ارفع (قوة)

يُولّد سطح الجناح قوة الرفع من خلال الضغط على الهواء المتدفق نحو الأسفل. ووفقًا لقانون نيوتن الثالث ، يجب أن يبذل الهواء قوة مساوية ومعاكسة (نحو الأعلى) على سطح الجناح، وهي قوة الرفع. ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

عندما يقترب تدفق الهواء من سطح الجناح، فإنه ينحني للأعلى، ولكن عند تجاوزه، يغير اتجاهه ويسلك مسارًا منحنيًا للأسفل. ووفقًا لقانون نيوتن الثاني، يتطلب هذا التغير في اتجاه التدفق قوةً هابطةً يؤثر بها سطح الجناح على الهواء. ثم ينص قانون نيوتن الثالث على أن الهواء يجبر سطح الجناح على بذل قوة صاعدة للأعلى؛ وبالتالي تتولد قوة رد فعل، وهي قوة الرفع، في اتجاه معاكس لتغير الاتجاه. في حالة جناح الطائرة، يبذل الجناح قوة هابطةً على الهواء، ويبذل الهواء قوة صاعدة على الجناح. ^{[ 19 ] [ 20 ]} ولا ينتج انحناء التدفق للأسفل عن السطح السفلي لسطح الجناح فقط، بل يساهم تدفق الهواء فوق سطح الجناح في جزء كبير من هذا الانحناء. ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}

هذا التفسير صحيح ولكنه غير مكتمل. فهو لا يوضح كيف يمكن للجناح أن يُحدث دورانًا هابطًا في مساحة أعمق بكثير من التدفق مما يلامسه فعليًا. علاوة على ذلك، لا يذكر أن قوة الرفع ناتجة عن فروق الضغط ، ولا يوضح كيف تستمر هذه الفروق. ^{[ 4 ]}

هناك نسختان شائعتان لهذا التفسير، إحداهما تستند إلى "وقت العبور المتساوي"، والأخرى تستند إلى "إعاقة" تدفق الهواء.

إعاقة تدفق الهواء

على غرار تفسير تساوي زمن العبور، يُجادل تفسير "العائق" أو "انقباض الأنابيب الانسيابية" بأن التدفق فوق السطح العلوي أسرع من التدفق فوق السطح السفلي، ولكنه يُقدم سببًا مختلفًا لاختلاف السرعة. إذ يُشير إلى أن السطح العلوي المنحني يُشكل عائقًا أكبر أمام التدفق، مما يُجبر خطوط الانسياب على التقارب، وبالتالي يُضيّق الأنابيب الانسيابية. وعندما تُصبح الأنابيب الانسيابية أضيق، فإن قانون حفظ الكتلة يُلزم بزيادة سرعة التدفق. ^{[ 48 ]} وينتج عن السرعة الأعلى انخفاض في ضغط السطح العلوي وقوة رفع، وفقًا لمبدأ برنولي ، تمامًا كما في تفسير تساوي زمن العبور. وفي بعض الأحيان، يُجرى تشبيه بفوهة فنتوري ، حيث يُزعم أن السطح العلوي للجناح يعمل كفوهة فنتوري لتضييق التدفق. ^{[ 49 ]}

من أبرز عيوب تفسير الانسداد أنه لا يُفسر كيفية حدوث انضغاط أنبوب التدفق، أو سبب كونه أكبر على السطح العلوي منه على السطح السفلي. بالنسبة للأجنحة التقليدية المسطحة من الأسفل والمنحنية من الأعلى، يبدو هذا منطقيًا إلى حد ما، ولكنه لا يُفسر كيف يمكن للألواح المسطحة، أو الأجنحة المتناظرة، أو أشرعة المراكب الشراعية، أو الأجنحة التقليدية التي تحلق رأسًا على عقب، أن تُولد قوة رفع. كما أن محاولات حساب قوة الرفع بناءً على مقدار الانضغاط أو الانسداد لا تتنبأ بالنتائج التجريبية. ^{[ 50 ] [ 51 ] [ 52 ] [ 53 ]} عيب آخر هو أن قانون حفظ الكتلة ليس سببًا فيزيائيًا مُقنعًا لتسارع التدفق. يتطلب التفسير الفعال لتسارع جسم ما تحديد القوة التي تُسرّعه. ^{[ 54 ]}

الضغط هو القوة العمودية لكل وحدة مساحة التي يؤثر بها الهواء على نفسه وعلى الأسطح التي يلامسها. تنتقل قوة الرفع عبر الضغط، الذي يعمل عموديًا على سطح الجنيح. وبالتالي، تتجلى القوة المحصلة في صورة فروق الضغط. ويشير اتجاه القوة المحصلة إلى أن متوسط ​​الضغط على السطح العلوي للجنيح أقل من متوسط ​​الضغط على السطح السفلي. ^{[ 56 ]}

تنشأ فروق الضغط هذه بالتزامن مع تدفق الهواء المنحني. فعندما يسلك سائل مسارًا منحنيًا، يتولد تدرج في الضغط عمودي على اتجاه التدفق، حيث يكون الضغط أعلى على الجانب الخارجي للمنحنى وأقل على الجانب الداخلي. ^{[ 57 ]} وقد استنتج ليونارد أويلر هذه العلاقة المباشرة بين خطوط الانسياب المنحنية وفروق الضغط، والتي تُعرف أحيانًا بنظرية انحناء خط الانسياب ، من قانون نيوتن الثاني عام 1754.

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} R}}=\rho {\frac {v^{2}}{R}}}$

يمثل الطرف الأيسر من هذه المعادلة فرق الضغط العمودي على اتجاه تدفق المائع. أما الطرف الأيمن، فيمثل ρ الكثافة، وv السرعة، وR نصف قطر الانحناء. توضح هذه الصيغة أن السرعات العالية والانحناءات الحادة تُحدث فروق ضغط أكبر، وأنه في حالة التدفق المستقيم (R → ∞)، يكون فرق الضغط صفراً. ^{[ 58 ]}

زاوية الهجوم هي الزاوية بين وتر الجناح واتجاه تدفق الهواء. يُولّد الجناح المتناظر قوة رفع معدومة عند زاوية هجوم صفرية. ولكن مع ازدياد زاوية الهجوم، ينحرف الهواء بزاوية أكبر، وتزداد المركبة الرأسية لسرعة تيار الهواء، مما ينتج عنه قوة رفع أكبر. بالنسبة للزوايا الصغيرة، يُولّد الجناح المتناظر قوة رفع تتناسب تقريبًا مع زاوية الهجوم. ^{[ 59 ] [ 60 ]}

مع ازدياد زاوية الهجوم، تصل قوة الرفع إلى أقصى قيمة لها عند زاوية معينة؛ ويؤدي تجاوز زاوية الهجوم لهذه الزاوية الحرجة إلى انفصال تدفق الهواء على السطح العلوي للجناح؛ مما يقلل من الانحراف نحو الأسفل، وبالتالي يقلل من قوة الرفع التي يولدها سطح الجناح. ويُقال حينها إن سطح الجناح قد توقف عن الرفع . ^{[ 61 ]}

تعتمد أقصى قوة رفع يمكن أن يولدها جناح طائرة عند سرعة جوية معينة على شكل الجناح، وخاصة مقدار تقوسه (انحناء السطح العلوي بحيث يكون أكثر تحدبًا من السطح السفلي، كما هو موضح على اليمين). زيادة التقوس تزيد عمومًا من أقصى قوة رفع عند سرعة جوية معينة. ^{[ 62 ] [ 63 ]}

تُولّد الأجنحة المقوسة قوة رفع عند زاوية هجوم صفرية. عندما يكون وتر الجناح أفقيًا، يكون اتجاه الحافة الخلفية نحو الأسفل، وبما أن الهواء يتبع الحافة الخلفية، فإنه ينحرف نحو الأسفل. ^{[ 64 ]} عندما يكون الجناح المقوس مقلوبًا، يمكن تعديل زاوية الهجوم بحيث تكون قوة الرفع متجهة نحو الأعلى. وهذا يفسر كيف يمكن للطائرة أن تطير رأسًا على عقب. ^{[ 65 ] [ 66 ]}

تشمل ظروف التدفق المحيطة التي تؤثر على قوة الرفع كثافة السائل ولزوجته وسرعة تدفقه. وتتأثر الكثافة بدرجة الحرارة، وبسرعة الصوت في الوسط - أي بتأثيرات الانضغاطية.

تتناسب قوة الرفع طرديًا مع كثافة الهواء، وتتناسب تقريبًا مع مربع سرعة التدفق. كما تعتمد قوة الرفع على حجم الجناح، حيث تتناسب عمومًا مع مساحة الجناح المسقطة في اتجاه الرفع. في الحسابات، من الملائم تحديد قوة الرفع بدلالة معامل الرفع بناءً على هذه العوامل.

مهما بدا سطح الجنيح أملسًا، فإن أي سطح خشن على مستوى جزيئات الهواء. ترتد جزيئات الهواء المتجهة نحو السطح الخشن في اتجاهات عشوائية بالنسبة لسرعاتها الأصلية. ونتيجة لذلك، عندما يُنظر إلى الهواء كمادة متصلة، يُلاحظ أنه غير قادر على الانزلاق على طول السطح، وتنخفض سرعة الهواء بالنسبة للجنيح إلى الصفر تقريبًا عند السطح (أي أن جزيئات الهواء "تلتصق" بالسطح بدلًا من الانزلاق عليه)، وهو ما يُعرف بشرط عدم الانزلاق . ^{[ 67 ]} ولأن سرعة الهواء عند السطح تكاد تكون معدومة، بينما يتحرك الهواء بعيدًا عنه، تتشكل طبقة حدية رقيقة يتعرض فيها الهواء القريب من السطح لحركة قص . ^{[ 68 ] [ 69 ]} تقاوم لزوجة الهواء حركة القص، مما يُولد إجهاد قص على سطح الجنيح يُسمى مقاومة الاحتكاك السطحي . تكون الطبقة الحدية مضطربة بطبيعتها على معظم سطح معظم الأجنحة، مما يزيد من مقاومة الاحتكاك السطحي. ^{[ 69 ] [ 70 ]}

في ظروف الطيران الاعتيادية، تبقى الطبقة الحدية ملتصقة بالسطحين العلوي والسفلي حتى الحافة الخلفية، ويكون تأثيرها على باقي التدفق طفيفًا. بالمقارنة مع تنبؤات نظرية التدفق غير اللزج ، التي لا تفترض وجود طبقة حدية، فإن الطبقة الحدية الملتصقة تقلل من قوة الرفع بمقدار طفيف وتُعدّل توزيع الضغط نوعًا ما، مما ينتج عنه مقاومة ضغط مرتبطة باللزوجة تتجاوز مقاومة الاحتكاك السطحي. يُطلق على مجموع مقاومة الاحتكاك السطحي ومقاومة الضغط المرتبطة باللزوجة عادةً اسم مقاومة المقطع العرضي . ^{[ 70 ] [ 71 ]}

يُحدَّد أقصى رفع للجناح عند سرعة جوية معينة بانفصال الطبقة الحدية . مع زيادة زاوية الهجوم، نصل إلى نقطة لا تستطيع عندها الطبقة الحدية البقاء ملتصقة بالسطح العلوي. عند انفصال الطبقة الحدية، تُخلِّف منطقة من التدفق المُعاد تدويره فوق السطح العلوي، كما هو موضح في صورة تصوُّر التدفق على اليمين. يُعرف هذا بالتوقف أو الانهيار . عند زوايا هجوم أعلى من زاوية التوقف، ينخفض ​​الرفع بشكل ملحوظ، ولكنه لا ينعدم. يكون أقصى رفع يمكن تحقيقه قبل التوقف، من حيث معامل الرفع، أقل من 1.5 للأجنحة أحادية العنصر، وقد يتجاوز 3.0 للأجنحة المزودة بلوحات ذات فتحات رفع عالية وأجهزة حافة أمامية مُفعَّلة. ^{[ 72 ]}

قد يُولّد التدفق حول الأجسام غير الانسيابية - أي التي لا تمتلك شكلاً انسيابياً أو أسطحاً هوائية متوقفة - قوة رفع، بالإضافة إلى قوة سحب قوية. قد تكون قوة الرفع هذه ثابتة، أو قد تتذبذب نتيجةً لتكوّن الدوامات . قد يُعزز تفاعل مرونة الجسم مع تكوّن الدوامات من تأثيرات قوة الرفع المتذبذبة ويُسبب اهتزازات ناتجة عن الدوامات . ^{[ 73 ]} على سبيل المثال، يُولّد التدفق حول أسطوانة دائرية ما يُعرف بسلسلة دوامات كارمان : حيث تنطلق الدوامات بشكل متناوب من جوانب الأسطوانة. تُنتج الطبيعة التذبذبية للتدفق قوة رفع متذبذبة على الأسطوانة، على الرغم من أن القوة الصافية (المتوسطة) ضئيلة. يتميز تردد قوة الرفع برقم ستروهال عديم الأبعاد ، والذي يعتمد على رقم رينولدز للتدفق. ^{[ 74 ] [ 75 ]}

بالنسبة للهياكل المرنة، قد تُحدث قوة الرفع التذبذبية هذه اهتزازات ناتجة عن الدوامات. في ظل ظروف معينة - مثل الرنين أو الترابط القوي بين امتدادات قوة الرفع - قد تتعزز حركة الهيكل الناتجة عن تقلبات الرفع بشكل كبير. قد تُشكل هذه الاهتزازات مشاكل وتُهدد بانهيار الهياكل الطويلة التي صنعها الإنسان، مثل المداخن الصناعية . ^{[ 73 ]}

في تأثير ماغنوس ، تتولد قوة رفع بفعل دوران أسطوانة في تيار حر. هنا، يؤثر الدوران الميكانيكي على الطبقة الحدية، مما يؤدي إلى انفصالها في مواقع مختلفة على جانبي الأسطوانة. يُغير هذا الانفصال غير المتماثل الشكل الفعال للأسطوانة بالنسبة للتدفق، بحيث تعمل الأسطوانة كجناح رفع مع دوران في التدفق الخارجي. ^{[ 76 ]}

يعمل شكل الجناح وزاوية الهجوم معًا بحيث يُؤثر الجناح بقوة هابطة على الهواء أثناء مروره. ووفقًا لقانون نيوتن الثالث، يجب أن يُؤثر الهواء بقوة مساوية ومعاكسة (صاعدة) على الجناح، وهي قوة الرفع. ^{[ 17 ]}

تنشأ القوة المحصلة التي يبذلها الهواء على شكل فرق في الضغط على سطحي الجناح. ^{[ 78 ]} يكون الضغط في المائع موجبًا دائمًا بالمعنى المطلق، ^{[ 79 ]} لذا يجب دائمًا اعتبار الضغط قوة دافعة، وليس قوة سحب. وبالتالي، يدفع الضغط إلى الداخل على الجناح في كل مكان على السطحين العلوي والسفلي. يتفاعل الهواء المتدفق مع وجود الجناح عن طريق تقليل الضغط على سطحه العلوي وزيادة الضغط على سطحه السفلي. يدفع الضغط على السطح السفلي إلى الأعلى بقوة أكبر من الضغط المنخفض على السطح العلوي الذي يدفع إلى الأسفل، والنتيجة النهائية هي قوة رفع إلى الأعلى. ^{[ 78 ]}

يؤثر فرق الضغط الذي ينتج عنه الرفع بشكل مباشر على أسطح الجنيح؛ ومع ذلك، فإن فهم كيفية إنتاج فرق الضغط يتطلب فهم ما يفعله التدفق على مساحة أوسع.

يؤثر شكل الجناح على سرعة واتجاه التدفق على مساحة واسعة، مُنتجًا نمطًا يُسمى حقل السرعة . عندما يُولّد الجناح قوة رفع، ينحرف التدفق أمامه إلى الأعلى، بينما ينحرف التدفق فوقه وتحته إلى الأسفل، تاركًا الهواء خلفه في نفس حالة التدفق القادم أمامه. يتسارع التدفق فوق السطح العلوي، بينما يتباطأ التدفق تحته. يُؤدي هذا، بالإضافة إلى انحراف الهواء إلى الأعلى أمام الجناح وانحرافه إلى الأسفل خلفه مباشرةً، إلى تكوين مُكوّن دوراني صافٍ للتدفق. يكون الانحراف إلى الأسفل والتغيرات في سرعة التدفق واضحين ويمتدان على مساحة واسعة، كما هو موضح في الرسوم المتحركة للتدفق على اليمين. تكون هذه الاختلافات في اتجاه وسرعة التدفق أكبر ما يُمكن بالقرب من الجناح، وتتناقص تدريجيًا في الأعلى والأسفل. تظهر جميع هذه الخصائص لحقل السرعة أيضًا في النماذج النظرية لتدفقات الرفع. ^{[ 80 ] [ 81 ]}

يتأثر الضغط أيضًا على مساحة واسعة، بنمط ضغط غير منتظم يُسمى مجال الضغط . عندما يُولّد جناح الطائرة قوة رفع، تتشكل منطقة ضغط منخفض منتشرة فوقه، وعادةً ما تتشكل منطقة ضغط مرتفع منتشرة تحته، كما هو موضح بخطوط تساوي الضغط (منحنيات الضغط الثابت) في الرسم. يُعد فرق الضغط المؤثر على السطح جزءًا من مجال الضغط هذا. ^{[ 82 ]}

يُؤثر الضغط غير المنتظم بقوى على الهواء في اتجاه من مناطق الضغط المرتفع إلى مناطق الضغط المنخفض. ويختلف اتجاه هذه القوة باختلاف المواقع حول سطح الجناح، كما هو موضح بالأسهم المربعة في مجال الضغط حول شكل الجناح . يندفع الهواء فوق الجناح نحو مركز منطقة الضغط المنخفض، بينما يندفع الهواء أسفل الجناح للخارج من مركز منطقة الضغط المرتفع.

وفقًا لقانون نيوتن الثاني ، تتسبب القوة في تسارع الهواء في اتجاهها. لذا، تشير الأسهم الرأسية في مخطط مجال الضغط المرفق إلى تسارع الهواء فوق وتحت سطح الجناح، أو انعطافه نحو الأسفل، وأن عدم انتظام الضغط هو سبب انحراف التدفق نحو الأسفل الظاهر في الرسوم المتحركة. ولإحداث هذا الانعطاف، يجب أن يكون للجناح زاوية هجوم موجبة أو انحناء موجب كافٍ. تجدر الإشارة إلى أن انعطاف التدفق نحو الأسفل فوق السطح العلوي ناتج عن دفع الهواء نحو الأسفل بفعل ضغط أعلى فوقه منه تحته. تشير بعض التفسيرات المتعلقة بـ"تأثير كواندا" إلى أن اللزوجة تلعب دورًا رئيسيًا في الانعطاف نحو الأسفل، لكن هذا غير صحيح (انظر أعلاه تحت عنوان " الجدل الدائر حول تأثير كواندا ").

تشير الأسهم الموجودة أمام الجناح إلى أن التدفق أمامه ينحرف للأعلى، بينما تشير الأسهم الموجودة خلفه إلى أن التدفق خلفه ينحرف للأعلى مرة أخرى، بعد أن انحرف للأسفل فوق الجناح. وتظهر هذه الانحرافات أيضًا في الرسوم المتحركة للتدفق.

تشير الأسهم أمام وخلف الجناح إلى أن الهواء المار عبر منطقة الضغط المنخفض فوق الجناح يتسارع عند دخوله، ثم يتباطأ عند خروجه. أما الهواء المار عبر منطقة الضغط المرتفع أسفل الجناح، فيتباطأ عند دخوله، ثم يتسارع عند خروجه. وبالتالي، فإن عدم انتظام الضغط هو سبب تغيرات سرعة التدفق الظاهرة في الرسوم المتحركة. وتتوافق هذه التغيرات مع مبدأ برنولي ، الذي ينص على أنه في التدفق المستقر عديم اللزوجة، يؤدي انخفاض الضغط إلى زيادة السرعة، بينما يؤدي ارتفاع الضغط إلى انخفاضها.

وبالتالي، فإن التغيرات في اتجاه وسرعة التدفق ناتجة بشكل مباشر عن عدم انتظام الضغط. لكن هذه العلاقة السببية ليست أحادية الاتجاه، بل تعمل في كلا الاتجاهين في آن واحد. تتأثر حركة الهواء بفروق الضغط، لكن وجود هذه الفروق يعتمد على حركة الهواء. لذا، فإن العلاقة تفاعل متبادل: يتغير تدفق الهواء في سرعته أو اتجاهه استجابةً لفروق الضغط، وتُحافظ مقاومة الهواء لتغير السرعة أو الاتجاه على هذه الفروق. ^{[ 83 ]} لا يمكن أن يوجد فرق في الضغط إلا بوجود قوة تدفعه. في التدفق الديناميكي الهوائي، يدفع فرق الضغط الهواء ضد قصوره الذاتي، حيث يتسارع الهواء بفعل فرق الضغط. ^{[ 84 ]} لهذا السبب تُعد كتلة الهواء جزءًا من الحساب، ولذا تعتمد قوة الرفع على كثافة الهواء.

يتطلب الحفاظ على فرق الضغط الذي يُولّد قوة الرفع على أسطح الجنيح الحفاظ على نمط ضغط غير منتظم في منطقة واسعة حول الجنيح. وهذا يستلزم الحفاظ على فروق الضغط في الاتجاهين الرأسي والأفقي، وبالتالي يتطلب انعطاف التدفق نحو الأسفل وتغيرات في سرعته وفقًا لمبدأ برنولي. وتتفاعل فروق الضغط وتغيرات اتجاه التدفق وسرعته فيما بينها. وتنشأ فروق الضغط بشكل طبيعي من قانون نيوتن الثاني، ومن حقيقة أن التدفق على طول السطح يتبع الخطوط المنحنية للجنيح ذات الانحدار السفلي في الغالب. كما أن كتلة الهواء عامل حاسم في هذا التفاعل. ^{[ 85 ]}

يتطلب توليد قوة الرفع كلاً من انعطاف التدفق نحو الأسفل وتغيرات في سرعة التدفق بما يتوافق مع مبدأ برنولي. كل من التفسيرات المبسطة المذكورة أعلاه في قسم " التفسيرات الفيزيائية المبسطة للرفع على سطح الجناح" قاصرة، إذ تحاول تفسير الرفع من خلال أحد هذين العاملين فقط، وبالتالي لا تفسر سوى جزء من الظاهرة وتترك أجزاء أخرى دون تفسير. ^{[ 86 ]}

عند معرفة توزيع الضغط على سطح الجنيح، يتطلب تحديد قوة الرفع الكلية جمع مساهمات الضغط من العناصر المحلية للسطح، حيث يمتلك كل عنصر قيمة ضغط محلية خاصة به. وبالتالي، فإن قوة الرفع الكلية هي تكامل الضغط، في الاتجاه العمودي على تدفق المجال البعيد، على سطح الجنيح. ^{[ 87 ]}

${\displaystyle L=\oint p\mathbf {n} \cdot \mathbf {k} \;\mathrm {d} S,}$

أين:

• S هي المساحة المسقطة (المخطط) للجناح، مقاسة عمودياً على متوسط ​​تدفق الهواء؛
• n هو متجه الوحدة العمودي الذي يشير إلى داخل الجناح؛
• k هو متجه الوحدة الرأسي، العمودي على اتجاه التدفق الحر .

تتجاهل معادلة الرفع المذكورة أعلاه قوى الاحتكاك السطحي ، والتي تعتبر صغيرة مقارنة بقوى الضغط.

باستخدام المتجه i الموازي للتيار الحر بدلاً من k في التكامل، نحصل على تعبير لمقاومة الضغط D _p (والتي تشمل جزء الضغط من مقاومة المقطع الجانبي، وإذا كان الجناح ثلاثي الأبعاد، فإنها تشمل المقاومة المستحثة). وباستخدام المتجه j العرضي ، نحصل على القوة الجانبية Y.

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{p}&=\oint p\mathbf {n} \cdot \mathbf {i} \;\mathrm {d} S,\\Y&=\oint p\mathbf {n} \cdot \mathbf {j} \;\mathrm {d} S.\end{محاذاة}}}$

تتطلب صحة هذا التكامل بشكل عام أن يكون شكل الجنيح عبارة عن منحنى مغلق سلس جزئيًا .

تعتمد قوة الرفع على حجم الجناح، وتتناسب تقريبًا مع مساحة الجناح. ومن الملائم غالبًا تحديد قوة الرفع لجناح معين من خلال معامل الرفع الخاص به.${\displaystyle C_{L}}$، والذي يحدد قوة الرفع الإجمالية من حيث وحدة مساحة الجناح.

إذا كانت قيمة${\displaystyle C_{L}}$إذا تم إعطاء جناح بزاوية هجوم محددة، فإنه يمكن تحديد الرفع الناتج لظروف تدفق محددة: ^{[ 88 ]}

${\displaystyle L={\tfrac {1}{2}}\rho v^{2}SC_{L}}$

أين

• ${\displaystyle L}$هي قوة الرفع
• ${\displaystyle \rho }$كثافة الهواء
• ${\displaystyle v}$هل هي السرعة أو السرعة الجوية الحقيقية
• ${\displaystyle S}$مساحة الجناح المسقطة (المتوقعة)
• ${\displaystyle C_{L}}$يمثل معامل الرفع عند زاوية الهجوم المطلوبة، ورقم ماخ ، ورقم رينولدز ^{[ 89 ]}

تمثل هذه المعادلات قانون حفظ الكتلة، وقانون نيوتن الثاني (حفظ الزخم)، وقانون حفظ الطاقة، وقانون نيوتن الخاص بفعل اللزوجة ، وقانون فورييه لتوصيل الحرارة ، ومعادلة حالة تربط الكثافة ودرجة الحرارة والضغط، وصيغًا للزوجة والتوصيل الحراري للسائل. ^{[ 95 ] [ 96 ]}

من حيث المبدأ، يمكن استخدام معادلات نافيير-ستوكس، مقترنةً بشروط حدودية تتمثل في انعدام التدفق وعدم الانزلاق على سطح الجنيح، للتنبؤ بقوة الرفع بدقة عالية في أي حالة من حالات الطيران الجوي العادي. مع ذلك، تتضمن تدفقات الهواء في الحالات العملية دائمًا اضطرابًا في الطبقة الحدية المجاورة لسطح الجنيح، على الأقل فوق الجزء الخلفي منه. ويتطلب التنبؤ بقوة الرفع بحل معادلات نافيير-ستوكس بصيغتها الخام إجراء حسابات تُفصّل أدق تفاصيل الاضطراب، وصولًا إلى أصغر دوامة. وهذا غير ممكن حاليًا، حتى على أقوى الحواسيب. ^{[ 97 ]} لذا، من حيث المبدأ، تُقدّم معادلات نافيير-ستوكس نظرية كاملة ودقيقة للغاية لقوة الرفع، لكن التنبؤ العملي بها يتطلب نمذجة تأثيرات الاضطراب في معادلات رينولدز المتوسطة للتدفق (RANS) بدلًا من حسابها مباشرةً.

هذه هي معادلات نافيير-ستوكس مع حركات الاضطراب المتوسطة زمنيًا، وتأثيرات الاضطراب على التدفق المتوسط ​​زمنيًا ممثلة بنمذجة الاضطراب (مجموعة إضافية من المعادلات تستند إلى مزيج من التحليل البُعدي والمعلومات التجريبية حول كيفية تأثير الاضطراب على الطبقة الحدية بمعنى المتوسط ​​الزمني). ^{[ 98 ] [ 99 ]} يتكون حل RANS من متجه السرعة المتوسط ​​زمنيًا، والضغط، والكثافة، ودرجة الحرارة المحددة عند شبكة كثيفة من النقاط المحيطة بالجناح.

إن حجم العمليات الحسابية المطلوبة ضئيل للغاية (جزء من مليار) ^{[ 97 ]} مقارنةً بما هو مطلوب لحل جميع حركات الاضطراب في حسابات نافيير-ستوكس الأولية، ومع توفر الحواسيب العملاقة، أصبح من العملي الآن إجراء حسابات رينولدز المتوسطة للطائرات الكاملة ثلاثية الأبعاد. ولأن نماذج الاضطراب ليست مثالية، فإن دقة حسابات رينولدز المتوسطة ليست كاملة، ولكنها كافية لتصميم الطائرات عمليًا. وعادةً ما تكون قيمة الرفع المتوقعة بواسطة رينولدز المتوسطة ضمن نطاق بضعة بالمئة من قيمة الرفع الفعلية.

معادلات أويلر هي معادلات نافيير-ستوكس بدون تأثيرات اللزوجة والتوصيل الحراري والاضطراب. ^{[ 100 ]} وكما هو الحال في حلول رينولدز المتوسطة، يتكون حل أويلر من متجه السرعة والضغط والكثافة ودرجة الحرارة، مُعرّفة عند شبكة كثيفة من النقاط المحيطة بسطح الجناح. ورغم أن معادلات أويلر أبسط من معادلات نافيير-ستوكس، إلا أنها لا تُتيح حلولًا تحليلية دقيقة.

ويمكن الحصول على مزيد من التبسيط من خلال نظرية التدفق المحتمل ، والتي تقلل من عدد المجاهيل التي يتعين تحديدها، وتجعل الحلول التحليلية ممكنة في بعض الحالات، كما هو موضح أدناه.

تُقدّر حسابات أويلر أو حسابات التدفق الكامن توزيع الضغط على أسطح الجنيح بدقة تقريبية لزوايا الهجوم الأقل من زاوية التوقف، حيث قد تُخطئ في تقدير قوة الرفع الكلية بنسبة تتراوح بين 10 و20%. أما عند زوايا الهجوم الأعلى من زاوية التوقف، فلا تُقدّر الحسابات غير اللزجة حدوث التوقف، وبالتالي تُبالغ بشكل كبير في تقدير قوة الرفع.

في نظرية التدفق الكامن، يُفترض أن التدفق غير دوراني ، أي أن جزيئات المائع الصغيرة لا تمتلك معدل دوران صافٍ. رياضيًا، يُعبَّر عن ذلك بأن التفاف حقل متجه السرعة يساوي صفرًا في كل مكان. تتميز التدفقات غير الدورانية بخاصية ملائمة، وهي إمكانية التعبير عن السرعة كتدرج دالة قياسية تُسمى الجهد . يُسمى التدفق المُمثَّل بهذه الطريقة بالتدفق الكامن. ^{[ 101 ] [ 102 ] [ 103 ] [ 104 ]}

في نظرية التدفق الكامن، يُفترض أن التدفق غير قابل للانضغاط. تتميز نظرية التدفق الكامن غير القابل للانضغاط بأن معادلة لابلاس (معادلة الجهد ) التي يجب حلها خطية ، مما يسمح بإنشاء الحلول عن طريق تراكب حلول أخرى معروفة. كما يمكن حل معادلة التدفق الكامن غير القابل للانضغاط باستخدام التحويل المطابق ، وهي طريقة تعتمد على نظرية الدوال ذات المتغير المركب. في أوائل القرن العشرين، قبل ظهور الحواسيب، استُخدم التحويل المطابق لتوليد حلول لمعادلة التدفق الكامن غير القابل للانضغاط لفئة من أشكال الأجنحة المثالية، مما وفر بعضًا من أولى التنبؤات النظرية العملية لتوزيع الضغط على جناح رافع.

إن حل معادلة الجهد يحدد حقل السرعة فقط بشكل مباشر. أما حقل الضغط فيُستنتج من حقل السرعة من خلال معادلة برنولي.

يتطلب تطبيق نظرية التدفق الكامن على تدفق الرفع معالجة خاصة وافتراضًا إضافيًا. تنشأ المشكلة لأن الرفع على جناح طائرة في تدفق غير لزج يستلزم وجود دوران في التدفق حول الجناح (انظر " الدوران ونظرية كوتا-جوكوفسكي " أدناه)، ولكن دالة جهد واحدة متصلة في جميع أنحاء المجال المحيط بالجناح لا يمكنها تمثيل تدفق ذي دوران غير صفري. يكمن حل هذه المشكلة في إدخال قطع متفرع ، وهو منحنى أو خط من نقطة ما على سطح الجناح إلى مسافة لا نهائية، والسماح بقفزة في قيمة الجهد عبر القطع. تفرض هذه القفزة في الجهد دورانًا في التدفق مساويًا لقفزة الجهد، وبالتالي تسمح بتمثيل دوران غير صفري. مع ذلك، فإن قفزة الجهد هي مُعامل حر لا تحدده معادلة الجهد أو الشروط الحدية الأخرى، وبالتالي يكون الحل غير محدد. يوجد حل لتدفق الجهد لأي قيمة للدوران وأي قيمة للرفع. إحدى طرق حل هذا الغموض هي فرض شرط كوتا ، ^{[ 105 ] [ 106 ]} الذي ينص على أنه من بين جميع الحلول الممكنة، يكون الحل المعقول فيزيائيًا هو الحل الذي ينساب فيه التدفق بسلاسة من الحافة الخلفية. توضح رسومات خطوط الانسياب نمط تدفق واحد بدون رفع، حيث يلتف التدفق حول الحافة الخلفية ويغادر السطح العلوي أمامها، ونمط تدفق آخر مع رفع موجب، حيث ينساب التدفق بسلاسة من الحافة الخلفية وفقًا لشرط كوتا.

هذه نظرية التدفق الكامن مع افتراضات إضافية مفادها أن الجنيح رقيق جدًا وزاوية الهجوم صغيرة. ^{[ 107 ]} تتنبأ النظرية الخطية بالخصائص العامة لتوزيع الضغط على الجنيح وكيفية تأثره بشكل الجنيح وزاوية الهجوم، لكنها ليست دقيقة بما يكفي لأعمال التصميم. بالنسبة لجنيح ثنائي الأبعاد، يمكن إجراء هذه الحسابات في جزء من الثانية باستخدام برنامج جداول بيانات على جهاز كمبيوتر.

عندما يولد جناح الطائرة قوة رفع، تساهم عدة مكونات من مجال السرعة الكلي في دوران صافٍ للهواء حوله: التدفق الصاعد أمام الجناح، والتدفق المتسارع أعلاه، والتدفق المتباطئ أسفله، والتدفق الهابط خلفه.

يمكن فهم الدوران على أنه إجمالي مقدار "الدوران" (أو الدوامة ) لسائل غير لزج حول الجنيح.

تربط نظرية كوتا -جوكوفسكي قوة الرفع لكل وحدة عرض من امتداد جناح ثنائي الأبعاد بمكون الدوران هذا في التدفق. ^{[ 80 ] [ 108 ] [ 109 ]} وهي عنصر أساسي في تفسير قوة الرفع الذي يتبع تطور التدفق حول الجناح عندما يبدأ الجناح حركته من السكون، حيث تتشكل دوامة ابتدائية وتترك خلفها، مما يؤدي إلى تشكل دوران حول الجناح. ^{[ 110 ] [ 111 ] [ 112 ]} ثم يُستنتج الرفع من نظرية كوتا-جوكوفسكي. هذا التفسير رياضي في معظمه، ويستند تسلسله العام إلى الاستدلال المنطقي، وليس إلى علاقة السبب والنتيجة الفيزيائية. ^{[ 113 ]}

لا يتنبأ نموذج كوتا-جوكوفسكي بمقدار الدوران أو الرفع الذي ينتجه جناح ثنائي الأبعاد. ويتطلب حساب الرفع لكل وحدة طول باستخدام هذا النموذج معرفة قيمة الدوران. وعلى وجه الخصوص، إذا تحقق شرط كوتا، حيث تنتقل نقطة الركود الخلفية إلى الحافة الخلفية للجناح وتستقر هناك طوال مدة الطيران، فيمكن حساب الرفع نظريًا باستخدام طريقة التحويل المطابق.

تتحدد قوة الرفع الناتجة عن جناح تقليدي بتصميمه وظروف الطيران، مثل السرعة الأمامية وزاوية الهجوم وكثافة الهواء. ويمكن زيادة قوة الرفع عن طريق زيادة الدوران بشكل مصطنع، على سبيل المثال عن طريق نفخ الطبقة الحدية أو استخدام رفارف نفخ . أما في دوار فليتنر، فإن الجناح بأكمله دائري ويدور حول محور عرضي لتوليد الدوران.

يؤدي تدرج الضغط الرأسي عند أطراف الجناح إلى تدفق الهواء جانبيًا، من أسفل الجناح ثم صعودًا وعودته فوق سطحه العلوي. هذا يقلل من تدرج الضغط عند طرف الجناح ، وبالتالي يقلل من قوة الرفع. تميل قوة الرفع إلى التناقص في الاتجاه العرضي من الجذر إلى الطرف، وتتغير توزيعات الضغط حول مقاطع الجناح تبعًا لذلك في هذا الاتجاه. تميل توزيعات الضغط في المستويات العمودية على اتجاه الطيران إلى أن تبدو كما في الرسم التوضيحي على اليمين. ^{[ 115 ]} يُحافظ على هذا التوزيع المتغير للضغط على طول الجناح من خلال تفاعل متبادل مع مجال السرعة. يتسارع التدفق أسفل الجناح باتجاه الخارج، ويتسارع التدفق خارج الأطراف صعودًا، ويتسارع التدفق فوق الجناح باتجاه الداخل، مما ينتج عنه نمط التدفق الموضح على اليمين. ^{[ 116 ]}

يُلاحظ انحناء أكبر للهواء نحو الأسفل في هذا التدفق مقارنةً بتدفق ثنائي الأبعاد بنفس شكل الجناح وقوة الرفع المقطعية، كما يتطلب الأمر زاوية هجوم مقطعية أكبر لتحقيق نفس قوة الرفع مقارنةً بالتدفق ثنائي الأبعاد. ^{[ 117 ]} يطير الجناح فعليًا في تيار هابط من صنعه، كما لو كان تدفق الهواء الحر مائلًا نحو الأسفل، مما يؤدي إلى ميل متجه القوة الديناميكية الهوائية الكلية للخلف قليلًا مقارنةً بما سيكون عليه في بُعدين. يُطلق على المركبة الخلفية الإضافية لمتجه القوة اسم السحب الناتج عن الرفع .

يستمر اختلاف مركبة السرعة العرضية أعلى وأسفل الجناح (بين كونها في الاتجاه الداخلي أعلى الجناح وفي الاتجاه الخارجي أسفله) عند الحافة الخلفية وفي منطقة الاضطراب أسفل الجناح. بعد أن يغادر التدفق الحافة الخلفية، ينتقل هذا الاختلاف في السرعة عبر طبقة قص رقيقة نسبيًا تُسمى طبقة الدوامة.

يُشكّل التدفق الخارج من طرف الجناح دوامةً طرفية. وعندما يمرّ صفيحة الدوامة الرئيسية باتجاه مجرى الهواء من الحافة الخلفية، تلتفّ عند حوافها الخارجية، وتندمج مع الدوامات الطرفية. ويُطلق على مزيج دوامات طرف الجناح وصفيحات الدوامات التي تغذيها اسم "ذيل الدوامة".

إضافةً إلى الدوامة في ذيل الدوامة الخلفية، توجد دوامة في الطبقة الحدية للجناح، تُسمى "الدوامة المقيدة"، والتي تربط الصفائح الخلفية من جانبي الجناح في نظام دوامي على شكل حدوة حصان. وقد اكتشف رائد الطيران البريطاني لانشستر شكل حدوة الحصان لهذا النظام الدوامي عام 1907. ^{[ 118 ]}

بالنظر إلى توزيع الدوامة المقيدة والدوامة في منطقة التخلف، يمكن استخدام قانون بيو-سافار (علاقة حسابية متجهة) لحساب اضطراب السرعة في أي مكان في المجال، الناتج عن قوة الرفع على الجناح. وتستند النظريات التقريبية لتوزيع قوة الرفع والسحب الناتج عنها في الأجنحة ثلاثية الأبعاد إلى هذا التحليل المطبق على نظام الدوامات على شكل حدوة حصان للجناح. ^{[ 119 ] [ 120 ]} في هذه النظريات، تُعتبر الدوامة المقيدة مثالية عادةً، ويُفترض أنها تقع على سطح التقوس داخل الجناح.

نظرًا لأن السرعة تُستنتج من الدوامة في هذه النظريات، يصف بعض المؤلفين الوضع على أنه يعني أن الدوامة هي سبب اضطرابات السرعة، مستخدمين مصطلحات مثل "السرعة الناتجة عن الدوامة"، على سبيل المثال. ^{[ 121 ]} لكن إسناد علاقة سببية ميكانيكية بين الدوامة والسرعة بهذه الطريقة لا يتوافق مع الفيزياء. ^{[ 122 ] [ 123 ] [ 124 ]} في الواقع، تنتج اضطرابات السرعة في التدفق حول الجناح عن مجال الضغط. ^{[ 125 ]}

يجب أن يخضع التدفق حول جناح رفع لقانون نيوتن الثاني المتعلق بحفظ الزخم، سواءً على المستوى المحلي عند كل نقطة في مجال التدفق، أو على المستوى المتكامل على أي منطقة ممتدة من التدفق. بالنسبة للمنطقة الممتدة، يأخذ قانون نيوتن الثاني شكل نظرية الزخم لحجم تحكم ، حيث يمكن أن يكون حجم التحكم أي منطقة من التدفق يتم اختيارها للتحليل. تنص نظرية الزخم على أن القوة المتكاملة المؤثرة على حدود حجم التحكم ( التكامل السطحي ) تساوي معدل التغير الزمني المتكامل ( المشتق المادي ) لزخم جسيمات المائع التي تمر عبر داخل حجم التحكم. بالنسبة للتدفق المستقر، يمكن التعبير عن ذلك في صورة التكامل السطحي الصافي لتدفق الزخم عبر الحدود. ^{[ 126 ]}

عادةً ما يتم تحليل تدفق الرفع حول جناح ثنائي الأبعاد في حجم تحكم يحيط بالجناح بالكامل، بحيث يكون الحد الداخلي لحجم التحكم هو سطح الجناح، حيث تكون القوة الهابطة لكل وحدة طول${\displaystyle -L'}$يُمارس ضغط على المائع بواسطة الجنيح. عادةً ما يكون الحد الخارجي إما دائرة كبيرة أو مستطيلًا كبيرًا. عند هذا الحد الخارجي البعيد عن الجنيح، يمكن تمثيل السرعة والضغط بدقة بالسرعة والضغط المرتبطين بتدفق منتظم بالإضافة إلى دوامة، ويكون الإجهاد اللزج ضئيلاً، بحيث تكون القوة الوحيدة التي يجب حساب تكاملها على الحد الخارجي هي الضغط. ^{[ 127 ] [ 128 ] [ 129 ]} يُفترض عادةً أن سرعة التدفق الحر أفقية، مع وجود قوة رفع رأسية لأعلى، بحيث يكون الزخم الرأسي هو المكون المهم.

في حالة الهواء الحر (بدون سطح أرضي)، القوة${\displaystyle -L'}$يتجلى تأثير الجناح على المائع جزئيًا على شكل تدفقات زخم وجزئيًا على شكل فروق ضغط عند الحد الخارجي، بنسب تعتمد على شكل هذا الحد، كما هو موضح في الرسم البياني على اليمين. بالنسبة لمستطيل أفقي مسطح أطول بكثير من ارتفاعه، تكون تدفقات الزخم الرأسي عبر الأمام والخلف ضئيلة، ويُعزى الرفع بالكامل إلى فروق الضغط المتكاملة على السطحين العلوي والسفلي. ^{[ 127 ]} أما بالنسبة للمربع أو الدائرة، فتمثل تدفقات الزخم وفروق الضغط نصف الرفع لكل منهما. ^{[ 127 ] [ 128 ] [ 129 ]} وبالنسبة لمستطيل رأسي أطول بكثير من عرضه، تكون قوى الضغط غير المتوازنة على السطحين العلوي والسفلي ضئيلة، ويُعزى الرفع بالكامل إلى تدفقات الزخم، حيث يمثل تدفق الزخم الصاعد الذي يدخل حجم التحكم عبر الأمام نصف الرفع، بينما يمثل تدفق الزخم الهابط الذي يخرج من حجم التحكم عبر الخلف النصف الآخر. ^{[ 127 ]}

تتوافق نتائج جميع تحليلات حجم التحكم المذكورة أعلاه مع نظرية كوتا-جوكوفسكي المذكورة سابقًا. وقد استُخدم كلٌّ من حجم التحكم المستطيل الطويل وحجم التحكم الدائري في اشتقاقات النظرية. ^{[ 128 ] [ 129 ]}

يُحدث سطح الجناح مجال ضغط في الهواء المحيط، كما هو موضح في قسم " التدفق الأوسع حول سطح الجناح " أعلاه. تتلاشى فروق الضغط المرتبطة بهذا المجال تدريجيًا، لتصبح ضئيلة جدًا على مسافات كبيرة، لكنها لا تختفي تمامًا. أسفل الطائرة، يستمر مجال الضغط على شكل اضطراب ضغط موجب يصل إلى الأرض، مُشكلاً نمطًا من الضغط أعلى قليلاً من الضغط المحيط على الأرض، كما هو موضح على اليمين. ^{[ 130 ]} على الرغم من أن فروق الضغط ضئيلة جدًا أسفل الطائرة، إلا أنها تنتشر على مساحة واسعة وتُشكل قوة كبيرة. في حالة الطيران المستقر والمستوي، تكون القوة الكلية الناتجة عن فروق الضغط مساوية لقوة الرفع الديناميكية الهوائية الكلية للطائرة ووزنها. وفقًا لقانون نيوتن الثالث، فإن قوة الضغط هذه التي يُؤثر بها الهواء على الأرض تُقابلها قوة صاعدة مساوية ومعاكسة تُؤثر بها الأرض على الهواء، مما يُعادل كل القوة الهابطة التي تُؤثر بها الطائرة على الهواء. وبالتالي فإن محصلة القوة الناتجة عن الرفع، والتي تؤثر على الغلاف الجوي ككل، تساوي صفرًا، ومن ثم لا يوجد تراكم متكامل للزخم الرأسي في الغلاف الجوي، كما لاحظ لانشستر في وقت مبكر من تطور الديناميكا الهوائية الحديثة. ^{[ 131 ]}