دائرة RC

دائرة المقاومة والمكثف ( دائرة RC )، أو مرشح RC أو شبكة RC ، هي دائرة كهربائية تتكون من مقاومات ومكثفات . يمكن تشغيلها بمصدر جهد أو تيار ، وهذا بدوره ينتج استجابات مختلفة. تتكون دائرة RC من الدرجة الأولى من مقاومة واحدة ومكثف واحد، وهي أبسط أنواع دوائر RC.

يمكن استخدام دوائر RC لتصفية الإشارة عن طريق حجب ترددات معينة والسماح بمرور ترددات أخرى. أكثر مرشحات RC شيوعًا هما مرشحات الترددات العالية ومرشحات الترددات المنخفضة ؛ وعادةً ما تتطلب مرشحات تمرير النطاق ومرشحات إيقاف النطاق مرشحات RLC ، على الرغم من إمكانية صنع مرشحات RLC بدائية باستخدام مرشحات RC.

استجابة طبيعية

تتكون أبسط دائرة RC من مقاومة قيمتها $R$ ومكثف مشحون سعته $C$ ، موصلين معًا في حلقة واحدة، دون مصدر جهد خارجي. يُفرغ المكثف طاقته المخزنة عبر المقاومة. إذا اعتبرنا $V (t) جهد اللوح العلوي للمكثف بالنسبة إلى لوحه السفلي في الشكل، فإن$ علاقة التيار-الجهد للمكثف تُشير إلى أن التيار $I (t)$ الخارج من اللوح العلوي للمكثف يساوي $C$ مضروبًا في المشتق الزمني السالب لـ $V (t)$ . ينص قانون كيرشوف للتيار على أن هذا التيار هو نفسه التيار الداخل إلى الجانب العلوي من المقاومة، والذي يساوي، وفقًا لقانون أوم، $V (t)/ R$ . ينتج عن ذلك معادلة تفاضلية خطية. $\overbrace {C{\frac {-\mathrm {d} V(t)}{\mathrm {d} t}}} ^{\text{تيار المكثف}}=\overbrace {\frac {V(t)}{R}} ^{\text{تيار المقاوم}},$ والتي يمكن إعادة ترتيبها وفقًا للشكل القياسي للاضمحلال الأسي : ${\frac {\mathrm {d} V(t)}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {1}{RC}}V(t).$ هذا يعني أن معدل انخفاض الجهد اللحظي في أي لحظة يتناسب طرديًا مع الجهد في تلك اللحظة. وبحل المعادلة لإيجاد $V (t)،$ نحصل على منحنى اضمحلال أسي يقترب تقاربًا من الصفر . $V(t)=V_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}},$ حيث $V 0$ هو جهد المكثف عند الزمن $t = 0$ ، و $e$ هو عدد أويلر .

يُطلق على الوقت اللازم لانخفاض الجهد إلى $V 0 / e$ اسم ثابت الزمن RC ويتم إعطاؤه بواسطة ^{[ 1 ]} $\tau =RC.$ عند استخدام النظام الدولي للوحدات ، تُقاس المقاومة $(R)$ بالأوم ، والسعة $(C)$ بالفاراد ، لذا يُقاس الزمن $(τ)$ بالثواني . في أي لحظة زمنية $N \cdotτ$ ، تكون شحنة المكثف أو جهده مساوية $لـ 1/ e^N$ من قيمته الابتدائية. فإذا افترضنا أن شحنة المكثف أو جهده يبدأ من 100%، فإن 36.8% تبقى عند $1\cdotτ$ ، و13.5% عند $2\cdotτ$ ، و5% عند $3\cdotτ$ ، و1.8% عند $4\cdotτ$ ، وأقل من 0.7% تبقى عند $5\cdotτ$ وما بعدها.

نصف العمر ( $t 1/2$ ) هو الوقت الذي يستغرقه انخفاض شحنته أو جهده إلى النصف: ^{[ 2 ]} ${\frac {1}{2}}=e^{-{\tfrac {t_{1/2}}{\tau }}}\quad \Rightarrow \quad t_{1/2}=\ln(2)\,\tau \approx {\text{0.693}}\,\tau .$ على سبيل المثال، تبقى 50% من الشحنة أو الجهد عند الزمن $1\cdot t 1/2$ ، ثم تبقى 25% عند الزمن $2\cdot t 1/2$ ، ثم تبقى 12.5% عند الزمن $3\cdot t 1/2$ ، وستبقى $1/2 N$ عند الزمن $N \cdot t 1/2$ .

حاسبة تفريغ RC

0.000001 1000000 1 1 1 1 1 1 1 .368 36.8 1 0.368 1 11 0.159 1 1 1 1

على سبيل المثال، 1 مقاومة مع 1 ينتج عن سعة المكثف ثابت زمني يبلغ حوالي ثانية واحدة . يتوافق هذا الثابت الزمني $τ مع$ تردد قطع يبلغ حوالي 159 ملي هرتز أو 1 راديان في الثانية . إذا كان للمكثف جهد ابتدائي $V₀$ يساوي $1$ ثم بعد 1 $τ$ (حوالي ثانية واحدة أو 1.443 نصف عمر )، سينخفض جهد المكثف إلى حوالي 368 ملي فولت :

V C

( 1 τ )≈ 36.8 %من

V

0

المعاوقة المركبة

يُعدّ سلوك دائرة RC مناسبًا تمامًا للتحليل في مجال لابلاس ، والذي يتطلب فهمًا أساسيًا له في بقية هذه المقالة. مجال لابلاس هو تمثيل في مجال التردد باستخدام الترددات المركبة $s$ ، وهي (بشكل عام) عدد مركب . $s=\sigma +j\omega ,$ أين

يمثل

j

الوحدة التخيلية :

j 2 = -1

،

σ

هو ثابت الاضمحلال الأسي (يساوي

-1/(RC)

في هذه الحالة)،

ω

هي التردد الزاوي الجيبي .

عند تقييم معادلات الدوائر في مجال لابلاس، يمكن التعامل مع عناصر الدائرة المتغيرة مع الزمن، كالسعة والحث، كمقاومات ذات معاوقة مركبة بدلاً من المقاومة الحقيقية . فبينما تكون المعاوقة المركبة $Z R$ للمقاومة ببساطة قيمة حقيقية تساوي مقاومتها $R$ ، فإن المعاوقة المركبة للمكثف $C$ تكون بدلاً من ذلك $Z_{C}={\frac {1}{Cs}}.$

دائرة كهربائية متسلسلة

حاضِر

ينص قانون كيرشوف للتيار على أن التيار في الدائرة المتصلة على التوالي يكون بالضرورة متساوياً في كلا العنصرين. وينص قانون أوم على أن هذا التيار يساوي جهد الدخل. $V_{\mathrm {in} }$ مقسومًا على مجموع المعاوقة المركبة للمكثف والمقاوم:

{\begin{aligned}I(s)&={\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{R+{\frac {1}{Cs}}}}\\&={\frac {Cs}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.\end{aligned}}

الجهد االكهربى

باعتبار الدائرة مقسمة للجهد ، فإن الجهد عبر المكثف هو:

{\begin{aligned}V_{C}(s)&={\frac {\frac {1}{Cs}}{R+{\frac {1}{Cs}}}}V_{\mathrm {in} }(s)\\&={\frac {1}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\end{aligned}}

ويكون الجهد عبر المقاومة كالتالي:

{\begin{aligned}V_{R}(s)&={\frac {R}{R+{\frac {1}{Cs}}}}V_{\mathrm {in} }(s)\\&={\frac {RCs}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.\end{aligned}}

دوال النقل

دالة التحويل من جهد الدخل إلى الجهد عبر المكثف هي

H_{C}(s)={\frac {V_{C}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {1}{1+RCs}}\,.

وبالمثل، فإن دالة التحويل من المدخل إلى الجهد عبر المقاوم هي

H_{R}(s)={\frac {V_{R}(s)}{V_{\rm {in}}(s)}}={\frac {RCs}{1+RCs}}\,.

الأقطاب والأصفار

تحتوي كلتا دالتي التحويل على قطب واحد يقع عند

s=-{\frac {1}{RC}}\,.

بالإضافة إلى ذلك، فإن دالة نقل الجهد عبر المقاوم لها صفر يقع عند نقطة الأصل .

اعتبارات مجال التردد

تُعدّ حالة الاستقرار الجيبية حالة خاصة من التردد المركب، حيث يُفترض أن المدخلات تتكون فقط من موجات جيبية خالصة. وبالتالي، فإن مُكوّن التضاؤل الأسي المُمثَّل بـ $\sigma$ يمكن تجاهلها في معادلة التردد المركب $s{=}\sigma {+}j\omega$ عندما يكون الاهتمام منصباً فقط على حالة الاستقرار. الاستبدال البسيط لـ $s\Rightarrow j\omega$ وبالتالي فإن إدخال وظائف النقل السابقة سيوفر كسب الطور الجيبي واستجابة الطور للدائرة.

يكسب

حجم المكاسب عبر المكونين هو

G_{C}={\big |}H_{C}(j\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{C}(j\omega )}{V_{\mathrm {in} }(j\omega )}}\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}

و

G_{R}={\big |}H_{R}(j\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{R}(j\omega )}{V_{\mathrm {in} }(j\omega )}}\right|={\frac {\omega RC}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}\,,

عندما يصبح التردد كبيرًا جدًا ( $ω \to \infty$ )، يتصرف المكثف كدائرة قصر، لذا:

G_{C}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 1\,.

عندما يصبح التردد صغيرًا جدًا ( $ω \to 0$ )، يتصرف المكثف كدائرة مفتوحة، لذا:

G_{C}\to 1\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 0\,.

يعمل كمرشح تمرير عالي أو مرشح تمرير منخفض

يُظهر السلوك عند هذه الترددات القصوى أنه إذا تم أخذ الإشارة عبر المكثف، فإن الترددات العالية تُخفَّف والترددات المنخفضة تمر، لذا فإن هذا التكوين الدائري يُعد مرشح تمرير منخفض . أما إذا تم أخذ الإشارة عبر المقاوم، فإن الترددات العالية تمر والترددات المنخفضة تُخفَّف، لذا فإن هذا التكوين يُعد مرشح تمرير عالي .

تردد القطع

يُطلق على نطاق الترددات التي يمررها المرشح اسم عرض النطاق الترددي . أما التردد الذي يُضعف عنده المرشح الإشارة إلى نصف طاقتها الأصلية فيُسمى تردد القطع . ويتطلب ذلك خفض كسب الدائرة إلى

G_{C}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}

.

حل المعادلة أعلاه ينتج

\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{RC}}\quad {\mbox{or}}\quad f_{\mathrm {c} }={\frac {1}{2\pi RC}}}

وهو التردد الذي سيخففه المرشح إلى نصف قوته الأصلية.

مرحلة

زوايا الطور هي

\phi _{C}=\angle H_{C}(j\omega )=\tan ^{-1}\left(-\omega RC\right)

و

\phi _{R}=\angle H_{R}(j\omega )=\tan ^{-1}\left({\frac {1}{\omega RC}}\right)\,.

عندما $ω \to 0$ :

\phi _{C}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\,.

عندما $ω \to \infty$ :

\phi _{C}\to -90^{\circ }=-{\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 0\,.

بينما يعتمد انزياح طور إشارة الخرج بالنسبة لإشارة الدخل على التردد، إلا أن هذا الأمر أقل أهمية بشكل عام من تغيرات الكسب. عند التيار المستمر (0 هرتز )، يكون جهد المكثف متوافقًا في الطور مع جهد إشارة الدخل، بينما يتقدم جهد المقاومة عليه بمقدار 90 درجة. مع ازدياد التردد، يتأخر جهد المكثف بمقدار 90 درجة عن إشارة الدخل، ويصبح جهد المقاومة متوافقًا في الطور معها.

تمثيل الطور

يمكن دمج تعبيرات الكسب والطور معًا في تعبيرات الطور هذه التي تمثل المخرجات:

{\begin{aligned}V_{C}&=G_{C}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{C}}\\V_{R}&=G_{R}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{R}}\,.\end{aligned}}

استجابة النبضة

تمثل استجابة النبضة لكل جهد التحويل العكسي لابلاس لدالة النقل المقابلة. وهي تمثل استجابة الدائرة لجهد دخل يتكون من نبضة أو دالة ديراك دلتا .

استجابة النبضة لجهد المكثف هي

h_{C}(t)={\frac {1}{RC}}e^{-{\frac {t}{RC}}}u(t)={\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,

حيث $u (t)$ هي دالة هيفسايد المتدرجة و $τ = RC$ هو الثابت الزمني .

وبالمثل، فإن استجابة النبضة لجهد المقاومة هي

h_{R}(t)=\delta (t)-{\frac {1}{RC}}e^{-{\frac {t}{RC}}}u(t)=\delta (t)-{\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,

حيث $δ (t)$ هي دالة ديراك دلتا .

اعتبارات المجال الزمني

يعتمد هذا القسم على معرفة تحويل لابلاس .

أبسط طريقة لاستنتاج سلوك المجال الزمني هي استخدام تحويلات لابلاس للتعبيرات الخاصة بـ $V C$ و $V R$ المذكورة أعلاه. بافتراض وجود إشارة دخل متدرجة (أي $V in = 0$ قبل $t = 0$ ثم $V in = V 1$ بعد ذلك):

{\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }(s)&=V_{1}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{C}(s)&=V_{1}\cdot {\frac {1}{1+sRC}}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{R}(s)&=V_{1}\cdot {\frac {sRC}{1+sRC}}\cdot {\frac {1}{s}}\,.\end{aligned}}

ينتج عن توسعات الكسور الجزئية وتحويل لابلاس العكسي ما يلي :

{\begin{aligned}V_{C}(t)&=V_{1}\cdot \left(1-e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)\\V_{R}(t)&=V_{1}\cdot \left(e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)\,.\end{aligned}}

تُستخدم هذه المعادلات لحساب فرق الجهد عبر المكثف والمقاوم على التوالي أثناء شحن المكثف $؛$ أما أثناء تفريغه، فتُستخدم المعادلات بالعكس. ويمكن إعادة كتابة هذه المعادلات بدلالة الشحنة والتيار باستخدام العلاقتين $C = Q / V و$ $V = IR$ (انظر قانون أوم ).

وبالتالي، يميل الجهد عبر المكثف إلى الاقتراب من $V1$ $مع$ مرور الوقت، بينما يميل الجهد عبر المقاوم إلى الاقتراب من الصفر، كما هو موضح في الأشكال. وهذا يتوافق مع الفكرة البديهية القائلة بأن المكثف سيشحن من جهد المصدر مع مرور الوقت، وسيُشحن بالكامل في النهاية.

$يمثل حاصل$ ضرب $RC$ الزمن اللازم لكل من $VC$ $و$ VR $للوصول$ إلى قيمة قريبة $من$ قيمتها النهائية (1/e). بعبارة أخرى، $RC$ $هو$ $الزمن$ $اللازم$ $لارتفاع$ $الجهد$ $عبر$ المكثف إلى $V1$ $\cdot(1 -$ $1$ $/$ $e$ $)$ $أو$ لانخفاض الجهد عبر المقاوم إلى $V1$ $\cdot$ $($ $1$ $/$ $e$ $)$ $.$ يُرمز إلى ثابت الزمن RC بالحرف تاو ( $τ$ $)$ .

معدل التغير هو جزء كسري $1 - 1 / e لكل τ$ $.$ بالتالي، عند الانتقال من $t = Nτ$ إلى $t$ = $($ $N$ $+ 1)$ $τ$ ، يكون الجهد قد تحرك بنسبة 63.2% تقريبًا من مستواه عند $t = Nτ نحو قيمته النهائية. لذا$ $،$ تُشحن المكثفة بنسبة 63.2% تقريبًا بعد $τ$ ، وغالبًا ما تُعتبر مشحونة بالكامل (>99.3%) بعد حوالي $5τ$ . عند استبدال مصدر الجهد بدائرة قصر، مع شحن المكثفة بالكامل، ينخفض الجهد عبر المكثفة أُسّيًا مع $t$ من $V$ نحو 0. تُفرغ المكثفة بنسبة 36.8% تقريبًا بعد $τ$ ، وغالبًا ما تُعتبر مُفرغة بالكامل (<0.7%) بعد حوالي $5τ .$ لاحظ أن التيار، $I$ ، في الدائرة يتصرف كما يتصرف الجهد عبر المقاومة، وفقًا لقانون أوم .

يمكن أيضاً استخلاص هذه النتائج عن طريق حل المعادلات التفاضلية التي تصف الدائرة الكهربائية:

{\begin{aligned}{\frac {V_{\mathrm {in} }-V_{C}}{R}}&=C{\frac {dV_{C}}{dt}}\\V_{R}&=V_{\mathrm {in} }-V_{C}\,.\end{aligned}}

يتم حل المعادلة الأولى باستخدام عامل التكامل ، أما الثانية فتأتي بسهولة؛ الحلول هي نفسها تمامًا تلك التي تم الحصول عليها عبر تحويلات لابلاس.

المكامل

ضع في اعتبارك خرج المكثف عند التردد العالي ، أي

\omega \gg {\frac {1}{RC}}\,.

هذا يعني أن المكثف لا يملك الوقت الكافي للشحن، وبالتالي يكون جهده منخفضًا جدًا. ومن ثم، فإن جهد الدخل يساوي تقريبًا الجهد عبر المقاوم. ولتوضيح ذلك، انظر إلى معادلة $I$ المذكور أعلاه:

I={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R+{\frac {1}{j\omega C}}}}\,,

لكن لاحظ أن شرط التردد الموصوف يعني أن

\omega C\gg {\frac {1}{R}}\,,

لذا

I\approx {\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}

وهذا ببساطة قانون أوم .

الآن،

V_{C}={\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I\,dt\,,

لذا

V_{C}\approx {\frac {1}{RC}}\int _{0}^{t}V_{\mathrm {in} }\,dt\,.

لذلك، فإن الجهد عبر المكثف يعمل تقريبًا مثل مُكامل جهد الإدخال للترددات العالية.

المُمَيِّز

ضع في اعتبارك الخرج عبر المقاومة عند التردد المنخفض ، أي

\omega \ll {\frac {1}{RC}}\,.

هذا يعني أن المكثف لديه الوقت الكافي للشحن حتى يصبح جهده مساويًا تقريبًا لجهد المصدر. وبالنظر إلى معادلة التيار $I$ مرة أخرى، عندما

R\ll {\frac {1}{\omega C}}\,,

لذا

{\begin{aligned}I&\approx {\frac {V_{\mathrm {in} }}{\frac {1}{j\omega C}}}\\V_{\mathrm {in} }&\approx {\frac {I}{j\omega C}}=V_{C}\,.\end{aligned}}

الآن،

{\begin{aligned}V_{R}&=IR=C{\frac {dV_{C}}{dt}}R\\V_{R}&\approx RC{\frac {dV_{in}}{dt}}\,.\end{aligned}}

لذلك، فإن الجهد عبر المقاوم يعمل تقريبًا مثل مشتق جهد الإدخال للترددات المنخفضة.

يمكن أيضًا تحقيق التكامل والتفاضل عن طريق وضع المقاومات والمكثفات حسب الاقتضاء على حلقة الإدخال والتغذية الراجعة لمكبرات العمليات ( انظر مكامل مكبر العمليات ومفرق مكبر العمليات ).

دائرة متوازية

تُعتبر دائرة RC المتوازية أقل أهمية بشكل عام من دائرة RC المتسلسلة. ويعود ذلك أساسًا إلى أن جهد الخرج $Vout$ يساوي جهد الدخل $Vin$ $،$ $وبالتالي$ ، تعمل هذه الدائرة كمرشح على تيار الدخل بدلًا من جهد الدخل.

مع معاوقات مركبة:

{\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{C}&=j\omega CV_{\mathrm {in} }\,.\end{aligned}}

يُظهر هذا أن تيار المكثف متأخر في الطور بمقدار 90 درجة عن تيار المقاومة (والمصدر). وبدلاً من ذلك، يمكن استخدام المعادلات التفاضلية الحاكمة التالية:

{\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{C}&=C{\frac {dV_{\mathrm {in} }}{dt}}\,.\end{aligned}}

عند تغذية دائرة RC متوازية بمصدر تيار، تكون دالة النقل كما يلي:

{\frac {V_{\mathrm {out} }}{I_{\mathrm {in} }}}={\frac {R}{1+sRC}}\,.

توليف

قد يتطلب الأمر أحيانًا توليف دائرة RC من دالة كسرية معطاة في s . ولكي يكون التوليف ممكنًا في العناصر السلبية، يجب أن تكون الدالة دالة حقيقية موجبة . ولتوليفها كدائرة RC، يجب أن تقع جميع الترددات الحرجة ( الأقطاب والأصفار ) على المحور الحقيقي السالب، وأن تتناوب بين الأقطاب والأصفار بعدد متساوٍ من كل منهما. علاوة على ذلك، يجب أن يكون التردد الحرج الأقرب إلى نقطة الأصل قطبًا، بافتراض أن الدالة الكسرية تمثل معاوقة وليست مُسامحة.

يمكن تحقيق عملية التركيب بتعديل تركيب فوستر أو تركيب كاوير المستخدم في تركيب دوائر LC . في حالة تركيب كاوير، ينتج عن ذلك شبكة سلمية من المقاومات والمكثفات. ^{[ 3 ]}

انظر أيضاً

ثابت الزمن RC
دائرة RL
دائرة LC
دائرة RLC
شبكة كهربائية
قائمة بمواضيع الإلكترونيات
ضوضاء جونسون-نايكويست § الضوضاء الحرارية على المكثفات – تعطي اشتقاق ضوضاء kTC الناتجة عن مقاومة مع مكثف على النحو التالي:

V_{\text{rms}}={\sqrt {k_{\text{B}}T \over C}}.

استجابة الخطوة

مراجع

↑ هورويتز وهيل، ص. 1.13.
↑ هانكس، آن؛ لوترموسر، دونالد. "مختبر الفيزياء العامة 2 (PHYS-2021) تجربة ELEC-5: دوائر RC" (PDF) .
↑ باكشي وباكشي، الصفحات 3-30–3-37

فهرس

باكشي، يو إيه؛ باكشي، إيه في، تحليل الدوائر - الجزء الثاني ، منشورات تقنية، 2009، رقم ISBN 9788184315974.
هورويتز، بول؛ هيل، وينفيلد، فن الإلكترونيات (الطبعة الثالثة)، مطبعة جامعة كامبريدج، 2015، رقم ISBN 0521809266.

[1] هورويتز وهيل، ص. 1.13.

[2] هانكس، آن؛ لوترموسر، دونالد. "مختبر الفيزياء العامة 2 (PHYS-2021) تجربة ELEC-5: دوائر RC" (PDF) .

[3] باكشي وباكشي، الصفحات 3-30–3-37

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗