النسبة الذهبية الفائقة

في الرياضيات، النسبة الذهبية الفائقة ^هي نسبة هندسية ، تُعطى بالحل الحقيقي الوحيد للمعادلة x³ = x² + 1. ^ويبدأ تمثيلها العشري بـ1.465 571 231 876 768 ... (التسلسل A092526 في OEIS ) .

اسم النسبة الذهبية الفائقة هو قياسًا على النسبة الذهبية ، وهي الحل الموجب للمعادلة x ² = x + 1.

تكون ثلاث كميات a > b > c > 0 في النسبة الذهبية الفائقة إذا $${\displaystyle {\frac {a+c}{a}}={\frac {a}{b}}={\frac {b}{c}}}$$ يُشار إلى هذه النسبة الشائعة عادةً بالرمز ⁠${\displaystyle \psi .}$⁠

استبدال​${\displaystyle b=\psi c}$و​​${\displaystyle a=\psi b=\psi ^{2}c}$في الكسر الأول ،$${\displaystyle \psi ={\frac {c(\psi ^{2}+1)}{\psi ^{2}c}}.}$$ويترتب على ذلك أن النسبة الذهبية الفائقة هي الحل الحقيقي الوحيد للمعادلة التكعيبية .${\displaystyle \psi ^{3}-\psi ^{2}-1=0}$⁠ .

أبسط متعددة حدود للجذر المقلوب هي التكعيبية المنخفضة${\displaystyle x^{3}+x-1}$[ ^{2 ]} وبالتالي فإن أبسط حل هو باستخدامصيغة كاردانو ^،$$\begin{aligned}w_{1,2}&=\left(1\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {31}{3}}}\right)/2\\1/\psi &={\sqrt[{3}]{w_{1}}}+{\sqrt[{3}]{w_{2}}}\end{aligned}}}$$

أو باستخدام الجيب الزائدي ، $${\displaystyle 1/\psi ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\sinh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)\right).}$$

⁠${\displaystyle 1/\psi }$⁠ هي النقطة الثابتة فائقة الاستقرار لتكرارطريقة نيوتن ⁠${\displaystyle x\gets (2x^{3}+1)/(3x^{2}+1)}$⁠ .

تقسيم الحد الثلاثي المحدد${\displaystyle x^{3}-x^{2}-1}$بواسطة​​${\displaystyle x-\psi }$يحصل المرء​${\displaystyle x^{2}+x/\psi ^{2}+1/\psi }$، والعناصر المترافقة لـ​${\displaystyle \psi }$هي​ $${\displaystyle x_{1,2}=\left(-1\pm i{\sqrt {4\psi ^{2}+3}}\right)/2\psi ^{2},}$$ مع​${\displaystyle x_{1}+x_{2}=1-\psi }$و​​${\displaystyle x_{1}x_{2}=1/\psi }$⁠ .

التكرار${\displaystyle x\gets {\sqrt[{3}]{{\phantom {|}}1+x^{2}}}}$ينتج عنه الجذر المستمر ^{[ أ ]} $${\displaystyle \psi ^{3}-1=\psi ^{2}={\sqrt[{3/2}]{1+{\sqrt[{3/2}]{1+{\sqrt[{3/2}]{{\phantom {|}}1+\cdots }}}}}}}$$

يتم تحقيق تقارب أفضل باستخدام العلاقة${\displaystyle y^{3}=y(1-2y)+3\,}$مع الصفر الحقيقي${\displaystyle \psi ^{2}-1}$. اقسم كلا الطرفين على${\displaystyle y}$، واستبدل${\displaystyle \psi ^{-3}=1/(y+2)\,{\text{ لـ }}\,3/y-2y.}$وهذا يعطي التكرار${\displaystyle y\gets {\sqrt {1+{\tfrac {1}{2+y}}}},}$والجذر التربيعي المقلوب المستمر $${\displaystyle \psi ^{2}-1={\sqrt {1+{\cfrac {1}{2+{\sqrt {1+{\cfrac {1}{2+{\sqrt {1+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}$$

يمكن التعبير عن النسبة الذهبية الفائقة بدلالة نفسها بعدة طرق مختلفة، على سبيل المثال ككسور $${\displaystyle 2\psi -1={\frac {\psi ^{2}+2}{\psi ^{2}}}={\frac {\psi ^{3}+1}{\psi ^{3}-1}}={\frac {2\psi ^{7}-1}{\psi ^{7}}},}$$جنبا إلى جنب مع $${\displaystyle {\begin{align}1+\psi ^{-1}&={\frac {\psi ^{2}+2}{\psi +1}}={\frac {2\psi ^{3}-1}{\psi ^{3}}}\\1+\psi ^{-3}&={\frac {\psi ^{2}+2}{\psi ^{2}+1}}\\1+\psi ^{-5}&={\frac {\psi +1}{\psi ^{2}}}\\=\psi ^{2}-1&={\frac {\psi ^{7}+1}{\psi ^{7}-1}}\\\psi ^{4}-1&={\frac {\psi ^{2}+2}{\psi ^ {2}-1}}\\\psi ^{6}-1&={\frac {\psi ^{2}+2}{\psi -1}}.\end{aligned}}}$$

وبالمثل، كما هو الحال في المتسلسلات الهندسية اللانهائية$$\begin{aligned}\psi^3&=\sum_{n=0}^{\infty}\psi^{-n}\\{\frac{\psi^2}{\psi^2-1}}&=\sum_{n=0}^{\infty}\psi^{-2n}\\\psi&=\sum_{n=0}^{\infty}\psi^{-3n}\\{\frac{\psi}{\psi^2-1}}&=\sum_{n=0}^{\infty}\psi^{-4n}\\{\frac{1}{3-\psi^2}}}&=\sum_{n=0}^{\infty}\psi^{-5n}\\{\frac{1}{\psi \begin{aligned}} \sum_{n=0}^{\infty} \psi^{-6n} \sum_{n=0}^{\infty} \psi^{-7n} \sum_{n=0}^{\infty} \psi^{-7n}$$ بالإضافة إلى ذلك،${\displaystyle \sum _{n=0}^{7}\psi ^{-n}=3.}$

لكل عدد صحيح${\displaystyle n}$يمتلك المرء$$$$$ ومن هذا يمكن إيجاد عدد لا نهائي من العلاقات الأخرى.

الحجة​${\displaystyle \theta =\operatorname {arcsec}(2\psi ^{4})}$يُحقق الهوية​${\displaystyle \tan(\theta )-4\sin(\theta )=3{\sqrt {3}}}$[ ⁴ ]^​​

نمط الكسور المستمرة لعدد قليل من القوى المنخفضة $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi ^{-1}&=[0;1,2,6,1,3,5,4,22,...]\approx 0.6823\;({\tfrac {13}{19}})\\\psi ^{0}&=[1]\\\psi ^{1}&=[1;2,6,1,3,5,4,22,1,...]\approx 1.4656\;({\tfrac {22}{15}})\\\psi ^{2}&=[2;6,1,3,5,4,22,1,1,...]\approx 2.1479\;({\tfrac {15}{7}})\\\psi ^{3}&=[3;6,1,3,5,4,22,1,1,...]\approx 3.1479\;({\tfrac {22}{7}})\\\psi ^{4}&=[4;1,1,1,1,2,2,1,2,2,...]\approx 4.6135\;({\tfrac {60}{13}})\\\psi ^{5}&=[6;1,3,5,4,22,1,1,4,...]\approx 6.7614\;({\tfrac {115}{17}})\end{aligned}}}$$

والجدير بالذكر أن الجزء المستمر من${\displaystyle \psi ^{2}}$يبدأ كترتيبللأعداد الطبيعية الستة الأولى؛ الحد التالي يساوي مجموعها + 1.

استنادًا إلى توسيعها المستمر للكسور، فإن أبسط التقريبات النسبية لـ${\displaystyle \psi }$هي : $${\displaystyle {\tfrac {3}{2}},{\tfrac {19}{13}},{\tfrac {22}{15}},{\tfrac {85}{58}},{\tfrac {277}{189}},{\tfrac {447}{305}},{\tfrac {1873}{1278}},{\tfrac {41653}{28421}},{\tfrac {43526}{29699}},{\tfrac {85179}{58120}},\ldots }$$

النسبة الذهبية الفائقة هي رابع أصغر عدد بيزو . ^{[ 5 ]} وبحسب تعريف هذه الأعداد، فإن القيمة المطلقة${\displaystyle 1/{\sqrt {\psi }}}$عدد المرافقات الجبرية أصغر من 1، وبالتالي فإن قوى ⁠${\displaystyle \psi }$توليد أعداد صحيحة تقريبًا . على سبيل المثال :${\displaystyle \psi ^{11}=67.000222765...\approx 67+1/4489}$بعد إحدى عشرة خطوة دوران، تصبح أطوار الزوج المترافق الحلزوني الداخليقريبة في البداية من${\displaystyle \pm 13\pi /22}$- تكاد تتماشى مع المحور الوهمي.

في المستوى المركب، إذا${\displaystyle \psi }$هو جذر غير حقيقي لـ${\displaystyle \psi ^{3}-\psi ^{2}-1=0}$إذاً، يمكن اعتبار رؤوس التبليط الرباعي المتشابه ذاتياً ( تبليط استبدال بسي-كواد ) هي النقاط الست.${\displaystyle \psi ^{0},\psi ^{1},\psi ^{2},\psi ^{3},\psi ^{4},-\psi ^{2}}$الحدود المتكررة هي المثلث الفراكتالي الذهبي الفائق، والذي له بُعد هاوسدورف${\displaystyle d_{\partial }={\frac {2\log \zeta }{\log \psi }}}$، أين${\displaystyle \zeta }$هو الأصل الحقيقي لـ${\displaystyle \zeta ^{7}-2\zeta ^{2}-1=0}$، لذلك عدديًا${\displaystyle d_{\partial }\approx 1.0295240599}$.

متعددة الحدود الدنيا للنسبة الذهبية الفائقة${\displaystyle m(x)=x^{3}-x^{2}-1}$⁠ لديه تمييز${\displaystyle \Delta =-31.}$حقل فئة هيلبرت للحقل التربيعي التخيلي${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})}$يمكن تشكيلها عن طريق ضم ⁠${\displaystyle \psi .}$مع الحجة${\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {\Delta }})/2\,}$مولد لحلقة الأعداد الصحيحة من${\displaystyle K}$، يمتلك المرء قيمة خاصة لمعاملإيتا ديديكيند$${\displaystyle \psi ={\frac {e^{\pi i/24}\,\eta (\tau )}{{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}}.}$$

معبر عنها بدلالة ثابت فئة ويبر-رامانوجان G _n ^{[ b ]} $${\displaystyle \psi ={\frac {{\mathfrak {f}}({\sqrt {\Delta }})}{\sqrt {2}}}={\frac {G_{31}}{\sqrt[{4}]{2}}}.}$$

خصائص ثابت كلاين j المرتبط ⁠${\displaystyle j(\tau )}$ينتج عنه تطابق شبه تام${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {-\Delta }}}\approx \left({\sqrt {2}}\,\psi \right)^{24}-24.}$الفرق هو < 1/143092 .

القيمة المفردة للتكامل الإهليلجي ^{[ 6 ]} ${\displaystyle k_{r}=\lambda ^{*}(r)}$لـ​${\displaystyle r=31}$له صيغة تعبير مغلقة $${\displaystyle \lambda ^{*}(31)=\sin(\arcsin \left(({\sqrt[{4}]{2}}\,\psi )^{-12}\right)/2)}$$ (وهو أقل من 1/10 من انحراف مدار كوكب الزهرة).

شكل كسري من نوع راوزي مرتبط بنسبة التكعيب الذهبية الفائقة. تبلغ مساحات البلاطة المركزية وبلاطاتها الفرعية الثلاث النسب التالية: ψ ⁴  : ψ ²  : ψ  : 1.

شكل كسري من نوع راوزي مرتبط بنسبة التربيع الذهبية الفائقة، بمساحات كما هو موضح أعلاه.

إن أبقار نارايانا هي متتالية تكرارية نشأت من مشكلة طرحها عالم الرياضيات الهندي نارايانا بانديتا في القرن الرابع عشر . ^{[ 7 ]} وقد سأل عن عدد الأبقار والعجول في قطيع بعد 20 عامًا، بدءًا من بقرة واحدة في السنة الأولى، حيث تلد كل بقرة عجلًا واحدًا كل عام من سن الثالثة فصاعدًا.

ترتبط متتالية نارايانا ارتباطًا وثيقًا بمتتاليتي فيبوناتشي وبادوفان ، وتلعب دورًا هامًا في ترميز البيانات، وعلم التشفير، وعلم التوافيق. ويُحسب عدد تركيبات العدد n إلى جزأين 1 و3 بالعدد n في متتالية نارايانا.

تُعرَّف متتالية نارايانا بعلاقة التكرار من الدرجة الثالثة$${\displaystyle N_{n}=N_{n-1}+N_{n-3}{\text{ for }}n>2,}$$ مع القيم الأولية $${\displaystyle N_{0}=N_{1}=N_{2}=1.}$$

الحدود القليلة الأولى هي 1، 1، 1، 2، 3، 4، 6، 9، 13، 19، 28، 41، 60، 88،... (المتتالية A000930 في OEIS ) . نسبة الحد بين الحدود المتتالية هي النسبة الذهبية الفائقة.${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }N_{n+1}/N_{n}=\psi .}$

أول 11 مؤشرًا n التي${\displaystyle N_{n}}$الأعداد الأولية هي n = 3، 4، 8، 9، 11، 16، 21، 25، 81، 6241، 25747 (المتتالية A170954 في OEIS ) . العدد الأخير يتكون من 4274 رقمًا عشريًا.

يمكن توسيع المتتالية لتشمل المؤشرات السالبة باستخدام $${\displaystyle N_{n}=N_{n+3}-N_{n+2}.}$$

يمكن كتابة قوى النسبة الذهبية الفائقة باستخدام أرقام نارايانا كمعاملات تربيعية.$${\displaystyle \psi ^{n}=\psi ^{2}N_{n-2}+\psi N_{n-4}+N_{n-3},}$$وهو ما تم إثباته بالاستقراء الرياضي على${\displaystyle n.}$تنطبق هذه العلاقة أيضاً على${\displaystyle n<0.}$يتوافق ترتيب المعاملات مع الصف السفلي من المصفوفة .${\displaystyle Q}$أدناه .

الدالة المولدة لمتتالية نارايانا معطاة بالصيغة التالية: $${\displaystyle {\frac {1}{1-x-x^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }N_{n}x^{n}{\text{ for }}x<{\tfrac {1}{\psi }}}$$

ترتبط أعداد نارايانا بمجموع معاملات ذات الحدين من خلال $${\displaystyle N_{n}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/3\rfloor }{n-2k \choose k}}$$

المعادلة المميزة للتكرار هي${\displaystyle x^{3}-x^{2}-1=0.}$إذا كانت الحلول الثلاثة جذورًا حقيقية${\displaystyle \psi }$والزوج المترافق​${\displaystyle \beta }$و​​${\displaystyle \gamma }$، يتم إعطاء أرقام نارايانا بواسطة صيغة بينيه ^{[ 8 ]} $${\displaystyle N_{n-1}=a\psi ^{n}+b\beta ^{n}+c\gamma ^{n},}$$ مع حقيقي${\displaystyle a}$والمقترنات​​${\displaystyle b}$و​​${\displaystyle c}$جذور​${\displaystyle 31x^{3}-3x-1=0.}$

منذ${\displaystyle \left\vert b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}\right\vert <\psi ^{-n/2}}$، الرقم${\displaystyle N_{n}}$هو أقرب عدد صحيح إلى${\displaystyle \,a\,\psi ^{n+1}}$، مع​${\displaystyle n\geq 0}$والمعامل​${\displaystyle a=\psi ^{2}/(\psi ^{3}+2)=}$0.41723 79879 26218 77762 14755...

المعاملات${\displaystyle a=b=c=1}$ينتج عن ذلك صيغة بينيه للمتتالية ذات الصلة${\displaystyle A_{n}=N_{n}+2N_{n-3}.}$

الحدود القليلة الأولى هي 3، 1، 1، 4، 5، 6، 10، 15، 21، 31، 46، 67، 98، 144،... (التسلسل A001609 في OEIS ) .

تتمتع هذه المتتالية المجهولة بخاصية فيرما : إذا كان p عددًا أوليًا،${\displaystyle A_{p}\equiv A_{1}{\bmod {p}}.}$لا يصح العكس، ولكن العدد القليل من الأعداد الأولية الزائفة الفردية${\displaystyle \,n\mid (A_{n}-1)}$يجعل هذا التسلسل مميزًا. ^{[ 9 ]} الأعداد المركبة الفردية الثمانية الأقل من ^10⁸ التي تجتاز الاختبار هي n = 1155، 552599، 2722611، 4822081، 10479787، 10620331، 16910355، 66342673.

يتم الحصول على أعداد نارايانا كقوى صحيحة n > 3 لمصفوفة ذات قيمة ذاتية حقيقية${\displaystyle \psi }$[ ^{7 ]​}$${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}1&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},}$$

$${\displaystyle Q^{n}={\begin{pmatrix}N_{n}&N_{n-2}&N_{n-1}\\N_{n-1}&N_{n-3}&N_{n-2}\\N_{n-2}&N_{n-4}&N_{n-3}\end{pmatrix}}}$$

أثر ⁠​​${\displaystyle Q^{n}}$يعطي ما سبق${\displaystyle A_{n}}$⁠ .

أو بدلاً من ذلك ،${\displaystyle Q}$يمكن تفسيرها على أنها مصفوفة وقوع لنظام ليندنماير D0L على الأبجدية${\displaystyle \{a,b,c\}}$مع قاعدة الاستبدال المقابلة $${\displaystyle {\begin{cases}a\;\mapsto \;ab\\b\;\mapsto \;c\\c\;\mapsto \;a\end{cases}}}$$ والمبادر​${\displaystyle w_{0}=b}$سلسلة الكلمات​${\displaystyle w_{n}}$تتميز الكلمات الناتجة عن تكرار عملية الاستبدال بخاصية أن عدد حروف c و b و a يساوي أعداد نارايانا المتتالية. أما أطوال هذه الكلمات فهي${\displaystyle l(w_{n})=N_{n}.}$

يرتبط بعملية إعادة كتابة السلسلة هذه مجموعة مضغوطة تتكون من بلاطات متشابهة ذاتيًا تسمى كسورية راوزي ، والتي تصور المعلومات التوافقية الموجودة في تسلسل ثلاثي الأحرف متعدد الأجيال. ^{[ 10 ]}

المستطيل الذهبي الفائق هو مستطيل تكون أطوال أضلاعه ضمن نطاق${\displaystyle \psi :1}$نسبة . بالمقارنة مع المستطيل الذهبي ، فإن المستطيل الذهبي الفائق لديه درجة إضافية من التشابه الذاتي .

بفرض وجود مستطيل ارتفاعه 1 وطوله ⁠${\displaystyle \psi }$والطول القطري${\displaystyle {\sqrt {\psi ^{3}}}}$(وفق${\displaystyle 1+\psi ^{2}=\psi ^{3}}$). المثلثات الموجودة على القطر لها ارتفاعات${\displaystyle 1/{\sqrt {\psi }}\,;}$يقسم كل قدم عمودي القطر بنسبة${\displaystyle \psi ^{2}}$⁠ .

على الجانب الأيسر، اقطع مربعًا طول ضلعه 1 وحدد نقطة تقاطعه مع القطر المتساقط. يصبح للمستطيل المتبقي الآن نسبة أبعاد${\displaystyle \psi ^{2}:1}$(وفق${\displaystyle \psi -1=\psi ^{-2}}$). قسّم المستطيل الأصلي إلى أربعة أجزاء بقطع أفقي ثانٍ يمر بنقطة التقاطع. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

المستطيل الموجود أسفل القطر له نسبة أبعاد ⁠${\displaystyle \psi ^{3}}$أما الثلاثة الأخرى فهي مستطيلات ذهبية فائقة، مع وجود مستطيل رابع بين قاعدتي الارتفاعات. المستطيل الأصلي والنسخ الأربعة المُكبّرة لها أحجام خطية بنسب محددة.${\displaystyle \psi ^{3}:\psi ^{2}:\psi$ :\psi ^{2}-1:1.} ويترتب على نظرية الغنومون أن مساحات المستطيلين المقابلين للقطر متساوية.

في المستطيل الذهبي الفائق أعلى القطر، تتكرر العملية بمقياس ⁠${\displaystyle 1:\psi ^{2}}$⁠ .

حلزون ذهبي فائق

اللولب الذهبي الفائق هو لولب لوغاريتمي يتسع بمعامل ⁠${\displaystyle \psi }$لكل ربع دورة. ويتم وصفها بالمعادلة القطبية${\displaystyle r(\theta )=a\exp(k\theta ),}$بنصف قطر ابتدائي${\displaystyle a}$والمعامل​${\displaystyle k={\frac {2}{\pi }}ln(\psi ).}$إذا رُسمت اللولب على مستطيل ذهبي فائق، فإن قطبها يكون عند قاعدة ارتفاع مثلث على القطر، وتمر عبر رؤوس مستطيلات بنسبة أبعاد ⁠${\displaystyle \psi }$والتي تتم محاذاتها بشكل عمودي ويتم تغيير حجمها تباعاً بمعامل${\displaystyle \psi ^{-1}.}$⁠

حلول المعادلات المشابهة لـ${\displaystyle x^{3}=x^{2}+1}$:

• النسبة الذهبية – الحل الموجب للمعادلة${\displaystyle x^{2}=x+1}$
• نسبة البلاستيك – الحل الحقيقي للمعادلة${\displaystyle x^{3}=x+1}$
• نسبة الفضة الفائقة - الحل الحقيقي للمعادلة${\displaystyle x^{3}=2x^{2}+1}$