التقاطع (الهندسة)

لتحديد نقطة تقاطع خطين غير متوازيين

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}}$

يمكن الحصول على إحداثيات نقطة التقاطع من قاعدة كرامر أو عن طريق استبدال متغير.${\displaystyle (x_{s},y_{s})}$ :

${\displaystyle x_{s}={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}},\quad y_{s}={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}.\ }$

(لو${\displaystyle a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0}$الخطوط متوازية ولا يمكن استخدام هذه الصيغ لأنها تتضمن القسمة على صفر.

لقطعتين مستقيمتين غير متوازيتين${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$و${\displaystyle (x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4})}$ليس بالضرورة أن تكون هناك نقطة تقاطع (انظر الرسم التوضيحي)، لأن نقطة التقاطع${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$لا يشترط أن تكون الخطوط المتناظرة موجودة ضمن القطع المستقيمة. وللتحقق من الحالة، تُستخدم تمثيلات بارامترية للخطوط:

${\displaystyle (x(s),y(s))=(x_{1}+s(x_{2}-x_{1}),y_{1}+s(y_{2}-y_{1})),}$

${\displaystyle (x(t),y(t))=(x_{3}+t(x_{4}-x_{3}),y_{3}+t(y_{4}-y_{3})).}$

تتقاطع القطع المستقيمة فقط في نقطة مشتركة${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$من الأسطر المقابلة إذا كانت المعلمات المقابلة${\displaystyle s_{0},t_{0}}$استيفاء الشرط${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}$المعايير${\displaystyle s_{0},t_{0}}$هي حلول النظام الخطي

${\displaystyle s(x_{2}-x_{1})-t(x_{4}-x_{3})=x_{3}-x_{1},}$

${\displaystyle s(y_{2}-y_{1})-t(y_{4}-y_{3})=y_{3}-y_{1}\ .}$

يمكن حلها لإيجاد قيمتي s و t باستخدام قاعدة كرامر (انظر أعلاه ). إذا كان الشرط${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}$يتم استيفاء ذلك بإدخال واحد${\displaystyle s_{0}}$أو${\displaystyle t_{0}}$في التمثيل البارامتري المقابل ويحصل على نقطة التقاطع${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$.

مثال: بالنسبة للقطع المستقيمة${\displaystyle (1,1),(3,2)}$و${\displaystyle (1,4),(2,-1)}$يحصل المرء على النظام الخطي

${\displaystyle 2s-t=0}$

${\displaystyle s+5t=3}$

و${\displaystyle s_{0}={\tfrac {3}{11}},t_{0}={\tfrac {6}{11}}}$وهذا يعني: أن الخطوط تتقاطع عند النقطة${\displaystyle ({\tfrac {17}{11}},{\tfrac {14}{11}})}$.

ملاحظة: عند النظر إلى الخطوط، بدلاً من القطع المستقيمة، المحددة بأزواج من النقاط، فإن كل شرط${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}$يمكن حذفها وتؤدي الطريقة إلى نقطة تقاطع الخطوط (انظر أعلاه ).

لتقاطع

• خط${\displaystyle ax+by=c}$ودائرة​${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$

يقوم المرء بحل معادلة الخط لإيجاد قيمة x أو y ثم يعوضها في معادلة الدائرة ويحصل على الحل (باستخدام صيغة المعادلة التربيعية).${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$مع

${\displaystyle x_{1/2}={\frac {ac\pm b{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle y_{1/2}={\frac {bc\mp a{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}}\ ,}$

لو${\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}>0\ .}$إذا تحقق هذا الشرط مع عدم المساواة الصارمة، فهناك نقطتا تقاطع؛ في هذه الحالة يسمى الخط قاطع الدائرة، وتسمى القطعة المستقيمة التي تربط نقاط التقاطع وتر الدائرة.

لو${\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}=0}$إذا تحققت المتباينة الضعيفة، فلا توجد سوى نقطة تقاطع واحدة ويكون الخط مماساً للدائرة. أما إذا لم تتحقق، فلا يتقاطع الخط مع الدائرة.

هناك طريقة أخرى سريعة لاستنتاج نقاط التقاطع وهي الفرضية${\displaystyle (x_{1/2},y_{1/2})=s(a,b)\pm t(b,-a)}$، حل أولاً لـ${\displaystyle s}$باستخدام معادلة الخط، والتي تُبسط إلى${\displaystyle s(a^{2}+b^{2})=c}$ثم لـ${\displaystyle t}$باستخدام معادلة الدائرة، والتي تُبسط إلى${\displaystyle (s^{2}+t^{2})(a^{2}+b^{2})=r^{2}}$.

إذا لم تكن نقطة منتصف الدائرة هي نقطة الأصل، فانظر ^{[ 1 ]} . يمكن التعامل مع تقاطع خط مستقيم مع قطع مكافئ أو قطع زائد بشكل مماثل.

تحديد نقاط تقاطع دائرتين

• ${\displaystyle (x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=r_{1}^{2},\ \quad (x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}=r_{2}^{2}}$

يمكن اختزالها إلى الحالة السابقة المتمثلة في تقاطع خط ودائرة. وبطرح المعادلتين المعطيتين نحصل على معادلة الخط:

${\displaystyle 2(x_{2}-x_{1})x+2(y_{2}-y_{1})y=r_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}.}$

هذا الخط الخاص هو الخط الجذري للدائرتين.

حالة خاصة${\displaystyle \;x_{1}=y_{1}=y_{2}=0}$ في هذه الحالة ، نقطة الأصل هي مركز الدائرة الأولى، بينما يقع مركز الدائرة الثانية على المحور السيني (انظر الرسم التوضيحي). وتتبسط معادلة الخط الشعاعي إلى${\displaystyle \;2x_{2}x=r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}\;}$ويمكن كتابة نقاط التقاطع على النحو التالي${\displaystyle (x_{0},\pm y_{0})}$مع

${\displaystyle x_{0}={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}}{2x_{2}}},\quad y_{0}={\sqrt {r_{1}^{2}-x_{0}^{2}}}\ .}$

في حالة${\displaystyle r_{1}^{2}<x_{0}^{2}}$لا توجد نقاط مشتركة بين الدائرتين. في حالة${\displaystyle r_{1}^{2}=x_{0}^{2}}$تشترك الدوائر في نقطة واحدة، والخط الجذري هو مماس مشترك.

يمكن تحويل أي حالة عامة كما هو مكتوب أعلاه عن طريق الإزاحة والتدوير إلى الحالة الخاصة.

يشكل تقاطع قرصين ( الداخلين الداخليين للدائرتين) شكلاً يسمى العدسة .

تُؤدي مسألة تقاطع قطع ناقص/زائد/مكافئ مع قطع مخروطي آخر إلى نظام من المعادلات التربيعية ، والتي يُمكن حلها بسهولة في حالات خاصة عن طريق حذف أحد الإحداثيات. يُمكن استخدام خصائص خاصة للقطع المخروطية للحصول على حل . بشكل عام، يُمكن تحديد نقاط التقاطع بحل المعادلة باستخدام طريقة نيوتن التكرارية. إذا: أ) كان كلا القطعين المخروطيين مُعطى ضمنيًا (بمعادلة)، فإن طريقة نيوتن التكرارية ثنائية الأبعاد ضرورية. ب) إذا كان أحدهما مُعطى ضمنيًا والآخر مُعطى بارامتريًا، فإن طريقة نيوتن التكرارية أحادية الأبعاد ضرورية. انظر القسم التالي.

منحنيان في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$(الفضاء ثنائي الأبعاد)، والتي تكون قابلة للتفاضل باستمرار (أي لا يوجد انحناء حاد)، لها نقطة تقاطع، إذا كان لها نقطة مشتركة في المستوى ولها عند هذه النقطة (انظر الرسم التخطيطي):

أ) خطوط مماسية مختلفة ( تقاطع عرضي ، بعد التعامد )، أو

ب) الخط المماس المشترك ويتقاطعان مع بعضهما البعض ( تقاطع التماس ، بعد التماس ).

إذا كان للمنحنيين نقطة S وخط المماس هناك مشتركين ولكنهما لا يتقاطعان، فإنهما يتلامسان فقط عند النقطة S.

نظرًا لندرة حدوث التقاطعات المتلامسة وصعوبة التعامل معها، فإن الاعتبارات التالية تتجاهل هذه الحالة. في جميع الحالات المذكورة أدناه، تُفترض جميع الشروط التفاضلية اللازمة مسبقًا. يؤدي تحديد نقاط التقاطع دائمًا إلى معادلة أو معادلتين غير خطيتين يمكن حلهما باستخدام طريقة نيوتن التكرارية. فيما يلي قائمة بالحالات التي قد تحدث:

• إذا تم تحديد كلا المنحنيين بشكل صريح :${\displaystyle y=f_{1}(x),\ y=f_{2}(x)}$وبمساواتهما نحصل على المعادلة

${\displaystyle f_{1}(x)=f_{2}(x)\ .}$

• إذا تم إعطاء كلا المنحنيين بشكل وسيطي :${\displaystyle C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ C_{2}:(x_{2}(s),y_{2}(s)).}$

بمساواتهما نحصل على معادلتين بمتغيرين:

${\displaystyle x_{1}(t)=x_{2}(s),\ y_{1}(t)=y_{2}(s)\ .}$

• إذا تم تحديد أحد المنحنيات بشكل وسيطي والآخر بشكل ضمني :${\displaystyle C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ C_{2}:f(x,y)=0.}$

هذه هي أبسط حالة بعد الحالة الصريحة. يجب إدخال التمثيل البارامتري لـ${\displaystyle C_{1}}$في المعادلة${\displaystyle f(x,y)=0}$منحنى${\displaystyle C_{2}}$وبذلك نحصل على المعادلة التالية:

${\displaystyle f(x_{1}(t),y_{2}(t))=0\ .}$

• إذا تم إعطاء كلا المنحنيين ضمنيًا :${\displaystyle C_{1}:f_{1}(x,y)=0,\ C_{2}:f_{2}(x,y)=0.}$

هنا، تمثل نقطة التقاطع حلاً للنظام

${\displaystyle f_{1}(x,y)=0,\ f_{2}(x,y)=0\ .}$

أي تكرار لطريقة نيوتن يتطلب قيمًا ابتدائية مناسبة، يمكن استخلاصها من خلال تمثيل المنحنيين بيانيًا. يسهل تمثيل المنحنى المُعطى بارامتريًا أو صراحةً بيانيًا، لأنه من السهل حساب النقطة المقابلة لأي بارامتر t أو x على التوالي. أما بالنسبة للمنحنيات المُعطاة ضمنيًا، فإن هذه المهمة ليست بهذه السهولة. في هذه الحالة، يجب تحديد نقطة المنحنى باستخدام القيم الابتدائية والتكرار. انظر ^{[ 2 ] .}

أمثلة:

1:${\displaystyle C_{1}:(t,t^{3})}$ودائرة${\displaystyle C_{2}:(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-10=0}$(انظر الرسم التوضيحي).

تكرار نيوتن${\displaystyle t_{n+1}:=t_{n}-{\frac {f(t_{n})}{f'(t_{n})}}}$للدالة

${\displaystyle f(t)=(t-1)^{2}+(t^{3}-1)^{2}-10}$يجب القيام بذلك. يمكن اختيار القيمتين -1 و 1.5 كقيم ابتدائية.

نقاط التقاطع هي: (−1.1073، −1.3578)، (1.6011، 4.1046)

2:${\displaystyle C_{1}:f_{1}(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0,}$

${\displaystyle C_{2}:f_{2}(x,y)=(x-0.5)^{2}+(y-0.5)^{2}-1=0}$(انظر الرسم التوضيحي).

تكرار نيوتن

${\displaystyle {x_{n+1} \choose y_{n+1}}={x_{n}+\delta _{x} \choose y_{n}+\delta _{y}}}$يجب القيام بذلك، حيث${\displaystyle {\delta _{x} \choose \delta _{y}}}$هو حل النظام الخطي

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{pmatrix}}{\delta _{x} \choose \delta _{y}}={-f_{1} \choose -f_{2}}}$عند النقطة${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$. كقيم ابتدائية، يمكن اختيار (−0.5، 1) و (1، −0.5).

يمكن حل النظام الخطي باستخدام قاعدة كرامر.

نقاط التقاطع هي (−0.3686، 0.9953) و (0.9953، −0.3686).

إذا أردنا تحديد نقاط تقاطع مضلعين ، يمكننا التحقق من تقاطع أي زوج من القطع المستقيمة في المضلعين (انظر أعلاه ). لكن هذه الطريقة تستغرق وقتًا طويلاً مع المضلعات ذات القطع المستقيمة الكثيرة. عمليًا، يمكن تسريع خوارزمية التقاطع باستخدام اختبارات النوافذ . في هذه الحالة، يُقسّم المضلعان إلى مضلعات فرعية صغيرة، ويُحدد أصغر نافذة (مستطيل أضلاعه موازية لمحاور الإحداثيات) لكل مضلع فرعي. قبل البدء في عملية تحديد نقطة تقاطع القطعتين المستقيمتين، والتي تستغرق وقتًا طويلاً، يتم اختبار أي زوج من النوافذ بحثًا عن نقاط مشتركة. انظر ^{[ 3 ] .}

نقطة تقاطع خط ومستوى في وضع عام في ثلاثة أبعاد.

عادةً ما يتم تمثيل الخط في الفضاء بشكل بارامتري ${\displaystyle (x(t),y(t),z(t))}$ومستوى بواسطة معادلة${\displaystyle ax+by+cz=d}$بإدخال تمثيل المعامل في المعادلة، نحصل على المعادلة الخطية.

${\displaystyle ax(t)+by(t)+cz(t)=d\ ,}$

للمعامل${\displaystyle t_{0}}$نقطة التقاطع${\displaystyle (x(t_{0}),y(t_{0}),z(t_{0}))}$.

إذا لم يكن للمعادلة الخطية حل، فإن الخط إما يقع على المستوى أو يكون موازياً له.

إذا تم تعريف خط بواسطة مستويين متقاطعين${\displaystyle \varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2}$وينبغي أن يتقاطع مع مستوى ثالث${\displaystyle \varepsilon _{3}:\ {\vec {n}}_{3}\cdot {\vec {x}}=d_{3}}$، يجب تقييم نقطة التقاطع المشتركة للمستويات الثلاثة.

ثلاث طائرات${\displaystyle \varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2,3}$بمتجهات عمودية مستقلة خطيًا${\displaystyle {\vec {n}}_{1},{\vec {n}}_{2},{\vec {n}}_{3}}$نقطة التقاطع

${\displaystyle {\vec {p}}_{0}={\frac {d_{1}({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})+d_{2}({\vec {n}}_{3}\times {\vec {n}}_{1})+d_{3}({\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2})}{{\vec {n}}_{1}\cdot ({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})}}\ .}$

لإثبات ذلك، ينبغي إثبات${\displaystyle {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {p}}_{0}=d_{i},\ i=1,2,3,}$باستخدام قواعد الضرب الثلاثي القياسي . إذا كان الضرب الثلاثي القياسي يساوي صفرًا، فإن المستويات إما لا تتقاطع ثلاثيًا أو أنها خط مستقيم (أو مستوى، إذا كانت المستويات الثلاثة متطابقة).

وبالمثل لحالة المستوى، تؤدي الحالات التالية إلى أنظمة غير خطية، والتي يمكن حلها باستخدام تكرار نيوتن أحادي أو ثلاثي الأبعاد. ^{[ 4 ]}

• منحنى بارامتري${\displaystyle C:(x(t),y(t),z(t))}$و

سطح بارامتري${\displaystyle S:(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\ ,}$

• منحنى بارامتري${\displaystyle C:(x(t),y(t),z(t))}$و

سطح ضمني${\displaystyle S:f(x,y,z)=0\ .}$

مثال:

منحنى بارامتري${\displaystyle C:(t,t^{2},t^{3})}$ و

سطح ضمني${\displaystyle S:x^{4}+y^{4}+z^{4}-1=0}$(صورة).

نقاط التقاطع هي: (−0.8587, 0.7374, −0.6332), (0.8587, 0.7374, 0.6332).

يُعد تقاطع الخط مع الكرة حالة خاصة بسيطة.

كما هو الحال بالنسبة للخط والمستوى، فإن تقاطع المنحنى والسطح في الوضع العام يتكون من نقاط منفصلة، ​​ولكن قد يكون المنحنى موجودًا جزئيًا أو كليًا داخل سطح.

ينتج عن تقاطع سطحين عرضيين منحنى تقاطع . وأبسط حالة هي خط تقاطع مستويين غير متوازيين.

عندما لا يكون تقاطع الكرة مع المستوى فارغًا أو نقطة واحدة، فإنه يُشكّل دائرة. ويمكن توضيح ذلك كما يلي:

لتكن S كرة مركزها O ، وP مستوى يتقاطع مع S. ارسم OE عموديًا على P ويتقاطع معها في النقطة E. ولتكن A و B أي نقطتين مختلفتين في نقطة التقاطع. إذن، المثلثان AOE و BOE قائما الزاوية، ولهما ضلع مشترك هو OE ، ووتراهما AO و BO متساويان. وبالتالي، فإن الضلعين المتبقيين AE و BE متساويان. هذا يثبت أن جميع النقاط في نقطة التقاطع تبعد نفس المسافة عن النقطة E في المستوى P ، أي أن جميع النقاط في نقطة التقاطع تقع على دائرة C مركزها E. ^{[ 5 ]} وهذا يثبت أن نقطة تقاطع P و S تقع داخل الدائرة C. لاحظ أن OE هو محور الدائرة.

لنفترض الآن نقطة D على الدائرة C. بما أن C تقع في P ، فإن D تقع فيها أيضًا . من جهة أخرى، المثلثان AOE و DOE قائما الزاوية، ولهما ضلع مشترك هو OE ، وساقاهما EA و ED متساويتان . بالتالي، فإن وترَي AO و DO متساويان، ويساويان نصف قطر الدائرة S ، لذا فإن D تقع في S. هذا يثبت أن C تقع ضمن تقاطع P و S.

وكنتيجة لذلك، توجد على الكرة دائرة واحدة فقط يمكن رسمها عبر ثلاث نقاط معينة. ^{[ 6 ]}

يمكن توسيع البرهان لإظهار أن جميع النقاط على الدائرة لها مسافة زاوية مشتركة من أحد قطبيها. ^{[ 7 ]}

قارن أيضًا بالقطاعات المخروطية ، التي يمكن أن تنتج أشكالًا بيضاوية .

لإثبات أن تقاطعًا غير تافه لكرتين هو دائرة، افترض ( دون فقدان للعمومية ) أن إحدى الكرتين (نصف قطرها${\displaystyle R}$مركز الكرة هو نقطة الأصل. النقاط على هذه الكرة تحقق

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.}$

وبدون فقدان للعمومية، افترض أن الكرة الثانية، بنصف قطر${\displaystyle r}$، متمركزة عند نقطة على المحور السيني الموجب، على مسافة${\displaystyle a}$من الأصل. نقاطه تُرضي

${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.}$

تقاطع الكرات هو مجموعة النقاط التي تحقق كلا المعادلتين. بطرح المعادلتين نحصل على

${\displaystyle {\begin{aligned}(x-a)^{2}-x^{2}&=r^{2}-R^{2}\\a^{2}-2ax&=r^{2}-R^{2}\\x&={\frac {a^{2}+R^{2}-r^{2}}{2a}}.\end{aligned}}}$

في الحالة المفردة${\displaystyle a=0}$الكرات متحدة المركز. هناك احتمالان: إذا${\displaystyle R=r}$تتطابق الكرات، ويكون التقاطع هو الكرة بأكملها؛ إذا${\displaystyle R\not =r}$تكون الكرات منفصلة ويكون التقاطع فارغًا. عندما تكون قيمة a غير صفرية، يقع التقاطع في مستوى رأسي ذي إحداثي x، والذي قد يتقاطع مع كلتا الكرتين، أو يكون مماسًا لهما، أو خارجهما. وتستنتج هذه النتيجة من البرهان السابق لتقاطعات الكرات مع المستويات.