معادلات بارغمان-ويغنر

في ميكانيكا الكم النسبية ونظرية الحقل الكمومي ، تصف معادلات بارغمان-ويغنر جسيمات حرة ذات كتلة غير صفرية ودوران عشوائي j ، وهو عدد صحيح للبوزونات ( j = 1، 2، 3، ... ) أو نصف عدد صحيح للفيرميونات (j = 1/2، 3/2، 5/2 ، ... ) . حلول هذه المعادلات هي دوال موجية ، رياضياً على شكل حقول سبينور متعددة المكونات .

وقد سميت على اسم فالنتين بارغمان ويوجين ويغنر .

نشر بول ديراك معادلة ديراك لأول مرة عام 1928، ثم وسّعها لاحقًا (عام 1936) لتشمل الجسيمات ذات اللف المغزلي نصف الصحيح، قبل أن يتوصل فيرز وباولي إلى المعادلات نفسها عام 1939، أي قبل بارغمان وويغنر بنحو عقد من الزمن. ^{[ 1 ]} كتب يوجين ويغنر بحثًا عام 1937 حول التمثيلات الوحدوية لمجموعة لورنتز غير المتجانسة ، أو مجموعة بوانكاريه . ^{[ 2 ]} يشير ويغنر إلى أن إيتوري ماجورانا وديراك استخدما مؤثرات متناهية الصغر مطبقة على الدوال. يصنف ويغنر التمثيلات إلى غير قابلة للاختزال، ومضروبية، ووحدوية.

في عام 1948، نشر فالنتين بارغمان وويغنر المعادلات التي سميت باسمهما الآن في ورقة بحثية حول مناقشة نظرية المجموعة لمعادلات الموجة النسبية. ^{[ 3 ]}

بالنسبة لجسيم حر ذي عزم مغزلي j بدون شحنة كهربائية ، فإن معادلات BW هي مجموعة من 2j معادلة تفاضلية جزئية خطية مترابطة ، لكل منها شكل رياضي مشابه لمعادلة ديراك . مجموعة المعادلات الكاملة هي: ^{[ ملاحظة 1 ] [ 1 ] [ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_ {\mu }+mc\right)_{\alpha _{1}\alpha _{1}'}\psi _{\alpha '_{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _ {2j}}=0\\&\left(-\gamma ^{\mu {\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{2}\alpha _{2}'}\psi _{\alpha _{1}\alpha '_{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\qquad \vdots \\&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{2j}\alpha '_{2j}}\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha '_{2j}}=0\\\end{aligned}}}$

والتي تتبع النمط؛

لـ r = 1، 2، ... 2j . ( يستخدم بعض المؤلفين، مثل لويد وسار ^{[ 4 ]} ، n = 2j لإزالة عوامل العدد 2. كما يُرمز عادةً إلى عدد الكم المغزلي بالرمز s في ميكانيكا الكم، إلا أن j هو الأكثر شيوعًا في هذا السياق في المراجع). تتكون دالة الموجة الكاملة ψ = ψ ( r , t ) من مركبات.

${\displaystyle \psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}(\mathbf {r} ,t)}$

وهو حقل سبينوري رباعي المكونات من ^{الرتبة 2j. يأخذ كل فهرس القيم 1 أو 2 أو 3 أو 4، لذا يوجد 4 مكونات من 2j} للحقل السبينوري الكامل ^ψ ، على الرغم من أن دالة الموجة المتناظرة تمامًا تقلل عدد المكونات المستقلة إلى 2( 2j + 1) . علاوة على ذلك، فإن ^γμ = (γ0 ^, γ ) هي مصفوفات غاما ، و

${\displaystyle {\hat {P}}_{\mu }=i\hbar \partial _{\mu }}$

هو عامل الزخم الرباعي .

المؤثر الذي يشكل كل معادلة، (−γ ^μ P _μ + mc ) = (− iħ γ ^μ ∂ _μ + mc ) ، هو مصفوفة 4 × 4 ، نظرًا لوجود مصفوفات γ ^{و μ} ، ويضرب الحد mc مصفوفة الوحدة 4 × 4 ضربًا قياسيًا (عادةً لا تُكتب بهذه الطريقة للتبسيط). وبالتحديد، في تمثيل ديراك لمصفوفات غاما : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc&=-\gamma ^{0}{\frac {\hat {E}}{c}}-{\boldsymbol {\gamma }}\cdot (-{\hat {\mathbf {p} }})+mc\\[6pt]&=-{\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\\\end{pmatrix}}{\frac {\hat {E}}{c}}+{\begin{pmatrix}0&{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\\-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}&0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&I_{2}\\\end{pmatrix}}mc\\[8pt]&={\begin{pmatrix}-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0&{\hat {p}}_{z}&{\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y}\\0&-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&{\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y}&-{\hat {p}}_{z}\\-{\hat {p}}_{z}&-({\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y})&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0\\-({\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y})&{\hat {p}}_{z}&0&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc\\\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$

حيث σ = (σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ ) = (σ _x , σ _y , σ _z ) هو متجه مصفوفات باولي ، و E هو عامل الطاقة ، و p = ( p ₁ , p ₂ , p ₃ ) = ( p _x , p _y , p _z ) هو عامل الزخم الثلاثي ، و I ₂ تشير إلى مصفوفة الوحدة 2 × 2 ، والأصفار (في السطر الثاني) هي في الواقع كتل 2 × 2 من المصفوفات الصفرية .

يتقلص عامل المصفوفة أعلاه مع مؤشر دوران ديراك واحد لـ ψ في كل مرة (انظر ضرب المصفوفات )، لذا فإن بعض خصائص معادلة ديراك تنطبق أيضًا على معادلات BW:

• المعادلات متغيرة لورنتز،
• جميع مكونات الحلول ψ تحقق أيضًا معادلة كلاين-غوردون ، وبالتالي تحقق علاقة الطاقة-الزخم النسبية .

${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}}$

• لا يزال التكميم الثاني ممكناً.

على عكس معادلة ديراك، التي يمكنها دمج المجال الكهرومغناطيسي عبر اقتران بسيط ، فإن صيغة B-W تنطوي على تناقضات وصعوبات جوهرية عند دمج تفاعل المجال الكهرومغناطيسي. بعبارة أخرى، لا يمكن إجراء التغيير Pμ → Pμ − eAμ ، حيث e هي الشحنة الكهربائية للجسيم وAμ = (A₀, _A ) هو الجهد _{الكهرومغناطيسي} الرباعي . _[ 6 ] [ 7 ] يتمثل أحد _{الأساليب غير} المباشرة لدراسة التأثيرات الكهرومغناطيسية على ^{الجسيم في اشتقاق التيارات الكهرومغناطيسية الرباعية} وعزوم الأقطاب المتعددة للجسيم ، بدلاً من تضمين التفاعلات في معادلات الموجة نفسها. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

تمثيل مجموعة لورنتز لمعادلات BW هو ^{[ 6 ]}

${\displaystyle D^{\mathrm {BW} }=\bigotimes _{r=1}^{2j}\left[D_{r}^{(1/2,0)}\oplus D_{r}^{(0,1/2)}\right]\,.}$

حيث يمثل كل D _r تمثيلاً غير قابل للاختزال. لا يمتلك هذا التمثيل عزمًا دورانيًا محددًا إلا إذا كانت قيمة j تساوي 1/2 أو 0. يمكن إجراء تحليل كليبش-غوردان لإيجاد الحدود غير القابلة للاختزال ( A , B ) ، ومن ثم محتوى العزم الدوراني. هذا التكرار يستلزم أن جسيمًا ذا عزم دوراني محدد j يتحول تحت تمثيل D ^BW يحقق معادلات المجال.

يمكن لكل من التمثيلين D ^{( j , 0 )} و D ^{(0, j )} أن يمثلا بشكل منفصل جسيمات ذات عزم مغزلي j . ولا تحقق الحالة أو الحقل الكمومي في مثل هذا التمثيل أي معادلة حقل باستثناء معادلة كلاين-غوردون.

استنادًا إلى M. Kenmoku، ^{[ 10 ]} في فضاء مينكوفسكي المحلي، فإن مصفوفات جاما تحقق علاقات التبادل المضاد :

${\displaystyle [\gamma ^{i},\gamma ^{j}]_{+}=2\eta ^{ij}I_{4}}$

حيث η ^ij = diag(−1, 1, 1, 1) هي متريّة مينكوفسكي . بالنسبة للمؤشرات اللاتينية هنا، i، j = 0، 1، 2، 3. في الزمكان المنحني، تكون متشابهة.

${\displaystyle [\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]_{+}=2g^{\mu \nu }}$

حيث يتم دمج مصفوفات غاما المكانية مع المصفوفة الرباعية b _i ^μ للحصول على γ ^μ = b _i ^μ γ ⁱ ، و g ^μν = b ^{i μ} b _i ^ν هو موتر القياس . بالنسبة للمؤشرات اليونانية؛ μ، ν = 0، 1، 2، 3 .

يُعطى المشتق المتغير للسبينورات بالصيغة التالية :

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }=\partial _{\mu }+\Omega _{\mu }}$

مع إعطاء الاتصال Ω بدلالة اتصال الدوران ω كما يلي:

${\displaystyle \Omega _{\mu }={\frac {1}{4}}\partial _{\mu }\omega ^{ij}(\gamma _{i}\gamma _{j}-\gamma _{j}\gamma _{i})}$

التحويلات التفاضلية المتغيرة مثل ψ :

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }\psi \rightarrow D(\Lambda ){\mathcal {D}}_{\mu }\psi }$

وبهذا الإعداد، تصبح المعادلة ( 1 ) كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(-i\hbar \gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }+mc)_{\alpha _{1}\alpha _{1}'}\psi _{\alpha '_{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&(-i\hbar \gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }+mc)_{\alpha _{2}\alpha _{2}'}\psi _{\alpha _{1}\alpha '_{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\qquad \vdots \\&(-i\hbar \gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }+mc)_{\alpha _{2j}\alpha '_{2j}}\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha '_{2j}}=0\,.\\\end{aligned}}}$

• معادلة ديراك ثنائية الجسم
• تعميمات مصفوفات باولي
• مصفوفة ويغنر دي
• مصفوفات ويل-براور
• مصفوفات غاما ذات الأبعاد الأعلى
• معادلة جوس-واينبرغ ، معادلات بديلة تصف الجسيمات الحرة ذات أي دوران
• نظرية الدوران العالي

معادلات الموجة النسبية :

• مصفوفات ديراك في الأبعاد العليا ، مشروع عروض وولفرام
• دراسة حقول اللف المغزلي 1 ، بقلم ب. كاهيل، ك. كاهيل، جامعة نيو مكسيكو
• معادلات المجال للبوزونات عديمة الكتلة من صيغة ديراك-واينبرغ ، بقلم آر دبليو ديفيز، وكيه تي آر ديفيز، وبي زوري، ودي إس نايديك، المجلة الأمريكية للفيزياء
• نظرية الحقل الكمومي ١ ، مارتن موجزيس، مؤرشف بتاريخ ٢٠١٦-٠٣-٠٣ في أرشيف الإنترنت
• معادلة بارغمان-ويغنر: معادلة المجال للدوران العشوائي ، فرزاد قاسمي، مدرسة وورشة عمل علم الكونيات، معهد الفيزياء، طهران، إيران

مجموعات لورنتز في الفيزياء الكمية النسبية:

• تمثيلات مجموعة لورنتز ، indiana.edu
• الملحق ج: مجموعة لورنتز وجبر ديراك ، mcgill.ca
• مجموعة لورنتز، الجسيمات النسبية، وميكانيكا الكم ، دي إي سوبر، جامعة أوريغون، 2011
• تمثيلات مجموعات لورنتز وبوانكاريه ، ج. ماسييكو، جامعة ستانفورد
• تمثيلات مجموعة التناظر للزمكان ، ك. دريك، م. فاينبرغ، د. غيلد، إ. توريتسكي، 2009