مساحة موحدة

يُكيّف هذا التعريف عرض الفضاء الطوبولوجي من حيث أنظمة الجوار . مجموعة غير فارغة${\displaystyle \Phi }$من مجموعات فرعية من${\displaystyle X\times X}$هوبنية موحدة (أوالتوحيد ) إذا استوفى البديهيات التالية:

1. لو${\displaystyle U\in \Phi }$ثم${\displaystyle \Delta \subseteq U,}$أين${\displaystyle \Delta =\{(x,x):x\in X\}}$هل القطر على${\displaystyle X\times X.}$
2. لو${\displaystyle U\in \Phi }$و${\displaystyle U\subseteq V\subseteq X\times X}$ثم${\displaystyle V\in \Phi .}$
3. لو${\displaystyle U\in \Phi }$و${\displaystyle V\in \Phi }$ثم${\displaystyle U\cap V\in \Phi .}$
4. لو${\displaystyle U\in \Phi }$ثم هناك بعض${\displaystyle V\in \Phi }$بحيث${\displaystyle V\circ V\subseteq U}$، أين${\displaystyle V\circ V}$يشير إلى المركب من${\displaystyle V}$مع نفسها. مجموعة من مجموعتين فرعيتين${\displaystyle V}$و${\displaystyle U}$ل${\displaystyle X\times X}$يتم تعريفها بواسطة$${\displaystyle V\circ U=\{(x,z)~:~{\text{ there exists }}y\in X\,{\text{ such that }}\,(x,y)\in U\wedge (y,z)\in V\,\}.}$$
5. لو${\displaystyle U\in \Phi }$ثم${\displaystyle U^{-1}\in \Phi ,}$أين${\displaystyle U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\}}$هو عكس​${\displaystyle U.}$

عدم فراغ${\displaystyle \Phi }$وبالنظر إلى البندين (2) و(3) معاً، فإن ذلك ينص على أن${\displaystyle \Phi }$هو فلتر على${\displaystyle X\times X.}$إذا تم حذف الخاصية الأخيرة، فإننا نسمي الفراغشبه منتظم . عنصر${\displaystyle U}$ل${\displaystyle \Phi }$يُطلق عليه اسمالمنطقة المجاورة أوكلمة entourage مشتقة منالفرنسيةالتي تعنيالمحيط.

يكتب المرء عادة${\displaystyle U[x]=\{y:(x,y)\in U\}=\operatorname {pr} _{2}(U\cap (\{x\}\times X)\,),}$أين${\displaystyle U\cap (\{x\}\times X)}$المقطع العرضي الرأسي لـ${\displaystyle U}$و${\displaystyle \operatorname {pr} _{2}}$هو الإسقاط المتعارف عليه على الإحداثي الثاني. على الرسم البياني، يتم رسم المحيط النموذجي على شكل بقعة تحيط بـ "${\displaystyle y=x}$"قطري؛ جميع الأنواع المختلفة${\displaystyle U[x]}$تشكل هذه الأشكال المقاطع العرضية الرأسية. إذا${\displaystyle (x,y)\in U}$ثم يقول أحدهم ذلك${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$نكون${\displaystyle U}$-إغلاق . وبالمثل، إذا كانت جميع أزواج النقاط في مجموعة فرعية${\displaystyle A}$ل${\displaystyle X}$نكون${\displaystyle U}$-إغلاق (أي، إذا${\displaystyle A\times A}$موجود في${\displaystyle U}$)${\displaystyle A}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle U}$- صغير . حاشية${\displaystyle U}$يكونمتناظر إذا${\displaystyle (x,y)\in U}$متى بالضبط${\displaystyle (y,x)\in U}$أو ما يعادل ذلك، إذا${\displaystyle U^{-1}=U}$تنص البديهية الأولى على أن كل نقطة هي${\displaystyle U}$- قريب من نفسه لكل حاشية${\displaystyle U.}$تضمن البديهية الثالثة أن يكون المرء "كلاهما"${\displaystyle U}$-أغلق و${\displaystyle V}$"-قريب" هو أيضًا علاقة تقارب في التوحيد. تنص البديهية الرابعة على أنه لكل حاشية${\displaystyle U}$هناك حاشية${\displaystyle V}$أي "ليس أكبر من نصف الحجم". وأخيرًا، تنص البديهية الأخيرة على أن خاصية "التقارب" بالنسبة لبنية موحدة متناظرة في${\displaystyle x}$و${\displaystyle y.}$

أقاعدة الحاشية أوالنظام الأساسي للمحيطات (أوالمناطق المجاورة) ذات التماثل${\displaystyle \Phi }$أي مجموعة${\displaystyle {\mathcal {B}}}$من حاشية${\displaystyle \Phi }$بحيث يكون كل حاشية من${\displaystyle \Phi }$يحتوي على مجموعة تنتمي إلى${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$وبالتالي، وفقًا للخاصية 2 المذكورة أعلاه، فإن النظام الأساسي للمجموعات المحيطة${\displaystyle {\mathcal {B}}}$يكفي لتحديد التجانس${\displaystyle \Phi }$بشكل لا لبس فيه:${\displaystyle \Phi }$هي مجموعة المجموعات الجزئية من${\displaystyle X\times X}$التي تحتوي على مجموعة من${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$كل مساحة منتظمة لها نظام أساسي من المرافق يتكون من مرافق متناظرة.

يُمكن فهم مفهوم الانتظام من خلال مثال الفضاءات المترية : إذا${\displaystyle (X,d)}$هو فضاء متري، والمجموعات $${\displaystyle U_{a}=\{(x,y)\in X\times X:d(x,y)\leq a\}\quad {\text{where}}\quad a>0}$$ تشكل نظامًا أساسيًا من المرافق للهيكل الموحد القياسي لـ${\displaystyle X.}$ثم${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$نكون${\displaystyle U_{a}}$-يغلق تمامًا عندما تكون المسافة بين${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$هو على الأكثر${\displaystyle a.}$

التوحيد${\displaystyle \Phi }$أدق من أي توحيد آخر${\displaystyle \Psi }$على نفس المجموعة إذا${\displaystyle \Phi \supseteq \Psi$ في هذه الحالة${\displaystyle \Psi }$يقال إنه أكثر خشونة من${\displaystyle \Phi .}$

يمكن تعريف الفضاءات المنتظمة بشكل بديل ومكافئ باستخدام أنظمة القياسات الزائفة ، وهو نهج مفيد بشكل خاص في التحليل الوظيفي (حيث يتم توفير القياسات الزائفة بواسطة المعايير شبهية ). بتعبير أدق، ليكن${\displaystyle f:X\times X\to \mathbb {R} }$ليكن مقياسًا زائفًا على مجموعة${\displaystyle X.}$الصور المعكوسة${\displaystyle U_{a}=f^{-1}([0,a])}$ل${\displaystyle a>0}$يمكن إثبات أنها تشكل نظامًا أساسيًا من محيطات متجانسة. التجانس الناتج عن${\displaystyle U_{a}}$هل التوحيد المحدد بواسطة المقياس الزائف الواحد${\displaystyle f.}$يُطلق بعض المؤلفين على الفضاءات التي تُعرَّف طوبولوجيتها من حيث القياسات الزائفة اسم فضاءات القياس .

للعائلة​${\displaystyle \left(f_{i}\right)}$من المقاييس الزائفة على${\displaystyle X,}$يمثل الهيكل الموحد المحدد بواسطة العائلة الحد الأعلى الأدنى للهياكل الموحدة المحددة بواسطة المقاييس الزائفة الفردية${\displaystyle f_{i}.}$يتم توفير نظام أساسي من محيطات هذا التوحيد من خلال مجموعة التقاطعات المحدودة لمحيطات التوحيدات المحددة بواسطة المقاييس الزائفة الفردية.${\displaystyle f_{i}.}$إذا كانت عائلة المقاييس الزائفة محدودة ، فيمكن ملاحظة أن نفس البنية المنتظمة يتم تعريفها بواسطة مقياس زائف واحد ، وهو الغلاف العلوي.${\displaystyle \sup _{}f_{i}}$من العائلة.

وبشكل أقل وضوحًا، يمكن إثبات أن البنية المنتظمة التي تقبل نظامًا أساسيًا قابلًا للعد من المرافق (وبالتالي، على وجه الخصوص، الانتظام المحدد بواسطة عائلة قابلة للعد من المقاييس الزائفة) يمكن تعريفها بواسطة مقياس زائف واحد. ويترتب على ذلك أنه يمكن تعريف أي بنية منتظمة على النحو المذكور أعلاه بواسطة عائلة (قد تكون غير قابلة للعد) من المقاييس الزائفة (انظر بورباكي: الطوبولوجيا العامة، الفصل التاسع، القسم 1، رقم 4).

مساحة موحدة${\displaystyle (X,\Theta )}$هي مجموعة${\displaystyle X}$مجهزة بمجموعة متميزة من الأغطية${\displaystyle \Theta ,}$تُسمى "الأغطية الموحدة"، وهي مستمدة من مجموعة أغطية${\displaystyle X,}$تشكل هذه العناصر مرشحًا عند ترتيبها حسب دقة النجوم. ويقول أحدهم إن الغطاء${\displaystyle \mathbf {P} }$هو تحسين مميز للغطاء${\displaystyle \mathbf {Q} ,}$مكتوب${\displaystyle \mathbf {P} <^{*}\mathbf {Q} ,}$إذا لكل${\displaystyle A\in \mathbf {P} ,}$يوجد${\displaystyle U\in \mathbf {Q} }$بحيث إذا${\displaystyle A\cap B\neq \varnothing ,B\in \mathbf {P} ,}$ثم${\displaystyle B\subseteq U.}$بشكل بديهي، فإن شرط كون الشيء مرشحًا يختزل إلى:

1. ${\displaystyle \{X\}}$هو غطاء موحد (أي،${\displaystyle \{X\}\in \Theta }$).
2. لو${\displaystyle \mathbf {P} <^{*}\mathbf {Q} }$مع${\displaystyle \mathbf {P} }$غطاء موحد و${\displaystyle \mathbf {Q} }$غلاف${\displaystyle X,}$ثم${\displaystyle \mathbf {Q} }$وهو أيضاً غطاء موحد.
3. لو${\displaystyle \mathbf {P} }$و${\displaystyle \mathbf {Q} }$إذا كانت الأغطية موحدة، فهناك غطاء موحد${\displaystyle \mathbf {R} }$هذا النجم يُحسّن كليهما${\displaystyle \mathbf {P} }$و${\displaystyle \mathbf {Q} }$

بافتراض نقطة${\displaystyle x}$وغطاء موحد${\displaystyle \mathbf {P} ,}$يمكن للمرء أن ينظر إلى اتحاد أعضاء${\displaystyle \mathbf {P} }$التي تحتوي${\displaystyle x}$كحي نموذجي من${\displaystyle x}$من "الحجم"${\displaystyle \mathbf {P} ,}$وينطبق هذا الإجراء البديهي بشكل موحد على كامل المساحة.

بافتراض وجود مساحة موحدة بالمعنى المحيط، حدد غطاءً${\displaystyle \mathbf {P} }$أن يكون موحداً إذا كان هناك حاشية ما${\displaystyle U}$بحيث يكون لكل${\displaystyle x\in X,}$يوجد${\displaystyle A\in \mathbf {P} }$بحيث${\displaystyle U[x]\subseteq A.}$تشكل هذه الأغطية المنتظمة فضاءً منتظمًا كما في التعريف الثاني. وعلى العكس من ذلك، إذا كان لدينا فضاء منتظم بمعنى الغطاء المنتظم، فإن المجموعات الفائقة لـ${\displaystyle \bigcup \{A\times A:A\in \mathbf {P} \},}$مثل${\displaystyle \mathbf {P} }$تُعدّ النطاقات فوق الأغطية المنتظمة بمثابة المرافقات لفضاء منتظم كما في التعريف الأول. علاوة على ذلك، فإن هذين التحويلين هما معكوسان لبعضهما البعض. ^{[ 1 ]}

يُطلق على الفضاء الطوبولوجي اسميمكن توحيدها إذا كان هناك هيكل موحد متوافق مع الطوبولوجيا.

كل فضاء قابل للتوحيد هو فضاء طوبولوجي منتظم تمامًا . علاوة على ذلك، بالنسبة للفضاء القابل للتوحيد${\displaystyle X}$ما يلي متكافئ:

• ${\displaystyle X}$هو فضاء كولموغوروف
• ${\displaystyle X}$هو مساحة هاوسدورف
• ${\displaystyle X}$مساحة تيكونوف
• بالنسبة لأي بنية موحدة متوافقة، يكون تقاطع جميع المحيطات هو القطر${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}.}$

يضيف بعض المؤلفين (مثل إنجلكينج) هذا الشرط الأخير مباشرة في تعريف الفضاء القابل للتوحيد.

إن طوبولوجيا الفضاء القابل للتوحيد هي دائمًا طوبولوجيا متناظرة ؛ أي أن الفضاء هو فضاء R ₀ .

وعلى النقيض من ذلك، فإن كل فضاء منتظم تمامًا قابل للتوحيد. توحيد يتوافق مع طوبولوجيا الفضاء المنتظم تمامًا${\displaystyle X}$يمكن تعريفها بأنها أدق توحيد يجعل جميع الدوال الحقيقية المتصلة على${\displaystyle X}$متصلة بانتظام. ويُوفّر نظام أساسي من المرافق لهذا الانتظام من خلال جميع التقاطعات المنتهية للمجموعات.${\displaystyle (f\times f)^{-1}(V),}$أين${\displaystyle f}$هي دالة حقيقية متصلة على${\displaystyle X}$و${\displaystyle V}$هو محيط الفضاء الموحد${\displaystyle \mathbf {R} .}$يُحدد هذا التوحيد بنيةً طوبولوجية، وهي بوضوح أكثر خشونة من البنية الطوبولوجية الأصلية لـ${\displaystyle X;}$إن كونها أدق من الطوبولوجيا الأصلية (وبالتالي تتطابق معها) هي نتيجة بسيطة للانتظام التام: لأي${\displaystyle x\in X}$وحي${\displaystyle X}$ل${\displaystyle x,}$توجد دالة حقيقية متصلة${\displaystyle f}$مع${\displaystyle f(x)=0}$ويساوي 1 في متمم${\displaystyle V.}$

على وجه الخصوص، يمكن توحيد فضاء هاوسدورف المضغوط. في الواقع، بالنسبة لفضاء هاوسدورف المضغوط${\displaystyle X}$مجموعة جميع الجوارات للقطر في${\displaystyle X\times X}$تشكيل التجانس الفريد المتوافق مع البنية الطوبولوجية.

الفضاء المنتظم من نوع هاوسدورف قابل للقياس إذا أمكن تعريف انتظامه بواسطة عائلة قابلة للعد من المقاييس الزائفة. في الواقع، كما ذُكر سابقًا ، يمكن تعريف هذا الانتظام بواسطة مقياس زائف واحد ، وهو بالضرورة مقياس إذا كان الفضاء من نوع هاوسدورف. على وجه الخصوص، إذا كانت طوبولوجيا فضاء متجهي من نوع هاوسدورف وقابلة للتعريف بواسطة عائلة قابلة للعد من أنصاف المعايير ، فإنه يكون قابلًا للقياس.

كما هو الحال مع الفضاءات المترية، فإن كل فضاء منتظم${\displaystyle X}$لديهالإكمال الهاوسدورفي : أي أنه يوجد فضاء هاوسدورفي منتظم كامل${\displaystyle Y}$وخريطة متصلة بشكل منتظم${\displaystyle i:X\to Y}$(لو${\displaystyle X}$إذن، هل الفضاء المنتظم هو فضاء هاوسدورف؟${\displaystyle i}$(تضمين طوبولوجي ) بالخاصية التالية:

لأي عملية تحويل مستمرة بشكل منتظم${\displaystyle f}$ل${\displaystyle X}$إلى مساحة موحدة كاملة من هاوسدورف${\displaystyle Z,}$توجد خريطة فريدة متصلة بشكل منتظم${\displaystyle g:Y\to Z}$بحيث${\displaystyle f=gi.}$

اكتمال هاوسدورف${\displaystyle Y}$فريدة من نوعها حتى التماثل. كمجموعة،${\displaystyle Y}$يمكن اعتبارها تتكون من الحد الأدنى من مرشحات كوشي على${\displaystyle X.}$كمرشح للجوار${\displaystyle \mathbf {B} (x)}$من كل نقطة${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$هو مرشح كوشي بسيط، الخريطة${\displaystyle i}$يمكن تعريفها عن طريق التعيين${\displaystyle x}$ل${\displaystyle \mathbf {B} (x).}$الخريطة${\displaystyle i}$إن التعريف بهذا الشكل ليس أحاديًا بشكل عام؛ في الواقع، الرسم البياني لعلاقة التكافؤ${\displaystyle i(x)=i(x')}$هو نقطة التقاء جميع محيطات${\displaystyle X,}$وبالتالي${\displaystyle i}$تكون حقنية تحديدًا عندما${\displaystyle X}$هو هاوسدورف.

الهيكل الموحد على${\displaystyle Y}$يتم تعريفها على النحو التالي: لكلحاشية متناظرة${\displaystyle V}$(أي بحيث${\displaystyle (x,y)\in V}$يشير إلى${\displaystyle (y,x)\in V}$)، يترك${\displaystyle C(V)}$لتكن مجموعة جميع الأزواج${\displaystyle (F,G)}$من مرشحات كوشي الدنيا التي تشترك في واحد على الأقل${\displaystyle V}$مجموعة صغيرة . المجموعات${\displaystyle C(V)}$ويمكن إثبات أنها تشكل نظامًا أساسيًا من المجموعات المحيطة؛${\displaystyle Y}$وهو مزود بالبنية الموحدة المحددة على هذا النحو.

المجموعة${\displaystyle i(X)}$إذن، هي مجموعة فرعية كثيفة من${\displaystyle Y.}$ لو${\displaystyle X}$هو هاوسدورف، إذن${\displaystyle i}$ هو تماثل على${\displaystyle i(X),}$وبالتالي${\displaystyle X}$يمكن تعريفها بمجموعة فرعية كثيفة من مجموعتها الكاملة. علاوة على ذلك،${\displaystyle i(X)}$هو دائماً هاوسدورف؛ يُطلق عليه اسمفضاء هاوسدورف المنتظم المرتبط بـ${\displaystyle X.}$ لو${\displaystyle R}$يشير إلى علاقة التكافؤ${\displaystyle i(x)=i(x'),}$ثم فضاء القسمة${\displaystyle X/R}$متماثل الشكل مع${\displaystyle i(X).}$