مؤشر ثيل

مؤشر ثيل هو إحصائية تُستخدم أساسًا لقياس التفاوت الاقتصادي ^{[ 1 ]} وظواهر اقتصادية أخرى، مع أنه استُخدم أيضًا لقياس الفصل العنصري. ^{[ 2 ] [ 3 ]} يُعادل مؤشر ثيل ( _T) مفهوم التكرار في نظرية المعلومات، وهو عبارة عن أقصى إنتروبيا ممكنة للبيانات مطروحًا منها الإنتروبيا المرصودة. وهو حالة خاصة من مؤشر الإنتروبيا المعمم . يُمكن اعتباره مقياسًا للتكرار، ونقص التنوع، والعزلة، والفصل العنصري، والتفاوت، وعدم العشوائية، وقابلية الانضغاط. وقد اقترحه عالم الاقتصاد القياسي الهولندي هنري ثيل (1924-2000) في جامعة إيراسموس روتردام . ^{[ 3 ]}

قال هنري ثيل نفسه (عام 1967): "يمكن تفسير مؤشر ثيل على أنه المحتوى المعلوماتي المتوقع للرسالة غير المباشرة التي تحوّل حصص السكان كاحتمالات مسبقة إلى حصص الدخل كاحتمالات لاحقة." ^{[ 4 ]} وأشار أمارتيا سين إلى أنه "لكن تبقى الحقيقة أن مؤشر ثيل صيغة اعتباطية، وأن متوسط ​​لوغاريتمات مقلوب حصص الدخل المرجحة بالدخل ليس مقياسًا ذا دلالة بديهية واضحة." ^{[ 4 ]}

بالنسبة لمجموعة من N "عاملًا" لكل منهم الخاصية x ، يمكن تمثيل الوضع بالقائمة xᵢ (حيث _i =  1  ، ...، N ) حيث xᵢ هي خاصية العامل i . على سبيل المثال، إذا _كانت الخاصية هي الدخل، فإن xᵢ _هو دخل العامل i .

يُعرَّف مؤشر ثيل تي على النحو التالي ^{[ 5 ]}

${\displaystyle T_{T}=T_{\alpha =1}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}}{\mu }}\ln \left({\frac {x_{i}}{\mu }}\right)}$

ويُعرَّف مؤشر ثيل L على النحو التالي ^{[ 5 ]}

${\displaystyle T_{L}=T_{\alpha =0}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln \left({\frac {\mu }{x_{i}}}\right)}$

أين${\displaystyle \mu }$وهو متوسط ​​الدخل:

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}}$

Theil-L هو عدم الانتروبيا لتوزيع الدخل لكل شخص، ويتم قياسه بالنسبة إلى أقصى انتروبيا (...والتي يتم تحقيقها بالمساواة الكاملة).

(في تفسير بديل لذلك، فإن ثيل-إل هو اللوغاريتم الطبيعي للمتوسط ​​الهندسي للنسبة: (متوسط ​​الدخل)/(الدخل i)، على جميع الدخول. أما أتكينسون (1) المرتبط به فهو ببساطة 1 ناقص المتوسط ​​الهندسي لـ (الدخل i)/(متوسط ​​الدخل)، على توزيع الدخل.)

لأن التحويل بين دخل أكبر ودخل أصغر سيغير نسبة الدخل الأصغر أكثر مما يغير نسبة الدخل الأكبر، فإن مبدأ التحويل يتم تحقيقه بواسطة هذا المؤشر.

بصورة مكافئة، إذا تميزت الحالة بدالة توزيع منفصلة f _k ( k  =  0,..., W ) حيث f _k هي نسبة السكان ذوي الدخل k و W = N μ هو إجمالي الدخل، فإن${\displaystyle \sum _{k=0}^{W}f_{k}=1}$ ومؤشر ثيل هو:

${\displaystyle T_{T}=\sum _{k=0}^{W}\,f_{k}\,{\frac {k}{\mu }}\ln \left({\frac {k}{\mu }}\right)}$

أين${\displaystyle \mu }$وهو متوسط ​​الدخل مرة أخرى:

${\displaystyle \mu =\sum _{k=0}^{W}kf_{k}}$

لاحظ أنه في هذه الحالة يكون الدخل k عددًا صحيحًا و k=1 يمثل أصغر زيادة ممكنة في الدخل (على سبيل المثال، السنتات).

إذا كانت الحالة تتميز بدالة توزيع مستمرة f ( k ) (مدعومة من 0 إلى ما لا نهاية) حيث f ( k ) dk هي نسبة السكان ذوي الدخل من k إلى k + dk ، فإن مؤشر ثيل هو:   

${\displaystyle T_{T}=\int _{0}^{\infty }f(k){\frac {k}{\mu }}\ln \left({\frac {k}{\mu }}\right)dk}$

حيث يكون المتوسط:

${\displaystyle \mu =\int _{0}^{\infty }kf(k)\,dk}$

تُعرض مؤشرات ثيل لبعض التوزيعات الاحتمالية المستمرة الشائعة في الجدول أدناه:

دالة توزيع الدخل	دالة كثافة الاحتمال (PDF( x ) ( x ≥ 0))	معامل ثيل (ناتس)
دالة ديراك دلتا	${\displaystyle \delta (x-x_{0}),\,x_{0}>0}$	0
توزيع موحد	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{ba}}&a\leq x\leq b\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$	${\displaystyle \ln \left({\frac {2a}{(a+b){\sqrt {e}}}}\right)+{\frac {b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}\ln(b/a)}$
التوزيع الأسي	${\displaystyle \lambda e^{-x\lambda },\,\,x>0}$	${\displaystyle 1-}$${\displaystyle \gamma }$
التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{(-(\ln(x)-\mu )^{2})/\sigma ^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{2}}}$
توزيع باريتو	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\alpha k^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&x\geq k\\0&x<k\end{cases}}}$	${\displaystyle \ln(1\!-\!1/\alpha )+{\frac {1}{\alpha -1}}}$   ( α > 1)
توزيع مربع كاي	${\displaystyle {\frac {2^{-k/2}e^{-x/2}x^{k/2-1}}{\Gamma (k/2)}}}$	${\displaystyle \ln(2/k)+}$${\displaystyle \psi ^{(0)}}$${\displaystyle (1\!+\!k/2)}$
توزيع جاما [ 6 ]	${\displaystyle {\frac {e^{-x/\theta }x^{k-1}\theta ^{-k}}{\Gamma (k)}}}$	${\displaystyle \psi ^{(0)}}$${\displaystyle (1+k)-\ln(k)}$
توزيع ويبول	${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{ك}}}$${\displaystyle \psi ^{(0)}}$${\displaystyle (1+1/k)-\ln \left(\Gamma (1+1/k)\right)}$

إذا كان دخل الجميع متساوياً، فإن T _T يساوي  صفرًا. أما إذا كان دخل شخص واحد هو كل الدخل، فإن T _T يعطي النتيجة${\displaystyle \ln N}$وهي أقصى متباينة. قسمة T _T على${\displaystyle \ln N}$يمكن تطبيع المعادلة لتتراوح قيمها بين 0 و 1، ولكن عندئذٍ يتم انتهاك بديهية الاستقلال :${\displaystyle T[x\cup x]\neq T[x]}$ولا يُعتبر مقياساً لعدم المساواة.

يقيس مؤشر ثيل "المسافة" الإنتروبية التي يبتعد بها السكان عن حالة المساواة التي يتمتع فيها الجميع بنفس الدخل. وتُعطى النتيجة العددية بدلالة الإنتروبيا السالبة، بحيث يشير الرقم الأعلى إلى مزيد من النظام، أي أبعد عن المساواة التامة. إن صياغة المؤشر ليمثل الإنتروبيا السالبة بدلاً من الإنتروبيا تجعله مقياساً لعدم المساواة بدلاً من المساواة.

يُستمد مؤشر ثيل من مقياس شانون لإنتروبيا المعلومات.${\displaystyle S}$حيث تُعدّ الإنتروبيا مقياسًا للعشوائية في مجموعة معينة من المعلومات. في نظرية المعلومات والفيزياء ومؤشر ثيل، يكون الشكل العام للإنتروبيا هو

${\displaystyle S=k\sum _{i=1}^{N}\left(p_{i}\log _{a}\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)\right)=-k\sum _{i=1}^{N}\left(p_{i}\log _{a}\left({p_{i}}\right)\right)}$

أين

• ${\displaystyle i}$هو عنصر فردي من المجموعة (مثل فرد من مجموعة سكانية، أو بايت فردي من ملف كمبيوتر ).
• ${\displaystyle p_{i}}$هو احتمال العثور${\displaystyle i}$من عينة عشوائية من المجموعة.
• ${\displaystyle k}$ثابت. ^{[ ملاحظة 1 ]}
• ${\displaystyle \log _{a}\left({x}\right)}$هو لوغاريتم أساسه يساوي${\displaystyle a}$[ ^{ملاحظة 2 ]}

عند النظر إلى توزيع الدخل في مجتمع ما،${\displaystyle p_{i}}$يساوي هذا النسبة بين دخل فرد معين وإجمالي دخل جميع السكان. وهذا يعطي الإنتروبيا المرصودة.${\displaystyle S_{\text{Theil}}}$من السكان ليكونوا:

${\displaystyle S_{\text{Theil}}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {x_{i}}{N{\bar {x}}}}\ln \left({\frac {N{\bar {x}}}{x_{i}}}\right)\right)}$

أين

• ${\displaystyle x_{i}}$هو دخل فرد معين.
• ${\displaystyle \left(N{\bar {x}}\right)}$هو إجمالي دخل جميع السكان، مع

• ${\displaystyle N}$يمثل عدد الأفراد في المجتمع.
• ${\displaystyle {\bar {x}}}$(x bar) هو متوسط ​​دخل السكان.

• ${\displaystyle \ln \left(x\right)}$هو اللوغاريتم الطبيعي لـ${\displaystyle x}$:${\displaystyle \left(\log _{e}\left(x\right)\right)}$.

مؤشر ثيل${\displaystyle T_{T}}$يقيس مدى اختلاف الإنتروبيا المرصودة (${\displaystyle S_{\text{Theil}}}$(والذي يمثل مدى عشوائية توزيع الدخل) هو من أعلى مستوى ممكن من الإنتروبيا (${\displaystyle S_{\text{max}}=\ln \left({N}\right)}$[ ^{ملاحظة 3 ] وهو ما يمثل توزيع الدخل على النحو الأمثل بين أفراد المجتمع -} وهو توزيع مماثل للنتيجة [الأكثر ترجيحًا] لعدد لا نهائي من رميات العملة العشوائية: توزيع متساوٍ للصور والكتابة). لذلك، فإن مؤشر ثيل هو الفرق بين الحد الأقصى النظري للإنتروبيا (الذي يمكن الوصول إليه إذا كانت دخول كل فرد متساوية) مطروحًا منه الإنتروبيا المرصودة.

${\displaystyle T_{T}=S_{\text{max}}-S_{\text{Theil}}=\ln \left({N}\right)-S_{\text{Theil}}}$

متى${\displaystyle x}$بوحدات السكان/الأنواع،${\displaystyle S_{\text{Theil}}}$يُعدّ مؤشر شانون مقياسًا للتنوع البيولوجي . أما إذا استُخدم مؤشر ثيل مع x = عدد السكان / عدد الأنواع، فإنه يُصبح مقياسًا لعدم المساواة في عدد السكان بين مجموعة من الأنواع، أو ما يُعرف بـ "العزلة البيولوجية" مقابل "العزلة الاقتصادية".

يقيس مؤشر ثيل ما يُعرف بالتكرار في نظرية المعلومات. ^{[ 5 ]} وهو عبارة عن "مساحة معلوماتية" متبقية لم تُستغل لنقل المعلومات، مما يقلل من فعالية إشارة السعر . يُعد مؤشر ثيل مقياسًا لتكرار الدخل (أو أي مقياس آخر للثروة) لدى بعض الأفراد. يشير التكرار لدى بعض الأفراد إلى ندرة لدى آخرين. يدل ارتفاع مؤشر ثيل على أن إجمالي الدخل لا يتوزع بالتساوي بين الأفراد، تمامًا كما هو الحال في ملف نصي غير مضغوط ، حيث لا يحتوي الملف على عدد متساوٍ من مواقع البايتات المخصصة لأحرف البايت الفريدة المتاحة.

الترميز	نظرية المعلومات	مؤشر ثيل T T
${\displaystyle N}$	عدد الأحرف الفريدة	عدد الأفراد
${\displaystyle i}$	شخصية معينة	فرد معين
${\displaystyle x_{i}}$	عدد الحرف رقم i	دخل الفرد رقم i
${\displaystyle N{\bar {x}}}$	إجمالي عدد الأحرف في المستند	إجمالي الدخل في السكان
${\displaystyle T_{T}}$	مساحة معلومات غير مستخدمة	إمكانات غير مستغلة في آلية التسعير
	ضغط البيانات	ضريبة تصاعدية

بحسب البنك الدولي ،

"أشهر مقاييس الإنتروبيا هي مقياس ثيل T (${\displaystyle T_{T}}$) و Theil's L (${\displaystyle T_{L}}$يُتيح كلا النموذجين تحليل عدم المساواة إلى جزأين: الجزء الناتج عن عدم المساواة داخل المناطق (مثل المناطق الحضرية والريفية)، والجزء الناتج عن الاختلافات بين المناطق (مثل فجوة الدخل بين الريف والحضر). عادةً ما يُعزى ما لا يقل عن ثلاثة أرباع عدم المساواة في أي بلد إلى عدم المساواة داخل المجموعة الواحدة، بينما يُعزى الربع المتبقي إلى الاختلافات بين المجموعات. ^{[ 7 ]}

إذا تم تقسيم السكان إلى${\displaystyle m}$المجموعات الفرعية و

• ${\displaystyle s_{i}}$هي حصة الدخل للمجموعة${\displaystyle i}$،
• ${\displaystyle N}$يمثل إجمالي عدد السكان و${\displaystyle N_{i}}$يمثل عدد سكان المجموعة${\displaystyle i}$،
• ${\displaystyle T_{i}}$هو مؤشر ثيل لتلك المجموعة الفرعية،
• ${\displaystyle {\overline {x}}_{i}}$هو متوسط ​​الدخل في المجموعة${\displaystyle i}$، و
• ${\displaystyle \mu }$هو متوسط ​​دخل السكان،

إذن، مؤشر ثيل T هو

${\displaystyle T_{T}=\sum _{i=1}^{m}s_{i}T_{i}+\sum _{i=1}^{m}s_{i}\ln {\frac {{\overline {x}}_{i}}{\mu }}}$ل ${\displaystyle s_{i}={\frac {N_{i}}{N}}{\frac {{\overline {x}}_{i}}{\mu }}}$

على سبيل المثال، عدم المساواة داخل الولايات المتحدة هو متوسط ​​عدم المساواة داخل كل ولاية، مرجحًا بدخل الولاية، بالإضافة إلى عدم المساواة بين الولايات.

ملاحظة : هذه الصورة لا تمثل مؤشر ثيل في كل منطقة من مناطق الولايات المتحدة، بل تمثل مساهمات كل منطقة في مؤشر ثيل للولايات المتحدة. مؤشر ثيل موجب دائمًا، مع أن المساهمات الفردية فيه قد تكون سالبة أو موجبة. ^{[ 8 ]}

يُعد تحليل مؤشر ثيل، الذي يحدد النسبة المنسوبة إلى المكون بين المناطق، أداة مفيدة للتحليل الإيجابي لعدم المساواة الإقليمية، حيث يشير إلى الأهمية النسبية للبعد المكاني لعدم المساواة. ^{[ 9 ]}

بالإضافة إلى العديد من التطبيقات الاقتصادية، تم تطبيق مؤشر ثيل لتقييم أداء أنظمة الري ^{[ 11 ]} وتوزيع مقاييس البرمجيات . ^{[ 12 ]}

• برمجة:
  • تحسب الآلة الحاسبة المجانية عبر الإنترنت معامل جيني، وترسم منحنى لورنز، وتحسب العديد من مقاييس التركيز الأخرى لأي مجموعة بيانات
  • آلة حاسبة مجانية : برامج نصية متاحة عبر الإنترنت وقابلة للتنزيل ( بايثون ولوا ) لحساب متباينات أتكينسون وجيني وهوفر
  • يمكن لمستخدمي برنامج تحليل البيانات R تثبيت حزمة "ineq" التي تسمح بحساب مجموعة متنوعة من مؤشرات عدم المساواة بما في ذلك جيني، وأتكنسون، وثيل.
  • حزمة MATLAB للمتباينات، مؤرشفة بتاريخ 4 أكتوبر 2008 على موقع Wayback Machine ، تتضمن شفرة لحساب مؤشرات جيني، وأتكنسون، وثيل، ولرسم منحنى لورنز. تتوفر العديد من الأمثلة.