خاتم أرتينيان

في الرياضيات ، وتحديدًا في الجبر المجرد ، تُعرف الحلقة الأرتينية (أو حلقة أرتين ) بأنها حلقة تحقق شرط السلسلة التنازلية على المُثُل (أحادية الجانب) ؛ أي أنه لا يوجد تسلسل تنازلي لانهائي من المُثُل. سُميت الحلقات الأرتينية نسبةً إلى إميل أرتين ، الذي اكتشف لأول مرة أن شرط السلسلة التنازلية للمُثُل يُعمم في آنٍ واحد الحلقات المنتهية والحلقات التي تُمثل فضاءات متجهة منتهية الأبعاد على الحقول . ويمكن إعادة صياغة تعريف الحلقات الأرتينية باستبدال شرط السلسلة التنازلية بمفهوم مُكافئ: شرط الحد الأدنى .

بالتحديد، تُسمى الحلقة أرتينية يسارية إذا حققت شرط السلسلة التنازلية على المُثُل اليسارية، وأرتينية يمينية إذا حققت شرط السلسلة التنازلية على المُثُل اليمينية، وأرتينية أو أرتينية ثنائية الجانب إذا كانت أرتينية يسارية ويمينية في آنٍ واحد. ^{[ 1 ]} بالنسبة للحلقات التبديلية، تتطابق التعريفات اليسارية واليمينية، ولكنها عمومًا تختلف عن بعضها البعض.

تُعرّف نظرية ويدربورن -آرتين كل حلقة أرتينية بسيطة بأنها حلقة من المصفوفات فوق حلقة قسمة . وهذا يعني أن الحلقة البسيطة تكون أرتينية يسارية إذا وفقط إذا كانت أرتينية يمينية.

يمكن تطبيق نفس التعريف والمصطلحات على الوحدات النمطية ، مع استبدال المُثُل بالوحدات النمطية الفرعية .

على الرغم من أن شرط السلسلة التنازلية يبدو ثنائيًا لشرط السلسلة التصاعدية ، إلا أنه في الحلقات يُعدّ الشرط الأقوى. تحديدًا، من نتائج نظرية أكيزوكي-هوبكنز-ليفيتزكي أن الحلقة الأرتينية اليسرى (أو اليمنى) هي تلقائيًا حلقة نوثرية يسارية (أو يمينية) . هذا لا ينطبق على الوحدات النمطية العامة؛ أي أن الوحدة النمطية الأرتينية ليست بالضرورة وحدة نمطية نوثرية .

• يكون المجال التكاملي أرتينيًا إذا وفقط إذا كان حقلًا.
• الحلقة التي تحتوي على عدد محدود من المُثُل، ولنقل المُثُل اليسارية، هي حلقة أرتينية يسارية. وعلى وجه الخصوص، الحلقة المنتهية (مثلاً،${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$) هو أرتينيان يساري ويميني.
• يترك${\displaystyle k}$كن حقلاً. ثم${\displaystyle k[t]/(t^{n})}$هي أرتينية لكل عدد صحيح موجب n .
• بصورة مماثلة،${\displaystyle k[x,y]/(x^{2},y^{3},xy^{2})=k\oplus k\cdot x\oplus k\cdot y\oplus k\cdot xy\oplus k\cdot y^{2}}$هو خاتم أرتيني ذو مثالي أقصى${\displaystyle (x,y)}$.
• يترك${\displaystyle x}$ليكن تماثلاً داخلياً بين فضاء متجهي V ذي أبعاد منتهية . عندئذٍ يكون الجبر الجزئي${\displaystyle A\subset \operatorname {End} (V)}$تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle x}$عبارة عن حلقة أرتينية تبادلية.
• إذا كان I مثاليًا غير صفري في مجال ديديكيند A ، فإن${\displaystyle A/I}$هي حلقة أرتينية رئيسية . ^{[ 2 ]}
• لكل${\displaystyle n\geq 1}$، حلقة المصفوفة الكاملة${\displaystyle M_{n}(R)}$الحلقة R فوق حلقة أرتينية يسارية (أو حلقة نوثرية يسارية) هي حلقة أرتينية يسارية (أو حلقة نوثرية يسارية). ^{[ 3 ]}

فيما يلي مثالان على حلقات غير أرتينية.

• إذا كانت R أي حلقة، فإن حلقة كثيرات الحدود R [ x ] ليست أرتينية، لأن المثالي المتولد بواسطة${\displaystyle x^{n+1}}$يتم تضمينها (بشكل صحيح) في المثال الناتج عن${\displaystyle x^{n}}$لجميع الأعداد الطبيعية n . في المقابل، إذا كانت R نوثرية، فإن R [ x ] كذلك وفقًا لنظرية أساس هيلبرت .
• حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$هو خاتم نوثيري ولكنه ليس خاتم أرتيني.

ليكن M وحدة نمطية يسارية على حلقة أرتينية يسارية. عندئذٍ، تكون العبارات التالية متكافئة ( نظرية هوبكنز ): (i) M مولدة توليداً منتهياً ، (ii) M لها طول منتهٍ (أي، لها متسلسلات تركيب )، (iii) M نوثرية، (iv) M أرتينية. ^{[ 4 ]}

لتكن A حلقة نوثرية تبديلية ذات عنصر محايد. عندئذٍ، تكون العبارات التالية متكافئة.

• أ هو أرتيني.
• A عبارة عن منتج محدود للحلقات المحلية الأرتينية التبادلية . ^{[ 5 ]}
• A / nil( A ) هي حلقة شبه بسيطة ، حيث nil( A ) هو الجذر الصفري لـ A.
• كل وحدة نمطية مولدة بشكل نهائي على A لها طول نهائي. (انظر أعلاه)
• A لها بُعد كرول صفري. ^{[ 6 ]} (على وجه الخصوص، الجذر الصفري هو جذر جاكوبسون لأن المُثُل الأولية قصوى.)
• ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$محدود ومنفصل.
• ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$منفصل. ^{[ 7 ]}

ليكن k حقلاً و A جبرًا منتهيًا مولدًا على k . عندئذٍ يكون A أرتينيًا إذا وفقط إذا كان A مولدًا منتهيًا كوحدة نمطية على k .

الحلقة المحلية الأرتينية كاملة. خارج قسمة الحلقة الأرتينية وتحديد موقعها هما أرتينيان.

تنص إحدى صيغ نظرية ويدربورن-آرتين على أن الحلقة الأرتينية البسيطة A هي حلقة مصفوفات فوق حلقة قسمة. في الواقع، ^{[ 8 ]} ليكن I مثاليًا يمينيًا أدنى (غير صفري) في A ، وهو موجود لأن A أرتينية (وبقية البرهان لا تستخدم حقيقة أن A أرتينية). إذن، بما أن${\displaystyle AI}$هو مثال ذو وجهين،${\displaystyle AI=A}$بما أن أ بسيطة. وبالتالي يمكننا اختيار${\displaystyle a_{i}\in A}$لهذا السبب.${\displaystyle 1\in a_{1}I+\cdots +a_{k}I}$لنفترض أن k هي أصغر قيمة بالنسبة لتلك الخاصية. الآن، لننظر إلى خريطة الوحدات النمطية اليمنى A :

${\displaystyle {\begin{cases}I^{\oplus k}\to A,\\(y_{1},\dots ,y_{k})\mapsto a_{1}y_{1}+\cdots +a_{k}y_{k}\end{cases}}}$

هذه الخريطة شاملة ، لأن الصورة مثالية يمنى وتحتوي على 1. إذا لم تكن أحادية ، فقل مثلاً:${\displaystyle a_{1}y_{1}=a_{2}y_{2}+\cdots +a_{k}y_{k}}$مع غير الصفر${\displaystyle y_{1}}$ثم، بحسب خاصية الحد الأدنى لـ I ، لدينا${\displaystyle y_{1}A=I}$ويتبع ذلك ما يلي:

${\displaystyle a_{1}I=a_{1}y_{1}A\subset a_{2}I+\cdots +a_{k}I}$،

وهذا يتناقض مع الحد الأدنى لقيمة k . وبالتالي،${\displaystyle I^{\oplus k}\simeq A}$وبالتالي${\displaystyle A\simeq \operatorname {End} _{A}(A)\simeq M_{k}(\operatorname {End} _{A}(I))}$.

• جبر أرتين
• مثال أرتيني
• وحدة التسلسل
• خاتم شبه مثالي
• خاتم غورنشتاين
• حلقة نوثيرية