تحول ليجندر

يترك${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ليكن فاصلاً زمنياً ، و${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$دالة محدبة ؛ ثم تحويل ليجندر لـ${\displaystyle f}$هي الوظيفة${\displaystyle f^{*}:I^{*}\to \mathbb {R} }$محدد بواسطة $${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in I}(x^{*}xf(x)),\ \ \ \ I^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R}$$ :\sup _{x\in I}(x^{*}xf(x))<\infty \right\}} حيث${\textstyle \sup }$يشير إلى القيمة العليا على${\displaystyle I}$على سبيل المثال،${\textstyle x}$في${\textstyle I}$يتم اختيارها بحيث${\textstyle x^{*}xf(x)}$يتم الوصول إلى أقصى قيمة عند كل${\textstyle x^{*}}$، أو${\textstyle x^{*}}$بحيث${\displaystyle x^{*}xf(x)}$لها قيمة محدودة في جميع أنحاء${\textstyle I}$(على سبيل المثال، عندما)${\displaystyle f(x)}$(دالة خطية).

الوظيفة${\displaystyle f^{*}}$تُسمى الدالة المرافقة المحدبة لـ${\displaystyle f}$لأسباب تاريخية (متجذرة في الميكانيكا التحليلية)، يُشار غالبًا إلى المتغير المرافق بـ${\displaystyle p}$، بدلاً من${\displaystyle x^{*}}$إذا كانت الدالة محدبة${\displaystyle f}$إذا كانت الدالة معرفة على الخط بأكمله وقابلة للتفاضل في كل مكان ، فإن $${\displaystyle f^{*}(p)=\sup _{x\in I}(px-f(x))=\left(px-f(x)\right)|_{x=(f')^{-1}(p)}}$$ يمكن تفسير ذلك على أنه عكس الـ${\displaystyle y}$نقطة تقاطع الخط المماس للرسم البياني مع المحور السيني${\displaystyle f}$ذلك له ميل${\displaystyle p}$.

التعميم للدوال المحدبة${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$على مجموعة محدبة${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$الأمر بسيط:${\displaystyle f^{*}:X^{*}\to \mathbb {R} }$له نطاق $${\displaystyle X^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x))<\infty \right\}}$$ ويتم تعريفه بواسطة $${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x)),\quad x^{*}\in X^{*}~,}$$ أين${\displaystyle \langle x^{*},x\rangle }$يرمز إلى حاصل الضرب النقطي لـ${\displaystyle x^{*}}$و${\displaystyle x}$.

يُعد تحويل ليجندر تطبيقًا لعلاقة الازدواجية بين النقاط والخطوط. وتُحدد العلاقة الوظيفية بواسطة${\displaystyle f}$يمكن تمثيلها بشكل جيد بنفس القدر كمجموعة من${\displaystyle (x,y)}$النقاط، أو كمجموعة من الخطوط المماسية المحددة بقيم ميلها وقيم تقاطعها.

لدالة محدبة قابلة للتفاضل${\displaystyle f}$على خط الأعداد الحقيقية مع المشتقة الأولى${\displaystyle f'}$وعكسه${\displaystyle (f')^{-1}}$، تحويل ليجندر لـ${\displaystyle f}$،${\displaystyle f^{*}}$يمكن تحديدها، حتى ثابت إضافي، بشرط أن تكون المشتقات الأولى للدوال دوالًا عكسية لبعضها البعض، أي${\displaystyle f'=((f^{*})')^{-1}}$و${\displaystyle (f^{*})'=(f')^{-1}}$.

لتوضيح ذلك، لاحظ أولاً أنه إذا${\displaystyle f}$بما أن الدالة المحدبة على خط الأعداد الحقيقية قابلة للتفاضل،${\displaystyle {\overline {x}}}$تُعد نقطة حاسمة في وظيفة${\displaystyle x\mapsto p\cdot x-f(x)}$ثم يتم تحقيق القيمة العليا عند${\textstyle {\overline {x}}}$(بسبب التحدب، انظر الشكل الأول في صفحة ويكيبيديا هذه). لذلك، فإن تحويل ليجاندر لـ${\displaystyle f}$يكون${\displaystyle f^{*}(p)=p\cdot {\overline {x}}-f({\overline {x}})}$.

ثم، لنفترض أن المشتقة الأولى${\displaystyle f'}$هي قابلة للعكس، وليكن معكوسها${\displaystyle g=(f')^{-1}}$ثم لكل${\textstyle p}$النقطة${\displaystyle g(p)}$هي النقطة الحرجة الفريدة${\textstyle {\overline {x}}}$من الوظيفة${\displaystyle x\mapsto px-f(x)}$(أي،${\displaystyle {\overline {x}}=g(p)}$) لأن${\displaystyle f'(g(p))=p}$والمشتقة الأولى للدالة بالنسبة إلى${\displaystyle x}$في${\displaystyle g(p)}$يكون${\displaystyle p-f'(g(p))=0}$وبالتالي لدينا${\displaystyle f^{*}(p)=p\cdot g(p)-f(g(p))}$لكل${\textstyle p}$عن طريق التفاضل بالنسبة إلى${\textstyle p}$، نجد $${\displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)+p\cdot g'(p)-f'(g(p))\cdot g'(p).}$$ منذ${\displaystyle f'(g(p))=p}$وهذا يتبسط إلى${\displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)=(f')^{-1}(p)}$. بعبارة أخرى،${\displaystyle (f^{*})'}$و${\displaystyle f'}$هما معكوسان لبعضهما البعض .

بشكل عام، إذا${\displaystyle h'=(f')^{-1}}$كعكس${\displaystyle f',}$ثم${\displaystyle h'=(f^{*})'}$لذا فإن التكامل يعطي${\displaystyle f^{*}=h+c}$، أين${\displaystyle c}$ثابت.

من الناحية العملية، بالنظر إلى${\displaystyle f(x),}$الرسم البياني البارامتري لـ${\displaystyle xf'(x)-f(x)}$عكس${\displaystyle f'(x)}$يُعادل ذلك الرسم البياني لـ${\displaystyle f^{*}(p)}$عكس${\displaystyle p.}$

في بعض الحالات (مثل الكمونات الديناميكية الحرارية، أدناه)، يتم استخدام شرط غير قياسي، وهو ما يرقى إلى تعريف بديل لـ f * مع علامة سالبة . $${\displaystyle f(x)-f^{*}(p)=xp.}$$

في الميكانيكا التحليلية والديناميكا الحرارية ، يُعرَّف تحويل ليجندر عادةً على النحو التالي: لنفترض${\displaystyle f}$هي وظيفة من${\displaystyle x}$ثم لدينا

$${\displaystyle df={\frac {df}{dx}}dx.}$$

إجراء تحويل ليجندر على هذه الدالة يعني أننا نأخذ${\displaystyle p={\frac {df}{dx}}}$باعتبار المتغير المستقل، بحيث يمكن كتابة التعبير أعلاه على النحو التالي

$${\displaystyle df=p\,dx,}$$

ووفقًا لقاعدة المنتج${\displaystyle d(uv)=u\,dv+v\,du,}$ثم لدينا

$${\displaystyle d\left(xp-f\right)=x\,dp+p\,dx-df=x\,dp,}$$

وأخذ${\displaystyle f^{*}=xp-f,}$لدينا${\displaystyle df^{*}=x\,dp,}$وهذا يعني

$${\displaystyle {\frac {df^{*}}{dp}}=x.}$$

متى${\displaystyle f}$هي وظيفة من${\displaystyle n}$المتغيرات${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$ثم يمكننا إجراء تحويل ليجندر على كل متغير أو عدة متغيرات: لدينا

$${\displaystyle df=p_{1}\,dx_{1}+p_{2}\,dx_{2}+\cdots +p_{n}\,dx_{n},}$$

أين${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}.}$ثم إذا أردنا إجراء تحويل ليجندر على، على سبيل المثال${\displaystyle x_{1}}$ثم نأخذ${\displaystyle p_{1}}$مع${\displaystyle x_{2},\cdots ,x_{n}}$كمتغيرات مستقلة، وباستخدام قاعدة لايبنتز لدينا

$${\displaystyle d(x_{1}p_{1}-f)=x_{1}\,dp_{1}-p_{2}\,dx_{2}-\cdots -p_{n}\,dx_{n}.}$$

لذلك بالنسبة للوظيفة${\displaystyle \varphi (p_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=x_{1}p_{1}-f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}),}$لدينا

$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial p_{1}}}=x_{1},\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}=-p_{2},\quad \cdots ,\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}=-p_{n}.}$$

يمكننا أيضًا إجراء هذا التحويل للمتغيرات${\displaystyle x_{2},\cdots ,x_{n}}$إذا قمنا بذلك لجميع المتغيرات، فسنحصل على

$${\displaystyle d\varphi =x_{1}\,dp_{1}+x_{2}\,dp_{2}+\cdots +x_{n}\,dp_{n}}$$أين${\displaystyle \varphi =x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots +x_{n}p_{n}-f.}$

في الميكانيكا التحليلية، يقوم الناس بإجراء هذا التحويل على المتغيرات.${\displaystyle {\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\cdots ,{\dot {q}}_{n}}$من لاغرانجيان${\displaystyle L(q_{1},\cdots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\cdots ,{\dot {q}}_{n})}$للحصول على الهاميلتوني :

$${\displaystyle H(q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L(q_{1},\cdots ,q_{n},{\dot {q}}_{1}\cdots ,{\dot {q}}_{n}).}$$

في الديناميكا الحرارية، يُطبق هذا التحويل على المتغيرات وفقًا لنوع النظام الديناميكي الحراري المطلوب؛ على سبيل المثال، بدءًا من دالة الحالة الأساسية لتمثيل الطاقة، الطاقة الداخلية${\displaystyle U(S,V)}$لدينا

$${\displaystyle dU=T\,dS-p\,dV,}$$

لذا يمكننا إجراء تحويل ليجندر على أحدهما أو كليهما${\displaystyle S,V}$للاستسلام

$${\displaystyle {\begin{aligned}dH&=d(U+pV)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ \ \ \ T\,dS+V\,dp\\dF&=d(U-TS)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-S\,dT-p\,dV\\dG&=d(U-TS+pV)=-S\,dT+V\,dp,\end{aligned}}}$$

ولكل من هذه التعبيرات الثلاثة معنى مادي.

هذا التعريف لتحويل ليجاندر هو التعريف الذي قدمه ليجاندر في عمله عام 1787، ^{[ 1 ]} ولا يزال الفيزيائيون يستخدمونه حتى اليوم. في الواقع، هذا التعريف دقيق رياضيًا إذا تعاملنا مع جميع المتغيرات والدوال المحددة أعلاه (على سبيل المثال،${\displaystyle f,x_{1},\cdots ,x_{n},p_{1},\cdots ,p_{n},}$) كدوال قابلة للتفاضل معرفة على مجموعة مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$أو على مشعب قابل للتفاضل ، و${\displaystyle df,dx_{i},dp_{i}}$تفاضلاتهم (التي تُعامل كمتجهات مماسية مشتركة في سياق المشعبات التفاضلية). هذا التعريف مكافئ لتعريف علماء الرياضيات المعاصرين طالما أن${\displaystyle f}$قابلة للتفاضل ومحدبة بالنسبة للمتغيرات${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}.}$

لنفترض الدالة الأسية${\displaystyle f(x)=e^{x},}$والذي يمتلك النطاق${\displaystyle I=\mathbb {R} }$من التعريف، فإن تحويل ليجندر هو $${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in \mathbb {R} }(x^{*}x-e^{x}),\quad x^{*}\in I^{*}}$$ أين${\displaystyle I^{*}}$لم يتم تحديد ذلك بعد. لتقييم القيمة العليا ، احسب مشتقة${\displaystyle x^{*}x-e^{x}}$بالنسبة إلى${\displaystyle x}$وتعيينها مساوية للصفر: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{*}x-e^{x})=x^{*}-e^{x}=0.}$$المشتقة الثانية${\displaystyle -e^{x}}$تكون سالبة في كل مكان، لذا يتم تحقيق القيمة القصوى عند${\displaystyle x=\ln(x^{*})}$وبالتالي، فإن تحويل ليجاندر هو $${\displaystyle f^{*}(x^{*})=x^{*}\ln(x^{*})-e^{\ln(x^{*})}=x^{*}(\ln(x^{*})-1)}$$ وله نطاق${\displaystyle I^{*}=(0,\infty ).}$يوضح هذا أن نطاقات الدالة وتحويل ليجندر الخاص بها يمكن أن تكون مختلفة.

لإيجاد تحويل ليجاندر لتحويل ليجاندر لـ${\displaystyle f}$، $${\displaystyle f^{**}(x)=\sup _{x^{*}\in \mathbb {R} }(xx^{*}-x^{*}(\ln(x^{*})-1)),\quad x\in I,}$$ حيث متغير${\displaystyle x}$يتم استخدامها عمداً كوسيط للدالة${\displaystyle f^{**}}$لإظهار خاصية الانعكاس لتحويل ليجندر كما يلي${\displaystyle f^{**}=f}$نقوم بالحساب $${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {d}{dx^{*}}}{\big (}xx^{*}-x^{*}(\ln(x^{*})-1){\big )}=x-\ln(x^{*})\end{aligned}}}$$ وبالتالي تحدث القيمة القصوى عند${\displaystyle x^{*}=e^{x}}$لأن المشتقة الثانية${\displaystyle {\frac {d^{2}}{{dx^{*}}^{2}}}f^{**}(x)=-{\frac {1}{x^{*}}}<0}$على نطاق${\displaystyle f^{**}}$مثل${\displaystyle I^{*}=(0,\infty ).}$نتيجة ل،${\displaystyle f^{**}}$يُعثر عليه على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{**}(x)&=xe^{x}-e^{x}(\ln(e^{x})-1)=e^{x},\end{aligned}}}$$ وبذلك يؤكد ذلك${\displaystyle f=f^{**},}$كما هو متوقع.

ليكن f ( x ) = cx ² معرفًا على R ، حيث c > 0 ثابت ثابت.

بالنسبة لـ x * ثابت، فإن دالة x ، x * x − f ( x ) = x * x − cx ² لها المشتقة الأولى x * − 2 cx والمشتقة الثانية −2 c ؛ هناك نقطة ثابتة واحدة عند x = x */2 c ، وهي دائمًا قيمة عظمى.

وبالتالي فإن I * = R و $${\displaystyle f^{*}(x^{*})={\frac {{x^{*}}^{2}}{4c}}~.}$$

المشتقات الأولى للدالة f ، وهي 2cx ، وللدالة f * ، وهي x */( 2c ) ، هي دوال عكسية لبعضها البعض. ومن الواضح، علاوة على ذلك، $${\displaystyle f^{**}(x)={\frac {1}{4(1/4c)}}x^{2}=cx^{2}~,}$$ أي أن f ** = f .

ليكن f ( x ) = x ² لـ x ∈ ( I = [2, 3]) .

عندما تكون قيمة x * ثابتة، فإن الدالة x * x − f ( x ) متصلة على مجموعة الأعداد الصحيحة المدمجة ، وبالتالي تأخذ دائمًا قيمة عظمى محدودة عليها؛ ويترتب على ذلك أن مجال تحويل ليجاندر لـ${\displaystyle f}$هل I * = R .

النقطة الثابتة عند x = x */2 (التي تم إيجادها بوضع أن المشتقة الأولى لـ x * x − f ( x ) بالنسبة إلى${\displaystyle x}$تكون الدالة (x*) في المجال [2, 3] إذا وفقط إذا كان 4 ≤ x * ≤ 6. وإلا، فإن القيمة العظمى تُؤخذ إما عند x = 2 أو x = 3 لأن المشتقة الثانية لـ x * - f ( x ) بالنسبة إلى x* تساوي صفرًا .${\displaystyle x}$سالب لأن${\displaystyle -2}$؛ لجزء من المجال${\displaystyle x^{*}<4}$الحد الأقصى الذي يمكن أن تأخذه x * x − f ( x ) بالنسبة إلى${\displaystyle x\in [2,3]}$يتم الحصول عليها من${\displaystyle x=2}$بينما لـ${\displaystyle x^{*}>6}$يبلغ الحد الأقصى عند${\displaystyle x=3}$وبالتالي، يترتب على ذلك أن $${\displaystyle f^{*}(x^{*})={\begin{cases}2x^{*}-4,&x^{*}<4\\{\frac {{x^{*}}^{2}}{4}},&4\leq x^{*}\leq 6,\\3x^{*}-9,&x^{*}>6.\end{cases}}}$$

الدالة f ( x ) = cx محدبة، لكل قيمة لـ x (لا يُشترط التحدب التام لكي يكون تحويل ليجاندر مُعرَّفًا جيدًا). ​​من الواضح أن x * x - f ( x ) = ( x * - c ) x غير محدودة من الأعلى كدالة لـ x ، إلا إذا كان x * - c = 0. بالتالي، فإن f * مُعرَّفة على I * = { c } و f *( c ) = 0. ( يتطلب تعريف تحويل ليجاندر وجود الحد الأعلى ، الذي يتطلب بدوره حدودًا عليا).

يمكن التحقق من خاصية الانعكاس: بالطبع، x * x − f *( x *) محدودة دائمًا كدالة لـ x *∈{ c } ، وبالتالي I ** = R. إذن، لكل x لدينا $${\displaystyle \sup _{x^{*}\in \{c\}}(xx^{*}-f^{*}(x^{*}))=xc,}$$ وبالتالي فإن f **( x ) = cx = f ( x ) .

كمثال على دالة محدبة متصلة غير قابلة للتفاضل في كل مكان، انظر${\displaystyle f(x)=|x|}$وهذا يعطي$${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x}(xx^{*}-|x|)=\max \left(\sup _{x\geq 0}x(x^{*}-1),\,\sup _{x\leq 0}x(x^{*}+1)\right),}$$وبالتالي${\displaystyle f^{*}(x^{*})=0}$على نطاقها${\displaystyle I^{*}=[-1,1]}$.

يترك $${\displaystyle f(x)=\langle x,Ax\rangle +c}$$ يتم تعريفها على X = R ⁿ ، حيث A هي مصفوفة حقيقية موجبة محددة.

إذن، الدالة f محدبة، و $${\displaystyle \langle p,x\rangle -f(x)=\langle p,x\rangle -\langle x,Ax\rangle -c,}$$ له تدرج p − 2 Ax و Hessian −2 A ، وهو سالب؛ وبالتالي فإن النقطة الثابتة x = A ⁻¹ p /2 هي قيمة عظمى.

لدينا X * = R ⁿ ، و $${\displaystyle f^{*}(p)={\frac {1}{4}}\langle p,A^{-1}p\rangle -c.}$$

يُستخدم تحويل ليجندر في الميكانيكا الكلاسيكية لاشتقاق الصيغة الهاميلتونية من الصيغة اللاغرانجية ، والعكس صحيح. تأخذ الصيغة اللاغرانجية النموذجية الشكل التالي:

$${\displaystyle L(v,q)={\tfrac {1}{2}}\langle v,Mv\rangle -V(q),}$$ أين${\displaystyle (v,q)}$هي إحداثيات على R ⁿ × R ⁿ ، و M مصفوفة حقيقية موجبة التحديد، و $${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{j}x_{j}y_{j}.}$$

لكل قيمة ثابتة لـ q ،${\displaystyle L(v,q)}$هي دالة محدبة لـ${\displaystyle v}$، بينما${\displaystyle V(q)}$يلعب دور الثابت.

ومن هنا جاء تحويل ليجاندر لـ${\displaystyle L(v,q)}$كدالة لـ${\displaystyle v}$هي دالة هاميلتونية، $${\displaystyle H(p,q)={\tfrac {1}{2}}\langle p,M^{-1}p\rangle +V(q).}$$

في سياق أعم،${\displaystyle (v,q)}$هي إحداثيات محلية على حزمة المماس${\displaystyle T{\mathcal {M}}}$من مشعب${\displaystyle {\mathcal {M}}}$لكل قيمة q ،${\displaystyle L(v,q)}$هي دالة محدبة للفضاء المماسي V _q . ويعطي تحويل ليجندر دالة هاميلتون.${\displaystyle H(p,q)}$كدالة لإحداثيات ( p ، q ) حزمة الظل التمام${\displaystyle T^{*}{\mathcal {M}}}$يُستمدّ الضرب الداخلي المستخدم لتعريف تحويل ليجندر من البنية التبسيطية المتعارف عليها . في هذا السياق المجرد، يتوافق تحويل ليجندر مع الشكل التبسيطي الأحادي التكراري .

تعتمد استراتيجية استخدام تحويلات ليجندر في الديناميكا الحرارية على تحويل دالة تعتمد على متغير إلى دالة جديدة (مترافقة) تعتمد على متغير جديد، وهو مترافق الدالة الأصلية. المتغير الجديد هو المشتق الجزئي للدالة الأصلية بالنسبة إلى المتغير الأصلي. الدالة الجديدة هي الفرق بين الدالة الأصلية وحاصل ضرب المتغيرين القديم والجديد. عادةً ما يكون هذا التحويل مفيدًا لأنه ينقل اعتماد الطاقة، على سبيل المثال، من متغير شامل إلى متغيره المكثف المترافق، والذي غالبًا ما يسهل التحكم فيه في التجارب الفيزيائية.

على سبيل المثال، الطاقة الداخلية U هي دالة صريحة للمتغيرات الشاملة : الإنتروبيا S ، والحجم V ، والتركيب الكيميائي Ni ₍ على سبيل المثال،${\displaystyle i=1,2,3,\ldots }$) $${\displaystyle U=U\left(S,V,\{N_{i}\}\right),}$$ والذي له تفاضل كلي $${\displaystyle dU=T\,dS-P\,dV+\sum \mu _{i}\,dN_{i}}$$

أين${\displaystyle T=\left.{\frac {\partial U}{\partial S}}\right\vert _{V,N_{i{\text{ for all }}i{\text{ values}}}},P=\left.-{\frac {\partial U}{\partial V}}\right\vert _{S,N_{i\ {\text{for all }}i{\text{ values}}}},\mu _{i}=\left.{\frac {\partial U}{\partial N_{i}}}\right\vert _{S,V,N_{j{\text{ for all }}j\neq i}}}$.

(لا تُعد الرموز السفلية ضرورية بحسب تعريف المشتقات الجزئية، ولكنها تُترك هنا لتوضيح المتغيرات.) بافتراض حالة مرجعية مشتركة، وباستخدام تحويل ليجندر (غير القياسي) للطاقة الداخلية U بالنسبة للحجم V ، يمكن الحصول على المحتوى الحراري H على النحو التالي.

للحصول على تحول ليجندر (القياسي)${\textstyle U^{*}}$دالة الطاقة الداخلية U بالنسبة للحجم V${\textstyle u\left(p,S,V,\{{{N}_{i}}\}\right)=pV-U}$يتم تعريفها أولاً، ثم يتم تعظيمها أو تحديدها بواسطة V. وللقيام بذلك، الشرط${\textstyle {\frac {\partial u}{\partial V}}=p-{\frac {\partial U}{\partial V}}=0\to p={\frac {\partial U}{\partial V}}}$يجب تلبية ذلك، لذلك${\textstyle U^{*}={\frac {\partial U}{\partial V}}V-U}$يتم الحصول على ذلك. هذا النهج مبرر لأن U دالة خطية بالنسبة إلى V (وبالتالي دالة محدبة على V ) بحسب تعريف المتغيرات الشاملة . يتم الحصول على تحويل ليجندر غير القياسي هنا عن طريق عكس الصيغة القياسية، لذا${\textstyle -U^{*}=H=U-{\frac {\partial U}{\partial V}}V=U+PV}$.

H هي بالتأكيد دالة حالة ، حيث يتم الحصول عليها عن طريق إضافة PV ( حيث P و V متغيرات حالة ) إلى دالة حالة${\textstyle U=U\left(S,V,\{N_{i}\}\right)}$لذا فإن تفاضلها هو تفاضل تام . بسبب${\textstyle dH=T\,dS+V\,dP+\sum \mu _{i}\,dN_{i}}$وحقيقة أنه يجب أن يكون تفاضلاً تاماً،${\displaystyle H=H(S,P,\{N_{i}\})}$.

يُعد المحتوى الحراري مناسبًا لوصف العمليات التي يتم فيها التحكم في الضغط من المحيط.

من الممكن أيضًا تحويل اعتماد الطاقة من متغير الإنتروبيا الشامل، S ، إلى المتغير المكثف T (الأكثر ملاءمة في كثير من الأحيان) ، مما ينتج عنه طاقة هيلمهولتز الحرة وطاقة جيبس ​​الحرة . تُحسب طاقة هيلمهولتز الحرة A وطاقة جيبس ​​الحرة G بإجراء تحويلات ليجندر للطاقة الداخلية والمحتوى الحراري، على التوالي. $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=U-TS~,\\G&=H-TS=U+PV-TS~.\end{aligned}}}$$

غالباً ما تكون طاقة هيلمهولتز الحرة هي الجهد الديناميكي الحراري الأكثر فائدة عندما يتم التحكم في درجة الحرارة والحجم من المحيط، بينما تكون طاقة جيبس ​​الحرة هي الأكثر فائدة عندما يتم التحكم في درجة الحرارة والضغط من المحيط.

كمثال آخر من الفيزياء ، لنفترض مكثفًا ذا لوحين موصلين متوازيين ، حيث يمكن للوحين أن يتحركا بالنسبة لبعضهما البعض. يسمح هذا المكثف بنقل الطاقة الكهربائية المخزنة فيه إلى شغل ميكانيكي خارجي، يُبذل بفعل القوة المؤثرة على اللوحين. يمكن تشبيه الشحنة الكهربائية بشحنة غاز في أسطوانة ، مع القوة الميكانيكية الناتجة المؤثرة على مكبس .

احسب القوة المؤثرة على الصفيحتين كدالة لـ x ، وهي المسافة التي تفصل بينهما. لإيجاد القوة، احسب طاقة الوضع، ثم طبق تعريف القوة على أنها تدرج دالة طاقة الوضع.

طاقة الوضع الكهروستاتيكية المخزنة في مكثف سعته C ( x ) وشحنة كهربائية موجبة + Q أو شحنة سالبة -Q على كل لوح موصل هي (باستخدام تعريف السعة كـ${\textstyle C={\frac {Q}{V}}}$)

$${\displaystyle U(Q,\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}QV(Q,\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}{\frac {Q^{2}}{C(\mathbf {x} )}},~}$$

حيث يتم استخلاص الاعتماد على مساحة الألواح، وثابت العزل الكهربائي لمادة العزل بين الألواح، والمسافة الفاصلة x، في السعة C ( x ) . (بالنسبة لمكثف ذي لوحين متوازيين، تتناسب هذه السعة طرديًا مع مساحة الألواح وعكسيًا مع المسافة الفاصلة بينها).

تكون القوة F بين الصفيحتين نتيجة للمجال الكهربائي الناتج عن فصل الشحنات هي $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-{\frac {dU}{d\mathbf {x} }}~.}$$

إذا لم يكن المكثف موصولاً بأي دائرة كهربائية، فإن الشحنات الكهربائية على اللوحين تظل ثابتة ويتغير الجهد عندما يتحرك اللوحين بالنسبة لبعضهما البعض، وتكون القوة هي التدرج السالب لطاقة الوضع الكهروستاتيكية .$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}{\frac {Q^{2}}{{C(\mathbf {x} )}^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}V(\mathbf {x} )^{2}}$$

أين${\textstyle V(Q,\mathbf {x} )=V(\mathbf {x} )}$لأن الشحنة ثابتة في هذا التكوين.

لكن، لنفترض بدلاً من ذلك أن الجهد بين اللوحين V يظل ثابتًا أثناء حركة اللوح عن طريق توصيله ببطارية ، وهي خزان للشحنات الكهربائية عند فرق جهد ثابت. عندئذٍ، تكون كمية الشحنات${\textstyle Q}$هو متغير بدلاً من الجهد؛${\textstyle Q}$و${\textstyle V}$هي مترافقة ليجندر. لإيجاد القوة، احسب أولاً تحويل ليجندر غير القياسي${\textstyle U^{*}}$بالنسبة إلى${\textstyle Q}$(أيضًا مع استخدام${\textstyle C={\frac {Q}{V}}}$)

$${\displaystyle U^{*}=U-\left.{\frac {\partial U}{\partial Q}}\right|_{\mathbf {x} }\cdot Q=U-{\frac {1}{2C(\mathbf {x} )}}\left.{\frac {\partial Q^{2}}{\partial Q}}\right|_{\mathbf {x} }\cdot Q=U-QV={\frac {1}{2}}QV-QV=-{\frac {1}{2}}QV=-{\frac {1}{2}}V^{2}C(\mathbf {x} ).}$$

هذا التحول ممكن لأن${\textstyle U}$أصبحت الآن دالة خطية لـ${\textstyle Q}$لذا فهي محدبة عليها. تصبح القوة الآن هي التدرج السالب لتحويل ليجندر هذا، مما ينتج عنه نفس القوة التي تم الحصول عليها من الدالة الأصلية.${\textstyle U}$، $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-{\frac {dU^{*}}{d\mathbf {x} }}={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}V^{2}.}$$

الطاقتان المترافقتان${\textstyle U}$و${\textstyle U^{*}}$تتقابل قيمتا الشحنة (إشاراتهما متعاكسة) بسبب خطية السعة الكهربائية ، إلا أن قيمة Q لم تعد ثابتة. وتعكس هاتان القيمتان مسارين مختلفين لتخزين الطاقة في المكثف، مما ينتج عنه، على سبيل المثال، نفس قوة التجاذب بين لوحي المكثف.

في نظرية الانحرافات الكبيرة ، تُعرَّف دالة المعدل بأنها تحويل ليجندر للوغاريتم دالة توليد العزوم لمتغير عشوائي. ومن أهم تطبيقات دالة المعدل حساب احتمالات الذيل لمجاميع المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع ، ولا سيما في نظرية كرامر .

لو${\displaystyle X_{n}}$هي متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع، ولتكن${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}}$ليكن المسار العشوائي المرتبط و${\displaystyle M(\xi )}$دالة توليد العزوم لـ${\displaystyle X_{1}}$. ل${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$،${\displaystyle E[e^{\xi S_{n}}]=M(\xi )^{n}}$وبالتالي، وفقًا لمتباينة ماركوف ، يكون لدينا لـ${\displaystyle \xi \geq 0}$و${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$$${\displaystyle P(S_{n}/n>a)\leq e^{-n\xi a}M(\xi )^{n}=\exp[-n(\xi a-\Lambda (\xi ))]}$$ أين${\displaystyle \Lambda (\xi )=\log M(\xi )}$بما أن الجانب الأيسر مستقل عن${\displaystyle \xi }$، يمكننا أن نأخذ الحد الأدنى للطرف الأيمن، مما يدفع المرء إلى النظر في الحد الأعلى لـ${\displaystyle \xi a-\Lambda (\xi )}$أي، تحويل ليجاندر لـ${\displaystyle \Lambda }$، تم تقييمها في${\displaystyle x=a}$.

ينشأ تحويل ليجندر بشكل طبيعي في الاقتصاد الجزئي في عملية إيجاد العرض S ( P ) لمنتج ما بالنظر إلى سعر ثابت P في السوق مع العلم بدالة التكلفة C ( Q ) ، أي تكلفة المنتج لإنتاج/استخراج/إلخ. Q وحدة من المنتج المحدد.

تُفسر نظرية بسيطة شكل منحنى العرض بالاعتماد فقط على دالة التكلفة. لنفترض أن سعر السوق لوحدة واحدة من منتجنا هو P. بالنسبة لشركة تبيع هذا المنتج، فإن أفضل استراتيجية هي تعديل الإنتاج Q لتحقيق أقصى ربح. يمكننا تحقيق أقصى ربح. $${\displaystyle {\text{profit}}={\text{revenue}}-{\text{costs}}=PQ-C(Q)}$$ عن طريق الاشتقاق بالنسبة إلى Q وحل $${\displaystyle P-C'(Q_{\text{opt}})=0.}$$

يمثل Q _opt الكمية المثلى Q من السلع التي يرغب المنتج في توريدها، وهي في الواقع العرض نفسه: $${\displaystyle S(P)=Q_{\text{opt}}(P)=(C')^{-1}(P).}$$

إذا اعتبرنا الربح الأقصى دالةً للسعر،${\displaystyle {\text{profit}}_{\text{max}}(P)}$نلاحظ أنها تحويل ليجندر لدالة التكلفة${\displaystyle C(Q)}$.