مبدأ التكافؤ الثنائي

ومن الأمثلة الشهيرة ^{[ 2 ]} حالة المعركة البحرية المشروطة الموجودة في كتاب أرسطو ، De Interpretatione ، الفصل 9:

تخيل أن P تشير إلى العبارة "ستكون هناك معركة بحرية غدًا".

يؤكد مبدأ الثنائية هنا ما يلي:

إما أن يكون صحيحاً أن معركة بحرية ستقع غداً، أو أن يكون خاطئاً أن معركة بحرية ستقع غداً.

يرفض أرسطو تبني ثنائية التكافؤ لمثل هذه الاحتمالات المستقبلية؛ ^{[ 9 ]} بينما تبنى خريسيبوس ، الفيلسوف الرواقي ، ثنائية التكافؤ لهذه القضية ولجميع القضايا الأخرى. ولا يزال هذا الجدل ذا أهمية محورية في كل من فلسفة الزمن وفلسفة المنطق .

كانت هذه المسألة تحديدًا من بين الدوافع المبكرة لدراسة المنطق متعدد القيم . ففي أوائل القرن العشرين، اقترح عالم المنطق الصوري البولندي يان لوكاسيفيتش ثلاث قيم للصدق: الصادق، والخاطئ، وغير المحدد بعد . وقد طوّر هذا المنهج لاحقًا كلٌ من أرند هيتينغ وإل إي جيه بروير ؛ ^{[ 2 ]} انظر منطق لوكاسيفيتش .

وقد تم تناول قضايا كهذه أيضاً في مختلف المنطق الزمني ، حيث يمكن للمرء أن يؤكد أنه " في النهاية ، إما أن تكون هناك معركة بحرية غداً، أو لن تكون هناك." (وهو أمر صحيح إذا حدث "غداً" في النهاية).

أثارت ألغازٌ مثل مفارقة سوريتس ومغالطة الاستمرارية المرتبطة بها شكوكًا حول إمكانية تطبيق المنطق الكلاسيكي ومبدأ الثنائية على المفاهيم التي قد تكون غامضة في تطبيقها. وقد طُرح المنطق الضبابي وبعض أنواع المنطق متعدد القيم الأخرى كبدائل تتعامل مع المفاهيم الغامضة بشكل أفضل. فعلى سبيل المثال، تأتي الحقيقة (والكذب) في المنطق الضبابي بدرجات متفاوتة. لننظر إلى العبارة التالية في سياق فرز التفاح على سير متحرك:

هذه التفاحة حمراء. ^{[ 10 ]}

عند الملاحظة، يبدو لون التفاحة غير محدد، بين الأصفر والأحمر، أو ربما يكون مزيجًا من اللونين. لذا، لا يندرج اللون ضمن فئتي "الأحمر" أو "الأصفر"، لكن هاتين الفئتين هما الوحيدتان المتاحتان لنا عند فرز التفاح. يمكننا القول إنها "حمراء بنسبة 50%". ويمكن إعادة صياغة ذلك: صحيح بنسبة 50% أن التفاحة حمراء. بالتالي، فإن العبارة P صحيحة بنسبة 50% وخاطئة بنسبة 50%. والآن، لننظر إلى:

هذه التفاحة حمراء وليست حمراء.

بمعنى آخر، P و not-P. هذا يُخالف قانون عدم التناقض، وبالتالي قانون الثنائية. مع ذلك، يُعدّ هذا رفضًا جزئيًا فقط لهذين القانونين، لأن P صحيحة جزئيًا فقط. فلو كانت P صحيحة تمامًا، لكانت not-P خاطئة تمامًا، ولا يوجد تناقض لأن P و not-P لم تعدا صحيحتين.

مع ذلك، يبقى قانون الوسط المرفوع ساريًا، لأن P و not-P يستلزم P أو not-P، نظرًا لأن "أو" كلمة شاملة. الحالتان الوحيدتان اللتان تكون فيهما P و not-P خاطئة (عندما تكون P صحيحة أو خاطئة بنسبة 100%) هما الحالتان نفسيهما اللتان تُدرسان في منطق القيمتين، وتُطبق عليهما القواعد نفسها.

مثال على منطق ثلاثي القيم يُطبق على الحالات الغامضة (غير المحددة) : يقدم كلين (1952 ) ^{[ 11 ]} (الفقرة 64، الصفحات  332-340) منطقًا ثلاثي القيم للحالات التي قد لا تُرجع فيها الخوارزميات التي تتضمن دوالًا تكرارية جزئية قيمًا، بل تنتهي بظروف "u" = غير محدد. يُعرّف كلين "t" = "صحيح"، و"f" = "خطأ"، و"u" = "غير محدد"، ويعيد تصميم جميع الروابط المنطقية. ويلاحظ ما يلي:

لقد كنا محقين حدسياً في استخدام المنطق الكلاسيكي ذي القيمتين، عندما كنا نستخدم الروابط في بناء المسندات البدائية والعامة المتكررة، حيث يوجد إجراء قرار لكل مسند متكرر عام؛ أي أن قانون الوسط المرفوع مثبت حدسياً أنه ينطبق على المسندات المتكررة العامة.

إذا كانت Q(x) دالة منطقية جزئية تكرارية، فهناك إجراء لتحديد ما إذا كانت Q(x) معرفة أم لا ضمن نطاق تعريفها، وبالتالي ينطبق قانون الوسط المرفوع أو "الثالث" المرفوع (أي أن Q(x) إما t أو f) بشكل حدسي على نطاق التعريف. ولكن قد لا توجد خوارزمية لتحديد ما إذا كانت Q(x) معرفة أم لا عند معرفة x. [...] لذا، فإن قانون الرابع المرفوع (أي أنه لكل x، فإن Q(x) إما t أو f أو u) ينطبق بشكل كلاسيكي فقط وليس بشكل حدسي.

وبالتالي، فإن قيمة "الحقيقة" الثالثة u لا تُضاهي قيمتي t و f الأخريين في نظريتنا. وسيُبين النظر في وضعها أننا مُقيدون بنوع خاص من جداول الحقيقة.

فيما يلي "جداوله القوية": ^{[ 12 ]}

على سبيل المثال، إذا تعذّر تحديد ما إذا كانت التفاحة حمراء أم لا، فإنّ قيمة الصواب للعبارة Q: "هذه التفاحة حمراء" هي "u". وبالمثل، فإنّ قيمة الصواب للعبارة R: "هذه التفاحة ليست حمراء" هي "u". وبالتالي، فإنّ دمج هاتين العبارتين في العبارة Q AND R، أي "هذه التفاحة حمراء و هذه التفاحة ليست حمراء"، سيعطي، وفقًا للجداول، "u". كما أنّ دمج العبارة Q OR R، أي "هذه التفاحة حمراء أو هذه التفاحة ليست حمراء"، سيعطي أيضًا "u".

بعض العبارات المرجعية الذاتية، مثل تلك الواردة في مفارقة الكاذب، لا يمكن إسناد قيم صدق محددة لها، سواء أكانت " صحيحًا " أم " خطأً "، دون الوقوع في تناقضات. ^{[ 13 ]} ويمكن صياغة مفارقة الكاذب على النحو التالي:

إذا كانت العبارة (أ) صحيحة، فإن عبارة "هذه العبارة خاطئة" صحيحة أيضاً. لذا، يجب أن تكون العبارة (أ) خاطئة. إن افتراض صحة العبارة (أ) يؤدي إلى استنتاج خاطئ، وهذا تناقض.

إذا كانت (أ) خاطئة، فإن عبارة "هذه العبارة خاطئة" خاطئة أيضاً. لذا، يجب أن تكون (أ) صحيحة. إن فرضية أن (أ) خاطئة تؤدي إلى استنتاج أن (أ) صحيحة، وهذا تناقض آخر. في كلتا الحالتين، تكون (أ) صحيحة وخاطئة في آنٍ واحد، وهذا ما يُعرف بالمفارقة.

تتضمن بعض الحلول الممكنة لهذه المفارقة رفض المنطق البولياني (وبالتالي مبدأ الثنائية ^{[ 14 ]} ) واستبداله بأي منطق متعدد القيم مثل المنطق الضبابي ، حيث يمكن أن تكون قيمة الصواب للعبارة أي عدد حقيقي بين 0 (يدل على " الخطأ ") و1 (يدل على " الصواب "). ^{[ 15 ] [ 16 ]}