الثلاثية الفيثاغورية

إنّ تحقيق صيغة إقليدس بواسطة a و b و c يكفي لجعل المثلث فيثاغورسيًا يتضح من حقيقة أنه بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة m و n ، حيث m > n ، فإنّ a و b و c المعطاة بالصيغة هي جميعها أعداد صحيحة موجبة، ومن حقيقة أن

$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}=c^{2}.}$$

يُبرهن على ضرورة التعبير عن a و b و c بصيغة إقليدس لأي ثلاثية فيثاغورسية أولية كما يلي. ^{[ 6 ]} يمكن كتابة جميع هذه الثلاثيات الأولية على الصورة ( a , b , c ) حيث a² + b² = ^{c² و a} و b و c أعداد أولية فيما بينها . وبالتالي، فإن a و b و c أعداد أولية فيما بينها (إذا قسم عدد أولي اثنين منها ، فسيقسم الثالث أيضًا). ولأن a و b أوليان فيما بينهما، فلا بد أن يكون أحدهما على الأقل فرديًا. إذا افترضنا أن a فردي، فإن b زوجي و c فردي (إذا كان كل من a و b فرديين، فسيكون c زوجيًا ^{، وسيكون} c² من مضاعفات 4، بينما يكون a² + b² متطابقًا مع 2 بتردد 4 ^{، كما} أن المربع الفردي متطابق مع 1 بتردد 4).

من${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}$لنفترض أن a عدد فردي. نحصل على${\displaystyle c^{2}-a^{2}=b^{2}}$وبالتالي${\displaystyle (ca)(c+a)=b^{2}.}$ثم${\displaystyle {\tfrac {(c+a)}{b}}={\tfrac {b}{(ca)}}.}$منذ${\displaystyle {\tfrac {(c+a)}{b}}}$إذا كان عددًا نسبيًا، فإننا نساويه بـ${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}}$بأبسط صورة. وهكذا.${\displaystyle {\tfrac {(ca)}{b}}={\tfrac {n}{m}},}$كونه مقلوب ${\displaystyle {\tfrac {(c+a)}{b}}.}$ثم حل

$${\displaystyle {\frac {c}{b}}+{\frac {a}{b}}={\frac {m}{n}},\quad \quad {\frac {c}{b}}-{\frac {a}{b}}={\frac {n}{m}}}$$

ل${\displaystyle {\tfrac {c}{b}}}$و${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$أعطِ

$${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}+{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}+n^{2}}{2mn}},\quad \quad {\frac {a}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}-{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}.}$$

مثل${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}}$إذا كان العدد m مختزلاً بالكامل، فإن m و n أوليان فيما بينهما، ولا يمكن أن يكون كلاهما زوجيًا. أما إذا كان كلاهما فرديًا، فإن بسط العدد n${\displaystyle {\tfrac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}}$سيكون مضاعفًا للعدد 4 (لأن المربع الفردي يطابق 1 بتردد 4)، ولن يكون المقام 2mn مضاعفًا للعدد 4. بما أن 4 هو أصغر عامل زوجي ممكن في البسط و2 هو أكبر عامل زوجي ممكن في المقام، فهذا يعني أن a زوجي على الرغم من تعريفه على أنه فردي. وبالتالي، فإن أحد الكسرين m و n فردي والآخر زوجي، وبسطا الكسرين اللذين مقامهما 2mn فرديان . لذلك، فإن هذين الكسرين مُختزلان تمامًا (عدد أولي فردي يقسم هذا المقام يقسم أحد الكسرين m و n ولا يقسم الآخر ^؛ وبالتالي فهو لا يقسم m² ± n² ). يمكن إذًا مساواة البسطين بالبسط والمقامين بالمقامين، مما يُعطي صيغة إقليدس ^.$${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}}$$حيث m و n عددان أوليان فيما بينهما وذوي تكافؤات متعاكسة.

يُقدَّم برهانٌ أطول ولكنه أكثر شيوعًا في ماور (2007) ^{[ 7 ]} وسيربينسكي (2003) ^{[ 8 ]} . ويُقدَّم برهانٌ آخر في قسم "المعادلة الديوفانتية:  مثال على الثلاثيات الفيثاغورية "، كمثال على طريقة عامة تُطبَّق على كل معادلة ديوفانتية متجانسة من الدرجة الثانية.

^{لنفترض أن} أطوال أضلاع مثلث فيثاغورس هي m² - n² ^{، و} 2 mn ، و m² + n² ^، ولنفترض أن الزاوية بين الضلع الذي طوله m² ^- n² والوتر الذي طوله m² + ^n² يُرمز لها ^بـ β ^.${\displaystyle \tan {\tfrac {\beta }{2}}={\tfrac {n}{m}}}$والقيم المثلثية للزاوية الكاملة هي${\displaystyle \sin {\beta}={\tfrac {2mn}{m^{2}+n^{2}}}}$،${\displaystyle \cos {\beta }={\tfrac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}}$و​${\displaystyle \tan {\beta}={\tfrac {2mn}{m^{2}-n^{2}}}}$[ ⁹ ]^​​

إن الصيغة التالية من صيغة إقليدس تكون أحيانًا أكثر ملاءمة، لأنها أكثر تناظرًا في m و n (نفس شرط التكافؤ على m و n ).

إذا كان m و n عددين صحيحين فرديين بحيث يكون m > n ، فإن $${\displaystyle a=mn,\quad b={\frac {m^{2}-n^{2}}{2}},\quad c={\frac {m^{2}+n^{2}}{2}}}$$ هي ثلاثة أعداد صحيحة تُشكّل ثلاثية فيثاغورس، وهي ثلاثية أولية إذا وفقط إذا كان m و n عددين أوليين فيما بينهما. وبالعكس، تنشأ كل ثلاثية فيثاغورس أولية (بعد تبديل a و b ، إذا كان a زوجيًا) من زوج وحيد m > n > 0 من الأعداد الفردية الأولية فيما بينها.

تشمل خصائص الثلاثية الفيثاغورية الأولية ( أ ، ب ، ج ) حيث أ < ب < ج (دون تحديد أي من أ أو ب زوجي وأيهما فردي):

• لا يكون أكثر من مربع واحد من بين a و b و c . ^{[ 10 ]}
• لا يمكن أن تكون مساحة المثلث الفيثاغورسي مربعًا ^{[ 11 ] : ص. 17} أو ضعف مربع ^{[ 11 ] : ص. 21} لعدد صحيح.
• أحد العددين a و b يقبل القسمة على 2 (أي أنه زوجي )، والوتر c يكون دائمًا فرديًا. ^{[ 12 ]}
• أحد العددين a أو b يقبل القسمة على 3 فقط، بينما لا يقبل العدد c القسمة على 3 أبدًا . ^{[ 13 ] [ 8 ] : 23-25}
• واحد فقط من a و b يقبل القسمة على 4، ^{[ 8 ]} ولكن ليس c أبدًا (لأن c ليس زوجيًا أبدًا).
• واحد فقط من a و b و c يقبل القسمة على 5. ^{[ 8 ]}
• أكبر عدد يقسم abc دائمًا هو 60. ^{[ 14 ]}
• أي عدد فردي على الصورة 2 م + 1 ، حيث م عدد صحيح و م > 1 ، يمكن أن يكون الضلع الفردي في مثلث فيثاغورس بدائي. انظر قسم مثلثات فيثاغورس البدائية شبه متساوية الساقين أدناه. مع ذلك، لا يمكن أن يكون الضلع الزوجي في مثلث فيثاغورس بدائي إلا الأعداد الزوجية التي تقبل القسمة على 4. وذلك لأن صيغة إقليدس للضلع الزوجي المذكورة أعلاه هي 2 م ن، ويجب أن يكون أحد العددين م أو ن زوجيًا.
• الوتر c (وهو عدد فردي دائمًا) يساوي مجموع مربعين. وهذا يتطلب أن تكون جميع عوامله الأولية أعدادًا أولية على الصورة 4n + 1. ^{[ 15 ]} لذلك، فإن c على الصورة 4n + 1. يمكن إيجاد سلسلة من أعداد الأوتار الممكنة لثلاثية فيثاغورس الأولية في (السلسلة A008846 في OEIS ) .
• المساحة ( K = ab /2) هي عدد متطابق ^{[ 16 ]} يقبل القسمة على 6.
• في كل مثلث فيثاغورس، يكون نصف قطر الدائرة الداخلية وأنصاف أقطار الدوائر الخارجية الثلاثة أعدادًا صحيحة موجبة. تحديدًا، بالنسبة للثلاثية الأولية، يكون نصف قطر الدائرة الداخلية ( inradius ) هو r = n ( m - n ) ، وأنصاف أقطار الدوائر الخارجية المقابلة للأضلاع m² ^- n² ^و 2mn والوتر m² + n² هي ^{على التوالي} m ( ^m - ⁿ ) و n ( m + n ) و m ( m + n ) . [ ¹⁷ ]
• أما بالنسبة لأي مثلث قائم الزاوية، فإن عكس نظرية طاليس يقول أن قطر الدائرة المحيطة يساوي الوتر؛ وبالتالي بالنسبة للثلاثيات الأولية، فإن قطر الدائرة المحيطة هو m ² + n ² ، ونصف قطر الدائرة المحيطة هو نصف هذا وبالتالي فهو عدد نسبي ولكنه ليس عددًا صحيحًا (لأن m و n لهما زوجية معاكسة).
• في كل مثلث فيثاغورس،${\displaystyle {\tfrac {(ca)(cb)}{2}}}$هو مربع كامل، ^{[ 18 ]} أي${\displaystyle \left({\tfrac {a+bc}{2}}\right)^{2},}$وهو مربع نصف قطر الدائرة الداخلية للمثلث القائم الزاوية. ^{[ 19 ]}
• عند ضرب مساحة مثلث فيثاغورس بانحناءات دائرته الداخلية وثلاث دوائر خارجية، تكون النتيجة أربعة أعداد صحيحة موجبة w > x > y > z على التوالي. تحقق الأعداد الصحيحة −w ، x ، y ، z معادلة ديكارت للدائرة . ^{[ 20 ]} وبالمثل، فإن نصف قطر دائرة سودي الخارجية لأي مثلث قائم الزاوية يساوي نصف محيطه. يقع مركز دائرة سودي الخارجية عند النقطة D ، حيث ACBD مستطيل، وACB مثلث قائم الزاوية، و AB وتره. ^{[ 20 ] : ص 6}
• لا يمكن أن يكون سوى ضلعين من أضلاع ثلاثية فيثاغورس الأولية أوليين في آن واحد، لأنه وفقًا لصيغة إقليدس لتوليد ثلاثية فيثاغورس الأولية، يجب أن يكون أحد الضلعين عددًا مركبًا وزوجيًا. ^{[ 21 ]} ومع ذلك، لا يمكن أن يكون سوى ضلع واحد عددًا صحيحًا ذا قوة كاملة.${\displaystyle p\geq 2}$لأنه إذا كان الطرفان عددين صحيحين لقوى كاملة ذات أسس متساوية${\displaystyle p}$سيتناقض ذلك مع حقيقة عدم وجود حلول صحيحة للمعادلة الديوفانتية${\displaystyle x^{2p}\pm y^{2p}=z^{2}}$، مع${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$و${\displaystyle z}$كونها أولية فيما بينها. ^{[ 22 ]}
• لا توجد مثلثات فيثاغورس يكون فيها الوتر وأحد الضلعين ضلعين في مثلث فيثاغورس آخر؛ هذه إحدى الصيغ المكافئة لنظرية فيرما للمثلث القائم الزاوية . ^{[ 11 ] : ص 14}
• لكل مثلث فيثاغورس بدائي نسبة مساحة، K ، إلى مربع نصف المحيط ، s ، وهي نسبة فريدة خاصة به ويتم إعطاؤها بواسطة ^{[ 23 ].}

${\displaystyle {\frac {K}{s^{2}}}={\frac {n(mn)}{m(m+n)}}=1-{\frac {c}{s}}.}$

• لا يوجد مثلث فيثاغورس بدائي له ارتفاع صحيح من الوتر؛ أي أن كل مثلث فيثاغورس بدائي غير قابل للتحليل. ^{[ 24 ]}
• تشكل مجموعة جميع الثلاثيات الفيثاغورية الأولية شجرة ثلاثية متجذرة بطريقة طبيعية؛ انظر شجرة الثلاثيات الفيثاغورية الأولية .
• لا يمكن أن تكون أي من الزاويتين الحادتين في المثلث القائم الزاوية عددًا نسبيًا من الدرجات . ^{[ 25 ]} (وهذا يتبع من نظرية نيفن .)

بالإضافة إلى ذلك، يمكن ضمان وجود ثلاثيات فيثاغورسية خاصة ذات خصائص إضافية معينة:

• كل عدد صحيح أكبر من 2 لا يطابق 2 mod 4 (بمعنى آخر، كل عدد صحيح أكبر من 2 لا يكون على الصورة 4k + 2 ) يُعد جزءًا من ثلاثية فيثاغورس أولية. (إذا كان العدد الصحيح على الصورة 4k ، فيمكن اعتبار n = 1 و m = 2k في صيغة إقليدس؛ وإذا كان العدد الصحيح 2k + 1 ، فيمكن اعتبار n = k و m = k + 1 ).
• كل عدد صحيح أكبر من 2 هو جزء من ثلاثية فيثاغورسية أولية أو غير أولية. على سبيل المثال، الأعداد الصحيحة 6 و10 و14 و18 ليست جزءًا من ثلاثيات أولية، ولكنها جزء من الثلاثيات غير الأولية (6، 8، 10) و (14، 48، 50) و (18، 80، 82) .
• يوجد عدد لا نهائي من ثلاثيات فيثاغورس التي يختلف فيها طول الوتر عن طول الضلع الأطول بمقدار واحد بالضبط. هذه الثلاثيات أولية بالضرورة، وتأخذ الشكل (2 ن + 1، 2 ن² + 2 ^ن ، 2 ن² + 2 ^ن + 1) . ينتج هذا من صيغة إقليدس، حيث لاحظ أن الشرط يستلزم أن الثلاثية أولية ويجب أن تحقق ( م² + ن² ) - 2 ^م ن = 1. وهذا يستلزم ( م - ن ) ^² = 1 ، وبالتالي م = ن + 1. إذن ^، ينتج الشكل المذكور أعلاه للثلاثيات عن استبدال م بـ ن + 1 في صيغة إقليدس.
• يوجد عدد لا نهائي من ثلاثيات فيثاغورس الأولية التي يختلف فيها طول الوتر عن طول الضلع الأطول بمقدار اثنين بالضبط. جميعها ثلاثية أولية، ويتم الحصول عليها بوضع n = 1 في صيغة إقليدس. وبشكل أعم، لكل عدد صحيح k > 0 ، يوجد عدد لا نهائي من ثلاثيات فيثاغورس الأولية التي يختلف فيها طول الوتر عن ^طول الضلع الفردي بمقدار 2k² . ويتم الحصول عليها بوضع n = k في صيغة إقليدس.
• يوجد عدد لا نهائي من الثلاثيات الفيثاغورية التي يختلف فيها الضلعان الرئيسيان بمقدار واحد فقط. على سبيل المثال، 20² ⁺ 21² ⁼ 29² ^؛ وتُنتج هذه الثلاثيات باستخدام صيغة إقليدس عندما${\displaystyle {\tfrac {mn}{n}}}$هو تقارب لـ${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$
• لكل عدد صحيح موجب k ، توجد k من الثلاثيات الفيثاغورية ذات أوتار مختلفة ونفس المساحة.
• لكل عدد صحيح موجب k ، يوجد على الأقل k من الثلاثيات الفيثاغورية الأولية المختلفة التي لها نفس الضلع a ، حيث a عدد صحيح موجب (طول الضلع الزوجي هو 2mn ، ويكفي اختيار a له العديد من التحليلات، على سبيل المثال a = 4b ، حيث b هو حاصل ضرب k من الأعداد الأولية الفردية المختلفة؛ ينتج عن هذا على الأقل 2k ^من الثلاثيات الأولية المختلفة). ^{[ 8 ] : 30}
• لكل عدد صحيح موجب k ، يوجد على الأقل k من ثلاثيات فيثاغورس المختلفة التي لها نفس الوتر. ^{[ 8 ] : 31}
• إذا كان c = p e ^قوة أولية ، فإنه يوجد ثلاثي فيثاغورس بدائي a ² + b ² = c ² إذا وفقط إذا كان العدد الأولي p له الشكل 4 n + 1 ؛ هذا الثلاثي فريد حتى تبديل a و b .
• بشكلٍ أعم، يكون العدد الصحيح الموجب c وترًا لثلاثية فيثاغورسية أولية إذا وفقط إذا كان كل عامل أولي من c متطابقًا مع 1 بتردد 4 ؛ أي أن كل عامل أولي له الشكل 4n + 1. في هذه الحالة، يكون عدد الثلاثيات الفيثاغورسية الأولية ( a , b , c ) حيث a < b هو 2k ^{- 1} ، حيث k هو عدد العوامل الأولية المختلفة لـ c . ^{[ 26 ]}
• يوجد عدد لا نهائي من الثلاثيات الفيثاغورية التي يكون فيها كل من الوتر (c) ومجموع الضلعين (a + b) مربعًا . وفقًا لفيرما، فإن أصغر ثلاثية من هذا النوع ^{[ 27 ]} لها أطوال أضلاع a = 4,565,486,027,761 ؛ b = 1,061,652,293,520 ؛ و c = 4,687,298,610,289 . هنا ، a + b = 2,372,159 ^و c = 2,165,017 ^. يتم توليد هذه الثلاثية باستخدام صيغة إقليدس بقيم المعاملات m = 2,150,905 و n = 246,792 .
• توجد مثلثات فيثاغورس غير بدائية ذات ارتفاع صحيح من الوتر . ^{[ 28 ] [ 29 ]} تُعرف هذه المثلثات باسم المثلثات القابلة للتحليل، حيث يمكن تقسيمها على طول هذا الارتفاع إلى مثلثين فيثاغورس منفصلين وأصغر. ^{[ 24 ]}

صيغة إقليدس للمثلث الفيثاغورسي

$${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2}}$$

يمكن فهم ذلك من حيث هندسة النقاط العقلانية على دائرة الوحدة ( تراوتمان 1998 ) .

في الواقع، تنتمي نقطة في المستوى الديكارتي ذات الإحداثيات ( س ، ص ) إلى دائرة الوحدة إذا كان ^س² + ص² = ١. وتكون النقطة نسبية إذا كان س و ص عددين نسبيين ، أي إذا وُجدت أعداد صحيحة أولية فيما ^بينها أ ، ب ، ج بحيث $${\displaystyle {\biggl (}{\frac {a}{c}}{\biggr )}^{2}\!+{\biggl (}{\frac {b}{c}}{\biggr )}^{2}=1.}$$

بضرب كلا الطرفين في c ² ، يمكن للمرء أن يرى أن النقاط النسبية على الدائرة تتطابق واحد لواحد مع الثلاثيات الفيثاغورية الأولية.

يمكن أيضًا تعريف دائرة الوحدة بواسطة معادلة وسيطية$${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad y={\frac {2t}{1+t^{2}}}.}$$ تنص صيغة إقليدس للأعداد الثلاثية الفيثاغورية والعلاقة العكسية t = y / (1 + x ) على أنه، باستثناء النقطة (−1, 0) ، تكون النقطة ( x , y ) على الدائرة عددًا نسبيًا إذا وفقط إذا كانت قيمة t المقابلة عددًا نسبيًا. لاحظ أن t = y / (1 + x ) = b / ( c + a ) = n / m هو أيضًا ظل نصف الزاوية المقابلة لضلع المثلث الذي طوله b .

توجد علاقة بين النقاط على دائرة الوحدة ذات الإحداثيات النسبية والأعداد الثلاثية الفيثاغورية الأولية. عند هذه النقطة، يمكن اشتقاق صيغ إقليدس إما باستخدام طرق حساب المثلثات أو بشكل مكافئ باستخدام الإسقاط المجسم .

بالنسبة للنهج المجسم، افترض أن P ′ هي نقطة على المحور x ذات إحداثيات نسبية

$${\displaystyle P'=\left({\frac {m}{n}},0\right).}$$

بعد ذلك، يمكن إثبات أن النقطة P لها إحداثيات باستخدام الجبر الأساسي

$${\displaystyle P=\left({\frac {2\left({\frac {m}{n}}\right)}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}},{\frac {\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}-1}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}}\right)=\left({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}\right).}$$

يثبت هذا أن كل نقطة نسبية على المحور السيني تتطابق مع نقطة نسبية على دائرة الوحدة. والعكس صحيح، أي أن كل نقطة نسبية على دائرة الوحدة تتطابق مع نقطة نسبية على المحور السيني ، وذلك بتطبيق الإسقاط المجسم العكسي. لنفترض أن P ( x , y ) هي نقطة على دائرة الوحدة حيث x و y عددان نسبيان. عندئذٍ، تكون إحداثيات النقطة P ′ الناتجة عن الإسقاط المجسم على المحور السيني كما يلي:

$${\displaystyle \left({\frac {x}{1-y}},0\right)}$$

وهذا أمر منطقي.

في الهندسة الجبرية ، يكون التنوع الجبري للنقاط النسبية على دائرة الوحدة ثنائي النسب بالنسبة للمستقيم الأفيني فوق الأعداد النسبية. ولذلك تُسمى دائرة الوحدة منحنىً نسبيًا ، وهذه الحقيقة هي التي تُمكّن من تمثيل النقاط (الأعداد النسبية) عليها بشكل صريح باستخدام الدوال النسبية .

إذا نظرنا إلى مربع عدد صحيح غاوسي، فسنحصل على التفسير المباشر التالي لصيغة إقليدس باعتبارها تمثل المربع الكامل لعدد صحيح غاوسي.

$${\displaystyle (m+ni)^{2}=(m^{2}-n^{2})+2mni.}$$

باستخدام حقيقة أن الأعداد الصحيحة الغاوسية هي مجال إقليدي، وأنه بالنسبة لعدد صحيح غاوسي p${\displaystyle |p|^{2}}$إذا كان دائمًا مربعًا، فمن الممكن إثبات أن الثلاثية الفيثاغورية تتوافق مع مربع عدد صحيح غاوسي أولي إذا كان الوتر أوليًا.

إذا لم يكن العدد الغاوسي عددًا أوليًا، فإنه يكون حاصل ضرب عددين غاوسيين p و q مع${\displaystyle |p|^{2}}$و${\displaystyle |q|^{2}}$الأعداد الصحيحة. بما أن المقادير تتضاعف في الأعداد الصحيحة الغاوسية، فإن الناتج يجب أن يكون${\displaystyle |p||q|}$، والذي عند تربيعه لإيجاد ثلاثية فيثاغورس يجب أن يكون عددًا مركبًا. ويكمل العكس الإيجابي البرهان.

إن الحالة n = 1 من البنية العامة للأثلاث الفيثاغورية معروفة منذ زمن طويل. وقد وصفها بروكلس ، في تعليقه على القضية السابعة والأربعين من الكتاب الأول من كتاب الأصول لإقليدس ، على النحو التالي:

تُتناقل الأجيال بعض الطرق لاكتشاف هذا النوع من المثلثات، إحداها تُنسب إلى أفلاطون، والأخرى إلى فيثاغورس . تبدأ الطريقة الأخيرة بالأعداد الفردية، حيث يُجعل العدد الفردي هو الضلع الأصغر حول الزاوية القائمة، ثم يُربع هذا العدد، ويُطرح منه واحد، ويُجعل نصف الفرق هو الضلع الأكبر حول الزاوية القائمة، ثم يُضاف إليه واحد، فيتكون بذلك الضلع المتبقي، وهو الوتر. أما طريقة أفلاطون فتبدأ بالأعداد الزوجية، حيث يُؤخذ العدد الزوجي المُعطى ويُجعل أحد أضلاع الزاوية القائمة، ثم يُنصف هذا العدد ويُربع النصف، ويُضاف إلى المربع واحد، فيتكون الوتر، ويُطرح منه واحد، فيتكون الضلع الآخر حول الزاوية القائمة. وهكذا، تكون المثلث نفسه الذي تم الحصول عليه بالطريقة الأخرى.

وبصيغة معادلة، يصبح هذا كالتالي:

a عدد فردي (فيثاغورس، حوالي 540 قبل الميلاد):

$${\displaystyle {\text{side }}a:{\text{side }}b={a^{2}-1 \over 2}:{\text{side }}c={a^{2}+1 \over 2}.}$$

أ عدد زوجي (أفلاطون، حوالي 380 قبل الميلاد):

$${\displaystyle {\text{side }}a:{\text{side }}b=\left({a \over 2}\right)^{2}-1:{\text{side }}c=\left({a \over 2}\right)^{2}+1}$$

يمكن إثبات أنه يمكن الحصول على جميع الثلاثيات الفيثاغورية، مع إعادة التحجيم المناسبة، من المتتالية الأفلاطونية الأساسية ( a ، ( a² ^- 1)/2، و ( a² + 1)/2 ) عن طريق السماح لـ a بأخذ قيم نسبية غير صحيحة. إذا استُبدل a بالكسر m / n في المتتالية، فإن النتيجة تساوي مولد الثلاثيات "القياسي" (2mn ^، m² - n² ، ^{m² +} n² ) ^{بعد إعادة} التحجيم. ويترتب على ذلك أن لكل ثلاثية قيمة نسبية مقابلة لـ a يمكن استخدامها لتوليد مثلث مشابه (مثلث له نفس الزوايا الثلاث وأضلاعه بنفس النسب في المثلث الأصلي). على سبيل المثال، يُولَّد المكافئ الأفلاطوني للمتتالية (56، 33، 65) من خلال المعادلة a = m / n = 7/4، حيث ( a , ( a² ^- 1)/2, ( a² ⁺ 1)/2) = (56/32, 33/32, 65/32) . ويمكن اشتقاق المتتالية الأفلاطونية نفسها باتباع خطوات "تقسيم المربع" الموضحة في كتاب ديوفانتوس، الفصل الثاني، الفقرة الثامنة .

بافتراض وجود ثلاثة أعداد صحيحة موجبة${\displaystyle x<y<z}$تكون مربعاتهم في متتابعة حسابية إذا $${\displaystyle z^{2}-y^{2}=y^{2}-x^{2},}$$ أو ما يعادل ذلك إذا $${\displaystyle x^{2}+z^{2}=2y^{2}.}$$

إن المتتابعات الحسابية لثلاثة مربعات تتطابق بشكل تام مع الثلاثيات الفيثاغورية.

في الواقع، إذا${\displaystyle (a,b,c)}$⁠ هي ثلاثية فيثاغورسية بحيث ⁠${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ثم​ $${\displaystyle (a-b)^{2},\quad c^{2},\quad (a+b)^{2}}$$ ثلاثة مربعات في متتابعة حسابية، لأن${\displaystyle (a-b)^{2}+(a+b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})=2c^{2}}$⁠ .

وعلى العكس من ذلك، إذا${\displaystyle x^{2}<y^{2}<z^{2}}$ثلاثة مربعات في متتابعة حسابية ، بحيث${\displaystyle y^{2}={\tfrac {x^{2}+z^{2}}{2}}}$ثم​ $${\displaystyle \left({\tfrac {z-x}{2}},\quad y,\quad {\tfrac {z+x}{2}}\right)}$$ هي ثلاثية فيثاغورسية. وبما أن هذه التحويلات معكوسة لبعضها البعض، فإنها تحدد التناظر الأحادي المعلن.

يشير هذا التطابق الأحادي إلى أنه يمكن استنتاج جميع خصائص المتتابعات الحسابية للمربعات بسهولة من خاصية مماثلة للأعداد الثلاثية الفيثاغورية.

على وجه الخصوص، تشير صيغة إقليدس إلى أنه يمكن الحصول على جميع المتتابعات الحسابية المكونة من ثلاثة مربعات على النحو التالي: $${\displaystyle (m^{2}-n^{2}-2mn)^{2},\quad (m^{2}+m^{2})^{2},\quad (m^{2}-n^{2}+2mn)^{2},}$$ أين​${\displaystyle m}$و​​${\displaystyle n}$⁠ هما عددان صحيحان موجبان عشوائيان من رتب زوجية مختلفة .

وكذلك الفرق${\displaystyle z^{2}-y^{2}=y^{2}-x^{2}}$يكون الفرق بين مربعين متتاليين في متتالية حسابية من المربعات دائمًا من مضاعفات العدد 24. وينتج هذا عن علاقات قابلية القسمة الواردة في قسم  الخصائص العامة ، لأن هذا الفرق هو${\displaystyle 2ab}$، حيث​${\displaystyle a}$و​​${\displaystyle b}$⁠ هي العناصر الأولى للثلاثية الإقليدية المرتبطة بها.

ويترتب على ذلك أن أصغر متتالية حسابية مكونة من ثلاثة مربعات هي $${\displaystyle (1,25,49).}$$

المعادلة،

$${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}}$$

وهو ما يعادل الثلاثية الفيثاغورية الخاصة،

$${\displaystyle (a^{2}+ab+b^{2})^{2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}=((a+b)^{2}+(a+b)(c+d)+(c+d)^{2})^{2}}$$

يوجد عدد لا نهائي من الحلول لهذه المعادلة، لأن حل المتغيرات يتطلب استخدام منحنى إهليلجي . ومن الحلول الصغيرة:

$${\displaystyle a,b,c,d=-2634,955,1770,5400}$$

$${\displaystyle a,b,c,d=-31764,7590,27385,48150}$$

إحدى طرق إيجاد حلول لـ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}}$يتمثل الهدف في تحديد معلمات a و b و c و d بدلالة الأعداد الصحيحة m و n و p و q على النحو التالي: ^{[ 36 ]}

$${\displaystyle (m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2})=(mp-nq)^{2}+(np+mq)^{2}=(mp+nq)^{2}+(np-mq)^{2}.}$$

بفرض وجود مجموعتين من الأعداد الثلاثية الفيثاغورية،

$${\displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}+(2ab)^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}}$$

$${\displaystyle (c^{2}-d^{2})^{2}+(2cd)^{2}=(c^{2}+d^{2})^{2}}$$

مشكلة إيجاد حاصل ضرب متساوٍ بين ضلع غير الوتر والوتر،

$${\displaystyle (a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})=(c^{2}-d^{2})(c^{2}+d^{2})}$$

من السهل ملاحظة أنها تعادل المعادلة،

$${\displaystyle a^{4}-b^{4}=c^{4}-d^{4}}$$

وقد حلّها أويلر لأول مرة على النحو التالي:${\displaystyle a,b,c,d=133,59,158,134.}$ بما أنه أثبت أن هذه نقطة منطقية على منحنى إهليلجي ، فإن عدد الحلول لا نهائي. في الواقع، وجد أيضًا تمثيلًا وسيطيًا متعدد الحدود من الدرجة السابعة.

في حالة نظرية دائرة ديكارت حيث تكون جميع المتغيرات مربعات،

$${\displaystyle 2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}}$$

أثبت أويلر أن هذا يعادل ثلاثة ثلاثيات فيثاغورية متزامنة،

$${\displaystyle (2ab)^{2}+(2cd)^{2}=(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}}$$

$${\displaystyle (2ac)^{2}+(2bd)^{2}=(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}}$$

$${\displaystyle (2ad)^{2}+(2bc)^{2}=(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})^{2}}$$

يوجد أيضًا عدد لا نهائي من الحلول، وفي الحالة الخاصة عندما${\displaystyle a+b=c}$ثم تُبسط المعادلة إلى،

$${\displaystyle 4(a^{2}+ab+b^{2})=d^{2}}$$

مع حلول صغيرة مثل${\displaystyle a,b,c,d=3,5,8,14}$ويمكن حلها كصيغ تربيعية ثنائية .

لا توجد ثلاثيات فيثاغورس متساوية الساقين ، لأن نسبة الوتر إلى أي من الجانبين الآخرين هي √2 ، ولكن لا يمكن التعبير عن √2 كنسبة بين عددين صحيحين .

ومع ذلك، توجد مثلثات قائمة الزاوية ذات أضلاع صحيحة يختلف فيها طول الضلع غير الوتر بمقدار واحد، مثل:

$${\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}$$

$${\displaystyle 20^{2}+21^{2}=29^{2}}$$

وعدد لا نهائي من غيرها. ويمكن تحديدها بالكامل على النحو التالي:

$${\displaystyle \left({\tfrac {x-1}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {x+1}{2}}\right)^{2}=y^{2}}$$

حيث { x, y } هما حلول معادلة بيل${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=-1.}$

إذا كانت a و b و c أضلاعًا لهذا النوع من المثلثات الفيثاغورية الأولية، فإن حل معادلة بيل يُعطى بالصيغة التكرارية.

$${\displaystyle a_{n}=6a_{n-1}-a_{n-2}+2}$$مع${\displaystyle a_{1}=3}$و${\displaystyle a_{2}=20}$$${\displaystyle b_{n}=6b_{n-1}-b_{n-2}-2}$$مع${\displaystyle b_{1}=4}$و${\displaystyle b_{2}=21}$$${\displaystyle c_{n}=6c_{n-1}-c_{n-2}}$$مع${\displaystyle c_{1}=5}$و​${\displaystyle c_{2}=29}$[ ³⁷ ]^​​

يشكل هذا التسلسل من الثلاثيات الفيثاغورية البدائية الجذع المركزي (الجذع) للشجرة الثلاثية الجذرية للثلاثيات الفيثاغورية البدائية.

عندما يكون الفرق بين الضلع غير الوتر والوتر هو واحد، كما هو الحال في

$${\displaystyle 5^{2}+12^{2}=13^{2}}$$

$${\displaystyle 7^{2}+24^{2}=25^{2}}$$

إذن، الحل الكامل للثلاثية الفيثاغورية الأولية a ، b ، c هو

$${\displaystyle a=2m+1,\quad b=2m^{2}+2m,\quad c=2m^{2}+2m+1}$$

و

$${\displaystyle (2m+1)^{2}+(2m^{2}+2m)^{2}=(2m^{2}+2m+1)^{2}}$$

حيث عدد صحيح${\displaystyle m>0}$هو المعامل المُولِّد.

يُظهر هذا أن جميع الأعداد الفردية (الأكبر من 1) تظهر في هذا النوع من المثلثات الفيثاغورية الأولية شبه متساوية الساقين. ويُشكّل هذا التسلسل من المثلثات الفيثاغورية الأولية الجذع الخارجي الأيمن للشجرة الثلاثية الجذرية للمثلثات الفيثاغورية الأولية.

ومن خصائص هذا النوع من المثلثات الفيثاغورية الأولية شبه متساوية الساقين أن أضلاعها مرتبطة ببعضها بحيث $${\displaystyle a^{b}+b^{a}=Kc}$$ لبعض الأعداد الصحيحة${\displaystyle K}$أو بعبارة أخرى${\displaystyle a^{b}+b^{a}}$يقبل القسمة على${\displaystyle c}$مثل في $${\displaystyle (5^{12}+12^{5})/13=18799189}$$[ ^{38 ]​}

ابتداءً من 5، يمثل كل عدد ثانٍ في متتالية فيبوناتشي طول وتر مثلث قائم الزاوية ذي أضلاع صحيحة، أو بعبارة أخرى، أكبر عدد في ثلاثية فيثاغورس، والتي يتم الحصول عليها من الصيغة $${\displaystyle (F_{n}F_{n+3})^{2}+(2F_{n+1}F_{n+2})^{2}=F_{2n+3}^{2}.}$$ تتكون سلسلة المثلثات الفيثاغورية التي تم الحصول عليها من هذه الصيغة من أضلاع طولها

(3، 4، 5)، (5، 12، 13)، (16، 30، 34)، (39، 80، 89)، ...

الضلع الأوسط لكل من هذه المثلثات هو مجموع أضلاع المثلث السابق الثلاثة. ^{[ 39 ]}

التعبير $${\displaystyle \left(m_{1}^{2}-m_{2}^{2}-\ldots -m_{n}^{2}\right)^{2}+\sum _{k=2}^{n}(2m_{1}m_{k})^{2}=\left(m_{1}^{2}+\ldots +m_{n}^{2}\right)^{2}}$$يمثل Σₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙ ) أي مجموعة من الأعداد الصحيحة الموجبة ⁽ m₁ , _... , mₙ ) حيث m₁ₙₙₙₙ _> m₂ₙₙₙ ⁺ _... + mₙₙₙₙ ^. _ويمكن تحويل مجموعة Σₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙₙ) _. ويمكن جعل مجموعة Σₙ ...

_{علاوة على} ذلك، يمكن إيجاد أي مجموعة فيثاغورسية أولية من الرتبة n، حيث a₁ + ... + aₙ = c₂ ^، باستخدام _هذه الطريقة ^. استخدم الصيغة ( ^m₁ _, ... , mn ₎ = ( c + a₁, a₂, ..., mn) للحصول على مجموعة فيثاغورسية من _الرتبة n باستخدام _الصيغة المذكورة أعلاه ، _ثم اقسم الناتج على أكبر قاسم مشترك صحيح، وهو 2m₁ = ₂ ( c + a₁ ) . القسمة على أكبر قاسم مشترك لهذه القيم ( m₁ _, ..., mn ₎ تعطي نفس المجموعة الفيثاغورسية الأولية من _الرتبة ⁿ ؛ وهناك تناظر أحادي بين مجموعات الأعداد الصحيحة الموجبة الأولية فيما بينها ( m₁ _, ..., mn ) التي تحقق m₁ _> m₂ ^{+ ...} + mₙ ، وبين المجموعات الفيثاغورسية الأولية _{من الرتبة n} .

أمثلة على العلاقة بين القيم الأولية فيما بينها${\displaystyle {\vec {m}}}$وتشمل المجموعات الأولية من النوع n في نظرية فيثاغورس ما يلي : ^{[ 40 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {m}}=(1)&\leftrightarrow 1^{2}=1^{2}\\{\vec {m}}=(2,1)&\leftrightarrow 3^{2}+4^{2}=5^{2}\\{\vec {m}}=(2,1,1)&\leftrightarrow 1^{2}+2^{2}+2^{2}=3^{2}\\{\vec {m}}=(3,1,1,1)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}=2^{2}\\{\vec {m}}=(5,1,1,2,3)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}=4^{2}\\{\vec {m}}=(4,1,1,1,1,2)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}=3^{2}\\{\vec {m}}=(5,1,1,1,2,2,2)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+2^{2}+2^{2}=4^{2}\end{aligned}}}$$

يُعدّ البحث عن ثلاثيات الأعداد الصحيحة الموجبة a و b و c ، بحيث يكون ^aⁿ + bⁿ = cⁿ ، ^{تعميمًا} لمفهوم الثلاثيات الفيثاغورية ^، حيث n أكبر من 2. ادّعى بيير دي فيرما عام 1637 عدم وجود مثل هذه الثلاثية، وهو ادّعاء عُرف باسم نظرية فيرما الأخيرة، نظرًا لأنّ إثباته أو دحضه استغرق وقتًا أطول من أي تخمين آخر لفيرما. وقدّم أندرو وايلز أول برهان عليها عام 1994.

تعميم آخر هو البحث عن متتابعات من n + 1 عدد صحيح موجب، حيث يكون الأس النوني للعدد الأخير فيها مساوياً لمجموع الأسونية النونية للأعداد السابقة. أصغر المتتابعات لقيم n المعروفة هي:

• n = 3: {3، 4، 5؛ 6}.
• ن = 4: {30، 120، 272، 315؛ 353}
• ن = 5: {19، 43، 46، 47، 67؛ 72}
• n = 7: {127، 258، 266، 413، 430، 439، 525؛ 568}
• n = 8: {90، 223، 478، 524، 748، 1088، 1190، 1324؛ 1409}

في حالة n = 3 ، حيث${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3},}$تُعرف باسم معادلة فيرما المكعبة ، وتوجد صيغة عامة تعطي جميع الحلول.

يسمح تعميم مختلف قليلاً بأن يكون مجموع القوى من الرتبة ( k + 1) مساوياً لمجموع القوى من الرتبة ( n − k ) . على سبيل المثال:

• ( n = 3 ): 1 ³ + 12 ³ = 9 ³ + 10 ³ ، وقد اشتهرت هذه العبارة بفضل تذكر هاردي لمحادثة مع رامانوجان حول العدد 1729 باعتباره أصغر عدد يمكن التعبير عنه كمجموع مكعبين بطريقتين مختلفتين.

قد توجد أيضًا n − 1 أعداد صحيحة موجبة يكون مجموع قواها من الرتبة n مساويًا لقوة من الرتبة n (مع ذلك، وفقًا لنظرية فيرما الأخيرة ، لا ينطبق هذا على n = 3) ؛ وهذه أمثلة مضادة لتخمين أويلر حول مجموع القوى . أصغر الأمثلة المضادة المعروفة هي ^{[ 45 ] و[ 46 ] و[ 14 ].}

• n = 4 : (95800, 217519, 414560; 422481)
• n = 5 : (27، 84، 110، 133؛ 144)

يُعرَّف المثلث الهيروني عادةً بأنه مثلث أضلاعه أعداد صحيحة ومساحته عدد صحيح أيضًا. تشكل أطوال أضلاع هذا المثلث ثلاثية هيرونية ( أ، ب، ج ) حيث أ ≤ ب ≤ ج . كل ثلاثية فيثاغورسية هي ثلاثية هيرونية، لأن أحد ضلعيها على الأقل (أ ، ب) يجب أن يكون زوجيًا، وبالتالي فإن المساحة (أب /2) عدد صحيح. مع ذلك، ليست كل ثلاثية هيرونية ثلاثية فيثاغورسية، كما يُبين المثال (4، 13، 15) الذي مساحته 24.

إذا كانت ( أ ، ب ، ج ) ثلاثية هيرونية، فإن ( كا ، كب ، كج ) كذلك، حيث ك أي عدد صحيح موجب؛ ستكون مساحتها هي العدد الصحيح الذي يساوي ك ^{مضروبًا} في ضعف مساحة المثلث ( أ ، ب ، ج ) . تُعتبر الثلاثية الهيرونية ( أ ، ب ، ج ) أولية إذا كانت أ ، ب ، ج أعدادًا أولية فيما بينها . (مع الثلاثيات الفيثاغورية الأولية، ينطبق عليها أيضًا الشرط الأقوى وهو أنها أعداد أولية فيما بينها ، ولكن مع المثلثات الهيرونية الأولية، لا ينطبق هذا الشرط دائمًا، كما هو الحال مع (7، 15، 20) ). فيما يلي بعض أبسط الثلاثيات الهيرونية الأولية التي ليست ثلاثيات فيثاغورية:

(4، 13، 15) بمساحة 24

(3، 25، 26) بمساحة 36

(7، 15، 20) بمساحة 42

(6، 25، 29) بمساحة 60

(11، 13، 20) بمساحة 66

(13، 14، 15) بمساحة 84

(13، 20، 21) بمساحة 126

بحسب صيغة هيرون ، فإن الشرط الإضافي لكي تكون ثلاثية الأعداد الصحيحة الموجبة ( أ ، ب ، ج ) حيث أ < ب < ج هيرونية هو أن

( أ² + ب² + ج² ) ^² - ² ( أ⁴ + ب⁴ + ^ج⁴ )^​​​​

أو ما يعادل ذلك

2( a ² b ² + a ² c ² + b ² c ² ) − ( a ⁴ + b ⁴ + c ⁴ )

ليكن مربعًا كاملًا غير صفري يقبل القسمة على 16.

استُخدمت الثلاثيات الفيثاغورية الأولية في علم التشفير كمتواليات عشوائية ولتوليد المفاتيح. ^{[ 47 ]}