E 6 (الرياضيات)

في الرياضيات ، E6 هو اسم لبعض زمر لي أو الزمر الجبرية الخطية أو جبر لي الخاص بها، وهي زمر وثيقة الصلة _. ${\mathfrak {e}}_{6}$ جميعها ذات بُعد 78؛ ويُستخدم الرمز E6 نفسه لشبكة الجذور المقابلة _،والتي لها رتبة 6. يأتي الرمز E6 من تصنيف كارتان-كيلينغ لجبر لي البسيط المعقد (انظر إيلي كارتان، قسم الأعمال). يصنف هذا التصنيف جبر لي إلى أربع متسلسلات لانهائية مُرقمة An، Bn، Cn، Dn، وخمس حالات استثنائية مُرقمة E _ 6 ، E 7 _ ، _E ₈ _، F 4 _ ، و _G 2 _ . وبالتالي _، يُعد جبر _E6 أحد _{الحالات} الاستثنائية الخمس.

الزمرة الأساسية للشكل المرافق لـ E6 ₍ كزمرة لي معقدة أو متراصة) هي الزمرة الدورية Z /3Z ، وزمرة التشاكل الذاتي الخارجية لها هي الزمرة الدورية Z /2Z . بالنسبة للشكل البسيط الاتصال، يكون تمثيله الأساسي ذا 27 بُعدًا، وتُعطى القاعدة بواسطة 27 خطًا على سطح مكعب . التمثيل الثنائي ، وهو غير مكافئ، هو أيضًا ذو 27 بُعدًا.

في فيزياء الجسيمات ، يلعب E ₆ دورًا في بعض النظريات الموحدة الكبرى .

أشكال حقيقية ومعقدة

يوجد جبر لي معقد فريد من نوعه من النوع E6 _، يناظر زمرة معقدة ذات بُعد معقد 78. يمكن اعتبار زمرة لي المرافقة المعقدة E6 ذات البُعد المعقد 78 زمرة لي حقيقية بسيطة ذات بُعد حقيقي 156. تمتلك هذه الزمرة الأساسية _Z / 3Z ، ولها زمرة جزئية مضغوطة قصوى هي الشكل المضغوط (انظر أدناه) لـ E6 _، ولها زمرة تماثل خارجي غير دورية من الرتبة 4 مُولَّدة بواسطة الاقتران المعقد والتماثل الخارجي الموجود بالفعل كتماثل معقد.

بالإضافة إلى زمرة لي المعقدة من النوع E ₆ ، هناك خمسة أشكال حقيقية لجبر لي، وخمسة أشكال حقيقية مماثلة للزمرة ذات المركز التافه (جميعها لها غطاء مزدوج جبري، وثلاثة منها لها أغطية غير جبرية إضافية، مما يعطي أشكالًا حقيقية إضافية)، وكلها ذات بُعد حقيقي 78، على النحو التالي:

الشكل المضغوط ( وهو الشكل المقصود عادةً إذا لم يتم تقديم أي معلومات أخرى)، والذي يحتوي على المجموعة الأساسية Z /3 Z ومجموعة التشاكل الخارجي Z /2 Z.
الشكل المنقسم، EI (أو E ₆₍₆₎ )، والذي يحتوي على مجموعة فرعية مضغوطة قصوى Sp(4)/(±1)، ومجموعة أساسية من الرتبة 2 ومجموعة تماثل خارجي من الرتبة 2.
الشكل شبه المنقسم EII (أو E ₆₍₂₎ ) ، والذي يحتوي على مجموعة فرعية مضغوطة قصوى SU(2) × SU(6)/(المركز)، ومجموعة أساسية دورية من الرتبة 6 ومجموعة تماثل خارجي من الرتبة 2.
EIII (أو E _6(-14) )، والتي تحتوي على مجموعة فرعية مضغوطة قصوى SO(2) × Spin(10)/(center)، ومجموعة أساسية Z ومجموعة تماثل خارجي تافهة.
EIV (أو E _6(-26) )، والتي تحتوي على مجموعة فرعية مضغوطة قصوى F ₄ ، ومجموعة أساسية تافهة دورية ومجموعة تماثل خارجي من الرتبة 2.

يمثل الشكل EIV للمجموعة _E6 مجموعة التحويلات الخطية (التحويلات الحافظة للخطوط) للمستوى الإسقاطي الثماني ^OP2. [ ¹^]^وهي أيضًا مجموعة التحويلات الخطية الحافظة للمحددات في جبر جوردان الاستثنائي . يتميز جبر جوردان الاستثنائي بأنه ذو 27 بُعدًا، مما يفسر سبب امتلاك الشكل الحقيقي المضغوط للمجموعة E6 _{تمثيلًا} معقدًا ذا 27 بُعدًا. يُعد الشكل الحقيقي المضغوط للمجموعة _E6مجموعة التناظر لمتشعب ريماني ذي 32 بُعدًا يُعرف باسم "المستوى الإسقاطي الثنائي الثماني"؛ وتُعرف البنى المماثلة للمجموعة E7 وE8 باسم _{المستويات} الإسقاطية _{لروزنفيلد}، وهي جزء من المربع السحري لفرويدنتال .

E ₆ كمجموعة جبرية

باستخدام أساس شيڤالي لجبر لي، يمكن تعريف E6 _{كمجموعة} جبرية خطية على الأعداد الصحيحة، وبالتالي على أي حلقة تبديلية، وعلى وجه الخصوص على أي حقل: وهذا يُعرّف ما يُسمى بالشكل المرافق المنفصل (المعروف أحيانًا باسم "غير الملتوي") لـ E6 _. على حقل مغلق جبريًا، يُعد هذا الشكل وغطاؤه الثلاثي الشكلين الوحيدين؛ ومع ذلك، على حقول أخرى، غالبًا ما توجد العديد من الأشكال الأخرى، أو "الالتواءات" لـ E6 _، والتي تُصنف في الإطار العام لعلم التماثل لغالوا (على حقل كامل k ) بواسطة المجموعة H1 ⁽k , Aut(E6 ₎ )، والتي، نظرًا لأن مخطط دينكين لـ E6 ₍ انظر أدناه ) له زمرة تماثل ذاتي Z /2Z ، ^يُسقط على H1 ( k , Z /2Z ) = Hom(Gal( k ), Z /2Z ) بنواة $H1$ $($ $k$ $, E6$ $,$ $ad$ $)$ . ^[²^]

في حقل الأعداد الحقيقية، يتطابق المكون الحقيقي لهوية هذه الأشكال الملتوية جبريًا لـ E ₆ مع مجموعات لي الحقيقية الثلاث المذكورة أعلاه ، ولكن مع دقة تتعلق بالمجموعة الأساسية: جميع الأشكال المرافقة لـ E ₆ لها مجموعة أساسية Z /3 Z بمعنى الهندسة الجبرية، مع تأثير غالوا كما هو الحال على الجذور الثالثة للوحدة؛ هذا يعني أنها تقبل غطاءً ثلاثيًا واحدًا فقط (والذي قد يكون تافهًا على النقاط الحقيقية)؛ وبالتالي فإن أشكال مجموعة لي الحقيقية غير المدمجة الأخرى لـ E ₆ ليست جبرية ولا تقبل أي تمثيلات أمينة ذات أبعاد منتهية. يُقال إن الشكل الحقيقي المضغوط لـ E ₆ بالإضافة إلى الأشكال غير المضغوطة $EI = E 6(6)$ و $EIV = E 6(-26)$ هي أشكال داخلية أو من النوع ¹ E ₆ مما يعني أن فئتها تقع في $H 1 (k, E 6,ad)$ أو أن الاقتران المركب يؤدي إلى التشاكل التافه على مخطط دينكين، في حين يُقال إن الشكلين الحقيقيين الآخرين هما أشكال خارجية أو من النوع ² E ₆ .

في الحقول المنتهية، تنص نظرية لانغ-شتاينبرغ على أن H ¹ ( k , E ₆ ) = 0، مما يعني أن E ₆ لها شكل ملتوٍ واحد فقط، يُعرف باسم ² E ₆ : انظر أدناه .

التشاكلات الذاتية لجبر ألبرت

الزمرة الجبرية G ₂ هي زمرة التشاكل الذاتي للأوكتونيونات . جبر جوردان الاستثنائي $A$ يمكن اعتبار فضاء الجبر ذي البعد 27، والمعروف باسم جبر ألبرت ، بمثابة فضاء لـ $3\times 3$ المصفوفات ذاتية الترافق على الأوكتونيونات. المجموعة الجبرية F ₄ هي مجموعة التشاكلات الذاتية لجبر جوردان هذا؛ جميع هذه التشاكلات الذاتية تحتفظ أيضًا بشكل تكعيبي على $A$ يُطلق عليه اسم "المحدد". وبهذا المعنى، فإن المجموعة الجبرية E ₆ هي مجموعة التشاكلات الذاتية لـ $A$ كمساحة متجهة تحافظ على المحدد (ولكن ليس بالضرورة أن تحافظ على بنية جبر جوردان). ^{[ 3 ]}

الجبر

مخطط دينكين

يُعطى مخطط دينكين لـ E 6 بواسطة ، والذي يمكن _رسمه أيضًا على النحو التالي .

جذور E ₆

على الرغم من أنها تمتد على فضاء سداسي الأبعاد، إلا أنه من الأنسب اعتبارها كمتجهات في فضاء فرعي سداسي الأبعاد ضمن فضاء تساعي الأبعاد. عندئذٍ يمكن اعتبار الجذور كما يلي:

(1, − 1,0;0,0,0;0,0,0), ( − 1,1,0;0,0,0;0,0,0),

( − 1,0,1;0,0,0;0,0,0), (1,0, − 1;0,0,0;0,0,0),

(0,1, − 1;0,0,0;0,0,0), (0, − 1,1;0,0,0;0,0,0),

(0,0,0;1, − 1,0;0,0,0), (0,0,0; − 1,1,0;0,0,0),

(0,0,0; − 1,0,1;0,0,0), (0,0,0;1,0, − 1;0,0,0),

(0,0,0;0,1, − 1;0,0,0), (0,0,0;0, − 1,1;0,0,0),

(0,0,0;0,0,0;1, − 1,0), (0,0,0;0,0,0; − 1,1,0),

(0,0,0;0,0,0; − 1,0,1), (0,0,0;0,0,0;1,0, − 1),

(0,0,0;0,0,0;0,1, − 1), (0,0,0;0,0,0;0, − 1,1),

بالإضافة إلى جميع التوليفات الـ 27 لـ $(\mathbf {3$ حيث $\mathbf {3}$ هو أحد $\left({\frac {2}{3}},-{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}}\right),\ \left(-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},-{\frac {1}{3}}\right),\ \left(-{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right),$ بالإضافة إلى جميع التوليفات الـ 27 لـ $({\bar {\mathbf {3} }};{\bar {\mathbf {3} }};{\bar {\mathbf {3} }})$ أين ${\bar {\mathbf {3} }}$ هو أحد $\left(-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}}\right),\ \left({\frac {1}{3}},-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}}\right),\ \left({\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}},-{\frac {2}{3}}\right).$

جذور بسيطة

أحد الخيارات الممكنة للجذور البسيطة للمعادلة E ₆ هو:

(0,0,0;0,0,0;0,1, − 1)

(0,0,0;0,0,0;1, − 1,0)

(0,0,0;0,1, − 1;0,0,0)

(0,0,0;1, − 1,0;0,0,0)

(0,1, − 1;0,0,0;0,0,0)

\left({\frac {1}{3}},-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}};-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}};-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}}\right)

رسم بياني للمجموعة _E6 كمجموعة فرعية من المجموعة E8 _مُسقطة على مستوى كوكسيتر

مخطط هاس لمجموعة الجذور الجزئية _E6 مع تسميات الحواف التي تحدد موضع الجذر البسيط المضاف

_الجذور E6 مشتقة من جذور _E8

_تُعدّ E6 مجموعة جزئية من E8 _حيث تتساوى مجموعة متسقة من ثلاث إحداثيات (مثل الأولى أو الأخيرة). وهذا يُسهّل التعريفات الصريحة لـ E7 _و E6 _على النحو التالي:

E ₇ = { α ∈ Z ⁷ ∪ ( Z + ⁠ 1 2 ⁠ ) ⁷ : Σ α _i² + α ₁² = 2, Σ α _i + α ₁ ∈ 2 Z },

E ₆ = { α ∈ Z ⁶ ∪ ( Z + ⁠ 1 2 ⁠ ) ⁶: Σ α _i² + 2 α ₁² = 2, Σ α _i + 2 α ₁ ∈ 2 Z }

تُشتق الجذور الـ 72 التالية من الرتبة E6 _{بهذه الطريقة من}الجذور الزوجية الحقيقية المنقسمة من _الرتبة E8 . لاحظ أن الأبعاد الثلاثة الأخيرة هي نفسها المطلوبة:

وصف بديل

الوصف البديل (سداسي الأبعاد) لنظام الجذر، والذي يفيد في اعتبار E ₆ × SU(3) كمجموعة فرعية من E ₈ ، هو التالي:

الجميع $4\times {\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}$ تباديل من

(\pm 1,\pm 1,0,0,0,0)

مع الحفاظ على الصفر في آخر إدخال،

وجميع الجذور التالية التي تحتوي على عدد فردي من علامات الجمع

\left(\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {\sqrt {3}} \over 2}\right).

وبالتالي، تتكون المولدات الـ 78 من الجبر الفرعي التالي:

جبر فرعي SO(10) ذو 45 بُعدًا، بما في ذلك ما سبق ذكره

4\times {\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}

المولدات بالإضافة إلى مولدات كارتان الخمسة المقابلة لأول خمسة إدخالات.

جبران فرعيان ذوا 16 بُعدًا يتحولان كسبينور ويل لـ

\operatorname {spin} (10)

ومرافقه المركب. يحتوي هذان العنصران على قيمة أخيرة غير صفرية.

المولد 1 وهو مولد الكيرالية الخاص بهم، وهو المولد السادس لكارتان .

أحد الخيارات للجذور البسيطة للمعادلة E ₆ يُعطى بواسطة صفوف المصفوفة التالية، المفهرسة بالترتيب التالي :

\begin{smallmatrix}1&-1&0&0&0&0\\0&1&-1&0&0&0\\0&0&1&-1&0&0\\0&0&0&1&1&0\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\0&0&0&1&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}

مجموعة ويل

زمرة ويل لـ E ₆ هي من الرتبة 51840: وهي زمرة التشاكل الذاتي للزمرة البسيطة الوحيدة من الرتبة 25920 (والتي يمكن وصفها بأي مما يلي: PSU ₄ (2)، PSΩ ₆⁻ (2)، PSp ₄ (3) أو PSΩ ₅ (3)). ^{[ 4 ]}

مصفوفة كارتان

\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&2\end{smallmatrix}}\right]

الجبر الفرعي والتمثيلات المهمة

تضمينات المجموعات الفرعية القصوى لـ E ₆ حتى البعد 78 مع مصفوفة الإسقاط المرتبطة بها.

يحتوي جبر لي E6 _{على جبر فرعي}_F4 ، وهو الجبر الفرعي الثابت لتشاكل خارجي، وجبر فرعي SU(3) × SU(3) × SU(3). ومن بين الجبر الفرعي الأقصى الأخرى ذات الأهمية في الفيزياء (انظر أدناه) والتي يمكن استنتاجها من مخطط دينكين، جبر SO(10) × U(1) وجبر SU(6) × SU(2).

بالإضافة إلى التمثيل المرافق ذي الأبعاد 78، هناك تمثيلان "متجهان" مزدوجان ذوا أبعاد 27 .

تُعطى جميع خصائص التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة لجبر لي الحقيقي والمركب ومجموعات لي بواسطة صيغة خصائص فايل . أبعاد أصغر التمثيلات غير القابلة للاختزال هي (المتتالية A121737 في OEIS ) :

1 ، 27 (مرتين)، 78 ، 351 (أربع مرات)، 650 ، 1728 (مرتين)، 2430 ، 2925 ، 3003 (مرتين) ، 5824 (مرتين) ، 7371 (مرتين)، 7722 (مرتين)، 17550 (مرتين)، 19305 (أربع مرات)، 34398 (مرتين)، 34749 ، 43758 ، 46332 (مرتين)، 51975 (مرتين)، 54054 (مرتين)، 61425 (مرتين)، 70070 ، 78975 (مرتين) ، 85293 ، 100386 (مرتين)، 105600 ، 112320 (مرتين)، 146432 (مرتين) ، 252252 (مرتين) ، 314496 (مرتين)، 359424 (أربع مرات)، 371800 (مرتين) ، 386100 (مرتين)، 393822 (مرتين)، 412776 (مرتين)، 442442 (مرتين) ...

المصطلحات المسطرة في التسلسل أعلاه هي أبعاد تلك التمثيلات غير القابلة للاختزال التي يمتلكها الشكل المرافق لـ E ₆ (بشكل مكافئ، تلك التي تنتمي أوزانها إلى شبكة الجذر لـ E ₆ )، في حين أن التسلسل الكامل يعطي أبعاد التمثيلات غير القابلة للاختزال للشكل المتصل ببساطة لـ E ₆ .

إن تناظر مخطط دينكين لـ E ₆ يفسر سبب ظهور العديد من الأبعاد مرتين، حيث ترتبط التمثيلات المقابلة بالتشاكل الخارجي غير التافه؛ ومع ذلك، في بعض الأحيان يكون هناك تمثيلات أكثر من ذلك، مثل أربعة من البعد 351، اثنان منها أساسيان واثنان ليسا كذلك.

التمثيلات الأساسية لها أبعاد 27، 351، 2925، 351، 27 و78 (المقابلة للعقد الست في مخطط دينكين بالترتيب المختار لمصفوفة كارتان أعلاه، أي أن العقد تُقرأ في سلسلة العقد الخمس أولاً، مع توصيل العقدة الأخيرة بالعقدة الوسطى).

يتم عرض تضمينات المجموعات الفرعية القصوى لـ E ₆ حتى البعد 78 على اليمين.

متعدد الأوجه E6

متعدد السطوح E 6 _هو الغلاف المحدب لجذور E _6. وبالتالي فهو موجود في 6 أبعاد؛ تحتوي مجموعة التناظر الخاصة به على مجموعة كوكسيتر لـ E ₆ كمجموعة فرعية ذات دليل 2.

مجموعتا شيڤالي وستاينبرغ من النوع E ₆ و ² E ₆

تم تقديم مجموعات النوع E _{6 على الحقول العشوائية (على وجه الخصوص الحقول المنتهية) بواسطة}ديكسون ( 1901 ، 1908 ) .

تُشكّل النقاط الموجودة على حقل منتهٍ يحتوي على q عنصرًا من المجموعة الجبرية (المنقسمة) E6 ₍ انظر أعلاه )، سواءً كانت من الشكل المرافق (بدون مركز) أو الشكل المتصل ببساطة (غطائها الجبري الشامل)، مجموعة شيڤالي منتهية . ترتبط هذه المجموعة ارتباطًا وثيقًا بالمجموعة المكتوبة $E6 (q)$ ، إلا أن هناك غموضًا في هذه الصيغة، التي يمكن أن تدل على عدة معانٍ $.$

المجموعة المنتهية التي تتكون من النقاط فوق F _q للشكل المتصل البسيط لـ E ₆ (للتوضيح، يمكن كتابة ذلك $E 6,sc (q)$ أو نادرًا ${\tilde {E}} _ {6}(q)$ وتُعرف باسم مجموعة شيڤالي "العالمية" من النوع E ₆ على F _q )،
(نادرًا) المجموعة المنتهية التي تتكون من النقاط فوق F _q للشكل المرافق لـ E ₆ (للتوضيح، يمكن كتابة هذا $E 6,ad (q)$ ، ويُعرف باسم مجموعة شيڤالي "المرافقة" من النوع E ₆ فوق F _q )، أو
المجموعة المنتهية التي هي صورة الخريطة الطبيعية من الأولى إلى الأخيرة: هذا ما سيتم الإشارة إليه بـ $E 6 (q)$ فيما يلي، كما هو شائع في النصوص التي تتناول المجموعات المنتهية.

من منظور المجموعة المنتهية، يمكن تلخيص العلاقة بين هذه المجموعات الثلاث، والتي تشبه إلى حد كبير العلاقة بين SL( n,q ) و PGL( n,q ) و PSL( n,q )، على النحو التالي: $E6 (q) بسيطة$ لأي q ، $و E6,sc (q)$ هي غطاء شور الخاص بها ، و $E6,ad (q)$ تقع في مجموعة التشاكل الذاتي الخاصة بها؛ علاوة على ذلك، عندما لا يكون q − 1 قابلاً للقسمة على 3، تتطابق المجموعات الثلاث، وإلا (عندما يكون q متطابقًا مع 1 mod 3)، فإن مضاعف شور لـ E6 ₍ q ) هو 3 ويكون E6 ₍ q ) من الدليل 3 في $E6,ad (q)$ ، مما يفسر سبب كتابة $E6,sc (q)$ و $E6,ad (q)$ غالبًا على شكل 3·E6 ₍ q ) و E6 ₍ q ) ·3. من منظور المجموعة الجبرية، من غير الشائع أن يشير E ₆ ( q ) إلى المجموعة البسيطة المنتهية، لأن الأخيرة ليست بطريقة طبيعية مجموعة نقاط المجموعة الجبرية على F _q على عكس $E 6,sc (q)$ و $E 6,ad (q)$ .

إلى جانب هذا الشكل "المنقسم" (أو "غير الملتوي") من E6 ، يوجد شكل آخر لـ E6 على الحقل المنتهي Fq، يُعرف باسم 2E6 _، والذي _يُحصل عليه عن _طريق الالتواء ^{بواسطة التشاكل}^الذاتي غير التافه لمخطط دينكين لـ E6 _._{وبالتحديد} ، _{يمكن اعتبار 2E6}⁽ q ) ، المعروفة باسم زمرة شتاينبرغ، زمرة جزئية من E6 ₍ q² ) مُحددة بتركيب التشاكل الذاتي غير التافه للمخطط والتشاكل الذاتي غير التافه للحقل _Fq² . _^لا يُغير الالتواء حقيقة أن الزمرة الأساسية الجبرية لـ $2E6$ $,ad$ هي $Z$ $/3Z$ $،$ ولكنه يُغير قيم q التي $يكون$ عندها تغطية $2E6$ $,$ $ad$ بواسطة $2E6$ $,sc$ $غير$ تافهة على _نقاط Fq . بالتحديد: $2E6$ $,sc$ $($ $q$ $)$ هو غطاء لـ $2E6$ $($ $q$ $)$ $،$ و $2$ $E6$ $,ad$ $($ $q$ $)$ يقع في مجموعة التشاكل الذاتي الخاصة به؛ عندما لا يكون q + $1 قابلاً للقسمة على 3، فإن الثلاثة يتطابقون، وإلا (عندما يكون q متطابقًا مع 2 mod 3)، فإن درجة 2E6$ $,$ $sc$ ( q $)$ $على$ 2E6 $($ $q$ $)$ $هي$ $3$ $ويكون$ لـ $2E6$ $($ $q$ $)$ دليل $3$ $في$ $2E6$ $,$ ad $($ $q$ $)$ $،$ $مما$ يفسر سبب كتابة $2E6$ $,$ $sc$ $($ $q$ $)$ و $2$ $E6$ $,ad$ $($ $q$ $)$ غالبًا على النحو 3· ^2E6 ( $q$ ₎ و ² E6 ₍q $)$ · 3.

$ينبغي إثارة مسألتين تتعلقان$ بالترميز فيما يخص المجموعة $2E6 (q)$ . الأولى هي أنها تُكتب أحيانًا $2E6$ $(q2) ، وهو$ ترميز يتميز بسهولة نقله إلى مجموعتي سوزوكي وري، ولكنه يعيبه اختلافه عن ترميز _نقاط Fq للمجموعة الجبرية. أما الثانية، فهي أنه بينما تُمثل $2E6$ $,$ $sc$ $($ $q$ $)$ $و$ 2 $E6$ $,$ $ad$ $($ $q$ $)$ نقاط Fq لمجموعة جبرية، $فإن$ المجموعة المعنية تعتمد أيضًا على q ( _^على $سبيل$ المثال، النقاط فوق _Fq2 لنفس المجموعة هي E6 $,$ $sc$ $($ $q2$ ₎ و $E6$ $,ad$ $($ $q2$ $) غير$ $الملتوية$ $)$ .

تُعتبر المجموعتان $E₆ (q)$ و $2E₆ (q)$ بسيطتين لأي قيمة لـ $q$ $،$ [ 5 ^{] [ 6}^{] وتشكلان} $اثنتين$ من العائلات اللانهائية في تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية . ويُعطى ترتيبهما بالصيغة التالية ⁽ المتتالية A008872 في OEIS ) :

|E_{6}(q)|={\frac {1}{\mathrm {gcd} (3,q-1)}}q^{36}(q^{12}-1)(q^{9}-1)(q^{8}-1)(q^{6}-1)(q^{5}-1)(q^{2}-1)

|{}^{2}\!E_{6}(q)|={\frac {1}{\mathrm {gcd} (3,q+1)}}q^{36}(q^{12}-1)(q^{9}+1)(q^{8}-1)(q^{6}-1)(q^{5}+1)(q^{2}-1)

(المتتالية A008916 في OEIS ) . يمكن الحصول على رتبة $E 6,sc (q)$ أو $E 6,ad (q) (كلاهما متساويان) عن طريق إزالة عامل القسمة$ $gcd(3, q -1)$ من الصيغة الأولى (المتتالية A008871 في OEIS ) ، ويمكن الحصول على رتبة $2 E 6,sc (q)$ أو $2 E 6,ad (q)$ (كلاهما متساويان) عن طريق إزالة عامل القسمة $gcd(3, q +1)$ من الصيغة الثانية (المتتالية A008915 في OEIS ) .

مُضاعِف شور لـ $E₆$ $( q) هو$ دائمًا القاسم $المشترك$ $الأكبر لـ 3، q - 1$ $($ أي أن $E₆,sc (q) هو غطاء شور الخاص$ $به$ ). مُضاعِف شور لـ $2E₆ (q$ ) هو $القاسم المشترك الأكبر لـ 3، q + 1$ (أي أن $2E₆,sc (q)$ هو غطاء شور الخاص به) باستثناء الحالة الاستثنائية q = 2 حيث يكون 2² ^· 3 (أي أن هناك غطاءً إضافيًا من الدرجة 2² ⁾ . زمرة التشاكل الذاتي الخارجية لـ $E₆$ $( q) هي$ حاصل ضرب زمرة التشاكل الذاتي القطري $Z /gcd(3, q - 1) Z$ (المُعطاة بفعل $E₆,ad (q)$ )، وزمرة التشاكل الذاتي للمخططات Z /2Z ، وزمرة التشاكل الذاتي للحقول (أي دورية من الرتبة f إذا كان q = pf حيث ^p عدد أولي) . مجموعة التشاكل الخارجي لـ ² E ₆ ( q ) هي ناتج مجموعة التشاكل القطري $Z /gcd(3, q +1) Z$ (المعطاة بفعل $2 E 6,ad (q)$ ) ومجموعة التشاكلات الحقلية (أي، دورية من الرتبة f إذا كان q = p ^f حيث p عدد أولي).

الأهمية في الفيزياء

نمط الأيزوسبين الضعيف ، $W$ ، والأيزوسبين الأضعف، $W' ، و$ $g 3$ و $g 8$ القوية ، وشحنات الباريون ناقص الليبتون، $B$ ، للجسيمات في نظرية التوحيد الكبرى SO(10) ، تم تدويرها لإظهار التضمين في $E$ $6$ .

نظرية الجاذبية الفائقة $N$ $= 8$ في خمسة أبعاد، وهياختزال بُعديمننظرية الجاذبية الفائقة ذات أحد عشر بُعدًا، تقبلتناظرًا بوزونيًا عالميًا من نوع $E 6$ وتناظرًا بوزونيًامحليًا من نوع $Sp(8)$ . تُمثل الفرميونات في تمثيلات $Sp(8)$ ، وتُمثل حقول القياس في تمثيل $E$ $6$ ، وتُمثل الكميات القياسية في تمثيل لكليهما (الجرافيتونات هيحالات مفردةبالنسبة لكليهما). تُمثل الحالات الفيزيائية في تمثيلات المجموعة المشاركة $E$ $6$ $/Sp(8)$ .

في نظريات التوحيد الكبرى ، يظهر $E6$ كمجموعة قياس محتملة، والتي بعد انكسارها $،$ تؤدي إلى $SU(3) \times$ مجموعة قياس $SU(2) \times U(1)$ للنموذج القياسي . إحدى طرق تحقيق ذلك هي من خلال التقسيم إلى $SO(10) \times U(1)$ . ينقسم التمثيل المرافق $78$ ، كما هو موضح أعلاه، إلى مرافق $45$ ، وسبينور $16$ و $16$ بالإضافة إلى مفردة من الجبر الفرعي $SO(10)$ . بإضافة شحنة $U(1)،$ نحصل على

78\rightarrow 45_{0}\oplus 16_{-3}\oplus {\overline {16}}_{3}+1_{0}.

حيث يشير الرمز السفلي إلى الشحنة $U(1)$ .

وبالمثل، فإن التمثيل الأساسي $27$ ومرافقه $27$ ينقسمان إلى كمية قياسية $1$ ، ومتجه $10،$ وسبينور، إما $16$ أو $16$ :

27\rightarrow 1_{4}\oplus 10_{-2}\oplus 16_{1},

{\bar {27}}\rightarrow 1_{-4}\oplus 10_{2}\oplus {\overline {16}}_{-1}.

وهكذا، يمكن للمرء الحصول على الفرميونات الأولية وبوزون هيغز في النموذج القياسي.

انظر أيضاً

مراجع

آدامز، ج. فرانك (1996)، محاضرات حول زمر لي الاستثنائية ، سلسلة محاضرات شيكاغو في الرياضيات، مطبعة جامعة شيكاغو ، رقم ISBN 978-0-226-00526-3MR 1428422 .
بايز، جون (2002). "الأوكتونيونات، القسم 4.4: E ₆ " . نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات 39 ( 2): 145-205 . arXiv : math/0105155 . doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X . ISSN 0273-0979 . S2CID 586512 . نسخة HTML متاحة عبر الإنترنت على الرابط التالي:.
كريمر، إي.؛ ج. شيرك؛ ج. هـ. شوارتز (1979). "انكسار تلقائي لنظرية الجاذبية الفائقة N=8". رسائل الفيزياء ب . 84 (1): 83-86 . رمز Bibcode : 1979PhLB...84...83C . doi : 10.1016/0370-2693(79)90654-3 .
ديكسون، ليونارد يوجين ( 1901)، "فئة من المجموعات في مجال عشوائي مرتبطة بتكوين الخطوط الـ 27 على سطح مكعب" ، المجلة الفصلية للرياضيات البحتة والتطبيقية ، 33 : 145-173، أعيد طبعه في المجلد الخامس من أعماله الكاملة
ديكسون، ليونارد يوجين ( 1908)، "فئة من المجموعات في مجال عشوائي مرتبطة بتكوين الخطوط الـ 27 على سطح مكعب (الورقة البحثية الثانية)" ، المجلة الفصلية للرياضيات البحتة والتطبيقية ، 39 : 205-209أُعيد طبعه في المجلد السادس من أعماله الكاملة، دار نشر تشيلسي، 1983، رقم ISBN 9780828403061
إيشيرو، يوكوتا (2009). "مجموعات لي الاستثنائية". arXiv : 0902.0431 [ math.DG ].

↑ روزنفيلد، بوريس (1997)، هندسة زمر لي(النظرية 7.4 في الصفحة 335، والفقرة التالية).
↑ بلاتونوف، فلاديمير ب.؛ رابينشوك، أندريه س. (1991). المجموعات والنظرية الجبرية . نيوكا. رقم ISBN 5-02-014191-7.(الترجمة الإنجليزية: بلاتونوف، فلاديمير ب.؛ رابينتشوك، أندريه س. (1994). الزمر الجبرية ونظرية الأعداد . دار النشر الأكاديمية. ISBN) 0-12-558180-7.)، §2.2.4
^ سبرينغر، توني أ. فيلدكامب، فرديناند د. (2000). الأوكتونات، الجبر الأردني، والمجموعات الاستثنائية . سبرينغر. دوى : 10.1007/978-3-662-12622-6 . رقم ISBN 978-3-642-08563-5MR 1763974 . ، §7.3
↑ كونواي، جون هورتون ؛ كورتيس، روبرت تيرنر؛ نورتون، سيمون فيليبس ؛ باركر، ريتشارد أ ؛ ويلسون، روبرت أرنوت (1985). أطلس الزمر المنتهية : الزمر الجزئية القصوى والخصائص العادية للزمر البسيطة . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 26. ISBN 0-19-853199-0.
↑ كارتر، روجر و. (1989). مجموعات بسيطة من نوع لي . مكتبة وايلي كلاسيكس. جون وايلي وأولاده. ISBN 0-471-50683-4.
↑ ويلسون، روبرت أ. (2009). الزمر البسيطة المنتهية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد 251. سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-1-84800-987-5.

[1] روزنفيلد، بوريس (1997)، هندسة زمر لي(النظرية 7.4 في الصفحة 335، والفقرة التالية).

[2] بلاتونوف، فلاديمير ب.؛ رابينشوك، أندريه س. (1991). المجموعات والنظرية الجبرية . نيوكا. رقم ISBN 5-02-014191-7.(الترجمة الإنجليزية: بلاتونوف، فلاديمير ب.؛ رابينتشوك، أندريه س. (1994). الزمر الجبرية ونظرية الأعداد . دار النشر الأكاديمية. ISBN) 0-12-558180-7.)، §2.2.4

[3] سبرينغر، توني أ. فيلدكامب، فرديناند د. (2000). الأوكتونات، الجبر الأردني، والمجموعات الاستثنائية . سبرينغر. دوى : 10.1007/978-3-662-12622-6 . رقم ISBN 978-3-642-08563-5MR 1763974 . ، §7.3

[4] كونواي، جون هورتون ؛ كورتيس، روبرت تيرنر؛ نورتون، سيمون فيليبس ؛ باركر، ريتشارد أ ؛ ويلسون، روبرت أرنوت (1985). أطلس الزمر المنتهية : الزمر الجزئية القصوى والخصائص العادية للزمر البسيطة . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 26. ISBN 0-19-853199-0.

[5] كارتر، روجر و. (1989). مجموعات بسيطة من نوع لي . مكتبة وايلي كلاسيكس. جون وايلي وأولاده. ISBN 0-471-50683-4.

[6] ويلسون، روبرت أ. (2009). الزمر البسيطة المنتهية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد 251. سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-1-84800-987-5.

1

[

[ 3 ]

[ 4 ]

] [ 6

] وتشكلان

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗