التناظر ثنائي السطوح في ثلاثة أبعاد
 التناظر الانعكاسي C s , (*) [ ] = |  التناظر الدوري C nv , (*nn) [n] =  |  التناظر ثنائي السطوح D nh , (*n22) [n,2] = | |
| مجموعة متعددة السطوح ، [n,3]، (*n32) | |||
|---|---|---|---|
 التناظر الرباعي الأوجه T d , (*332) [3,3] = |  التناظر الثماني الأوجه O h ، (*432) [4,3] = |  التناظر العشري الوجوه I h , (*532) [5,3] = | |
في الهندسة ، يعتبر التناظر ثنائي السطوح في ثلاثة أبعاد أحد ثلاثة تسلسلات لانهائية من مجموعات النقاط في ثلاثة أبعاد والتي لها مجموعة تناظر، والتي تعتبر كمجموعة مجردة مجموعة ثنائية السطوح Dih n (لـ n ≥ 2).
الأنواع
هناك 3 أنواع من التناظر ثنائي السطوح في ثلاثة أبعاد، كل منها موضح أدناه في 3 رموز: رمز شونفليس ، ورمز كوكسيتر ، ورمز أوربيفولد .
- كيرال
- D n , [ n ,2] + , (22 n ) من الرتبة 2 n – التناظر ثنائي السطوح أو مجموعة شبه-n-المضلعة (المجموعة المجردة: Dih n ).
- غير متناظر
- D nh , [ n ,2], (*22 n ) من الرتبة 4 n – التناظر المنشوري أو مجموعة ortho-n-gonal الكاملة (المجموعة المجردة: Dih n × Z 2 ).
- D nd (أو D nv ), [2 n ,2 + ], (2* n ) من الرتبة 4 n – تناظر مضاد للمنشور أو مجموعة جيرو-n-غونال كاملة (مجموعة مجردة: Dih 2 n ).
بالنسبة لقيمة معينة لـ n ، تتمتع الأشكال الثلاثة بتناظر دوراني من الرتبة n حول محور واحد ( لا يُغير الدوران بزاوية 360°/ n شكل الشكل)، وتناظر دوراني من الرتبة 2 حول محور عمودي، وبالتالي حول n من هذه المحاور. عندما n = ∞، فإنها تُقابل ثلاث مجموعات فريز . يُستخدم ترميز شونفليس ، مع ترميز كوكسيتر بين قوسين، وترميز المدارات بين قوسين. يُستخدم مصطلح أفقي (h) بالنسبة لمحور الدوران الرأسي.
في بُعدين، تتضمن مجموعة التناظر D<sub> n</sub> الانعكاسات في الخطوط. عندما يُضمّن المستوى ثنائي الأبعاد أفقيًا في فضاء ثلاثي الأبعاد، يمكن اعتبار هذا الانعكاس إما تقييدًا لهذا المستوى لانعكاس يمر عبر مستوى رأسي، أو تقييدًا لهذا المستوى لدوران حول خط الانعكاس بزاوية 180 درجة. في ثلاثة أبعاد، يُفرّق بين العمليتين: فالمجموعة D<sub> n</sub> تحتوي على الدورانات فقط، لا الانعكاسات. أما المجموعة الأخرى فهي التناظر الهرمي C <sub>nv</sub> من نفس الرتبة، 2 <sub>n</sub> .
مع تناظر الانعكاس في مستوى عمودي على محور الدوران ذي n طية، لدينا D nh , [n], (*22 n ).
يحتوي الفضاء D nd (أو D nv )، [2 n ,2 + ]، (2* n ) على مستويات انعكاس رأسية بين محاور الدوران الأفقية، وليس من خلالها. ونتيجة لذلك، فإن المحور الرأسي هو محور انعكاس دوراني من الدرجة 2 n .
D nh هي مجموعة التناظر للموشور المنتظم ذي n ضلعًا ، وكذلك للهرم الثنائي المنتظم ذي 2n ضلعًا . D nd هي مجموعة التناظر للموشور المضاد المنتظم ذي n ضلعًا ، وكذلك لشبه المنحرف المنتظم ذي n ضلعًا . D n هي مجموعة التناظر للموشور الملتوي ذي n ضلعًا وشبه المنحرف الملتوي ذي n ضلعًا .
لا يتم تضمين n = 1 لأن التناظرات الثلاثة متساوية مع التناظرات الأخرى:
- D 1 و C 2 : مجموعة من الرتبة 2 مع دوران واحد بزاوية 180 درجة.
- D 1 h و C 2 v : مجموعة من الرتبة 4 مع انعكاس في مستوى ودوران 180 درجة حول خط في ذلك المستوى.
- D 1 d و C 2 h : مجموعة من الرتبة 4 مع انعكاس في مستوى ودوران 180 درجة حول خط عمودي على ذلك المستوى.
بالنسبة لـ n = 2، لا يوجد محور رئيسي واحد ومحوران إضافيان، ولكن هناك ثلاثة محاور مكافئة.
- D 2 , [2,2] + , (222) من الرتبة 4 هي إحدى أنواع مجموعات التناظر الثلاثة التي تُعتبر مجموعة كلاين الرباعية فيها مجموعةً مجردة. ولها ثلاثة محاور دوران ثنائية متعامدة. وهي مجموعة تناظر لمتوازي مستطيلات يحمل الحرف S على وجهين متقابلين، بنفس الاتجاه.
- D 2 h , [2,2], (*222) من الرتبة 8 هي مجموعة التناظر لمكعب متوازي المستطيلات.
- D 2 d , [4,2 + ], (2*2) من الرتبة 8 هي مجموعة التناظر لـ eg:
- متوازي مستطيلات مربع الشكل، مرسوم عليه قطر على أحد أوجهه المربعة، وقطر عمودي على الوجه الآخر.
- هرم رباعي منتظم تم تغيير حجمه في اتجاه خط يصل بين منتصفي ضلعين متقابلين ( D2d هي مجموعة فرعية من Td ؛ عن طريق تغيير الحجم ، نقلل من التناظر) .
المجموعات الفرعية
 D 2h , [2,2], (*222) |  D 4h , [4,2], (*224) |
بالنسبة لـ D nh ، [n,2]، (*22n)، من الرتبة 4n
- C nh , [n + ,2], (n*), order 2n
- C nv , [n,1], (*nn), order 2n
- D n , [n,2] + , (22n)، الترتيب 2n
بالنسبة لـ D nd ، [2n,2 + ], (2*n)، رتبة 4n
- S 2 n , [2n + ,2 + ] , (n×) , الترتيب 2n
- C nv , [n + ,2], (n*), order 2n
- D n , [n,2] + , (22n)، الترتيب 2n
D nd هي أيضًا مجموعة فرعية من D 2 nh .
أمثلة
| D 2h ، [2,2]، (*222) الترتيب 8 | D 2d ، [4,2 + ], (2*2) الرتبة 8 | D 3h ، [3,2]، (*223) الترتيب 12 |
|---|---|---|
 مسارات التماس في كرة السلة |  مسارات درزات كرة البيسبول (مع تجاهل اتجاه الدرزة) |  كرة الشاطئ (بغض النظر عن الألوان) |
D nh , [2, n ], (*22 n ):
 الموشورات |
D 5 h , [2,5], (*225):
 منشور خماسي الأضلاع |  المنشور المضاد الخماسي النجمي |
D 4 d , [8,2 + ], (2*4):
 منشور مضاد مربع قصير |
D 5 d , [10,2 + ], (2*5):
 منشور مضاد خماسي |  منشور مضاد متقاطع خماسي الأضلاع |  شبه منحرف خماسي |
D 17 d , [34,2 + ], (2*17):
 المنشور المضاد ذو السبعة عشر ضلعًا |
انظر أيضاً
مراجع
- كوكسيتر، إتش إس إم ؛ موسر، دبليو أو جيه (1980). المولدات والعلاقات للمجموعات المنفصلة . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-09212-9.
- إن دبليو جونسون : الهندسة والتحويلات ، (2018)، رقم ISBN 978-1-107-10340-5الفصل 11: مجموعات التناظر المنتهية ، 11.5 مجموعات كوكسيتر الكروية
- كونواي، جون هورتون ؛ هوسون، دانيال هـ. (2002)، "ترميز المدارات للمجموعات ثنائية الأبعاد"، الكيمياء البنيوية ، 13 (3)، سبرينغر هولندا: 247-257 ، doi : 10.1023/A:1015851621002 ، S2CID 33947139
روابط خارجية
- الصور المجسمة لجوناثان جوس - تشكل الأجزاء الأولى من السلسلة اللانهائية السبع لمجموعات النقاط (الصور المجسمة لمجموعات التناظر العالي السبع، أي T، T d ، T h ، O، O h ، I، و I h ، غير مدرجة).
- التناظر
- التناظرات الإقليدية
- نظرية الزمر