منحنى بلانكمانج

يمكن تعريف النسخة الدورية لمنحنى تاكاجي أيضًا على أنها الحل المحدود الوحيد${\displaystyle T=T_{w}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$إلى المعادلة الوظيفية

${\displaystyle T(x)=s(x)+wT(2x).}$

في الواقع، وظيفة البلانكمانج${\displaystyle T_{w}}$من المؤكد أنها محدودة، وتحل المعادلة الوظيفية، لأن

${\displaystyle T_{w}(x):=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)=s(x)+\sum _{n=1}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)}$${\displaystyle =s(x)+w\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n+1}x)=s(x)+wT_{w}(2x).}$

على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle T:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$هو حل محدود للمعادلة الوظيفية، ويكرر المساواة التي لدينا لأي N

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{N}w^{n}s(2^{n}x)+w^{N+1}T(2^{N+1}x)=\sum _{n=0}^{N}w^{n}s(2^{n}x)+o(1),{\text{ لـ }}N\to \infty ,}$

ومن ثم${\displaystyle T=T_{w}}$وبالمناسبة، تمتلك المعادلات الوظيفية المذكورة أعلاه عددًا لا نهائيًا من الحلول المتصلة وغير المحدودة، على سبيل المثال ${\displaystyle T_{w}(x)+c|x|^{-\log _{2}w}.}$

يمكن تمثيل منحنى البلانكمانج بصريًا باستخدام دوال موجية مثلثية إذا تم تقريب المجموع اللانهائي بمجاميع محدودة للحدود القليلة الأولى. في الرسوم التوضيحية أدناه، تُضاف دوال مثلثية أدق تدريجيًا (موضحة باللون الأحمر) إلى المنحنى في كل مرحلة.

ن = 0	ن ≤ 1	ن ≤ 2	ن ≤ 3

المجموع اللانهائي الذي يحدد${\displaystyle T_{w}(x)}$يتقارب بشكل مطلق لجميع${\displaystyle x.}$منذ${\displaystyle 0\leq s(x)\leq 1/2}$للجميع${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|w^{n}s(2^{n}x)|\leq {\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }|w|^{n}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}}$

لو${\displaystyle |w|<1.}$منحنى تاكاجي للمعامل${\displaystyle w}$يتم تعريفها على فترة الوحدة (أو${\displaystyle \mathbb {R} }$) لو${\displaystyle |w|<1}$دالة تاكاجي ذات المعامل${\displaystyle w}$هي دالة متصلة .${\displaystyle T_{w,n}}$محددة بواسطة المجاميع الجزئية

${\displaystyle T_{w,n}(x)=\sum _{k=0}^{n}w^{k}s(2^{k}x)}$

متصلة وتتقارب بانتظام نحو${\displaystyle T_{w}:}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|T_{w}(x)-T_{w,n}(x)\right|&=\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }w^{k}s(2^{k}x)\right|\\&=\left|w^{n+1}\sum _{k=0}^{\infty }w^{k}s(2^{k+n+1}x)\right|\\&\leq {\frac {|w|^{n+1}}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}\end{aligned}}}$

لكل x عندما${\displaystyle |w|<1.}$يتناقص هذا الحد مع${\displaystyle n\to \infty .}$بحسب نظرية النهاية المنتظمة ،${\displaystyle T_{w}}$تكون الدالة متصلة إذا كانت | w |  <  1.

• 
  المعامل w = 2/3
• 
  المعامل w = 1/2
• 
  المعامل w = 1/3
• 
  المعامل w = 1/4
• 
  المعامل w = 1/8

بما أن القيمة المطلقة دالة شبه جمعية، فإن الدالة كذلك${\displaystyle s(x)=\min _{n\in {\mathbf {Z} }}|x-n|}$وتمدداته${\displaystyle s(2^{k}x)}$بما أن التراكيب الخطية الموجبة والنهايات النقطية للدوال شبه الجمعية هي دوال شبه جمعية، فإن دالة تاكاجي تكون شبه جمعية لأي قيمة للمعامل${\displaystyle w}$.

ل${\displaystyle w=1/4}$، ومن ثم نحصل على القطع المكافئ : وقد وصف أرخميدس عملية إنشاء القطع المكافئ عن طريق تقسيم نقطة المنتصف .

بالنسبة لقيم المعلمة${\displaystyle 0<w<1/2,}$وظيفة تاكاجي${\displaystyle T_{w}}$ قابلة للتفاضل بالمعنى الكلاسيكي عند أي${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$وهو ليس عددًا نسبيًا ثنائيًا . بالاشتقاق تحت إشارة المتسلسلة، لأي عدد نسبي غير ثنائي${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$يجد المرء

${\displaystyle T_{w}^{\prime }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\,(2b_{n}-1)}$

أين${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \{0,1\}^{\mathbb {N} }}$هو تسلسل الأرقام الثنائية في التمثيل ذي الأساس 2 لـ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle x=\sum _{n=-k}^{\infty }b_{n}2^{-n-1}\;.}$

وبالمثل، يمكن فهم البتات في التوسع الثنائي على أنها سلسلة من الموجات المربعة ، وهي موجات هار ، التي تم تغيير حجمها وفقًا للعرض.${\displaystyle 2^{-n}.}$وهذا يتبع، لأن مشتقة الموجة المثلثية هي ببساطة الموجة المربعة:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}s(x)=\operatorname {sgn}(1/2-(x\!\!\!\mod 1))}$

وهكذا

${\displaystyle T_{w}^{\prime }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\operatorname {sgn}(1/2-(2^{n}x\!\!\!\mod 1))}$

بالنسبة للمعامل${\displaystyle 0<w<1/2,}$الوظيفة ${\displaystyle T_{w}}$ليبشيتز ثابت​${\displaystyle 1/(1-2w).}$وخاصة بالنسبة للقيمة الخاصة${\displaystyle w=1/4}$يجد المرء، بالنسبة لأي عقلاني غير ثنائي${\displaystyle x\in [0,1]}$${\displaystyle T_{1/4}'(x)=2-4x}$، وفقًا لما ذكر ${\displaystyle T_{1/4}(x)=2x(1-x).}$

ل${\displaystyle w=1/2}$وظيفة البلانكمانج${\displaystyle T_{w}}$إنها ذات تباين محدود على أي مجموعة مفتوحة غير فارغة؛ وهي ليست حتى ليبشيتز محليًا، ولكنها شبه ليبشيتز، في الواقع، تقبل الدالة ${\displaystyle \omega (t):=t(|\log _{2}t|+1/2)}$كمعامل استمرارية .

تقبل دالة تاكاجي-لاندسبيرج توسيعًا لسلسلة فورييه متقاربة تمامًا:

${\displaystyle T_{w}(x)=\sum _{m=0}^{\infty }a_{m}\cos(2\pi mx)}$

مع${\displaystyle a_{0}=1/4(1-w)}$و، لـ${\displaystyle m\geq 1}$

${\displaystyle a_{m}:=-{\frac {2}{\pi ^{2}m^{2}}}(4w)^{\nu (m)},}$

أين${\displaystyle 2^{\nu (m)}}$هي أقصى قدرة لـ${\displaystyle 2}$ذلك يقسم${\displaystyle m}$في الواقع، الموجة المثلثية المذكورة أعلاه${\displaystyle s(x)}$يحتوي على توسع متسلسلة فورييه متقاربة تمامًا

${\displaystyle s(x)={\frac {1}{4}}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2}}}\cos {\big (}2\pi (2k+1)x{\big )}.}$

بالتقارب المطلق، يمكن إعادة ترتيب السلسلة المزدوجة المقابلة لـ${\displaystyle T_{w}(x)}$:

${\displaystyle T_{w}(x):=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)={\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {w^{n}}{(2k+1)^{2}}}\cos {\big (}2\pi 2^{n}(2k+1)x{\big )}\,:}$

وضع الكرة${\displaystyle m=2^{n}(2k+1)}$ينتج عن ذلك متسلسلة فورييه المذكورة أعلاه لـ${\displaystyle T_{w}(x).}$

يُتيح التعريف التكراري تحديد أحادي التناظر الذاتي للمنحنى. يُعطى هذا الأحادي بواسطة مولدين، g و r ، اللذين يؤثران على المنحنى (المُقيد بفترة الوحدة) كما يلي:

${\displaystyle [g\cdot T_{w}](x)=T_{w}\left(g\cdot x\right)=T_{w}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {x}{2}}+wT_{w}(x)}$

و

${\displaystyle [r\cdot T_{w}](x)=T_{w}(r\cdot x)=T_{w}(1-x)=T_{w}(x).}$

يكون للعنصر العام من المونويد الشكل التالي:${\displaystyle \gamma =g^{a_{1}}rg^{a_{2}}r\cdots rg^{a_{n}}}$بالنسبة لبعض الأعداد الصحيحة${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}$يؤثر هذا على المنحنى كدالة خطية :${\displaystyle \gamma \cdot T_{w}=a+bx+cT_{w}}$لبعض الثوابت a و b و c . ولأن الفعل خطي، يمكن وصفه بدلالة فضاء متجهي ، مع أساس الفضاء المتجهي التالي :

${\displaystyle 1\mapsto e_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle x\mapsto e_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle T_{w}\mapsto e_{3}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

في هذا التمثيل ، يُعطى تأثير g و r بواسطة

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&w\end{bmatrix}}}$

و

${\displaystyle r={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

أي فعل عنصر عام${\displaystyle \gamma }$يرسم منحنى البلانكمانج على الفترة [0,1] إلى فترة فرعية${\displaystyle [m/2^{p},n/2^{p}]}$لبعض الأعداد الصحيحة m و n و p . يتم إعطاء التطبيق بالضبط بواسطة${\displaystyle [\gamma \cdot T_{w}](x)=a+bx+cT_{w}(x)}$حيث يمكن الحصول على قيم a و b و c مباشرةً عن طريق ضرب المصفوفات المذكورة أعلاه. أي:

${\displaystyle \gamma ={\begin{bmatrix}1&{\frac {m}{2^{p}}}&a\\0&{\frac {n-m}{2^{p}}}&b\\0&0&c\end{bmatrix}}}$

لاحظ أن${\displaystyle p=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}$فوري.

يُطلق على المونويد المُوَلَّد بواسطة g و r أحيانًا اسم المونويد الثنائي ؛ وهو مونويد فرعي من المجموعة النمطية . عند مناقشة المجموعة النمطية، يكون الترميز الأكثر شيوعًا لـ g و r هو T و S ، لكن هذا الترميز يتعارض مع الرموز المستخدمة هنا.

التمثيل ثلاثي الأبعاد المذكور أعلاه ليس سوى واحد من بين العديد من التمثيلات الممكنة؛ فهو يُظهر أن منحنى البلانكمانج هو أحد التجسيدات الممكنة للفعل. أي أن هناك تمثيلات لأي بُعد، وليس فقط البُعد الثالث؛ بعض هذه التمثيلات يُعطي منحنيات دي رام .