نظرية شعاع تيموشينكو-إهرنفست

تم تطوير نظرية شعاع تيموشينكو-إيرينفيست بواسطة ستيفن تيموشينكو وبول إيرينفيست [ ^{1] [2] [3]} في أوائل القرن العشرين. ^{[4] [5]} يأخذ النموذج في الاعتبار تشوه القص وتأثيرات الانحناء الدوراني ، مما يجعله مناسبًا لوصف سلوك العوارض السميكة أو العوارض المركبة الساندويتش أو العوارض المعرضة للإثارة عالية التردد عندما يقترب الطول الموجي من سمك الشعاع. المعادلة الناتجة هي من الدرجة الرابعة ولكن على عكس نظرية شعاع أويلر-بيرنولي ، يوجد أيضًا مشتق جزئي من الدرجة الثانية. من الناحية الفيزيائية، يؤدي أخذ الآليات المضافة للتشوه في الاعتبار إلى خفض صلابة الشعاع بشكل فعال، في حين تكون النتيجة انحرافًا أكبر تحت حمل ثابت وترددات ذاتية متوقعة أقل لمجموعة معينة من الظروف الحدودية. يصبح التأثير الأخير أكثر وضوحًا بالنسبة للترددات الأعلى حيث يصبح الطول الموجي أقصر (مماثلًا من حيث المبدأ لارتفاع الشعاع أو أقصر)، وبالتالي تقل المسافة بين قوى القص المتعارضة.

تم تقديم تأثير القصور الذاتي الدوراني بواسطة Bresse ^[6] و Rayleigh. ^[7]

إذا اقتربت معامل القص لمادة الشعاع من اللانهاية - وبالتالي يصبح الشعاع صلبًا في القص - وإذا تم إهمال تأثيرات القصور الذاتي الدوراني، فإن نظرية شعاع تيموشينكو تتقارب مع نظرية شعاع أويلر-برنولي .

في نظرية شعاع تيموشينكو الساكنة بدون تأثيرات محورية، يُفترض أن إزاحات الشعاع تُعطى بواسطة

${\displaystyle u_{x}(x,y,z)=-z~\varphi (x)~;~~u_{y}(x,y,z)=0~;~~u_{z}(x ,ص)=ث(س)}$

حيث أن: إحداثيات نقطة في الحزمة، هي مكونات متجه الإزاحة في اتجاهات الإحداثيات الثلاثة، هي زاوية دوران العمودي على منتصف سطح الحزمة، و هي إزاحة منتصف السطح في الاتجاه -. ${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle w}$${\displaystyle z}$

المعادلات الحاكمة هي النظام المقترن التالي للمعادلات التفاضلية العادية :

${\displaystyle {\begin{align}&{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi {\mathrm {d} x}}\right)=q(x)\\&{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}=\varphi -{\frac {1} {\ kappa AG}} {\ frac {\mathrm {d} {\mathrm {d} x}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\يمين).\end{محاذاة}}}$

نظرية شعاع تيموشينكو للحالة الثابتة تعادل نظرية أويلر-برنولي عندما يتم إهمال الحد الأخير أعلاه، وهو تقريب صالح عندما

${\displaystyle {\frac {3EI}{\kappa L^{2}AG}}\ll 1}$

أين

• ${\displaystyle L}$هو طول الشعاع.
• ${\displaystyle A}$هي مساحة المقطع العرضي.
• ${\displaystyle E}$هو معامل المرونة .
• ${\displaystyle G}$هو معامل القص .
• ${\displaystyle I}$هي اللحظة الثانية للمنطقة .
• ${\displaystyle \kappa }$، والتي تسمى معامل قص تيموشينكو، تعتمد على الهندسة. عادةً، لقسم مستطيل.${\displaystyle \kappa =5/6}$
• ${\displaystyle q(x)}$هو حمل موزع (قوة لكل طول).
• ${\displaystyle w}$هو إزاحة السطح الأوسط في الاتجاه -.${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \varphi }$هي زاوية دوران العمودي على منتصف سطح الشعاع.

يؤدي الجمع بين المعادلتين إلى الحصول على شعاع متجانس ذي مقطع عرضي ثابت،

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{\kappa AG} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

ترتبط عزم الانحناء وقوة القص في العارضة بالإزاحة والدوران . هذه العلاقات، لعارضة تيموشينكو المرنة الخطية، هي: ${\displaystyle M_{xx}}$${\displaystyle Q_{x}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle M_{xx}=-EI~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\quad {\text{and}}\quad Q_{x}=\kappa ~AG~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\,.}$

اشتقاق معادلات شعاع تيموشينكو شبه الثابتة

من الافتراضات الحركية لشعاع تيموشينكو، يتم تحديد إزاحات الشعاع بواسطة ${\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~ u_{z}(x,y,z)=w(x,t)}$ ومن ثم، من علاقات الانفعال والإزاحة للانفعالات الصغيرة، فإن الانفعالات غير الصفرية بناءً على افتراضات تيموشينكو هي ${\displaystyle \varepsilon _{xx}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}=-z~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}~;~~\varepsilon _{xz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)}$ نظرًا لأن إجهاد القص الفعلي في الشعاع ليس ثابتًا على المقطع العرضي، فإننا نقدم عامل تصحيح بحيث ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \varepsilon _{xz}={\frac {1}{2}}~\kappa ~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)}$ التغير في الطاقة الداخلية للشعاع هو ${\displaystyle \delta U=\int _{L}\int _{A}(\sigma _{xx}\delta \varepsilon _{xx}+2\sigma _{xz}\delta \varepsilon _{xz})~\mathrm {d} A~\mathrm {d} L=\int _{L}\int _{A}\left[-z~\sigma _{xx}{\frac {\partial (\delta \varphi )}{\partial x}}+\sigma _{xz}~\kappa \left(-\delta \varphi +{\frac {\partial (\delta w)}{\partial x}}\right)\right]~\mathrm {d} A~\mathrm {d} L}$ يُعرِّف ${\displaystyle M_{xx}:=\int _{A}z~\sigma _{xx}~\mathrm {d} A~;~~Q_{x}:=\kappa ~\int _{A}\sigma _{xz}~\mathrm {d} A}$ ثم ${\displaystyle \delta U=\int _{L}\left[-M_{xx}{\frac {\partial (\delta \varphi )}{\partial x}}+Q_{x}\left(-\delta \varphi +{\frac {\partial (\delta w)}{\partial x}}\right)\right]~\mathrm {d} L}$ التكامل بالأجزاء، وملاحظة أنه بسبب الظروف الحدودية فإن التغيرات تكون صفرًا في نهايات الشعاع، مما يؤدي إلى ${\displaystyle \delta U=\int _{L}\left[\left({\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-Q_{x}\right)~\delta \varphi -{\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}~\delta w\right]~\mathrm {d} L}$ التغير في العمل الخارجي المبذول على العارضة بواسطة حمل عرضي لكل وحدة طول هو ${\displaystyle q(x,t)}$ ${\displaystyle \delta W=\int _{L}q~\delta w~\mathrm {d} L}$ ثم بالنسبة لشعاع شبه ثابت، فإن مبدأ العمل الافتراضي يعطي ${\displaystyle \delta U=\delta W\implies \int _{L}\left[\left({\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-Q_{x}\right)~\delta \varphi -\left({\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}+q\right)~\delta w\right]~\mathrm {d} L=0}$ المعادلات الحاكمة للحزمة هي، من النظرية الأساسية لحساب التباين، ${\displaystyle {\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-Q_{x}=0~;~~{\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}+q=0}$ لحزمة مرنة خطية ${\displaystyle {\begin{aligned}M_{xx}&=\int _{A}z~\sigma _{xx}~\mathrm {d} A=\int _{A}z~E~\varepsilon _{xx}~\mathrm {d} A=-\int _{A}z^{2}~E~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}~\mathrm {d} A=-EI~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\Q_{x}&=\int _{A}\sigma _{xz}~\mathrm {d} A=\int _{A}2G~\varepsilon _{xz}~\mathrm {d} A=\int _{A}\kappa ~G~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)~\mathrm {d} A=\kappa ~AG~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\end{aligned}}}$ لذلك يمكن التعبير عن المعادلات الحاكمة للحزمة على النحو التالي: ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG~\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)&=0\\{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q&=0\end{aligned}}}$ الجمع بين المعادلتين معًا يعطي ${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)=q\\&{\frac {\partial w}{\partial x}}=\varphi -{\cfrac {1}{\kappa AG}}~{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)\end{aligned}}}$

يجب أن يتم تعزيز المعادلتين اللتين تصفان تشوه شعاع تيموشينكو بشروط حدودية إذا أردنا حلهما. هناك حاجة إلى أربعة شروط حدودية حتى يتم طرح المشكلة بشكل جيد . الشروط الحدودية النموذجية هي:

• الحزم المدعومة ببساطة : الإزاحة تساوي صفرًا في مواقع الدعامتين. كما يجب تحديد عزم الانحناء المطبق على الحزم. لم يتم تحديد الدوران وقوة القص العرضي .${\displaystyle w}$ ${\displaystyle M_{xx}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle Q_{x}}$
• الحزم المشبكية : يتم تحديد الإزاحة والدوران ليكونا صفرًا عند الطرف المشبكي. إذا كان أحد الطرفين حرًا، فيجب تحديد قوة القص وعزم الانحناء عند هذا الطرف.${\displaystyle w}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle Q_{x}}$${\displaystyle M_{xx}}$

يتم التعبير عن طاقة الانفعال لشعاع تيموشينكو كمجموع طاقة الانفعال بسبب الانحناء والقص. كلا المكونين تربيعيان في متغيراتهما. يمكن كتابة دالة طاقة الانفعال لشعاع تيموشينكو على النحو التالي،

${\displaystyle W=\int _{[0,L]}{\frac {EI}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}+{\frac {kGA}{2}}\left(\varphi -{\frac {dw}{dx}}\right)^{2}}$

بالنسبة لحزمة الكابولي ، يتم تثبيت أحد الحدود بينما يكون الآخر حرًا. دعنا نستخدم نظام إحداثيات يميني حيث يكون الاتجاه موجبًا نحو اليمين والاتجاه موجبًا للأعلى. باتباع الاتفاقية العادية، نفترض أن القوى الموجبة تعمل في الاتجاهات الموجبة للمحورين و وأن العزوم الموجبة تعمل في اتجاه عقارب الساعة. نفترض أيضًا أن اتفاقية إشارة محصلات الإجهاد ( و ) هي أن عزم الانحناء الموجب يضغط على المادة الموجودة في أسفل العارضة ( الإحداثيات السفلية) وتدير قوى القص الموجبة العارضة في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة. ${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$${\displaystyle M_{xx}}$${\displaystyle Q_{x}}$${\displaystyle z}$

لنفترض أن الطرف المشبك يقع عند والطرف الحر يقع عند . إذا تم تطبيق حمل نقطي على الطرف الحر في الاتجاه الموجب، فإن مخطط الجسم الحر للشعاع يعطينا ${\displaystyle x=L}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle P}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle -Px-M_{xx}=0\implies M_{xx}=-Px}$

و

${\displaystyle P+Q_{x}=0\implies Q_{x}=-P\,.}$

لذلك، من تعبيرات عزم الانحناء وقوة القص، لدينا

${\displaystyle Px=EI\,{\frac {d\varphi }{dx}}\qquad {\text{and}}\qquad -P=\kappa AG\left(-\varphi +{\frac {dw}{dx}}\right)\,.}$

يؤدي تكامل المعادلة الأولى وتطبيق الشرط الحدودي عند ، إلى ${\displaystyle \varphi =0}$${\displaystyle x=L}$

${\displaystyle \varphi (x)=-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.}$

يمكن كتابة المعادلة الثانية على النحو التالي

${\displaystyle {\frac {dw}{dx}}=-{\frac {P}{\kappa AG}}-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.}$

التكامل وتطبيق الشرط الحدودي عند يعطي ${\displaystyle w=0}$${\displaystyle x=L}$

${\displaystyle w(x)={\frac {P(L-x)}{\kappa AG}}-{\frac {Px}{2EI}}\,\left(L^{2}-{\frac {x^{2}}{3}}\right)+{\frac {PL^{3}}{3EI}}\,.}$

يتم إعطاء الإجهاد المحوري بواسطة

${\displaystyle \sigma _{xx}(x,z)=E\,\varepsilon _{xx}=-E\,z\,{\frac {d\varphi }{dx}}=-{\frac {Pxz}{I}}={\frac {M_{xx}z}{I}}\,.}$

في نظرية شعاع تيموشينكو بدون تأثيرات محورية، يُفترض أن إزاحات الشعاع تُعطى بواسطة

${\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)}$

حيث أن: إحداثيات نقطة في الحزمة، هي مكونات متجه الإزاحة في اتجاهات الإحداثيات الثلاثة، هي زاوية دوران العمودي على منتصف سطح الحزمة، و هي إزاحة منتصف السطح في الاتجاه -. ${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle w}$${\displaystyle z}$

انطلاقًا من الافتراض أعلاه، يمكن وصف نظرية شعاع تيموشينكو، مع مراعاة الاهتزازات، باستخدام معادلات التفاضل الجزئي الخطية المقترنة : ^[8]

${\displaystyle \rho A{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-q(x,t)={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]}$

${\displaystyle \rho I{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)}$

حيث المتغيرات التابعة هي ، الإزاحة الانتقالية للشعاع، و ، الإزاحة الزاوية. لاحظ أنه على عكس نظرية أويلر-برنولي ، فإن الانحراف الزاوي هو متغير آخر ولا يتم تقريبه بواسطة ميل الانحراف. أيضًا، ${\displaystyle w(x,t)}$${\displaystyle \varphi (x,t)}$

• ${\displaystyle \rho }$هي كثافة مادة الشعاع (ولكن ليست الكثافة الخطية ).
• ${\displaystyle A}$هي مساحة المقطع العرضي.
• ${\displaystyle E}$هو معامل المرونة .
• ${\displaystyle G}$هو معامل القص .
• ${\displaystyle I}$هي اللحظة الثانية للمنطقة .
• ${\displaystyle \kappa }$، والتي تسمى معامل قص تيموشينكو، تعتمد على الهندسة. عادةً، لقسم مستطيل.${\displaystyle \kappa =5/6}$
• ${\displaystyle q(x,t)}$هو حمل موزع (قوة لكل طول).
• ${\displaystyle m:=\rho A}$
• ${\displaystyle J:=\rho I}$
• ${\displaystyle w}$هو إزاحة السطح الأوسط في الاتجاه -.${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \varphi }$هي زاوية دوران العمودي على منتصف سطح الشعاع.

هذه المعلمات ليست بالضرورة ثوابت.

بالنسبة لحزمة مرنة خطية، متساوية الخواص، متجانسة ذات مقطع عرضي ثابت، يمكن دمج هاتين المعادلتين لإعطاء ^{[9] [10]}

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {EIm}{\kappa AG}}\right){\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q(x,t)+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}}$

اشتقاق معادلة شعاع تيموشينكو المركبة

المعادلات التي تحكم انحناء شعاع تيموشينكو المتجانس ذي المقطع العرضي الثابت هي ${\displaystyle {\begin{aligned}(1)&&\quad m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}&=\kappa AG~\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+q(x,t)~;~~m:=\rho A\\(2)&&\quad J~{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=EI~{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+\kappa AG~\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)~;~~J:=\rho I\end{aligned}}}$ من المعادلة (1)، بافتراض النعومة المناسبة، لدينا ${\displaystyle {\begin{aligned}(3)&&\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial x}}&={\cfrac {q}{\kappa AG}}-{\cfrac {m}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\\(4)&&\quad {\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x^{3}}}&={\frac {1}{\kappa AG}}{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}-{\frac {m}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}\\(5)&&\quad {\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x\partial t^{2}}}&={\frac {1}{\kappa AG}}{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\frac {m}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$ معادلة التفاضل (2) تعطي ${\displaystyle {\begin{aligned}(6)&&\quad J~{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x\partial t^{2}}}&=EI~{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x^{3}}}+\kappa AG~\left({\frac {\partial w^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)\end{aligned}}}$ عند استبدال المعادلة (3)، (4)، (5) في المعادلة (6) وإعادة ترتيبها، نحصل على ${\displaystyle {\begin{aligned}EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}}$

ومع ذلك، يمكن بسهولة إثبات أن هذه المعادلة غير صحيحة. ضع في اعتبارك الحالة التي يكون فيها q ثابتًا ولا يعتمد على x أو t، جنبًا إلى جنب مع وجود تخميد صغير، فإن جميع المشتقات الزمنية ستذهب إلى الصفر عندما يذهب t إلى ما لا نهاية. لا توجد حدود القص في هذا الموقف، مما يؤدي إلى نظرية شعاع أويلر-برنولي، حيث يتم إهمال تشوه القص.

تتنبأ معادلة تيموشينكو بتردد حرج بالنسبة للأوضاع الطبيعية، يمكن حل معادلة تيموشينكو. نظرًا لكونها معادلة من الدرجة الرابعة، فهناك أربعة حلول مستقلة، اثنان متذبذبان واثنان متلاشيان للترددات الأقل من . بالنسبة للترددات الأكبر من جميع الحلول تكون متذبذبة، ونتيجة لذلك، يظهر طيف ثانٍ. ^[11]${\displaystyle \omega _{C}=2\pi f_{c}={\sqrt {\frac {\kappa GA}{\rho I}}}.}$${\displaystyle f_{c}}$${\displaystyle f_{c}}$

إذا تم تحديد إزاحات الشعاع بواسطة

${\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=u_{0}(x,t)-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)}$

حيث يكون هناك إزاحة إضافية في الاتجاه -، فإن المعادلات الحاكمة لشعاع تيموشينكو تأخذ الشكل ${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}&={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)\\J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=N(x,t)~{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\end{aligned}}}$

حيث و هي قوة محورية مطبقة خارجيًا. أي قوة محورية خارجية يتم موازنةها بالإجهاد الناتج ${\displaystyle J=\rho I}$${\displaystyle N(x,t)}$

${\displaystyle N_{xx}(x,t)=\int _{-h}^{h}\sigma _{xx}~dz}$

حيث يكون الإجهاد المحوري وسمك الشعاع مفترضًا . ${\displaystyle \sigma _{xx}}$${\displaystyle 2h}$

معادلة الشعاع المدمجة مع تأثيرات القوة المحورية المضمنة هي

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}}$

إذا افترضنا، بالإضافة إلى القوى المحورية، وجود قوة تخميد تتناسب مع السرعة بالشكل

${\displaystyle \eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}}$

تأخذ معادلات التحكم المقترنة لشعاع تيموشينكو الشكل

${\displaystyle m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+\eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)}$

${\displaystyle J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=N{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)}$

وتصبح المعادلة المجمعة

${\displaystyle {\begin{aligned}EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}&+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+{\cfrac {J\eta (x)}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{3}w}{\partial t^{3}}}\\&-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}\right)+\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}}$

التحذير من قوة التخميد Ansatz هذه (التي تشبه اللزوجة) هو أنه في حين تؤدي اللزوجة إلى معدل تخميد يعتمد على التردد ولا يعتمد على السعة لتذبذبات الحزمة، فإن معدلات التخميد المقاسة تجريبياً غير حساسة للتردد، ولكنها تعتمد على سعة انحراف الحزمة.

إن تحديد معامل القص ليس بالأمر السهل (ولا يتم قبول القيم المحددة على نطاق واسع، أي أن هناك أكثر من إجابة واحدة)؛ وبشكل عام يجب أن يلبي:

${\displaystyle \int _{A}\tau dA=\kappa AG(\varphi -{\frac {\partial w}{\partial x}})}$.

يعتمد معامل القص على نسبة بواسون . وقد بذل العديد من العلماء محاولات لتوفير تعبيرات دقيقة، بما في ذلك ستيفن تيموشينكو ، ^[12] ريموند د. ميندلين ، ^[13] جي آر كوبر، ^[14] ، جي ​​آر، 1966، "معامل القص في نظرية شعاع تيموشينكو"، مجلة التطبيقات الميكانيكية، المجلد 33، العدد 2، ص 335-340. إن جي ستيفن، ^[15] جي آر هاتشينسون ^[16] وما إلى ذلك (انظر أيضًا اشتقاق نظرية شعاع تيموشينكو كنظرية شعاع مُحسَّنة تستند إلى الطريقة المقاربة المتغيرة في كتاب خان سي لي ^[17] مما يؤدي إلى معاملات قص مختلفة في الحالات الثابتة والديناميكية). في الممارسة الهندسية، تكون تعبيرات ستيفن تيموشينكو ^[18] كافية في معظم الحالات. في عام 1975، نشر كانيكو ^[19] مراجعة ممتازة للدراسات التي أجريت على معامل القص. وفي الآونة الأخيرة، أظهرت البيانات التجريبية الجديدة أن معامل القص أقل من قيمته الحقيقية. ^{[20] [21]}

معاملات القص التصحيحية للحزمة المتجانسة المتجانسة وفقًا لاختيار كوبر ^[14] .

المقطع العرضي	المعامل
	${\displaystyle {\frac {10(1+\nu )}{12+11\nu }}}$
	${\displaystyle {\frac {6(1+\nu )}{7+6\nu }}}$
	${\displaystyle {\frac {12(1+\nu )a^{2}(3a^{2}+b^{2})}{(40+37\nu )a^{4}+(16+10\nu )a^{2}b^{2}+\nu b^{4}}}}$
	${\displaystyle {\frac {1+\nu }{1.305+1.273\nu }}}$
	${\displaystyle {\frac {6(1+\nu )(1+m^{2})^{2}}{(7+6\nu )(1+m^{2})^{2}+(20+12\nu )m^{2}}}}$، أين${\displaystyle m={\frac {b}{a}}}$
	${\displaystyle {\frac {2(1+\nu )}{4+3\nu }}}$
	${\displaystyle {\frac {20(1+\nu )}{48+39\nu }}}$
	${\displaystyle {\frac {10(1+\nu )(1+3m)^{2}}{(12+72m+150m^{2}+90m^{3})+\nu (11+66m+135m^{2}+90m^{3})+10n^{2}((3+\nu )m+3m^{2})}}}$، أين و ${\displaystyle m={\frac {bt_{1}}{ht_{2}}}}$${\displaystyle n={\frac {b}{h}}}$
	${\displaystyle {\frac {10(1+\nu )(1+3m)^{2}}{(12+72m+150m^{2}+90m^{3})+\nu (11+66m+135m^{2}+90m^{3})+30n^{2}(m+m^{2})+5\nu n^{2}(8m+9m^{2})}}}$، أين و ${\displaystyle m={\frac {2bt_{1}}{ht_{2}}}}$${\displaystyle n={\frac {b}{h}}}$
	${\displaystyle {\frac {10(1+\nu )(1+4m)^{2}}{(12+96m+276m^{2}+192m^{3})+\nu (11+88m+248m^{2}+216m^{3})+30n^{2}(m+m^{2})+10\nu n^{2}(4m+5m^{2}+m^{3})}}}$، أين و ${\displaystyle m={\frac {bt_{1}}{ht_{2}}}}$${\displaystyle n={\frac {b}{h}}}$

أين نسبة بواسون؟ ${\displaystyle \nu }$

• نظرية الصفائح
• نظرية الساندويتش