معادلة يانغ-باكستر

الموسوعة الحرة

في الفيزياء ، تُعدّ معادلة يانغ-باكستر (أو علاقة النجمة-المثلث ) معادلة اتساق طُرحت لأول مرة في مجال الميكانيكا الإحصائية . وتعتمد هذه المعادلة على فكرة أنه في بعض حالات التشتت، قد تحتفظ الجسيمات بزخمها مع تغيير حالاتها الكمومية الداخلية. وتنص على أن مصفوفةR{\displaystyle R}، إذا أثر على اثنين من أصل ثلاثة أشياء، فإنه يحقق

(Rˇ⊗1)(1⊗Rˇ)(Rˇ⊗1)=(1⊗Rˇ)(Rˇ⊗1)(1⊗Rˇ)،{\displaystyle ({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )=(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}),}

أينRˇ{\displaystyle {\check {R}}}يكونR{\displaystyle R}يتبع ذلك تبادل بين الجسمين. في الأنظمة الكمومية أحادية البعد،R{\displaystyle R}هي مصفوفة التشتت ، وإذا حققت معادلة يانغ-باكستر، فإن النظام يكون قابلاً للتكامل . في النماذج الكمومية القابلة للتكامل، تضمن معادلة يانغ-باكستر إمكانية تحليل عمليات تشتت الجسيمات المتعددة إلى سلسلة من التفاعلات الثنائية، مع الحفاظ على قابلية الحل الدقيق. [ 1 ] تظهر معادلة يانغ-باكستر أيضًا عند مناقشة نظرية العقد ومجموعات الجدائل حيثR{\displaystyle R}يتوافق ذلك مع تبديل خيطين. وبما أنه يمكن تبديل ثلاثة خيوط بطريقتين مختلفتين، فإن معادلة يانغ-باكستر تضمن أن كلا المسارين متطابقان.

رسم توضيحي لمعادلة يانغ-باكستر

تاريخ

بحسب ميتشيو جيمبو [ 2 ] ، ظهرت معادلة يانغ-باكستر (YBE) في أعمال جيه بي ماكغواير [ 3 ] عام 1964 وسي إن يانغ [ 4 ] عام 1967. وقد تناولوا مسألة ميكانيكا الكم متعددة الأجسام على خط مستقيم.ج∑أنا<جدلتا(xأنا-xج){\displaystyle c\sum _{i<j}\delta (x_{i}-x_{j})}باعتبارها جهدًا كامنًا. وباستخدام تقنيات فرضية بيث ، وجدوا أن مصفوفة التشتت تتحلل إلى مصفوفة مسألة الجسمين، وحددوها بدقة. وقد أرست هذه النتيجة معادلة يانغ-باكستر كمعيار أساسي للتكامل الكمي، رابطةً التشتت المُحلل في بُعد واحد بنماذج قابلة للحل بدقة. [ 5 ] وهنا تبرز معادلة يانغ-باكستر كشرط اتساق للتحليل.

في الميكانيكا الإحصائية ، من المحتمل أن يعود مصدر YBE إلى علاقة أونساجر بالمثلث النجمي، والتي تم ذكرها بإيجاز في مقدمة حله لنموذج إيزينج [ 6 ] في عام 1944. وقد تم السعي بنشاط منذ ذلك الحين للبحث عن نماذج شبكية قابلة للحل، وبلغت ذروتها في حل رودني باكستر لنموذج الرؤوس الثمانية [ 7 ] في عام 1972.

كان هناك مسار آخر للتطور وهو نظرية مصفوفة S المُحللة في نظرية الحقل الكمومي ثنائي الأبعاد . [ 8 ] وأشار ألكسندر ب. زامولودتشيكوف [ 9 ] إلى أن الميكانيكا الجبرية المستخدمة هنا هي نفسها المستخدمة في أعمال باكستر وغيره.

وقد تجلى مفهوم YBE أيضًا في دراسة مؤثرات يونغ في جبر المجموعةج[Sن]{\displaystyle \mathbb {C} [S_{n}]}من المجموعة المتناظرة في عمل AA Jucys [ 10 ] في عام 1966.

الصيغة العامة لمعادلة يانغ-باكستر المعتمدة على المعاملات

يتركأ{\displaystyle A}لتكن جبرًا ترابطيًا أحاديًا . في شكلها الأكثر عمومية، تُعد معادلة يانغ-باكستر المعتمدة على المعاملات معادلة لـR(u،u′){\displaystyle R(u,u')}، عنصر يعتمد على المعامل في حاصل الضرب الموتريأ⊗أ{\displaystyle A\otimes A}(هنا،u{\displaystyle u}وu′{\displaystyle u'}هي المعاملات، والتي عادة ما تتراوح على الأعداد الحقيقية ℝ في حالة المعامل الجمعي، أو على الأعداد الحقيقية الموجبة ℝ + في حالة المعامل الضربي).

يتركRأناج(u،u′)=ϕأناج(R(u،u′)){\displaystyle R_{ij}(u,u')=\phi _{ij}(R(u,u'))}ل1≤أنا<ج≤3{\displaystyle 1\leq i<j\leq 3}، مع تشاكلات الجبرϕأناج:أ⊗أ→أ⊗أ⊗أ{\displaystyle \phi _{ij}:A\otimes A\to A\otimes A\otimes A}يتم تحديده بواسطة

ϕ12(أ⊗ب)=أ⊗ب⊗1،{\displaystyle \phi _{12}(a\otimes b)=a\otimes b\otimes 1,}

ϕ13(أ⊗ب)=أ⊗1⊗ب،{\displaystyle \phi _{13}(a\otimes b)=a\otimes 1\otimes b,}

ϕ23(أ⊗ب)=1⊗أ⊗ب.{\displaystyle \phi _{23}(a\otimes b)=1\otimes a\otimes b.}

الصيغة العامة لمعادلة يانغ-باكستر هي

R12(u1،u2) R13(u1،u3) R23(u2،u3)=R23(u2،u3) R13(u1،u3) R12(u1،u2)،{\displaystyle R_{12}(u_{1},u_{2})\ R_{13}(u_{1},u_{3})\ R_{23}(u_{2},u_{3})=R_{23}(u_{2},u_{3})\ R_{13}(u_{1},u_{3})\ R_{12}(u_{1},u_{2}),}

لجميع قيمu1{\displaystyle u_{1}}،u2{\displaystyle u_{2}}وu3{\displaystyle u_{3}}.

شكل مستقل عن المعلمات

يتركأ{\displaystyle A}ليكن جبرًا ترابطيًا أحاديًا. معادلة يانغ-باكستر المستقلة عن المعاملات هي معادلة لـR{\displaystyle R}، عنصر قابل للعكس من حاصل الضرب الموتريأ⊗أ{\displaystyle A\otimes A}معادلة يانغ-باكستر هي

R12 R13 R23=R23 R13 R12،{\displaystyle R_{12}\ R_{13}\ R_{23}=R_{23}\ R_{13}\ R_{12},}

أينR12=ϕ12(R){\displaystyle R_{12}=\phi _{12}(R)}،R13=ϕ13(R){\displaystyle R_{13}=\phi _{13}(R)}، وR23=ϕ23(R){\displaystyle R_{23}=\phi _{23}(R)}.

فيما يتعلق بالأساس

غالباً ما يكون الجبر الترابطي الأحادي هو جبر التشاكلات الداخلية لفضاء متجهيV{\displaystyle V}فوق حقلك{\displaystyle k}، إنه،أ=نهاية(V){\displaystyle A={\text{End}}(V)}فيما يتعلق بأساس{هـأنا}{\displaystyle \{e_{i}\}}لV{\displaystyle V}مكونات المصفوفاتR∈نهاية(V)⊗نهاية(V)≅نهاية(V⊗V){\displaystyle R\in {\text{End}}(V)\otimes {\text{End}}(V)\cong {\text{End}}(V\otimes V)}مكتوبةRأناجكل{\displaystyle R_{ij}^{kl}}، وهو المكون المرتبط بالخريطةهـأنا⊗هـج↦هـك⊗هـل{\displaystyle e_{i}\otimes e_{j}\mapsto e_{k}\otimes e_{l}}بإغفال اعتماد المعلمات، فإن مكون معادلة يانغ-باكستر المرتبط بالخريطةهـأ⊗هـب⊗هـج↦هـد⊗هـهـ⊗هـو{\displaystyle e_{a}\otimes e_{b}\otimes e_{c}\mapsto e_{d}\otimes e_{e}\otimes e_{f}}يقرأ

(R12)أناجدهـ(R13)أكأناو(R23)بججك=(R23)جكهـو(R13)أناجدك(R12)أبأناج.{\displaystyle (R_{12})_{ij}^{de}(R_{13})_{ak}^{if}(R_{23})_{bc}^{jk}=(R_{23})_{jk}^{ef}(R_{13})_{ic}^{dk}(R_{12})_{ab}^{ij}.}

أشكال وتمثيلات بديلة لمجموعة الضفائر

يتركV{\displaystyle V}كن وحدة منأ{\displaystyle A}، و Pأناج=ϕأناج(P){\displaystyle P_{ij}=\phi _{ij}(P)}. يتركP:V⊗V→V⊗V{\displaystyle P:V\otimes V\to V\otimes V}ليكن التطبيق الخطي الذي يحققP(x⊗y)=y⊗x{\displaystyle P(x\otimes y)=y\otimes x}للجميعx،y∈V{\displaystyle x,y\in V}تأخذ معادلة يانغ-باكستر الشكل البديل التالي بدلالةRˇ(u،u′)=P∘R(u،u′){\displaystyle {\check {R}}(u,u')=P\circ R(u,u')}علىV⊗V{\displaystyle V\otimes V}.

(1⊗Rˇ(u1،u2))(Rˇ(u1،u3)⊗1)(1⊗Rˇ(u2،u3))=(Rˇ(u2،u3)⊗1)(1⊗Rˇ(u1،u3))(Rˇ(u1،u2)⊗1).{\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u_{1},u_{2}))({\check {R}}(u_{1},u_{3})\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u_{2},u_{3}))=({\check {R}}(u_{2},u_{3})\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u_{1},u_{3}))({\check {R}}(u_{1},u_{2})\otimes \mathbf {1} ).}

أو بدلاً من ذلك، يمكننا التعبير عنها بنفس الترميز المذكور أعلاه، بتعريفRˇأناج(u،u′)=ϕأناج(Rˇ(u،u′)){\displaystyle {\check {R}}_{ij}(u,u')=\phi _{ij}({\check {R}}(u,u'))}وفي هذه الحالة يكون الشكل البديل هو

Rˇ23(u1،u2) Rˇ12(u1،u3) Rˇ23(u2،u3)=Rˇ12(u2،u3) Rˇ23(u1،u3) Rˇ12(u1،u2).{\displaystyle {\check {R}}_{23}(u_{1},u_{2})\ {\check {R}}_{12}(u_{1},u_{3})\ {\check {R}}_{23}(u_{2},u_{3})={\check {R}}_{12}(u_{2},u_{3})\ {\check {R}}_{23}(u_{1},u_{3})\ {\check {R}}_{12}(u_{1},u_{2}).}

في الحالة الخاصة المستقلة عن المعاملات حيثRˇ{\displaystyle {\check {R}}}إذا لم تعتمد المعادلة على المعاملات، فإنها تختزل إلى

(1⊗Rˇ)(Rˇ⊗1)(1⊗Rˇ)=(Rˇ⊗1)(1⊗Rˇ)(Rˇ⊗1)،{\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})=({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} ),}

و (إذاR{\displaystyle R}(قابل للعكس) تمثيل لمجموعة الجدائل ،بن{\displaystyle B_{n}}، ويمكن بناؤها علىV⊗ن{\displaystyle V^{\otimes n}}بواسطةσأنا=1⊗أنا-1⊗Rˇ⊗1⊗ن-أنا-1{\displaystyle \sigma _{i}=1^{\otimes i-1}\otimes {\check {R}}\otimes 1^{\otimes n-i-1}}لأنا=1،...،ن-1{\displaystyle i=1,\dots ,n-1}يمكن استخدام هذا التمثيل لتحديد شبه الثوابت للضفائر والعقد والروابط .

التناظر

غالباً ما تكون حلول معادلة يانغ-باكستر مقيدة باشتراطR{\displaystyle R}المصفوفة لتكون ثابتة تحت تأثير زمرة ليجي{\displaystyle G}على سبيل المثال، في حالةجي=جيل(V){\displaystyle G=GL(V)}وR(u،u′)∈نهاية(V⊗V){\displaystyle R(u,u')\in {\text{End}}(V\otimes V)}، الوحيدجي{\displaystyle G}الخرائط الثابتة فينهاية(V⊗V){\displaystyle {\text{End}}(V\otimes V)}الهويةأنا{\displaystyle I}وخريطة التبديلP{\displaystyle P}الشكل العام لـR{\displaystyle R}- المصفوفة هيR(u،u′)=أ(u،u′)أنا+ب(u،u′)P{\displaystyle R(u,u')=A(u,u')I+B(u,u')P}بالنسبة للدوال العدديةأ،ب{\displaystyle A,B}.

معادلة يانغ-باكستر متجانسة في اعتمادها على المعاملات، بمعنى أنه إذا تم تعريفR′(uأنا،uج)=و(uأنا،uج)R(uأنا،uج){\displaystyle R'(u_{i},u_{j})=f(u_{i},u_{j})R(u_{i},u_{j})}، أينو{\displaystyle f}إذا كانت دالة قياسية،R′{\displaystyle R'}كما أنه يحقق معادلة يانغ-باكستر.

قد تتمتع مساحة الوسائط نفسها بالتناظر. على سبيل المثال، يفرض ثبات الإزاحة أن الاعتماد على الوسائط(u،u′){\displaystyle (u,u')}يجب أن يعتمد فقط على الفرق الثابت تحت الإزاحةu-u′{\displaystyle u-u'}بينما يفرض ثبات المقياس ذلكR{\displaystyle R}هي دالة للنسبة الثابتة المقياسu/u′{\displaystyle u/u'}.

المعاملات والحلول النموذجية

إحدى الفرضيات الشائعة لحساب الحلول هي خاصية الفرق،R(u،u′)=R(u-u′){\displaystyle R(u,u')=R(u-u')}حيث يعتمد R فقط على مُعامل واحد (إضافي). وبالمثل، بأخذ اللوغاريتمات، يُمكننا اختيار المعاملR(u،u′)=R(u/u′){\displaystyle R(u,u')=R(u/u')}وفي هذه الحالة، يُقال إن R يعتمد على مُعامل ضربي. في هذه الحالات، يُمكننا اختزال معادلة YBE إلى مُعاملين حرين في شكل يُسهّل الحسابات:

R12(u) R13(u+v) R23(v)=R23(v) R13(u+v) R12(u)،{\displaystyle R_{12}(u)\ R_{13}(u+v)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(u+v)\ R_{12}(u),}

لجميع قيمu{\displaystyle u}وv{\displaystyle v}بالنسبة لمعامل الضرب، تكون معادلة يانغ-باكستر هي

R12(u) R13(uv) R23(v)=R23(v) R13(uv) R12(u)،{\displaystyle R_{12}(u)\ R_{13}(uv)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(uv)\ R_{12}(u),}

لجميع قيمu{\displaystyle u}وv{\displaystyle v}.

تُقرأ الأشكال المضفرة على النحو التالي:

(1⊗Rˇ(u))(Rˇ(u+v)⊗1)(1⊗Rˇ(v))=(Rˇ(v)⊗1)(1⊗Rˇ(u+v))(Rˇ(u)⊗1){\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u))({\check {R}}(u+v)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(v))=({\check {R}}(v)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u+v))({\check {R}}(u)\otimes \mathbf {1} )}(1⊗Rˇ(u))(Rˇ(uv)⊗1)(1⊗Rˇ(v))=(Rˇ(v)⊗1)(1⊗Rˇ(uv))(Rˇ(u)⊗1){\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u))({\check {R}}(uv)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(v))=({\check {R}}(v)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(uv))({\check {R}}(u)\otimes \mathbf {1} )}

في بعض الحالات، يكون المحدد لـR(u){\displaystyle R(u)}يمكن أن تختفي عند قيم محددة للمعامل الطيفيu=u0{\displaystyle u=u_{0}}. بعضR{\displaystyle R}تتحول المصفوفات إلى جهاز عرض أحادي البعد عند u=u0{\displaystyle u=u_{0}}في هذه الحالة، يمكن تعريف المحدد الكمي .

أمثلة على حلول معادلة يونغ المتوازنة المعتمدة على المعاملات

  • يمكن الحصول على فئة بسيطة بشكل خاص من الحلول المعتمدة على المعاملات من حلول معادلة يونغ-باول المستقلة عن المعاملات والتي تحقق ما يلي:Rˇ2=1{\displaystyle {\check {R}}^{2}=\mathbf {1} }حيث يكون تمثيل مجموعة الجدائل المقابل هو تمثيل مجموعة التبديلات. في هذه الحالة،Rˇ(u)=1+uRˇ{\displaystyle {\check {R}}(u)=\mathbf {1} +u{\check {R}}}(بمعنى آخر،R(u)=P+uP∘Rˇ{\displaystyle R(u)=P+uP\circ {\check {R}}}) هو حل لمعادلة YBE المعتمدة على المعاملات (الإضافية). في حالةRˇ=P{\displaystyle {\check {R}}=P}وR(u)=P+u1{\displaystyle R(u)=P+u\mathbf {1} }وهذا يعطي مصفوفة التشتت لسلسلة الدوران هايزنبرغ XXX .
  • الR{\displaystyle R}-مصفوفات وحدات التقييم للمجموعة الكموميةيوq(sل^(2)){\displaystyle U_{q}({\widehat {sl}}(2))}يتم تحديدها بشكل صريح بواسطة المصفوفة

Rˇ(z)=(qz-q-1z-1q-q-1z-z-1z-z-1q-q-1qz-q-1z-1).{\displaystyle {\check {R}}(z)={\begin{pmatrix}qz-q^{-1}z^{-1}&&&\\&q-q^{-1}&z-z^{-1}&\\&z-z^{-1}&q-q^{-1}&\\&&&qz-q^{-1}z^{-1}\end{pmatrix}}.} عندئذٍ تتحقق معادلة يانغ-باكستر ذات المعاملات (في شكلها المضفر) مع المعامل المضاعف: (1⊗Rˇ(z))(Rˇ(zz′)⊗1)(1⊗Rˇ(z′))=(Rˇ(z′)⊗1)(1⊗Rˇ(zz′))(Rˇ(z)⊗1){\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(z))({\check {R}}(zz')\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(z'))=({\check {R}}(z')\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(zz'))({\check {R}}(z)\otimes \mathbf {1} )}

تصنيف الحلول

توجد، بشكل عام، ثلاث فئات من الحلول: الحلول الكسرية، والمثلثية، والإهليلجية. وترتبط هذه الفئات بالمجموعات الكمومية المعروفة باسم مجموعات يانغيان ، والمجموعات الكمومية الأفينية ، والجبر الإهليلجي على التوالي.

معادلة يانغ-باكستر القائمة على نظرية المجموعات

درس درينفيلد الحلول القائمة على نظرية المجموعات . [ 11 ] في هذه الحالة، يوجدR{\displaystyle R}أساس ثابت للمصفوفةX{\displaystyle X}للفضاء المتجهيV{\displaystyle V}بمعنى أنR{\displaystyle R}-matrix maps theinduced basis ofV⊗V{\displaystyle V\otimes V}إلى نفسها. وهذا بدوره يؤدي إلى إنشاء خريطةر:X×X→X×X{\displaystyle r:X\times X\rightarrow X\times X}معطى بتقييدR{\displaystyle R}-مصفوفة إلى الأساس. ثم تُعرَّف معادلة يانغ-باكستر النظرية للمجموعات باستخدام الشكل البديل "الملتوي" أعلاه، مؤكدةً (أناد×ر)(ر×أناد)(أناد×ر)=(ر×أناد)(أناد×ر)(ر×أناد){\displaystyle (id\times r)(r\times id)(id\times r)=(r\times id)(id\times r)(r\times id)} كما هو الحال في الخرائط علىX×X×X{\displaystyle X\times X\times X}ويمكن اعتبار المعادلة حينها مجرد معادلة في فئة المجموعات .

أمثلة

  • R=أناد{\displaystyle R=id}.
  • R=τ{\displaystyle R=\tau }أينτ(u⊗v)=v⊗u{\displaystyle \tau (u\otimes v)=v\otimes u}، خريطة النقل.
  • لو(X،◃){\displaystyle (X,\triangleleft )}هو رف (يمين) ، إذنر(x،y)=(y،x◃y){\displaystyle r(x,y)=(y,x\triangleleft y)}هو حل قائم على نظرية المجموعات لمعادلة YBE.

معادلة يانغ-باكستر الكلاسيكية

تمت دراسة حلول معادلة يونغ الكلاسيكية وتصنيفها إلى حد ما بواسطة بيلافين ودرينفيلد. [ 12 ] بالنظر إلى "معادلة كلاسيكية"ر{\displaystyle r}-مصفوفةر:V⊗V→V⊗V{\displaystyle r:V\otimes V\rightarrow V\otimes V}، والذي قد يعتمد أيضًا على زوج من الوسائط(u،v){\displaystyle (u,v)}، معادلة YBE الكلاسيكية هي (مع كبح المعاملات) [ر12،ر13]+[ر12،ر23]+[ر13،ر23]=0{\displaystyle [r_{12},r_{13}]+[r_{12},r_{23}]+[r_{13},r_{23}]=0} هذا تربيعي فير{\displaystyle r}-matrix، على عكس YBE الكمومي المعتاد الذي يكون مكعبًا فيR{\displaystyle R}.

تنبثق هذه المعادلة من ما يسمى بالحلول شبه الكلاسيكية لمعادلة يانغ-بلان الكمومية، والتي فيهاR{\displaystyle R}تقبل المصفوفة - توسيعًا تقاربيًا بدلالة معامل التوسيعℏ،{\displaystyle \hbar ,}Rℏ=أنا+ℏر+يا(ℏ2).{\displaystyle R_{\hbar }=I+\hbar r+{\mathcal {O}}(\hbar ^{2}).} ثم تأتي صيغة YBE الكلاسيكية من قراءة...ℏ2{\displaystyle \hbar ^{2}}معامل YBE الكمومي (وتتحقق المعادلة بشكل بديهي عند رتبℏ0،ℏ{\displaystyle \hbar ^{0},\hbar }).

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ باكستر، آر جيه (1982). نماذج محلولة بدقة في الميكانيكا الإحصائية . دار النشر الأكاديمية. رقم ISBN 978-0-12-083180-7.
  2. ↑ جيمبو، م. (1989). "مقدمة لمعادلة يانغ-باكستر". المجلة الدولية للفيزياء الحديثة أ . 4 (15). وورلد ساينتيفيك: 3759-3777 . Bibcode : 1989IJMPA...4.3759J . doi : 10.1142/S0217751X89001503 .
  3. ↑ ماكغواير، ج. ب. (1964-05-01). "دراسة مسائل الأجسام المتعددة أحادية البعد القابلة للحل تمامًا". مجلة الفيزياء الرياضية . 5 (5). المعهد الأمريكي للفيزياء (AIP): 622-636 . Bibcode : 1964JMP.....5..622M . doi : 10.1063/1.1704156 . ISSN 0022-2488 . 
  4. ↑ يانغ، سي إن (4 ديسمبر 1967). "بعض النتائج الدقيقة لمسألة الأجسام المتعددة في بُعد واحد مع تفاعل دالة دلتا التنافرية". رسائل المراجعة الفيزيائية . 19 (23). الجمعية الفيزيائية الأمريكية (APS): 1312-1315 . رمز Bibcode : 1967PhRvL..19.1312Y . doi : 10.1103/PhysRevLett.19.1312 . ISSN 0031-9007 . 
  5. ↑ فادييف، إل دي (1996). "كيف تعمل فرضية بيث الجبرية للنماذج القابلة للتكامل". محاضرات ليه هوش حول التناظرات الكمومية : 149-219 .
  6. ↑ أونساغر، ل. (1944-02-01). "إحصاءات البلورات. الجزء الأول: نموذج ثنائي الأبعاد مع انتقال من حالة الترتيب إلى حالة الفوضى". مجلة Physical Review ، 65 ( 3-4 ). الجمعية الفيزيائية الأمريكية (APS): 117-149 . Bibcode : 1944PhRv...65..117O . doi : 10.1103/PhysRev.65.117 .
  7. ↑ باكستر، آر جيه (1972). "دالة التقسيم لنموذج الشبكة الثمانية الرؤوس". حوليات الفيزياء . 70 (1). إلسيفير: 193-228 . Bibcode : 1972AnPhy..70..193B . doi : 10.1016/0003-4916(72)90335-1 . ISSN 0003-4916 . 
  8. ↑ زامولودتشيكوف، ألكسندر ب.؛ زامولودتشيكوف، أليكسي ب. (1979). "مصفوفات S المُحللة في بُعدين كحلول دقيقة لبعض نماذج نظرية الحقل الكمومي النسبية". حوليات الفيزياء . 120 (2). إلسيفير: 253-291 . Bibcode : 1979AnPhy.120..253Z . doi : 10.1016/0003-4916(79)90391-9 . ISSN 0003-4916 . 
  9. ↑ زامولودتشيكوف، ألكسندر ب. (1979). "مصفوفة S المفككة المتناظرة Z4 في بعدين مكانيين-زمانيين". مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية ، 69 (2). إلسيفير: 165-178 . رمز Bibcode : 1979CMaPh..69..165Z . doi : 10.1007/BF01221446 . ISSN 0003-4916 . 
  10. ^ جوسيس، أأ (1966). "على المشغلين الشباب للمجموعة المتماثلة" (PDF) . ليتوفوس فيزيكوس رينكينيس . 6 . حكومة السودان. إزد-فو بوليت. أنا ناوش. الأدب.: 163 – 180.
  11. ↑ درينفيلد، فلاديمير (1992). المجموعات الكمومية : وقائع ورش العمل التي عُقدت في معهد أويلر الدولي للرياضيات، لينينغراد، خريف 1990. برلين: سبرينغر-فيرلاغ. doi : 10.1007/BFb0101175 . ISBN  978-3-540-55305-2تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 فبراير 2023 .
  12. ↑ بيلافين، أ.أ.؛ درينفيلد، ف.ج. (1983). "حلول معادلة يانغ-باكستر الكلاسيكية لجبر لي البسيط" . التحليل الوظيفي وتطبيقاته . 16 (3): 159-180 . doi : 10.1007/BF01081585 . S2CID 123126711. تاريخ الاسترجاع: 4 فبراير 2023 . 
  • "معادلة يانغ-باكستر" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
  • ح.-د. دوبنر، ج.-د. هينيغ، محررون، المجموعات الكمومية، وقائع ورشة العمل الدولية الثامنة حول الفيزياء الرياضية، معهد أرنولد سومرفيلد، كلاوستال، FRG، 1989 ، سبرينغر-فيرلاغ برلين، ISBN 3-540-53503-9.
  • فيجايانثي تشاري وأندرو بريسلي، دليل إلى المجموعات الكمومية ، (1994)، مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج، رقم ISBN 0-521-55884-0.
  • جاك إتش إتش بيرك وهيلين أو يانغ، "معادلات يانغ – باكستر"، (2006)، أرخايف : math-ph/0606053 .