نسبة الفضة الفائقة

في الرياضيات، ^{تُعرف نسبة} الفضة الفائقة بأنها نسبة هندسية ، تُعطى بالحل الحقيقي الوحيد للمعادلة x³ = 2x² + 1. ويبدأ تمثيلها العشري بـ2.205 569 430 400 5903 ... (التسلسل A356035 في OEIS ) .

نسبة الفضة الفائقة هي قياسًا على نسبة الفضة ، والحل الموجب للمعادلة x ² = 2 x + 1 ، ونسبة الذهب الفائقة .

تكون ثلاث كميات a > b > c > 0 في نسبة الفضة الفائقة إذا$${\displaystyle {\frac {2a+c}{a}}={\frac {a}{b}}={\frac {b}{c}}\,.}$$ يُشار إلى هذه النسبة عادةً بالرمز ⁠${\displaystyle \varsigma }$. ^{[ أ ]}​

الاستبدال${\displaystyle a=\varsigma \,b=\varsigma ^{2}c}$في الكسر الأول يعطي $${\displaystyle \varsigma ={\frac {2\varsigma ^{2}c+c}{\varsigma ^{2}c}}.}$$ويترتب على ذلك أن نسبة الفضة الفائقة هي الحل الحقيقي الوحيد للمعادلة التكعيبية${\displaystyle \varsigma ^{3}-2\varsigma ^{2}-1=0.}$

أبسط متعددة حدود للجذر المقلوب هي التكعيبية المنخفضة${\displaystyle x^{3}+2x-1,}$وبالتالي فإن أبسط حل هو باستخدام صيغة كاردانو ، $${\displaystyle {\begin{aligned}w_{1,2}&=\left(1\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {59}{3}}}\right)/2\\1/\varsigma &={\sqrt[{3}]{w_{1}}}+{\sqrt[{3}]{w_{2}}}\end{aligned}}}$$ أو باستخدام الجيب الزائدي ،$${\displaystyle 1/\varsigma =-2{\sqrt {\frac {2}{3}}}\sinh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left(-{\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {3}{2}}}\right)\right).}$$

⁠${\displaystyle 1/\varsigma }$⁠ هي النقطة الثابتة فائقة الاستقرار للتكرار${\displaystyle x\gets (2x^{3}+1)/(3x^{2}+2).}$

تقسيم الثلاثية الحدودية المحددة${\displaystyle x^{3}-2x^{2}-1}$بواسطة​${\displaystyle x-\varsigma }$يحصل المرء${\displaystyle x^{2}+x/\varsigma ^{2}+1/\varsigma ,}$والعناصر المترافقة لـ​${\displaystyle \varsigma }$هي​ $${\displaystyle x_{1,2}=\left(-1\pm i{\sqrt {8\varsigma ^{2}+3}}\right)/2\varsigma ^{2},}$$ مع${\displaystyle x_{1}+x_{2}=2-\varsigma \;}$و${\displaystyle \;x_{1}x_{2}=1/\varsigma .}$

اضرب متعددة الحدود الدنيا في${\displaystyle x}$، وأعد ترتيب العلاقة على النحو التالي${\displaystyle (x^{2}+1)^{2}=x+1.}$وينتج عن ذلك التكرار${\displaystyle x\gets {\sqrt {-1+{\sqrt {{\phantom {|}}1+x}}}}}$، بقيمة ابتدائية${\displaystyle x_{0}>0}$، والاستمرار الجذري ^{[ 2 ]} $${\displaystyle 1/\varsigma ={\sqrt {-1+{\sqrt {1+{\sqrt {-1+{\sqrt {{\phantom {|}}1+\cdots }}}}}}}}}$$

يتم إيجاد نظيره باستخدام متعدد الحدود${\displaystyle f:y^{3}+y^{2}-y-2}$، والتي لها صفر حقيقي${\displaystyle \varsigma -1}$[ ³ ]اضرب^​​​${\displaystyle f}$بواسطة​​${\displaystyle y-1}$ثم​${\displaystyle (y^{2}-1)^{2}=y-1,}$والتكرار المقابل مع${\displaystyle y_{0}>1}$يعطي​ $${\displaystyle \varsigma -1={\sqrt {1+{\sqrt {-1+{\sqrt {1+{\sqrt {{\phantom {|}}-1+\cdots }}}}}}}}}$$

لتحسين التقارب، قسّم كلا طرفي${\displaystyle y^{3}=y(1-y)+2\,}$بواسطة​${\displaystyle y}$، واستبدل${\displaystyle 1/\varsigma =1/(y+1)\,{\text{ لـ }}\,2/yy.}$وهذا يعطي التكرار${\displaystyle y\gets {\sqrt {1+{\tfrac {1}{1+y}}}},}$والجذر التربيعي المقلوب المستمر $${\displaystyle \varsigma -1={\sqrt {1+{\cfrac {1}{1+{\sqrt {1+{\cfrac {1}{1+{\sqrt {1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}$$

معدل نمو القيمة المتوسطة للحد النوني في متتالية فيبوناتشي العشوائية هو${\displaystyle \varsigma -1}$[ ⁴ ]^​​

يمكن كتابة المعادلة المحددة على النحو التالي $${\displaystyle {\begin{aligned}1&={\frac {1}{\varsigma -1}}+{\frac {1}{\varsigma ^{2}+1}}\\&={\frac {1}{\varsigma }}+{\frac {\varsigma -1}{\varsigma +1}}+{\frac {\varsigma -2}{\varsigma -1}}.\end{aligned}}}$$

يمكن التعبير عن نسبة الفضة الفائقة بدلالة نفسها ككسور $$\begin{aligned}\varsigma &={\frac {\varsigma }{\varsigma -1}}+{\frac {\varsigma -1}{\varsigma +1}}\\\varsigma ^{2}&={\frac {1}{\varsigma -2}}.\end{aligned}}}$$

على غرار المتسلسلة الهندسية اللانهائية$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\varsigma }{\varsigma -1}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\varsigma ^{-n}\\{\frac {\varsigma ^{2}}{\varsigma ^{2}-1}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\varsigma ^{-2n}\\{\frac {\varsigma }{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\varsigma ^{-3n},\end{aligned}}}$$

بالمقارنة مع هويات نسبة الفضة$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sigma }{\sigma -1}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sigma ^{-n}\\{\frac {\sigma }{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sigma ^{-2n}\\{\frac {\sigma ^{3}}{\sigma ^{3}-1}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sigma ^{-3n}.\end{aligned}}}$$

لكل عدد صحيح${\displaystyle n}$يمتلك المرء$${\displaystyle {\begin{aligned}\varsigma ^{n}&=2\varsigma ^{n-1}+\varsigma ^{n-3}\\&=4\varsigma ^{n-2}+\varsigma ^{n-3}+2\varsigma ^{n-4}\\&=\varsigma ^{n-1}+2\varsigma ^{n-2}+\varsigma ^{n-3}+\varsigma ^{n-4}\end{aligned}}}$$ ومن هذا يمكن إيجاد عدد لا نهائي من العلاقات الأخرى.

نمط الكسور المستمرة لعدد قليل من القوى المنخفضة $${\displaystyle {\begin{aligned}\varsigma ^{-2}&=[0;4,1,6,2,1,1,1,1,1,1,...]\approx 0.2056\;({\tfrac {5}{24}})\\\varsigma ^{-1}&=[0;2,4,1,6,2,1,1,1,1,1,...]\approx 0.4534\;({\tfrac {5}{11}})\\\varsigma ^{0}&=[1]\\\varsigma ^{1}&=[2;4,1,6,2,1,1,1,1,1,1,...]\approx 2.2056\;({\tfrac {53}{24}})\\\varsigma ^{2}&=[4;1,6,2,1,1,1,1,1,1,2,...]\approx 4.8645\;({\tfrac {73}{15}})\\\varsigma ^{3}&=[10;1,2,1,2,4,4,2,2,6,2,...]\approx 10.729\;({\tfrac {118}{11}})\end{aligned}}}$$

استنادًا إلى توسيعها المستمر للكسور، فإن أبسط التقريبات النسبية لـ${\displaystyle \varsigma }$هي :$${\displaystyle {\tfrac {9}{4}},{\tfrac {11}{5}},{\tfrac {53}{24}},{\tfrac {75}{34}},{\tfrac {161}{73}},{\tfrac {236}{107}},{\tfrac {397}{180}},{\tfrac {633}{287}},{\tfrac {1030}{467}},{\tfrac {1663}{754}},{\tfrac {2693}{1221}},{\tfrac {7049}{3196}},\ldots }$$

نسبة الفضة الفائقة هي عدد بيزو . ^{[ 5 ]} وبحسب تعريف هذه الأعداد، فإن القيمة المطلقة${\displaystyle 1/{\sqrt {\varsigma }}}$عدد المرافقات الجبرية أصغر من 1، لذا فإن قوى ⁠${\displaystyle \varsigma }$توليد أعداد صحيحة تقريبًا . ^{[ 6 ]} على سبيل المثال:${\displaystyle \varsigma ^{10}=2724.00146856...\approx 2724+1/681.}$بعد عشر خطوات دوران، تصبح أطوار الزوج المترافق الحلزوني الداخلي قريبة في البداية من ⁠${\displaystyle \pm 45\pi /82}$- تكاد تتماشى مع المحور الوهمي.

الحد الأدنى لكثير الحدود لنسبة الفضة الفائقة${\displaystyle m(x)=x^{3}-2x^{2}-1}$لديه تمييز${\displaystyle \Delta =-59}$وعوامل أخرى${\displaystyle (x-21)^{2}(x-19){\pmod {59}};\;}$الحقل التربيعي التخيلي${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})}$له رقم الفصل ⁠${\displaystyle h=3}$وبالتالي ، فإن حقل فئات هيلبرت لـ${\displaystyle K}$يمكن تشكيلها عن طريق ضم${\displaystyle \varsigma }$[ ⁷ ] ^مع الحجة^​${\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {\Delta }})/2\,}$مولد لحلقة الأعداد الصحيحة من${\displaystyle K}$، يُعطىالجذر الحقيقي j ( τ ) لكثير الحدود من فئة هيلبرت بواسطة ${\displaystyle (\varsigma ^{-6}-27\varsigma ^{6}-6)^{3}.}$^{[ 8 ] [ 9 ]}

يتم تقريب ثابت فئة ويبر -رامانوجان بخطأ أقل من 3.5 × ^10⁻²⁰ بواسطة$${\displaystyle {\sqrt {2}}\,{\mathfrak {f}}({\sqrt {\Delta }})={\sqrt[{4}]{2}}\,G_{59}\approx (e^{\pi {\sqrt {-\Delta }}}+24)^{1/24},}$$بينما قيمتها الحقيقية هي الجذر الحقيقي الوحيد لكثير الحدود$${\displaystyle W_{59}(x)=x^{9}-4x^{8}+4x^{7}-2x^{6}+4x^{5}-8x^{4}+4x^{3}-8x^{2}+16x-8.}$$

القيمة المفردة للتكامل الإهليلجي ^{[ 10 ]} ${\displaystyle k_{r}=\lambda ^{*}(r){\text{ for }}r=59}$له صيغة مغلقة $${\displaystyle \lambda ^{*}(59)=\sin(\arcsin \left(G_{59}^{-12}\right)/2)}$$ (وهو أقل من 1/294 من انحراف مدار كوكب الزهرة).

هوب أو ماي ثامب : شكل كسري فائق الفضة من نوع راوزي a ↦ baa. يبلغ بُعد حدود الشكل الكسري 1.22.

شكل كسري فائق الفضة من نوع Rauzy c ↦ bca، بمساحات بنسب ς ² + 1  : ς (ς − 1)  : ς  : 1.

ترتبط هذه الأرقام بنسبة الفضة الفائقة كما ترتبط أرقام بيل وأرقام بيل-لوكاس بنسبة الفضة .

يتم تعريف التسلسل الأساسي بواسطة علاقة التكرار من الدرجة الثالثة$${\displaystyle S_{n}=2S_{n-1}+S_{n-3}{\text{ for }}n>2,}$$ مع القيم الأولية$${\displaystyle S_{0}=1,S_{1}=2,S_{2}=4.}$$

الحدود القليلة الأولى هي 1، 2، 4، 9، 20، 44، 97، 214، 472، 1041، 2296، 5064،... (المتتالية A008998 في OEIS ) . نسبة الحد بين الحدود المتتالية هي نسبة الفضة الفائقة.${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }S_{n+1}/S_{n}=\varsigma .}$

أول 8 مؤشرات n التي ⁠${\displaystyle S_{n}}$الأعداد الأولية هي n = 1، 6، 21، 114، 117، 849، 2418، 6144. العدد الأخير يحتوي على 2111 رقمًا عشريًا.

يمكن توسيع المتتالية لتشمل المؤشرات السالبة باستخدام$${\displaystyle S_{n}=S_{n+3}-2S_{n+2}.}$$

يمكن كتابة قوى نسبة الفضة الفائقة باستخدام أعداد بيل من الدرجة الثالثة كمعاملات تربيعية.$${\displaystyle \varsigma ^{n}=\varsigma ^{2}S_{n-2}+\varsigma S_{n-4}+S_{n-3},}$$وهو ما تم إثباته بالاستقراء الرياضي على${\displaystyle n}$. تنطبق هذه العلاقة أيضًا على ⁠${\displaystyle n<0}$يتوافق ترتيب المعاملات مع الصف السفلي من المصفوفة .${\displaystyle Q}$أدناه .

الدالة المولدة للمتتالية معطاة بواسطة ^{[ 11 ]} $${\displaystyle {\frac {1}{1-2x-x^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }S_{n}x^{n}{\text{ for }}x<{\tfrac {1}{\varsigma }}}$$

ترتبط أعداد بيل من الدرجة الثالثة بمجموع معاملات ذات الحدين بواسطة ^{[ 12 ]} $${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/3\rfloor }{n-2k \choose k}\cdot 2^{n-3k}}$$

المعادلة المميزة للتكرار هي${\displaystyle x^{3}-2x^{2}-1=0.}$إذا كانت الحلول الثلاثة جذورًا حقيقية${\displaystyle \varsigma }$والزوج المترافق​${\displaystyle \beta }$و​​${\displaystyle \gamma }$، يتم تحديد أرقام الفضة الفائقة بواسطة صيغة بينيه$${\displaystyle S_{n-1}=a\varsigma ^{n}+b\beta ^{n}+c\gamma ^{n},}$$ مع حقيقي${\displaystyle a}$والمقترنات​​${\displaystyle b}$و​​${\displaystyle c}$جذور​${\displaystyle 59x^{3}-6x-1=0.}$

منذ${\displaystyle \left\vert b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}\right\vert <\varsigma ^{-n/2}}$، الرقم${\displaystyle S_{n}}$هو أقرب عدد صحيح إلى${\displaystyle \,a\,\varsigma ^{n+1}}$، مع​${\displaystyle n\geq 0}$والمعامل​${\displaystyle a=\varsigma ^{2}/(\varsigma ^{3}+2)=}$0.38215 95259 06012 16354 62213...

المعاملات${\displaystyle a=b=c=1}$ينتج عن ذلك صيغة بينيه للمتتالية ذات الصلة${\displaystyle A_{n}=S_{n}+2S_{n-3}.}$

الحدود القليلة الأولى هي 3، 2، 4، 11، 24، 52، 115، 254، 560، 1235، 2724، 6008،... (التسلسل A332647 في OEIS ) .

تتمتع متتالية بيل-لوكاس من الرتبة الثالثة بخاصية فيرما : إذا كان p عددًا أوليًا،${\displaystyle A_{p}\equiv A_{1}{\bmod {p}}.}$لا يصح العكس، ولكن العدد القليل من الأعداد الأولية الزائفة الفردية${\displaystyle \,n\mid (A_{n}-2)}$يجعل هذا التسلسل مميزًا. الأعداد المركبة الفردية الأربعة عشر الأقل من ^10⁸ التي تجتاز الاختبار هي: n = 3² ^، 5² ، 5³ ^{، 315} ، 99297، 222443، 418625، 9122185، 3257² ، ^11889745 ، 20909625، 24299681، 64036831، 76917325. ^{[ 13 ]}

يتم الحصول على أعداد بيل من الرتبة الثالثة كقوى صحيحة n > 3 لمصفوفة ذات قيمة ذاتية حقيقية${\displaystyle \varsigma }$⁠$${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}2&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},}$$

$${\displaystyle Q^{n}={\begin{pmatrix}S_{n}&S_{n-2}&S_{n-1}\\S_{n-1}&S_{n-3}&S_{n-2}\\S_{n-2}&S_{n-4}&S_{n-3}\end{pmatrix}}}$$

أثر ⁠​​${\displaystyle Q^{n}}$يعطي ما سبق${\displaystyle A_{n}}$⁠ .

أو بدلاً من ذلك ،${\displaystyle Q}$يمكن تفسيرها على أنها مصفوفة وقوع لنظام ليندنماير D0L على الأبجدية${\displaystyle \{a,b,c\}}$مع قاعدة الاستبدال المقابلة $${\displaystyle {\begin{cases}a\;\mapsto \;aab\\b\;\mapsto \;c\\c\;\mapsto \;a\end{cases}}}$$ والمبادر​${\displaystyle w_{0}=b}$سلسلة الكلمات​${\displaystyle w_{n}}$تتميز الكلمات الناتجة عن تكرار عملية الاستبدال بخاصية أن عدد حروف c و b و a يساوي أعداد بيل من الرتبة الثالثة المتتالية. وتُعطى أطوال هذه الكلمات بواسطة${\displaystyle l(w_{n})=S_{n-2}+S_{n-3}+S_{n-4}.}$^{[ 14 ]}

يرتبط بعملية إعادة كتابة السلسلة هذه مجموعة مضغوطة تتكون من بلاطات متشابهة ذاتيًا تسمى كسورية راوزي ، والتي تصور المعلومات التوافقية الموجودة في تسلسل ثلاثي الأحرف متعدد الأجيال. ^{[ 15 ]}

بفرض وجود مستطيل ارتفاعه 1 وطوله ⁠${\displaystyle \varsigma }$والطول القطري${\displaystyle \varsigma {\sqrt {\varsigma -1}}.}$المثلثات الموجودة على القطر لها ارتفاعات${\displaystyle 1/{\sqrt {\varsigma -1}}\,;}$يقسم كل قدم عمودي القطر بنسبة${\displaystyle \varsigma ^{2}}$⁠ .

على الجانب الأيمن، اقطع مربعًا طول ضلعه 1 وحدد نقطة تقاطعه مع القطر المتساقط. يصبح للمستطيل المتبقي الآن نسبة أبعاد${\displaystyle 1+1/\varsigma ^{2}:1}$(وفق${\displaystyle \varsigma =2+1/\varsigma ^{2}}$). قسّم المستطيل الأصلي إلى أربعة أجزاء عن طريق قطع أفقي ثان يمر عبر نقطة التقاطع. ^{[ 16 ]}

المستطيل الفضي الفائق الأصلي والنسختان المصغرتان على طول القطر لهما أحجام خطية بنسب محددة.${\displaystyle \varsigma$ :\varsigma -1:1.} مساحتا المستطيلين المقابلين للقطر متساويتان.${\displaystyle (\varsigma -1)/\varsigma ,}$بنسب أبعاد${\displaystyle \varsigma (\varsigma -1)}$(أدناه) و${\displaystyle \varsigma /(\varsigma -1)}$(فوق).

إذا تم تقسيم الرسم التخطيطي بشكل أكبر بواسطة خطوط عمودية تمر عبر قواعد الارتفاعات، فإن أطوال القطر وأجزائه الفرعية السبعة المتميزة تكون بنسب معينة.${\displaystyle \varsigma ^{2}+1:\varsigma ^{2}:\varsigma ^{2}-1:\varsigma +1:}$${\displaystyle \,\varsigma (\varsigma -1):\varsigma :2/(\varsigma -1):1.}$

حلزوني فائق الفضة

اللولب الفضي الفائق هو لولب لوغاريتمي يتسع بمعامل ⁠${\displaystyle \varsigma }$لكل ربع دورة. ويتم وصفها بالمعادلة القطبية${\displaystyle r(\theta )=a\exp(k\theta ),}$بنصف قطر ابتدائي${\displaystyle a}$والمعامل​${\displaystyle k={\frac {2}{\pi }}\ln(\varsigma ).}$إذا رُسمت اللولب على مستطيل فضي فائق، فإن قطبها يكون عند قاعدة ارتفاع مثلث على القطر، وتمر عبر رؤوس مستطيلات بنسبة أبعاد${\displaystyle \varsigma (\varsigma -1)}$والتي تتم محاذاتها بشكل عمودي ويتم تغيير حجمها تباعاً بمعامل ⁠${\displaystyle \varsigma ^{-1}}$⁠ .

حلول المعادلات المشابهة لـ${\displaystyle x^{3}=2x^{2}+1}$:

• نسبة الفضة – الحل الموجب للمعادلة${\displaystyle x^{2}=2x+1}$
• النسبة الذهبية – الحل الموجب للمعادلة${\displaystyle x^{2}=x+1}$
• النسبة الذهبية الفائقة - الحل الحقيقي للمعادلة${\displaystyle x^{3}=x^{2}+1}$