معادلات ديراك ثنائية الجسم

في نظرية الحقل الكمومي ، وفي فرعيها المهمين: الديناميكا الكهربائية الكمومية (QED) والديناميكا اللونية الكمومية (QCD)، تُقدّم معادلات ديراك ثنائية الجسم (TBDE) للديناميكا المقيدة إعادة صياغة ثلاثية الأبعاد، ولكنها متغايرة بشكل واضح، لمعادلة بيث- سالبيتر ^{[ 1 ]} لجسيمين ذوي لف مغزلي 1/2 . هذه إعادة الصياغة ضرورية، لأنه بدونها، كما بيّن ناكانيشي ^{[ 2 ]،} تمتلك معادلة بيث-سالبيتر حلولًا ذات معيار سالب ناتجة عن وجود درجة حرية نسبية جوهرية، وهي الزمن النسبي. وقد أفسدت هذه الحالات "الوهمية" التفسير البسيط لمعادلة بيث-سالبيتر كمعادلة موجية ميكانيكية كمومية. وتُصحّح معادلات ديراك ثنائية الجسم للديناميكا المقيدة هذا الخلل. لا يمكن اشتقاق صيغ هذه المعادلات من نظرية الحقل الكمومي فحسب ^{[ 3 ] [ 4 ]،} بل يمكن اشتقاقها أيضًا في سياق ديناميكيات قيود ديراك ^{[ 5 ] [ 6 ]} والميكانيكا النسبية وميكانيكا الكم ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} . وعلى عكس معادلة ديراك ثنائية الجسم الأكثر شيوعًا لبريت ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} ، وهي معادلة واحدة، فإن بنيتها هي معادلتان موجيتان كموميتان نسبيتان متزامنتان. ويمكن اشتقاق معادلة ديراك ثنائية الجسم واحدة مشابهة لمعادلة بريت من معادلة ديراك ثنائية الجسم ^{[ 14 ]} . وعلى عكس معادلة بريت، فهي متغيرة بشكل واضح وخالية من أنواع التفردات التي تمنع المعالجة غير الاضطرابية الصارمة لمعادلة بريت. ^{[ 15 ]} في تطبيقات معادلة الطاقة الانتقالية (TBDE) على الديناميكا الكهربائية الكمية (QED)، يتفاعل الجسيمان عبر كمونات رباعية المتجهات مستمدة من التفاعلات الكهرومغناطيسية النظرية للمجال بينهما. أما في تطبيقات الديناميكا اللونية الكمية (QCD)، فيتفاعل الجسيمان عبر كمونات رباعية المتجهات وتفاعلات قياسية ثابتة لورنتز، مستمدة جزئيًا من التفاعلات الكرومومغناطيسية النظرية للمجال بين الكواركات، وجزئيًا من اعتبارات ظاهرية. وكما هو الحال في معادلة برايت، يُستخدم سبينور ذو ستة عشر مكونًا Ψ.

بالنسبة لنظرية الديناميكا الكهربائية الكمية، فإن لكل معادلة نفس بنية معادلة ديراك العادية لجسم واحد في وجود مجال كهرومغناطيسي خارجي ، معطاة بواسطة الجهد الرباعي${\displaystyle A_{\mu }}$في نظرية الكروموديناميكا الكمية، لكل معادلة نفس بنية معادلة ديراك العادية أحادية الجسم في وجود مجال خارجي مشابه للمجال الكهرومغناطيسي ومجال خارجي إضافي يُعطى بدلالة كمية قياسية ثابتة لورنتز.${\displaystyle S}$. بالوحدات الطبيعية : ^{[ 16 ]} تأخذ معادلات الجسمين الشكل التالي.

$$\begin{aligned}\left[(\gamma _{1})_{\mu }(p_{1}-{\tilde {A}}_{1})^{\mu }+m_{1}+{\tilde {S}}_{1}\right]\Psi &=0,\\[1ex]\left[(\gamma _{2})_{\mu }(p_{2}-{\tilde {A}}_{2})^{\mu }+m_{2}+{\tilde {S}}_{2}\right]\Psi &=0.\end{aligned}}}$$ حيث يمثل p ^μ في فضاء الإحداثيات الزخم الرباعي ، المرتبط بالتدرج الرباعي بالعلاقة التالية ( المقياس المستخدم هنا هو${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=(-1,1,1,1)}$) $${\displaystyle p^{\mu }=-i{\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}}$$ وγ و ^μ هما مصفوفتا غاما . تتميز معادلات ديراك ثنائية الجسم (TBDE) بخاصية أنه إذا أصبحت إحدى الكتلتين كبيرة جدًا، على سبيل المثال${\displaystyle m_{2}\rightarrow \infty }$ثم تتحول معادلة ديراك المكونة من 16 مكونًا إلى معادلة ديراك المكونة من 4 مكونات لجسم واحد للجسيم واحد في جهد خارجي.

بوحدات النظام الدولي للوحدات : $$\begin{aligned}\left[(\gamma _{1})_{\mu }(p_{1}-{\tilde {A}}_{1})^{\mu }+m_{1}c+{\tilde {S}}_{1}\right]\Psi &=0,\\[1ex]\left[(\gamma _{2})_{\mu }(p_{2}-{\tilde {A}}_{2})^{\mu }+m_{2}c+{\tilde {S}}_{2}\right]\Psi &=0.\end{aligned}}}$$ حيث c هي سرعة الضوء و $${\displaystyle p^{\mu }=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}}$$

سيتم استخدام الوحدات الطبيعية فيما يلي. يُستخدم رمز التلدة (~) فوق مجموعتي الكمونات للإشارة إلى احتمال وجود تبعيات إضافية لمصفوفة غاما غير موجودة في معادلة ديراك أحادية الجسم. أي ثوابت اقتران، مثل شحنة الإلكترون ، مُضمنة في الكمونات المتجهة.

يتطلب تطبيق ديناميكيات القيود على معادلة TBDE شكلاً خاصاً من الاتساق الرياضي: يجب أن يتبادل مؤثرا ديراك مع بعضهما البعض. وهذا أمر منطقي إذا نظرنا إلى المعادلتين على أنهما قيدان متوافقان على الدالة الموجية. (انظر المناقشة أدناه حول ديناميكيات القيود). إذا لم يتبادل المؤثران (كما هو الحال، على سبيل المثال، مع مؤثري الإحداثيات والزخم)${\displaystyle x,p}$عندئذٍ لن تكون القيود متوافقة (لا يمكن، على سبيل المثال، الحصول على دالة موجية تُحقق كلا الشرطين).${\displaystyle x\Psi =0}$و${\displaystyle p\Psi =0}$يؤدي هذا التناسق أو التوافق الرياضي إلى ثلاث خصائص مهمة لمعادلة طاقة اهتزاز النفق. أولها شرطٌ يُلغي الاعتماد على الزمن النسبي في إطار مركز الزخم (cm) المحدد بواسطة${\displaystyle P=p_{1}+p_{2}=(w,{\vec {0}})}$(المتغير)${\displaystyle w}$(هي الطاقة الكلية في إطار سنتيمتر). بعبارة أخرى، يتم التخلص من الزمن النسبي بطريقة متغيرة. على وجه الخصوص، لكي يتبادل المؤثران، يمكن أن تعتمد الكمونات العددية والكمونات المتجهة الرباعية على الإحداثيات النسبية.${\displaystyle x=x_{1}-x_{2}}$فقط من خلال مكونها${\displaystyle x_{\perp }}$متعامد مع${\displaystyle P}$في أي $${\displaystyle x_{\perp }^{\mu }=(\eta ^{\mu \nu }-P^{\mu }P^{\nu }/P^{2})x_{\nu },\,}$$$${\displaystyle P_{\mu }x_{\perp }^{\mu }=0.\,}$$

وهذا يعني أنه في إطار السنتيمتر${\displaystyle x_{\perp }=(0,{\vec {x}}={\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2})}$، والتي لا تحتوي على عنصر زمني.

ثانيًا، يُلغي شرط الاتساق الرياضي أيضًا الطاقة النسبية في إطار سم . ويتم ذلك بفرض بنية على كل مؤثر ديراك بحيث تؤدي، في توليفة معينة، إلى هذا الشكل المستقل عن التفاعل، مما يُلغي الطاقة النسبية بطريقة متغيرة. $${\displaystyle P\cdot p\Psi =(-P^{0}p^{0}+{\vec {P}}\cdot p)\Psi =0.\,}$$

في هذا التعبير${\displaystyle p}$هل الزخم النسبي له الشكل التالي؟${\displaystyle (p_{1}-p_{2})/2}$للكتل المتساوية. في إطار السنتيمتر (${\displaystyle P^{0}=w,{\vec {P}}={\vec {0}}}$)، عنصر الوقت${\displaystyle p^{0}}$وبالتالي، يتم التخلص من الزخم النسبي، أي الطاقة النسبية. بمعنى أن${\displaystyle p^{0}\Psi =0}$.

أما النتيجة الثالثة للاتساق الرياضي فهي أن كل من الكميات القياسية العالمية${\displaystyle {\tilde {S}}_{i}}$وأربعة متجهات${\displaystyle {\tilde {A}}_{i}^{\mu }}$يحتوي الجهد على حد ذي اعتماد ثابت على${\displaystyle \gamma _{1}}$و${\displaystyle \gamma _{2}}$بالإضافة إلى الأشكال المستقلة لمصفوفة جاما لـ${\displaystyle S_{i}}$و${\displaystyle A_{i}^{\mu }}$والتي تظهر في معادلة ديراك العادية لجسم واحد للكمونات العددية والمتجهة. تتوافق هذه الحدود الإضافية مع اعتماد إضافي على دوران الارتداد غير موجود في معادلة ديراك لجسم واحد، وتتلاشى عندما يصبح أحد الجسيمات ثقيلاً للغاية (ما يسمى بالحد الساكن).

نشأت ديناميكيات القيود من أعمال ديراك ^{[ 6 ]} وبيرغمان ^{[ 17 ]} . يوضح هذا القسم كيفية إزالة الزمن والطاقة النسبيين في نظام cm لنظام بسيط مكون من جسيمين نسبيين عديمي اللف المغزلي. طُبقت ديناميكيات القيود لأول مرة على نظام الجسيمين النسبيين الكلاسيكيين بواسطة تودوروف ^{[ 18 ] [ 19 ]} ، وكالب وفان ألستين ^{[ 20 ] [ 21 ]} ، وكومار ^{[ 22 ] [ 23 ]} ، ودروز-فينسنت ^{[ 24 ]} . باستخدام ديناميكيات القيود، وجد هؤلاء المؤلفون منهجًا متسقًا ومتغيرًا لميكانيكا هاميلتونية قانونية نسبية، يتجاوز أيضًا نظرية كوري-جوردان-سودارشان "انعدام التفاعل" ^{[ 25 ] [ 26 ]} . تنص هذه النظرية على أنه بدون حقول، لا يمكن الحصول على ديناميكيات هاميلتونية نسبية . وبالتالي، فإن نفس النهج ثلاثي الأبعاد المتغير الذي يسمح للنسخة الكمية من ديناميكيات القيد بإزالة الأشباح الكمومية ، يتجاوز في الوقت نفسه نظرية CJS على المستوى الكلاسيكي. لنفترض وجود قيد على متجهات الإحداثيات والزخم الأربعة المستقلة، مكتوبًا بالشكل التالي:${\displaystyle \phi _{i}(p,x)\approx 0}$الرمز${\displaystyle \approx 0}$يُطلق على هذا اسم المساواة الضعيفة، ويعني أن القيد لا يُفرض إلا بعد إجراء أي عمليات ضرورية على أقواس بواسون . في وجود مثل هذه القيود، يكون الهاميلتوني الكلي${\displaystyle {\mathcal {H}}}$يتم الحصول عليها من لاغرانجيان${\displaystyle {\mathcal {L}}}$بإضافة إلى تحول ليجندر الخاص به${\displaystyle (p{\dot {x}}-{\mathcal {L}})}$مجموع القيود مضروبًا في مجموعة مناسبة من معاملات لاغرانج${\displaystyle (\lambda _{i})}$. $${\displaystyle {\mathcal {H}}=p{\dot {x}}-{\mathcal {L}}+\lambda _{i}\phi _{i},}$$

يُطلق على هذا الهاميلتوني الكلي تقليديًا اسم هاميلتوني ديراك. وتنشأ القيود بشكل طبيعي من التأثيرات الثابتة للمعاملات من الشكل $${\displaystyle I=\int d\tau {\mathcal {L}}(\tau )=\int d\tau '{\frac {d\tau }{d\tau '}}{\mathcal {L}}(\tau )=\int d\tau '{\mathcal {L}}(\tau ').}$$

في حالة التفاعلات المتجهة الرباعية والتفاعلات العددية لورنتزية لجسيم واحد، يكون لاغرانجيان هو $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\tau )=-(m+S(x)){\sqrt {-{\dot {x}}^{2}}}+{\dot {x}}\cdot A(x)\,}$$

الزخم الكنسي هو $${\displaystyle p={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {(m+S(x)){\dot {x}}}{\sqrt {-{\dot {x}}^{2}}}}+A(x)}$$ وبالتربيع يؤدي ذلك إلى شرط غلاف الكتلة المعمم أو قيد غلاف الكتلة المعمم. $${\displaystyle (p-A)^{2}+(m+S)^{2}=0.\,}$$

بما أن هاميلتونيان ليجندر يختفي في هذه الحالة $${\displaystyle p\cdot {\dot {x}}-{\mathcal {L}}=0,\,}$$ إن هاميلتونيان ديراك هو ببساطة قيد الكتلة المعمم (بدون تفاعلات سيكون ببساطة قيد غلاف الكتلة العادي). $${\displaystyle {\mathcal {H}}=\lambda \left[\left(p-A\right)^{2}+(m+S)^{2}\right]\equiv \lambda (p^{2}+m^{2}+\Phi (x,p)).}$$

ثم يفترض المرء أن هاميلتونيان ديراك بالنسبة لجسمين هو مجموع قيدين من قيود غلاف الكتلة هذه. $${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}=p_{i}^{2}+m_{i}^{2}+\Phi _{i}(x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})\approx 0,\,}$$ إنه $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\lambda _{1}[p_{1}^{2}+m_{1}^{2}+\Phi _{1}(x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})]+\lambda _{2}[p_{2}^{2}+m_{2}^{2}+\Phi _{2}(x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})]\\[1ex]&=\lambda _{1}{\mathcal {H}}_{1}+\lambda _{2}{\mathcal {H}}_{2},\end{aligned}}}$$ وأن كل قيد${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}}$أن يكون ثابتًا في الوقت المناسب المرتبط بـ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$$${\displaystyle {\dot {\mathcal {H}}}_{i}=\{{\mathcal {H}}_{i},{\mathcal {H}}\}\approx 0\,}$$

هنا، تعني المساواة الضعيفة أن قوس بواسون يمكن أن ينتج عنه حدود تتناسب مع أحد القيود، ويتم تعريف أقواس بواسون الكلاسيكية لنظام الجسمين النسبي بواسطة $${\displaystyle \left\{O_{1},O_{2}\right\}={\frac {\partial O_{1}}{\partial x_{1}^{\mu }}}{\frac {\partial O_{2}}{\partial p_{1\mu }}}-{\frac {\partial O_{1}}{\partial p_{1}^{\mu }}}{\frac {\partial O_{2}}{\partial x_{1\mu }}}+{\frac {\partial O_{1}}{\partial x_{2}^{\mu }}}{\frac {\partial O_{2}}{\partial p_{2\mu }}}-{\frac {\partial O_{1}}{\partial p_{2}^{\mu }}}{\frac {\partial O_{2}}{\partial x_{2\mu }}}.}$$

ولرؤية عواقب جعل كل قيد ثابتًا للحركة، خذ، على سبيل المثال $${\displaystyle {\dot {\mathcal {H}}}_{1}=\{{\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {H}}\}=\lambda _{1}\{{\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {H}}_{1}\}+\{{\mathcal {H}}_{1},\lambda _{1}\}{\mathcal {H}}_{2}+\lambda _{2}\{{\mathcal {H}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}\}+\{\lambda _{2},{\mathcal {H}}_{1}\}{\mathcal {H}}_{2}.}$$

منذ${\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {H}}_{1}\}=0}$و${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\approx 0}$و${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}\approx 0}$يمتلك المرء $${\displaystyle {\dot {\mathcal {H}}}_{1}\approx \lambda _{2}\{{\mathcal {H}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}\}\approx 0.}$$

أبسط حل لهذه المشكلة هو $${\displaystyle \Phi _{1}=\Phi _{2}\equiv \Phi (x_{\perp })}$$ مما يؤدي إلى (لاحظ أن المساواة في هذه الحالة ليست مساواة ضعيفة بمعنى أنه لا يلزم فرض أي قيد بعد حساب قوس بواسون) $${\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}\}=0\,}$$ (انظر تودوروف، ^{[ 19 ]} وونغ وكريتر ^{[ 27 ]} ) بنفس الطريقة${\displaystyle x_{\perp }}$كما هو موضح أعلاه.

بالإضافة إلى استبدال المتغيرات الديناميكية الكلاسيكية بنظائرها الكمومية، يتم تكميم ميكانيكا القيود عن طريق استبدال القيد المفروض على المتغيرات الديناميكية بتقييد على الدالة الموجية. $${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}\approx 0\rightarrow {\mathcal {H}}_{i}\Psi =0,}$$$${\displaystyle {\mathcal {H}}\approx 0\rightarrow {\mathcal {H}}\Psi =0.}$$

تؤدي المجموعة الأولى من المعادلات، عندما i  =  1 أو  2، الدور نفسه الذي تؤديه معادلات ديراك للجسيمات عديمة اللف المغزلي بالنسبة للجسيمات ذات اللف المغزلي نصف. ويتم استبدال أقواس بواسون الكلاسيكية بمبدلات. $${\displaystyle \{O_{1},O_{2}\}\rightarrow {\frac {1}{i}}[O_{1},O_{2}].\,}$$

هكذا $${\displaystyle [{\mathcal {H}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}]=0,\,}$$ ونرى في هذه الحالة أن صيغة القيد تؤدي إلى تلاشي مبدل مؤثرات الموجة للجسيمين. وهذا يُشابه الادعاء المذكور سابقًا بأن مؤثرَي ديراك يتبادلان فيما بينهما.

يضمن تلاشي المبدل المذكور أعلاه أن تكون الديناميكيات مستقلة عن الزمن النسبي في إطار سم. ولإزالة الطاقة النسبية بشكل متغاير، يتم إدخال الزخم النسبي.${\displaystyle p}$محدد بواسطة

${\displaystyle p_{1}={\frac {p_{1}\cdot P}{P^{2}}}P+p\,,}$

1

${\displaystyle p_{2}={\frac {p_{2}\cdot P}{P^{2}}}P-p\,,}$

2

إن التعريف المذكور أعلاه للزخم النسبي يفرض تعامد الزخم الكلي والزخم النسبي. $${\displaystyle P\cdot p=0,}$$ وهذا ما ينتج عن أخذ الضرب القياسي لأي من المعادلتين مع${\displaystyle P}$انطلاقاً من المعادلتين ( 1 ) و( 2 )، يمكن كتابة هذا الزخم النسبي بدلالة${\displaystyle p_{1}}$و${\displaystyle p_{2}}$مثل $${\displaystyle p={\frac {\varepsilon _{2}}{\sqrt {-P^{2}}}}p_{1}-{\frac {\varepsilon _{1}}{\sqrt {-P^{2}}}}p_{2}}$$

أين $${\displaystyle \varepsilon _{1}=-{\frac {p_{1}\cdot P}{\sqrt {-P^{2}}}}=-{\frac {P^{2}+p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}}$$$${\displaystyle \varepsilon _{2}=-{\frac {p_{2}\cdot P}{\sqrt {-P^{2}}}}=-{\frac {P^{2}+p_{2}^{2}-p_{1}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}}$$ هي إسقاطات الزخم${\displaystyle p_{1}}$و${\displaystyle p_{2}}$على طول اتجاه الزخم الكلي${\displaystyle P}$. طرح القيدين${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\Psi =0}$و${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}\Psi =0}$، يعطي

${\displaystyle (p_{1}^{2}-p_{2}^{2})\Psi =-(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})\Psi }$

3

وهكذا في هذه الدول${\displaystyle \Psi }$$${\displaystyle \varepsilon _{1}\Psi ={\frac {-P^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}\Psi }$$$${\displaystyle \varepsilon _{2}\Psi ={\frac {-P^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}\Psi .}$$

المعادلة${\displaystyle {\mathcal {H}}\Psi =0}$يصف كلاً من الحركة بالسنتيمترات والحركة النسبية الداخلية. ولتوصيف الحركة الأولى، لاحظ أنه بما أن الجهد${\displaystyle \Phi }$يعتمد ذلك فقط على الفرق بين الإحداثيين $${\displaystyle [P,{\mathcal {H}}]\Psi =0.}$$

(هذا لا يتطلب ذلك)${\displaystyle [P,\lambda _{i}]=0}$منذ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}\Psi =0}$وبالتالي، فإن الزخم الكلي${\displaystyle P}$هو ثابت الحركة و${\displaystyle \Psi }$هي حالة ذاتية تتميز بزخم كلي${\displaystyle P'}$في نظام السنتيمتر${\displaystyle P'=(w,{\vec {0}}),}$مع${\displaystyle w}$مركز الطاقة الثابت للزخم (سم). وبالتالي،

${\displaystyle (P^{2}+w^{2})\Psi =0\,,}$

4

وهكذا${\displaystyle \Psi }$وهي أيضًا حالة ذاتية لمؤثرات طاقة سم لكل من الجسيمين، $${\displaystyle \varepsilon _{1}\Psi ={\frac {w^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2w}}\Psi }$$$${\displaystyle \varepsilon _{2}\Psi ={\frac {w^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2w}}\Psi .}$$

ثم يحقق الزخم النسبي ما يلي: $${\displaystyle p\Psi ={\frac {\varepsilon _{2}p_{1}-\varepsilon _{1}p_{2}}{w}}\Psi ,}$$ لهذا السبب. $${\displaystyle p_{1}\Psi =\left({\frac {\varepsilon _{1}}{w}}P+p\right)\Psi ,}$$$${\displaystyle p_{2}\Psi =\left({\frac {\varepsilon _{2}}{w}}P-p\right)\Psi ,}$$

تنتج مجموعة المعادلات المذكورة أعلاه من القيود${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}\Psi =0}$وتعريف الزخم النسبي الوارد في المعادلتين ( 1 ) و( 2 ). أما إذا اختار المرء تعريفًا آخر (للحصول على اختيار أكثر عمومية، انظر هورويتز)، ^{[ 28 ]}$${\displaystyle \varepsilon _{1}={\frac {w^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2w}},}$$$${\displaystyle \varepsilon _{2}={\frac {w^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2w}},}$$$${\displaystyle p={\frac {\varepsilon _{2}p_{1}-\varepsilon _{1}p_{2}}{w}},}$$ بغض النظر عن دالة الموجة، إذن

${\displaystyle p_{1}={\frac {\varepsilon _{1}}{w}}P+p,}$

5

${\displaystyle p_{2}={\frac {\varepsilon _{2}}{w}}P-p,}$

6

ومن السهل إثبات أن القيد في المعادلة ( 3 ) يؤدي مباشرة إلى:

${\displaystyle P\cdot p\Psi =0,}$

7

بدلاً من${\displaystyle P\cdot p=0}$يتوافق هذا مع الادعاء السابق بشأن تلاشي الطاقة النسبية في إطار cm، والذي تم تقديمه بالتزامن مع معادلة طاقة تفكك الرابطة (TBDE). في الخيار الثاني، لا تُعرَّف قيمة cm للطاقة النسبية على أنها صفر، بل تُستمد من قيود غلاف الكتلة المعممة الأصلية. المعادلات المذكورة أعلاه للزخم النسبي والزخم الرباعي المكون هي النظائر النسبية للمعادلات غير النسبية. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {p}}&={\frac {m_{2}{\vec {p}}_{1}-m_{1}{\vec {p}}_{2}}{M}},\\[1ex]{\vec {p}}_{1}&={\frac {m_{1}}{M}}{\vec {P}}+{\vec {p}},\\[1ex]{\vec {p}}_{2}&={\frac {m_{2}}{M}}{\vec {P}}-{\vec {p}}.\end{aligned}}}$$

باستخدام المعادلات ( 5 ) و( 6 ) و( 7 )، يمكن كتابة${\displaystyle {\mathcal {H}}}$من ناحية${\displaystyle P}$و${\displaystyle p}$

$${\displaystyle {\mathcal {H}}\Psi =\{\lambda _{1}[-\varepsilon _{1}^{2}+m_{1}^{2}+p^{2}+\Phi (x_{\perp })]+\lambda _{2}[-\varepsilon _{2}^{2}+m_{2}^{2}+p^{2}+\Phi (x_{\perp })]\}\Psi }$$

${\displaystyle =(\lambda _{1}+\lambda _{2})[-b^{2}(-P^{2};m_{1}^{2},m_{2}^{2})+p^{2}+\Phi (x_{\perp })]\Psi =0\,,}$

8

أين

$${\displaystyle b^{2}(-P^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})=\varepsilon _{1}^{2}-m_{1}^{2}=\varepsilon _{2}^{2}-m_{2}^{2}\ =-{\frac {1}{4P^{2}}}(P^{4}+2P^{2}(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2})\,.}$$

تحتوي المعادلة ( 8 ) على كل من الزخم الكلي${\displaystyle P}$[عبر${\displaystyle b^{2}(-P^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})}$والزخم النسبي${\displaystyle p}$باستخدام المعادلة ( 4 )، نحصل على معادلة القيم الذاتية

${\displaystyle (\lambda _{1}+\lambda _{2})\left\{p^{2}+\Phi (x_{\perp })-b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})\right\}\Psi =0\,,}$

9

لهذا السبب.${\displaystyle b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})}$تصبح دالة المثلث القياسية التي تعرض حركية الجسمين النسبية الدقيقة:

$${\displaystyle b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})={\frac {1}{4w^{2}}}\left\{w^{4}-2w^{2}(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}\right\}\,.}$$

مع مراعاة القيود المذكورة أعلاه في المعادلات ( 7 ) على${\displaystyle \Psi }$ثم${\displaystyle p^{2}\Psi =p_{\perp }^{2}\Psi }$أين${\displaystyle p_{\perp }=p-p\cdot PP/P^{2}}$وهذا يسمح بكتابة المعادلة ( 9 ) على شكل معادلة القيم الذاتية $${\displaystyle \{p_{\perp }^{2}+\Phi (x_{\perp })\}\Psi =b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})\Psi \,,}$$

تتميز هذه المعادلة ببنية مشابهة جدًا لبنية معادلة شرودنغر غير النسبية ثلاثية الأبعاد العادية . وهي معادلة متغيرة بشكل واضح، ولكن في الوقت نفسه، فإن بنيتها ثلاثية الأبعاد واضحة. المتجهات الرباعية${\displaystyle p_{\perp }^{\mu }}$و${\displaystyle x_{\perp }^{\mu }}$لا تحتوي إلا على ثلاثة مكونات مستقلة لأن $${\displaystyle P\cdot p_{\perp }=P\cdot x_{\perp }=0\,.}$$ يمكن توضيح التشابه مع البنية ثلاثية الأبعاد لمعادلة شرودنغر غير النسبية بشكل أكبر من خلال كتابة المعادلة في إطار سنتيمتر-متر الذي $${\displaystyle P=(w,{\vec {0}}),}$$$${\displaystyle p_{\perp }=(0,{\vec {p}}),}$$$${\displaystyle x_{\perp }=(0,{\vec {x}}).}$$

مقارنة الشكل الناتج

${\displaystyle \{{\vec {p}}^{2}+\Phi ({\vec {x}})\}\Psi =b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})\Psi \,,}$

10

باستخدام معادلة شرودنغر المستقلة عن الزمن

${\displaystyle \left({\vec {p}}^{2}+2\mu V({\vec {x}})\right)\Psi =2\mu E\Psi \,,}$

11

يجعل هذا التشابه واضحاً.

بنية محتملة للجهد شبه الكامن${\displaystyle \Phi }$يمكن إيجاد ذلك من خلال ملاحظة أن معادلة كلاين-غوردون أحادية الجسم${\displaystyle (p^{2}+m^{2})\psi =({\vec {p}}^{2}-\varepsilon ^{2}+m^{2})\psi =0}$يأخذ الشكل${\displaystyle ({\vec {p}}^{2}-\varepsilon ^{2}+m^{2}+2mS+S^{2}+2\varepsilon A-A^{2})\psi =0~}$عندما يتم إدخال تفاعل قياسي وتفاعل متجه زمني عبر${\displaystyle m\rightarrow m+S~}$و${\displaystyle \varepsilon \rightarrow \varepsilon -A}$في حالة الجسمين، تُظهر حجج منفصلة من النظرية الكلاسيكية ^{[ 29 ] [ 30 ]} ونظرية الحقل الكمومي ^{[ 4 ]} أنه عند تضمين التفاعلات القياسية والمتجهة في العالم، فإن${\displaystyle \Phi }$يعتمد على دالتين ثابتتين أساسيتين${\displaystyle S(r)}$و${\displaystyle A(r)}$من خلال شكل الجهد الثنائي الشبيه بجهد كلاين-غوردون بنفس البنية العامة، أي $${\displaystyle \Phi =2m_{w}S+S^{2}+2\varepsilon _{w}A-A^{2}.}$$ وتؤدي نظريات المجال هذه أيضًا إلى أشكال تعتمد على طاقة السنتيمتر. $${\displaystyle m_{w}=m_{1}m_{2}/w,}$$ و $${\displaystyle \varepsilon _{w}=(w^{2}-m_{1}^{2}-m_{2}^{2})/2w,}$$تلك التي قدمها تودودوف باعتبارها الكتلة المختزلة النسبية وطاقة الجسيم الفعالة لنظام ثنائي الجسم. على غرار ما يحدث في مسألة الجسمين غير النسبية، في الحالة النسبية، لدينا حركة هذا الجسيم الفعال كما لو كان في مجال خارجي (مولّد هنا بواسطة${\displaystyle S}$و${\displaystyle A}$المتغيران الحركيان${\displaystyle m_{w}}$و${\displaystyle \varepsilon _{w}}$ترتبط هذه العناصر ببعضها البعض وفقًا لشرط أينشتاين. $${\displaystyle \varepsilon _{w}^{2}-m_{w}^{2}=b^{2}(w),}$$ إذا أدخلنا المتجهات الرباعية، بما في ذلك تفاعل المتجهات${\displaystyle A^{\mu }}$$${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\varepsilon _{w}{\hat {P}}+p,}$$$${\displaystyle A^{\mu }={\hat {P}}^{\mu }A(r)}$$$${\displaystyle r={\sqrt {x_{\perp }^{2}}}\,,}$$ والتفاعل القياسي${\displaystyle S(r)}$ثم الشكل الكلاسيكي التالي للقيد الأدنى $${\displaystyle {\mathcal {H}}=\left({\mathfrak {p-}}A\right)^{2}+(m_{w}+S)^{2}\approx 0\,,}$$ يعيد إنتاج

${\displaystyle {\mathcal {H}}=p_{\perp }^{2}+\Phi -b^{2}\approx 0\,.}$

12

لاحظ أن التفاعل في هذا القيد "الجسيم المختزل" يعتمد على كميتين قياسيتين ثابتتين.${\displaystyle A(r)}$و${\displaystyle S(r)}$أحدهما يوجه التفاعل المتجهي الشبيه بالزمن والآخر التفاعل القياسي.

هل توجد مجموعة من معادلات كلاين-غوردون ثنائية الجسم مماثلة لمعادلات ديراك ثنائية الجسم؟ القيود النسبية الكلاسيكية المماثلة لمعادلات ديراك الكمومية ثنائية الجسم (التي نوقشت في المقدمة) والتي لها نفس بنية صيغة كلاين-غوردون أحادية الجسم المذكورة أعلاه هي $${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}=(p_{1}-A_{1})^{2}+(m_{1}+S_{1})^{2}=p_{1}^{2}+m_{1}^{2}+\Phi _{1}\approx 0}$$$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}=(p_{1}-A_{2})^{2}+(m_{2}+S_{2})^{2}=p_{2}^{2}+m_{2}^{2}+\Phi _{2}\approx 0,}$$$${\displaystyle p_{1}=\varepsilon _{1}{\hat {P}}+p;~~p_{2}=\varepsilon _{2}{\hat {P}}-p~.}$$ تحديد الهياكل التي تُظهر تفاعلات متجهة وقياسية شبيهة بالزمن $${\displaystyle \pi _{1}=p_{1}-A_{1}=[{\hat {P}}(\varepsilon _{1}-{\mathcal {A}}_{1})+p],}$$$${\displaystyle \pi _{2}=p_{2}-A_{2}=[{\hat {P}}(\varepsilon _{2}-{\mathcal {A}}_{1})-p],}$$$${\displaystyle M_{1}=m_{1}+S_{1},}$$$${\displaystyle M_{2}=m_{2}+S_{2},}$$ أعطِ $${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}=\pi _{1}^{2}+M_{1}^{2},}$$$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}=\pi _{2}^{2}+M_{2}^{2}.}$$ مهيب $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{1}&=\Phi _{2}\equiv \Phi (x_{\perp })\\&=-2p_{1}\cdot A_{1}+A_{1}^{2}+2m_{1}S_{1}+S_{1}^{2}\\&=-2p_{2}\cdot A_{2}+A_{2}^{2}+2m_{2}S_{2}+S_{2}^{2}\\&=2\varepsilon _{w}A-A^{2}+2m_{w}S+S^{2},\end{aligned}}}$$ وباستخدام القيد${\displaystyle P\cdot p\approx 0}$، يعيد إنتاج المعادلات ( 12 ) بشرط

$${\displaystyle \pi _{1}^{2}-p^{2}=-\left(\varepsilon _{1}-{\mathcal {A}}_{1}\right)^{2}=-\varepsilon _{1}^{2}+2\varepsilon _{w}A-A^{2},}$$

$${\displaystyle \pi _{2}^{2}-p^{2}=-\left(\varepsilon _{2}-{\mathcal {A}}_{2}\right)^{2}=-\varepsilon _{2}^{2}+2\varepsilon _{w}A-A^{2},}$$$${\displaystyle M_{1}{}^{2}=m_{1}^{2}+2m_{w}S+S^{2},}$$$${\displaystyle M_{2}^{2}=m_{2}^{2}+2m_{w}S+S^{2}.}$$ معادلات كلاين-غوردون المقابلة هي $${\displaystyle \left(\pi _{1}^{2}+M_{1}^{2}\right)\psi =0,}$$$${\displaystyle \left(\pi _{2}^{2}+M_{2}^{2}\right)\psi =0,}$$ وكل منهما، بسبب القيد${\displaystyle P\cdot p\approx 0,}$يعادل $${\displaystyle {\mathcal {H}}\psi =\left(p_{\perp }^{2}+\Phi -b^{2}\right)\psi =0.}$$

بالنسبة لنظام الجسمين، توجد أشكال عديدة للتفاعل المتغيرة. وأبسط طريقة للنظر إلى هذه الأشكال هي من منظور بنية مصفوفة غاما لرؤوس التفاعل المقابلة في مخططات تبادل الجسيمات المفردة. بالنسبة لتبادلات الكميات القياسية، وشبه القياسية، والمتجهة، وشبه المتجهة، والموترية، فإن بنية هذه المصفوفة هي على التوالي $${\displaystyle 1_{1}1_{2};\gamma _{51}\gamma _{52};\gamma _{1}^{\mu }\gamma _{2\mu };\gamma _{51}\gamma _{1}^{\mu }\gamma _{52}\gamma _{2\mu };\sigma _{1\mu \nu }\sigma _{2}^{\mu \nu },}$$ في أي $${\displaystyle \sigma _{i\mu \nu }={\frac {1}{2i}}[\gamma _{i\mu },\gamma _{i\nu }];i=1,2.}$$ إنّ الصيغة التي تُجسّد بسهولةٍ تفاعلاتٍ مُتلازمةٍ بين كلٍّ منها أو أيّ عددٍ منها هي الصيغة القطعية لمعادلة ديراك ثنائية الجسم. ^{[ 31 ]} في حالة التفاعلات العددية والمتجهة المُجتمعة، تُختزل هذه الصيغ في النهاية إلى تلك الواردة في المجموعة الأولى من المعادلات في هذه المقالة. تُسمى هذه المعادلات بالصيغ الشبيهة بالمجال الخارجي، لأنّ مظهرها يُشابه مظهر معادلة ديراك أحادية الجسم في وجود مجالاتٍ متجهةٍ وعدديةٍ خارجية.

أكثر الأشكال القطعية العامة لمركبات ثنائي الفينيل متعدد الكلور المتوافقة هي $${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}\psi =(\cosh(\Delta )\mathbf {S} _{1}+\sinh(\Delta )\mathbf {S} _{2})\psi =0,}$$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}\psi =(\cosh(\Delta )\mathbf {S} _{2}+\sinh(\Delta )\mathbf {S} _{1})\psi =0,}$

13

أين${\displaystyle \Delta }$يمثل أي تفاعل ثابت منفردًا أو مجتمعًا. وله بنية مصفوفية بالإضافة إلى اعتماده على الإحداثيات. وبناءً على نوع هذه البنية المصفوفية، يكون التفاعل إما قياسيًا، أو شبه قياسي، أو متجهًا، أو شبه متجه، أو موترًا. المؤثرات${\displaystyle \mathbf {S} _{1}}$و${\displaystyle \mathbf {S} _{2}}$هي قيود مساعدة تحقق $${\displaystyle \mathbf {S} _{1}\psi \equiv ({\mathcal {S}}_{10}\cosh(\Delta )+{\mathcal {S}}_{20}\sinh(\Delta )~)\psi =0,}$$

${\displaystyle \mathbf {S} _{2}\psi \equiv ({\mathcal {S}}_{20}\cosh(\Delta )+{\mathcal {S}}_{10}\sinh(\Delta )~)\psi =0,}$

14

حيث${\displaystyle {\mathcal {S}}_{i0}}$هي عوامل ديراك الحرة

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{i0}={\frac {i}{\sqrt {2}}}\gamma _{5i}(\gamma _{i}\cdot p_{i}+m_{i})=0,}$

15

وهذا بدوره يؤدي إلى شرطي التوافق $${\displaystyle \lbrack {\mathcal {S}}_{1},{\mathcal {S}}_{2}]\psi =0,}$$ و $${\displaystyle \lbrack \mathbf {S} _{1},\mathbf {S} _{2}]\psi =0,}$$ بشرط أن${\displaystyle \Delta =\Delta (x_{\perp }).}$لا تقيد شروط التوافق هذه بنية مصفوفة جاما لـ${\displaystyle \Delta }$يتم تحديد بنية المصفوفة هذه بنوع بنية الرأس-الرأس المدمجة في التفاعل. بالنسبة لنوعي التفاعلات الثابتة${\displaystyle \Delta }$تم التأكيد في هذه المقالة على أنهم $${\displaystyle \Delta _{\mathcal {L}}(x_{\perp })=-1_{1}1_{2}{\frac {{\mathcal {L}}(x_{\perp })}{2}}{\mathcal {O}}_{1},{\text{scalar}},}$$$${\displaystyle \Delta _{\mathcal {G}}(x_{\perp })=\gamma _{1}\cdot \gamma _{2}{\frac {{\mathcal {G}}(x_{\perp })}{2}}{\mathcal {O}}_{1},{\text{vector}},}$$$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{1}=-\gamma _{51}\gamma _{52}.}$$

للتفاعلات العامة المستقلة بين الكميات العددية والمتجهة $${\displaystyle \Delta (x_{\perp })=\Delta _{\mathcal {L}}+\Delta _{\mathcal {G}}.}$$ إن التفاعل المتجهي المحدد بواسطة بنية المصفوفة أعلاه لتفاعل يشبه الكهرومغناطيسية سيتوافق مع مقياس فاينمان.

إذا أدخلنا المعادلة ( 14 ) في المعادلة ( 13 ) وأضفنا مؤثر ديراك الحر ( 15 ) إلى يمين دوال القطع الزائد المصفوفية واستخدمنا مبدلات ومضادات مصفوفة جاما القياسية و${\displaystyle \cosh ^{2}\Delta -\sinh ^{2}\Delta =1}$يصل المرء إلى${\displaystyle \left(\partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }\right),}$$${\displaystyle {\big (}G\gamma _{1}\cdot {\mathcal {P}}_{2}-E_{1}\beta _{1}+M_{1}-G{\frac {i}{2}}\Sigma _{2}\cdot \partial ({\mathcal {L}}\beta _{2}-{\mathcal {G}}\beta _{1})\gamma _{52}{\big )}\psi =0,}$$

${\displaystyle {\big (}-G\gamma _{2}\cdot {\mathcal {P}}_{1}-E_{2}\beta _{2}+M_{2}+G{\frac {i}{2}}\Sigma _{1}\cdot \partial ({\mathcal {L}}\beta _{1}-{\mathcal {G}}\beta _{2})\gamma _{51}{\big )}\psi =0,}$

16

في أي $${\displaystyle G=\exp {\mathcal {G}},}$$$${\displaystyle \beta _{i}=-\gamma _{i}\cdot {\hat {P}},}$$$${\displaystyle \gamma _{i\perp }^{\mu }=(\eta ^{\mu \nu }+{\hat {P}}^{\mu }{\hat {P}}^{\nu })\gamma _{\nu i},}$$$${\displaystyle \Sigma _{i}=\gamma _{5i}\beta _{i}\gamma _{\perp i},}$$$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}\equiv p_{\perp }-{\frac {i}{2}}\Sigma _{i}\cdot \partial {\mathcal {G}}\Sigma _{i}\,,\quad i=1,2.}$$ إن البنية (المتغيرة) لهذه المعادلات مماثلة لتلك الخاصة بمعادلة ديراك لكل من الجسيمين، مع${\displaystyle M_{i}}$و${\displaystyle E_{i}}$لعب الأدوار التي${\displaystyle m+S}$و${\displaystyle \varepsilon -A}$do في معادلة ديراك للجسيم الواحد $${\displaystyle (\mathbf {\gamma } \cdot \mathbf {p-} \beta (\varepsilon -A)+m+S)\psi =0.}$$ بالإضافة إلى الجزء الحركي المعتاد${\displaystyle \gamma _{1}\cdot p_{\perp }}$وأجزاء الجهد المتجه والقياسي الشبيهة بالزمن، والتعديلات المعتمدة على الدوران التي تتضمن${\displaystyle \Sigma _{i}\cdot \partial {\mathcal {G}}\Sigma _{i}}$أما المجموعة الأخيرة من حدود المشتقات فهي تأثيرات ارتداد الجسمين، وهي غائبة في معادلة ديراك للجسم الواحد، لكنها ضرورية لتوافق (اتساق) معادلات الجسمين. وترتبط هذه التأثيرات بما يُعرف بثوابت الرؤوس.${\displaystyle {\mathcal {L}},{\mathcal {G}}}$وإمكانات الكتلة والطاقة${\displaystyle M_{i},E_{i}}$نكون $${\displaystyle M_{1}=m_{1}\cosh {\mathcal {L}}+m_{2}\sinh {\mathcal {L}},}$$$${\displaystyle M_{2}=m_{2}\cosh {\mathcal {L}}+m_{1}\sinh {\mathcal {L}},}$$$${\displaystyle E_{1}=\varepsilon _{1}\cosh {\mathcal {G}}-\varepsilon _{2}\sinh {\mathcal {G}},}$$$${\displaystyle E_{2}=\varepsilon _{2}\cosh {\mathcal {G}}-\varepsilon _{1}\sinh {\mathcal {G}}.}$$ بمقارنة المعادلة ( 16 ) مع المعادلة الأولى في هذه المقالة، نجد أن التفاعلات المتجهة المعتمدة على اللف المغزلي هي $${\displaystyle {\tilde {A}}_{1}^{\mu }={\big (}(\varepsilon _{1}-E_{1}){\big )}{\hat {P}}^{\mu }+(1-G)p_{\perp }^{\mu }-{\frac {i}{2}}\partial G\cdot \gamma _{2}\gamma _{2}^{\mu },}$$$${\displaystyle A_{2}^{\mu }={\big (}(\varepsilon _{2}-E_{2}){\big )}{\hat {P}}^{\mu }-(1-G)p_{\perp }^{\mu }+{\frac {i}{2}}\partial G\cdot \gamma _{1}\gamma _{1}^{\mu },}$$ لاحظ أن الجزء الأول من الكمونات المتجهة زمني (موازٍ لـ${\displaystyle {\hat {P}}^{\mu })}$بينما الجزء التالي يشبه الفضاء (عمودي على${\displaystyle {\hat {P}}^{\mu })}$الكمونات العددية المعتمدة على اللف المغزلي${\displaystyle {\tilde {S}}_{i}}$نكون $${\displaystyle {\tilde {S}}_{1}=M_{1}-m_{1}-{\frac {i}{2}}G\gamma _{2}\cdot \partial {\mathcal {L}},}$$$${\displaystyle {\tilde {S}}_{2}=M_{2}-m_{2}+{\frac {i}{2}}G\gamma _{1}\cdot \partial {\mathcal {L}}.}$$

المعلمات لـ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$و${\displaystyle {\mathcal {G}}}$يستفيد هذا النموذج من صيغ الجهد الخارجي الفعال لتودوروف (كما هو موضح في القسم السابق حول معادلات كلاين غوردون ثنائية الجسم)، ويعرض في الوقت نفسه الصيغة الحدية الساكنة الصحيحة لاختزال باولي إلى صيغة شبيهة بمعادلة شرودنغر. يرتبط اختيار هذه المعاملات (كما هو الحال مع معادلات كلاين غوردون ثنائية الجسم) ارتباطًا وثيقًا بنظريات الحقول الكلاسيكية أو الكمومية للتفاعلات العددية والمتجهة المنفصلة. وهذا يعني العمل في مقياس فاينمان بأبسط علاقة بين الأجزاء المكانية والزمانية للتفاعل المتجه. أما كمونات الكتلة والطاقة فهي على التوالي $${\displaystyle M_{i}^{2}=m_{i}^{2}+\exp(2{\mathcal {G}})(2m_{w}S+S^{2}),}$$$${\displaystyle E_{i}^{2}=\exp(2{\mathcal {G}}(A))\left(\varepsilon _{i}-A\right)^{2},}$$ لهذا السبب. $${\displaystyle \exp {\mathcal {L}}=\exp({\mathcal {L}}(S,A))={\frac {M_{1}+M_{2}}{m_{1}+m_{2}}},}$$$${\displaystyle G=\exp {\mathcal {G}}=\exp({\mathcal {G}}(A))={\sqrt {\frac {1}{(1-2A/w)}}}.}$$

يمكن تطبيق معادلة طاقة تفكك الرابطة (TBDE) بسهولة على أنظمة ثنائية الجسيمات مثل البوزيترونيوم ، والميونيوم ، والذرات الشبيهة بالهيدروجين ، والكواركونيوم ، ونظام النيوكليونين . ^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]} تقتصر هذه التطبيقات على جسيمين فقط، ولا تشمل إنشاء أو إفناء جسيمات أخرى. فهي تقتصر على العمليات المرنة. ونظرًا للارتباط بين الكمونات المستخدمة في معادلة طاقة تفكك الرابطة ونظرية المجال الكمومي المقابلة، يمكن دمج أي تصحيح إشعاعي لأدنى رتبة من التفاعل في هذه الكمونات. ولفهم كيفية حدوث ذلك، قارن بكيفية حساب سعات التشتت بدون نظرية المجال الكمومي. فبدون نظرية المجال الكمومي، يجب التوصل إلى الكمونات من خلال حجج كلاسيكية أو اعتبارات ظاهرية. وبمجرد الحصول على الكمون${\displaystyle V}$بين جسيمين، يمكن حساب سعة التشتت${\displaystyle T}$من معادلة ليبمان-شفينغر ^{[ 35 ]}$${\displaystyle T+V+VGT=0,}$$ في أي${\displaystyle G}$هي دالة غرين مُحددة من معادلة شرودنغر. ونظرًا للتشابه بين معادلة شرودنغر (المعادلة 11 ) ومعادلة القيد النسبي (المعادلة 10 )، يُمكن اشتقاق معادلة من نفس النوع المذكور أعلاه. $${\displaystyle {\mathcal {T}}+\Phi +\Phi {\mathcal {G}}{\mathcal {T}}=0,}$$ تُسمى معادلة شبه الجهد مع${\displaystyle {\mathcal {G}}}$يشبه هذا إلى حد كبير ما ورد في معادلة ليبمان-شفينجر. والفرق هو أنه في معادلة شبه الجهد، يبدأ المرء بسعات التشتت.${\displaystyle {\mathcal {T}}}$في نظرية الحقل الكمومي، كما هو محدد من مخططات فاينمان، يتم استنتاج الجهد شبه الكموني Φ بطريقة اضطرابية. بعد ذلك، يمكن استخدام Φ في ( 10 ) لحساب مستويات الطاقة لنظامين من الجسيمات التي تشير إليها نظرية الحقل. توفر ديناميكيات القيد أحد أنواع معادلات الجهد شبه الكموني العديدة، بل عدد لا نهائي منها (اقتطاعات ثلاثية الأبعاد لمعادلة بيث-سالبيتر)، والتي تختلف عن بعضها البعض باختيار${\displaystyle {\mathcal {G}}}$[ ^{36 ]} إن الحل البسيط نسبيًا لمشكلة الزمن والطاقة النسبية من قيد غلاف الكتلة المعمم لجسيمين، ليس له امتداد بسيط، كما هو معروض هنا ^مع${\displaystyle x_{\perp }}$متغير، إما لجسيمين في مجال خارجي ^{[ 37 ]} أو لثلاثة جسيمات أو أكثر. قدم سازدجيان وصفة لهذا التوسع عندما تكون الجسيمات محصورة ولا يمكنها الانقسام إلى مجموعات من عدد أقل من الجسيمات دون تفاعلات بين المجموعات ^{[ 38 ].} طورت لوسانا نهجًا لا يتضمن قيود غلاف الكتلة المعممة، والذي يمتد إلى N جسمًا مع أو بدون مجالات. تتم صياغته على أسطح فائقة مكانية، وعند تقييده على عائلة المستويات الفائقة المتعامدة مع الزخم الزمني الكلي، فإنه يؤدي إلى صياغة متغيرة جوهرية أحادية الزمن (بدون متغيرات زمنية نسبية) تسمى "الشكل اللحظي للإطار الساكن" للديناميكيات ^{[ 39 ] [ 40 ].}