مصفوفة الهوية

في الجبر الخطي ، مصفوفة الوحدة ذات الحجم${\displaystyle n}$هو${\displaystyle n\times n}$مصفوفة مربعة تحتوي على عناصر قيمتها 1 على القطر الرئيسي وعناصر قيمتها صفر في باقي الأقطار. تتميز بخصائص فريدة؛ فعلى سبيل المثال، عندما تمثل مصفوفة الوحدة تحويلاً هندسياً ، يبقى الشكل دون تغيير بعد التحويل. وفي سياقات أخرى، تُشابه عملية الضرب في العدد 1.

يُرمز لمصفوفة الوحدة غالبًا بالرمز التالي:${\displaystyle I_{n}}$أو ببساطة عن طريق${\displaystyle I}$إذا كان الحجم غير مهم أو يمكن تحديده بسهولة من خلال السياق. ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \dots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$$

استُخدم مصطلح مصفوفة الوحدة على نطاق واسع أيضًا، ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} ولكن مصطلح مصفوفة الوحدة هو المصطلح القياسي الآن. ^{[ 6 ]} يُعدّ مصطلح مصفوفة الوحدة غامضًا، لأنه يُستخدم أيضًا لمصفوفة من الآحاد ولأي عنصر وحدة في حلقة جميع العناصر.${\displaystyle n\times n}$المصفوفات . ^{[ 7 ]}

في بعض المجالات، مثل نظرية الزمر أو ميكانيكا الكم ، يُشار أحيانًا إلى مصفوفة الوحدة بخط غامق.${\displaystyle \mathbf {1} }$أو ما يُسمى "id" (اختصارًا للهوية). وفي حالات أقل شيوعًا، تستخدم بعض كتب الرياضيات${\displaystyle U}$أو${\displaystyle E}$لتمثيل مصفوفة الوحدة، والتي تعني "مصفوفة الوحدة" ^{[ 2 ]} والكلمة الألمانية Einheitsmatrix على التوالي. ^{[ 8 ]}

من حيث الترميز الذي يُستخدم أحيانًا لوصف المصفوفات القطرية بإيجاز ، يمكن كتابة مصفوفة الوحدة على النحو التالي: $${\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1).}$$ يمكن أيضًا كتابة مصفوفة الوحدة باستخدام تدوين دلتا كرونكر : ^{[ 8 ]}$${\displaystyle (I_{n})_{ij}=\delta _{ij}.}$$

متى${\displaystyle A}$هو${\displaystyle m\times n}$المصفوفة، هي خاصية من خصائص ضرب المصفوفات التي $${\displaystyle I_{m}A=AI_{n}=A.}$$ وعلى وجه الخصوص، تعمل مصفوفة الوحدة كعنصر محايد ضربي لحلقة المصفوفات لجميع${\displaystyle n\times n}$المصفوفات، وعنصر الوحدة للمجموعة الخطية العامة${\displaystyle \mathrm {GL} (ن)}$، والتي تتكون من جميع العناصر القابلة للعكس${\displaystyle n\times n}$المصفوفات تحت عملية ضرب المصفوفات. على وجه الخصوص، مصفوفة الوحدة قابلة للعكس. إنها مصفوفة انعكاسية ، تساوي معكوسها. في هذه المجموعة، يكون حاصل ضرب مصفوفتين مربعتين هو مصفوفة الوحدة تحديدًا عندما تكونان معكوسين لبعضهما البعض.

متى${\displaystyle n\times n}$تُستخدم المصفوفات لتمثيل التحويلات الخطية من${\displaystyle n}$فضاء متجهي ذو أبعاد n إلى نفسه، مصفوفة الوحدة${\displaystyle I_{n}}$يمثل دالة التطابق ، بغض النظر عن الأساس المستخدم في هذا التمثيل.

ال${\displaystyle i}$العمود رقم n في مصفوفة الوحدة هو متجه الوحدة${\displaystyle e_{i}}$، متجه${\displaystyle i}$العنصر رقم 1 يساوي 1، وباقي العناصر تساوي 0. محدد مصفوفة الوحدة يساوي  1، وأثرها يساوي 1.${\displaystyle n}$.

مصفوفة الوحدة هي المصفوفة الوحيدة التي لها قيمة ثابتة ومحدد غير صفري. أي أنها المصفوفة الوحيدة التي تحقق ما يلي:

1. عند ضربها في نفسها، تكون النتيجة هي نفسها
2. جميع صفوفها وأعمدتها مستقلة خطيًا .

الجذر التربيعي الرئيسي لمصفوفة الوحدة هو نفسها، وهو جذرها التربيعي الوحيد الموجب المحدد . ومع ذلك، فإن كل مصفوفة وحدة تحتوي على صفين وعمودين على الأقل لها عدد لا نهائي من الجذور التربيعية المتناظرة. ^{[ 9 ]}

رتبة مصفوفة الوحدة${\displaystyle I_{n}}$يساوي الحجم${\displaystyle n}$، أي: $${\displaystyle \operatorname {rank} (I_{n})=n.}$$

• المصفوفة الثنائية (مصفوفة الصفر والواحد)
• المصفوفة الأولية
• مصفوفة التبادل
• مصفوفة من الواحدات
• مصفوفات باولي (مصفوفة الوحدة هي مصفوفة باولي الصفرية)
• تحويل هاوسهولدر (يتم بناء مصفوفة هاوسهولدر من خلال مصفوفة الوحدة)
• الجذر التربيعي لمصفوفة الوحدة 2×2
• المصفوفة الوحدوية
• المصفوفة الصفرية