دقة الحالات الكمومية

التعبير المكافئ عن مدى تطابق الحالات المختلفة عبر معيار الأثر هو:

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\lVert {\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}\rVert _{\operatorname {tr} }^{2}=\left(\operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|\right)^{2},}$

حيث تُعرَّف القيمة المطلقة للمؤثر هنا على النحو التالي:${\displaystyle |A|\equiv {\sqrt {A^{\dagger }A}}}$.

بما أن أثر المصفوفة يساوي مجموع قيمها الذاتية

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\sum _{j}{\sqrt {\lambda _{j}}},}$

حيث${\displaystyle \lambda _{j}}$هي القيم الذاتية لـ${\displaystyle {\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}$وهي شبه موجبة محددة بحكم تعريفها، وبالتالي فإن الجذور التربيعية للقيم الذاتية محددة جيدًا. ولأن متعددة الحدود المميزة لحاصل ضرب مصفوفتين مستقلة عن الرتبة، فإن طيف حاصل ضرب المصفوفات ثابت تحت التبديل الدوري ، وبالتالي يمكن حساب هذه القيم الذاتية من${\displaystyle \rho \sigma }$[ ^{7 ] [ 8 ] عكس خاصية} التتبع يؤدي إلى

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {\rho \sigma }}\right)^{2}}$.

إذا كانت إحدى الحالتين (على الأقل) نقية، على سبيل المثال${\displaystyle \rho =|\psi _{\rho }\rangle \!\langle \psi _{\rho }|}$، وتتبسط الدقة إلى$${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\operatorname {tr} (\sigma \rho )=\langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle .}$$ويتبع ذلك ملاحظة أنه إذا${\displaystyle \rho }$نقي إذن${\displaystyle {\sqrt {\rho }}=\rho }$وبالتالي$${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {|\psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho }|}}\right)^{2}=\langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle \left(\operatorname {tr} {\sqrt {|\psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho }|}}\right)^{2}=\langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle .}$$

إذا كانت كلتا الحالتين نقيتين،${\displaystyle \rho =|\psi _{\rho }\rangle \!\langle \psi _{\rho }|}$و${\displaystyle \sigma =|\psi _{\sigma }\rangle \!\langle \psi _{\sigma }|}$ثم نحصل على التعبير الأبسط:$${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}.}$$

تُظهر الحسابات المباشرة أن الدقة محفوظة من خلال التطور الوحدوي ، أي

${\displaystyle \;F(\rho ,\sigma )=F(U\rho \;U^{*},U\sigma U^{*})}$

لأي مشغل أحادي${\displaystyle U}$.

يترك${\displaystyle \{E_{k}\}_{k}}$ليكن مقياسًا موجبًا عشوائيًا ذا قيمة عاملية (POVM)؛ أي مجموعة من العوامل شبه المحددة الموجبة${\displaystyle E_{k}}$مُرضٍ${\displaystyle \sum _{k}E_{k}=I}$ثم، لأي زوج من الحالات${\displaystyle \rho }$و${\displaystyle \sigma }$لدينا $${\displaystyle {\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq \sum _{k}{\sqrt {\operatorname {tr} (E_{k}\rho )}}{\sqrt {\operatorname {tr} (E_{k}\sigma )}}\equiv \sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}},}$$ حيث قمنا في الخطوة الأخيرة بالإشارة إلى${\displaystyle p_{k}\equiv \operatorname {tr} (E_{k}\rho )}$و${\displaystyle q_{k}\equiv \operatorname {tr} (E_{k}\sigma )}$التوزيعات الاحتمالية التي تم الحصول عليها عن طريق القياس${\displaystyle \rho ,\ \sigma }$مع وجهة نظر${\displaystyle \{E_{k}\}_{k}}$.

يُظهر هذا أن الجذر التربيعي لدقة العلاقة بين حالتين كموميتين محدودٌ من الأعلى بمعامل باتاتشاريا بين توزيعات الاحتمال المقابلة في أي نموذج POVM ممكن. في الواقع، هذا صحيح بشكل عام.$${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\min _{\{E_{k}\}}F({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}),}$$أين${\displaystyle F({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\equiv \left(\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}\right)^{2}}$ويتم حساب القيمة الدنيا على جميع طرق قياس الإسقاط الممكنة. وبشكل أكثر تحديدًا، يمكن إثبات أن القيمة الدنيا تتحقق بواسطة طريقة قياس الإسقاط المقابلة للقياس في الأساس الذاتي للمؤثر.${\displaystyle \sigma ^{-1/2}|{\sqrt {\sigma }}{\sqrt {\rho }}|\sigma ^{-1/2}}$[ ^{10 ]​}

يمكن إثبات أن دقة العلاقة بين حالتين لا تتناقص أبدًا عند تطبيق عملية كمومية غير انتقائية${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ينطبق على الولايات: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle F({\mathcal {E}}(\rho ),{\mathcal {E}}(\sigma ))\geq F(\rho ,\sigma ),}$$لأي خريطة موجبة تمامًا تحافظ على الأثر${\displaystyle {\mathcal {E}}}$.

يمكننا تعريف مسافة الأثر بين مصفوفتين A و B بدلالة معيار الأثر من خلال

${\displaystyle D(A,B)={\frac {1}{2}}\|A-B\|_{\rm {tr}}\,.}$

عندما يكون كل من A و B مؤثرين للكثافة، فإن هذا يُعد تعميمًا كميًا للمسافة الإحصائية . وهذا مهم لأن مسافة الأثر توفر حدودًا عليا ودنيا للدقة كما تم تحديدها بواسطة متراجحات فوكس-فان دي غراف ، ^{[ 12 ]}

${\displaystyle 1-{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq D(\rho ,\sigma )\leq {\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )}}\,.}$

غالبًا ما يكون حساب مسافة التتبع أو تحديد حدودها أسهل من حساب الدقة، لذا فإن هذه العلاقات مفيدة للغاية. في حالة كون إحدى الحالات على الأقل حالة نقية Ψ، يمكن تحسين الحد الأدنى.

${\displaystyle 1-F(\psi ,\rho )\leq D(\psi ,\rho )\,.}$

يمكن تلخيص برهان بسيط على النحو التالي. ليكن${\displaystyle \textstyle |\Omega \rangle }$يرمز إلى المتجه

${\displaystyle |\Omega \rangle =\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \otimes |e_{i}\rangle }$

ولتكن σ ^{1 ⁄ 2} الجذر التربيعي الموجب الوحيد لـ σ. نلاحظ أنه نظرًا لحرية الوحدة في تحليل الجذر التربيعي واختيار قواعد متعامدة ، فإن أي تنقية لـ σ تكون على الشكل التالي:

${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle =(\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}\otimes V_{2})|\Omega \rangle }$

حيث أن _Vi هي مؤثرات وحدوية . الآن نحسب مباشرة

${\displaystyle |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}=|\langle \Omega |(\rho ^{{1}/{2}}\otimes I)(\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}\otimes V_{2})|\Omega \rangle |^{2}=|\operatorname {tr} (\rho ^{{1}/{2}}\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}V_{2}^{T})|^{2}.}$

لكن بشكل عام، لأي مصفوفة مربعة A ومؤثر وحدوي U ، فإن |tr( AU )| ≤ tr(( ^{A*A) 1/2} ) ^. علاوة على ^{ذلك ،} تتحقق المساواة إذا كان U ^* هو المؤثر الوحدوي في التحليل القطبي لـ A. ومن هذا ينتج مباشرةً مبرهنة أولمان.

سنقدم هنا طريقة بديلة وصريحة لإثبات نظرية أولمان.

يترك${\displaystyle |\psi _{\rho }\rangle }$و${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle }$تكون عمليات تنقية${\displaystyle \rho }$و${\displaystyle \sigma }$على التوالي. لنبدأ بإثبات ذلك.${\displaystyle |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |\leq \operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|}$.

الشكل العام لتطهير الدول هو:$${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi _{\rho }\rangle &=\sum _{k}{\sqrt {\lambda _{k}}}|\lambda _{k}\rangle \otimes |u_{k}\rangle ,\\|\psi _{\sigma }\rangle &=\sum _{k}{\sqrt {\mu _{k}}}|\mu _{k}\rangle \otimes |v_{k}\rangle ,\end{aligned}}}$$كان${\displaystyle |\lambda _{k}\rangle ,|\mu _{k}\rangle }$هي المتجهات الذاتية لـ${\displaystyle \rho ,\ \sigma }$، و${\displaystyle \{u_{k}\}_{k},\{v_{k}\}_{k}}$هي قواعد متعامدة اختيارية. التداخل بين عمليات التنقية هو$${\displaystyle \langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle =\sum _{jk}{\sqrt {\lambda _{j}\mu _{k}}}\langle \lambda _{j}|\mu _{k}\rangle \,\langle u_{j}|v_{k}\rangle =\operatorname {tr} \left({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U\right),}$$حيث المصفوفة الوحدوية${\displaystyle U}$يُعرَّف بأنه$${\displaystyle U=\left(\sum _{k}|\mu _{k}\rangle \!\langle u_{k}|\right)\,\left(\sum _{j}|v_{j}\rangle \!\langle \lambda _{j}|\right).}$$يتم التوصل إلى النتيجة الآن باستخدام المتباينة${\displaystyle |\operatorname {tr} (AU)|\leq \operatorname {tr} ({\sqrt {A^{\dagger }A}})\equiv \operatorname {tr} |A|}$:$${\displaystyle |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |=|\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U)|\leq \operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|.}$$لاحظ أن هذه المتباينة هي متباينة المثلث المطبقة على القيم المفردة للمصفوفة. في الواقع، بالنسبة لمصفوفة عامة${\displaystyle A\equiv \sum _{j}s_{j}(A)|a_{j}\rangle \!\langle b_{j}|}$ووحدوي${\displaystyle U=\sum _{j}|b_{j}\rangle \!\langle w_{j}|}$لدينا$${\displaystyle {\begin{aligned}|\operatorname {tr} (AU)|&=\left|\operatorname {tr} \left(\sum _{j}s_{j}(A)|a_{j}\rangle \!\langle b_{j}|\,\,\sum _{k}|b_{k}\rangle \!\langle w_{k}|\right)\right|\\&=\left|\sum _{j}s_{j}(A)\langle w_{j}|a_{j}\rangle \right|\\&\leq \sum _{j}s_{j}(A)\,|\langle w_{j}|a_{j}\rangle |\\&\leq \sum _{j}s_{j}(A)\\&=\operatorname {tr} |A|,\end{aligned}}}$$أين${\displaystyle s_{j}(A)\geq 0}$هي القيم المفردة (الحقيقية وغير السالبة دائمًا) لـ${\displaystyle A}$كما هو الحال في تحليل القيم المفردة . تصبح المتباينة مشبعة وتتحول إلى مساواة عندما${\displaystyle \langle w_{j}|a_{j}\rangle =1}$أي عندما${\displaystyle U=\sum _{k}|b_{k}\rangle \!\langle a_{k}|,}$وبالتالي${\displaystyle AU={\sqrt {AA^{\dagger }}}\equiv |A|}$يُظهر ما سبق أن${\displaystyle |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |=\operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|}$عندما تتم عمليات التنقية${\displaystyle |\psi _{\rho }\rangle }$و${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle }$هي من النوع الذي${\displaystyle {\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U=|{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|}$ولأن هذا الخيار ممكن بغض النظر عن الولايات، يمكننا في النهاية أن نستنتج أن$${\displaystyle \operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|=\max |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |.}$$

من النتائج المباشرة لنظرية أولمان ما يلي:

• تتميز الدقة بالتناظر في وسائطها، أي أن F (ρ,σ) = F (σ,ρ). لاحظ أن هذا ليس واضحًا من التعريف الأصلي.
• F (ρ,σ) تقع في [0,1]، حسب متباينة كوشي-شفارتز .
• F (ρ,σ) = 1 إذا وفقط إذا كانت ρ = σ، حيث أن Ψ _ρ = Ψ _σ تتضمن ρ = σ.

لذا يمكننا أن نرى أن الدقة تتصرف تقريبًا كمقياس. ويمكن صياغة ذلك بشكل رسمي وجعله مفيدًا من خلال تعريف

${\displaystyle \cos ^{2}\theta _{\rho \sigma }=F(\rho ,\sigma )\,}$

الزاوية بين الولايات${\displaystyle \rho }$و${\displaystyle \sigma }$ويترتب على الخصائص المذكورة أعلاه ما يلي:${\displaystyle \theta _{\rho \sigma }}$تكون غير سالبة، ومتناظرة في مدخلاتها، وتساوي صفرًا إذا وفقط إذا${\displaystyle \rho =\sigma }$علاوة على ذلك، يمكن إثبات أنها تخضع لمتباينة المثلث، ^{[ 2 ]} لذا فإن هذه الزاوية هي مقياس على فضاء الحالة: مقياس فوبيني-ستودي . ^{[ 14 ]}

إلى جانب تعريف الدقة بناءً على تحسين عمليات التنقية، من الممكن أيضًا تعريفها على أنها تحسين على عمليات التفكيك المحدبة كما

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\max _{\{p_{k},\Psi _{k},\Phi _{k}\}}\sum _{k}p_{k}|\langle \Psi _{k}\vert \Phi _{k}\rangle |\right)^{2},}$

أين${\displaystyle \rho }$و${\displaystyle \sigma }$تتحلل على النحو التالي

${\displaystyle \rho =\sum _{k}p_{k}|\Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}|,\quad \quad \sigma =\sum _{k}p_{k}|\Phi _{k}\rangle \langle \Phi _{k}|.}$

ونتيجة لذلك، يمكن اعتبار جذر الدقة الكمومية بمثابة سقف محدب خاص به.

${\displaystyle {\sqrt {F}}(\rho ,\sigma )=\max _{\{p_{k},\Psi _{k},\Phi _{k}\}}\sum _{k}p_{k}{\sqrt {F}}(\vert \Psi _{k}\rangle ,\vert \Phi _{k}\rangle ),}$

أين${\displaystyle \rho }$و${\displaystyle \sigma }$يتم تحليلها كما سبق. ^{[ 15 ]}