليليين بل تركيبيين . وبذلك، يُرفض المنطق ويُعلي من شأن الحدس . ما جمع بين بوانكاريه وأتباعه من رواد الحدس هو إدراكهم للاختلاف بين المنطق والرياضيات، وهو اختلاف لا يقتصر على اللغة فحسب، بل يشمل المعرفة ذاتها.

لهذا السبب، من بين أسباب أخرى، اعتُبر بوانكاريه مشابهاً للحدسيين. أما بالنسبة لبروير ، فقد فشل ما قبل الحدسيين في فصل الرياضيات عن الميتافيزيقا بالقدر الكافي، لأنهم ما زالوا يستخدمون مبدأ " الوسط المرفوع ".

يؤدي مبدأ الوسط المرفوع إلى بعض المواقف الغريبة. فعلى سبيل المثال، لا تبدو عباراتٌ حول المستقبل، مثل "ستكون هناك معركة بحرية غدًا"، صحيحةً أو خاطئةً حتى الآن . لذا، يثار تساؤلٌ حول ما إذا كان يجب أن تكون العبارات صحيحةً أو خاطئةً في بعض الحالات . بالنسبة للمؤمن بالحدس، يبدو هذا وكأنه يجعل قانون الوسط المرفوع غير دقيقٍ تمامًا مثل حلقة بيانو المفرغة.

لكن بالنسبة لأصحاب مذهب ما قبل الحدسية، فإن هذا خلط بين أشياء لا تتشابه. فبالنسبة لهم، كانت الرياضيات شيئاً (اختراعاً مشوشاً للعقل البشري، أي تركيبياً)، والمنطق شيئاً آخر (تحليلياً).

لا تشمل الأمثلة المذكورة أعلاه سوى أعمال بوانكاريه ، ومع ذلك فقد ذكر براور علماء رياضيات آخرين كأولئك الذين ينتمون إلى المدرسة الحدسية؛ مثل بوريل وليبيغ . كما لعب علماء رياضيات آخرون مثل هيرمان فايل (الذي خاب أمله في النهاية في المذهب الحدسي، لشعوره بأنه يفرض قيودًا مفرطة على التقدم الرياضي) وليوبولد كرونكر دورًا أيضًا - على الرغم من أن براور لم يذكرهم في خطابه الختامي.

في الواقع، قد يكون كرونكر أشهر علماء ما قبل الحدسية بسبب عبارته الفريدة التي كثيراً ما يتم الاستشهاد بها، "الله خلق الأعداد الطبيعية؛ كل شيء آخر هو من صنع الإنسان".

يتبنى كرونكر نهجاً معاكساً تقريباً لبوانكاريه، إذ يؤمن بالأعداد الطبيعية لكنه لا يؤمن بقانون الوسط المرفوع. وكان أول رياضي يشكك في براهين الوجود غير البنّاءة التي تنص على أن شيئاً ما يجب أن يكون موجوداً لأنه يمكن إثبات أنه "من المستحيل" ألا يكون موجوداً.

• تقاليد

• التجوال المنطقي - مقال موجز بقلم جان سراثوف حول هجمات براور المختلفة على حجج ما قبل الحدسيين حول مبدأ الثالث المستبعد.
• البرهان والحدس - مقال عن أنواع المعرفة العديدة وعلاقتها بالحدسي والمنطقي.
• محاضرات براور في كامبريدج حول الحدسية - حيث يتحدث براور عن المدرسة ما قبل الحدسية ويتناول ما يراه من أوجه قصورها العديدة.