منطق متعدد القيم

المنطق متعدد القيم (أو المنطق متعدد أو متعدد القيم ) هو حساب منطقي يتضمن أكثر من قيمتين صحيحتين . تقليديًا، في حساب أرسطو المنطقي ، كانت هناك قيمتان محتملتان فقط (أي صحيح وخاطئ ) لأي قضية . يمكن توسيع المنطق الكلاسيكي ثنائي القيم ليشمل منطقًا ذا n قيمة، حيث n أكبر من 2. من أكثر أنواع المنطق شيوعًا في الأدبيات: المنطق ثلاثي القيم (مثل منطق لوكاسيفيتش وكلين ، الذي يقبل القيم صحيح وخاطئ وغير معروف )، والمنطق رباعي القيم ، والمنطق سباعي القيم ، والمنطق تساعي القيم ، والمنطق محدود القيم (أو محدود القيم) الذي يتضمن أكثر من ثلاث قيم، والمنطق غير محدود القيم (أو غير محدود القيم)، مثل المنطق الضبابي ومنطق الاحتمالات .

تاريخ

أرسطو ، "أبو المنطق الثنائي" ^{[ 1 ]} ، أقرّ بقانون الوسط المرفوع ، لكنه ميّز تمييزًا هامًا حول مبدأ الثنائية. ففي كتابه ( في التفسير ، الفصل التاسع ) ^{[ 2 ]} ، جادل بأنّ العبارات المتعلقة بالأحداث المستقبلية لا يمكن أن تكون دائمًا صحيحة أو خاطئة بشكل قاطع. مع ذلك، لم يُطوّر هذه الفكرة إلى منطق متعدد القيم منهجي، بل بقيت استثناءً خاصًا ضمن إطاره الكلاسيكي. وقد اتبع المنطقيون هذا التقليد المنطقي الأرسطي حتى القرن العشرين، مستخدمين قانون الوسط المرفوع باستمرار مع إقرارهم بمخاوفه بشأن الاحتمالات المستقبلية. ولم تظهر بدائل منهجية للمنطق الكلاسيكي إلا في العصر الحديث.

أعاد القرن العشرون إحياء فكرة المنطق متعدد القيم. ففي عام ١٩٢٠، بدأ الفيلسوف والمنطقي البولندي يان لوكاسيفيتش في ابتكار أنظمة للمنطق متعدد القيم، مستخدمًا قيمة ثالثة، هي " الممكن" ، لمعالجة مفارقة أرسطو في معركة البحر . وفي الوقت نفسه، قدّم عالم الرياضيات الأمريكي إميل ل. بوست (١٩٢١) صياغة درجات صدق إضافية حيث n ≥ ٢، و n هي قيم الصدق. لاحقًا، صاغ يان لوكاسيفيتش وألفريد تارسكي معًا منطقًا قائمًا على n قيمة صدق حيث n ≥ ٢. وفي عام ١٩٣٢، صاغ هانز رايشنباخ منطقًا لقيم صدق متعددة حيث n → ∞. وفي عام ١٩٣٢ أيضًا، بيّن كورت غودل أن المنطق الحدسي ليس منطقًا ذا عدد محدود من القيم ، وعرّف نظامًا لمنطق غودل يقع بين المنطق الكلاسيكي والحدسي؛ وتُعرف هذه الأنواع من المنطق بالمنطق الوسيط .

أمثلة

كلين (قوي) $K 3$ ومنطق بريست $P 3$

منطق كلين "(القوي) لعدم التحديد" $K 3$ (أحيانًا) $K_{3}^{S}$ وتضيف "منطق المفارقة" لبريست قيمة صدق ثالثة غير محددة أو غير معينة $I.$ وتُعطى دوال الصدق للنفي (¬)، والاقتران (∧)، والفصل (∨)، والاستلزام ( → K )، والشرط الثنائي ( ↔ K ) على النحو التالي: ^[³^]

¬
$تي$	$F$
$أنا$	$أنا$
$F$	$تي$

∧	$تي$	$أنا$	$F$
$تي$	$تي$	$أنا$	$F$
$أنا$	$أنا$	$أنا$	$F$
$F$	$F$	$F$	$F$

∨	$تي$	$أنا$	$F$
$تي$	$تي$	$تي$	$تي$
$أنا$	$تي$	$أنا$	$أنا$
$F$	$تي$	$أنا$	$F$

→ ك	$تي$	$أنا$	$F$
$تي$	$تي$	$أنا$	$F$
$أنا$	$تي$	$أنا$	$أنا$
$F$	$تي$	$تي$	$تي$

↔ ك	$تي$	$أنا$	$F$
$تي$	$تي$	$أنا$	$F$
$أنا$	$أنا$	$أنا$	$أنا$
$F$	$F$	$أنا$	$تي$

يكمن الفرق بين المنطقين في كيفية تعريف التكرارات المنطقية . في منطق كلين $(K3)،$ تُعتبر $T$ فقط قيمةً منطقيةً مُحددة ، بينما في منطق بريست $(P3)،$ تُعتبر كل من $T$ و $I$ كذلك. (تُعتبر الصيغة المنطقية تكرارًا منطقيًا إذا كانت قيمتها المنطقية قيمةً منطقيةً مُحددة). في منطق كلين، يُمكن تفسير $I على أنها$ غير مُحددة ، أي ليست صحيحة ولا خاطئة، بينما في منطق بريست، $يُمكن تفسيرها على أنها مُحددة، أي أنها صحيحة وخاطئة في آنٍ واحد. لا يحتوي منطق كلين$ $على$ أي تكرارات منطقية ، بينما $يحتوي$ $منطق بريست$ على نفس التكرارات المنطقية الموجودة في المنطق الثنائي الكلاسيكي. ^{[ 4 ]}

منطق بوخفار الداخلي ثلاثي القيم

ثمة منطق آخر هو منطق ديمتري بوخفار الداخلي ثلاثي القيم $B_{3}^{I}$ ويُطلق عليه أيضاً منطق كلين الضعيف ثلاثي القيم. باستثناء النفي والشرط الثنائي، فإن جداول الصواب الخاصة به تختلف جميعها عن الجداول المذكورة أعلاه. ^{[ 5 ]}

∧ +	$تي$	$أنا$	$F$
$تي$	$تي$	$أنا$	$F$
$أنا$	$أنا$	$أنا$	$أنا$
$F$	$F$	$أنا$	$F$

∨ +	$تي$	$أنا$	$F$
$تي$	$تي$	$أنا$	$تي$
$أنا$	$أنا$	$أنا$	$أنا$
$F$	$تي$	$أنا$	$F$

→ +	$تي$	$أنا$	$F$
$تي$	$تي$	$أنا$	$F$
$أنا$	$أنا$	$أنا$	$أنا$
$F$	$تي$	$أنا$	$تي$

يمكن وصف قيمة الصدق الوسيطة في منطق بوخفار الداخلي بأنها معدية لأنها تنتشر في الصيغة بغض النظر عن قيمة أي متغير آخر. ^{[ 5 ]}

منطق بيلناب ( $ب 4$ )

يجمع منطق بيلناب $B 4 بين$ $K 3$ و $P 3.$ ويُرمز هنا إلى قيمة الحقيقة المحددة بشكل زائد بـ B، وإلى قيمة الحقيقة غير المحددة بـ N.

$f \neg$
$تي$	$F$
$ب$	$ب$
$شمال$	$شمال$
$F$	$تي$

$f \land$	$تي$	$ب$	$شمال$	$F$
$تي$	$تي$	$ب$	$شمال$	$F$
$ب$	$ب$	$ب$	$F$	$F$
$شمال$	$شمال$	$F$	$شمال$	$F$
$F$	$F$	$F$	$F$	$F$

$f \lor$	$تي$	$ب$	$شمال$	$F$
$تي$	$تي$	$تي$	$تي$	$تي$
$ب$	$تي$	$ب$	$تي$	$ب$
$شمال$	$تي$	$تي$	$شمال$	$شمال$
$F$	$تي$	$ب$	$شمال$	$F$

منطق غودل G _k و G _∞

في عام 1932 ، حدد غودل ^{[ 6 ]} عائلة $G_{k}$ من منطق متعدد القيم، مع عدد محدود من قيم الصواب $0,{\tfrac {1}{k-1}},{\tfrac {2}{k-1}},\ldots ,{\tfrac {k-2}{k-1}},1$ ، على سبيل المثال $G_{3}$ يتمتع بقيم الصدق $0,{\tfrac {1}{2}},1$ و $G_{4}$ لديه $0,{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1$ وبطريقة مماثلة، عرّف منطقاً ذا عدد لا نهائي من قيم الصدق. $G_{\infty }$ ، حيث تكون قيم الصواب هي جميع الأعداد الحقيقية في الفترة $[0,1]$ القيمة المنطقية المحددة في هذه المنطق هي 1.

حرف العطف $\wedge$ والانفصال $\vee$ يتم تعريفها على التوالي على أنها الحد الأدنى والحد الأقصى للمعاملات:

{\begin{aligned}u\wedge v&:=\min\{u,v\}\\u\vee v&:=\max\{u,v\}\end{aligned}}

النفي $\neg _{G}$ والتبعات ${\xrightarrow[{G}]{}}$ يتم تعريفها على النحو التالي:

\begin{aligned}\neg_{G}u&=\begin{cases}1,&{\text{إذا كان }}u=0\\0,&{\text{إذا كان }}u>0\end{cases}}\\[3pt]u\mathrel{\xrightarrow[{G}]{}}v&=\begin{cases}1,&{\text{إذا كان }}u\leq v\\v,&{\text{إذا كان }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}}

منطق غودل قابل للتحديد البديهي بالكامل، أي أنه من الممكن تعريف حساب منطقي تكون فيه جميع التكرارات قابلة للإثبات. الاستلزام المذكور أعلاه هو استلزام هايتينغ الفريد ، والذي يُعرَّف بحقيقة أن عمليات القيم العليا والدنيا تُشكِّل شبكة كاملة ذات قانون توزيع لانهائي، مما يُعرِّف بنية جبر هايتينغ كاملة وفريدة على الشبكة.

منطق Łukasiewicz $L v$ و $L \infty$

الآثار المترتبة ${\xrightarrow[{L}]{}}$ والنفي ${\underset {L}{\neg }}$ تم تعريفها بواسطة يان لوكاسيفيتش من خلال الوظائف التالية:

{\begin{aligned}{\underset {L}{\neg }}u&:=1-u\\u\mathrel {\xrightarrow[{L}]{}} v&:=\min\{1,1-u+v\}\end{محاذاة}}

في البداية، استخدم لوكاسيفيتش هذه التعريفات في عام 1920 لمنطقه ثلاثي القيم $L_{3}$ ، بقيم الصدق $0,{\frac {1}{2}},1$ في عام 1922، طور منطقًا ذا عدد لا نهائي من القيم $L_{\infty }$ ، حيث شملت قيم الصواب الأعداد الحقيقية في الفترة $[0,1]$ في كلتا الحالتين، كانت قيمة الحقيقة المحددة هي 1. ^{[ 7 ]}

من خلال اعتماد قيم الصدق المحددة بنفس طريقة تعريفها في منطق غودل $0,{\tfrac {1}{v-1}},{\tfrac {2}{v-1}},\ldots ,{\tfrac {v-2}{v-1}},1$ ، من الممكن إنشاء عائلة من المنطق ذات قيم محدودة $L_{v}$ المذكور أعلاه $L_{\infty }$ والمنطق $L_{\aleph _{0}}$ ، حيث تُعطى قيم الصواب بالأعداد النسبية في الفترة $[0,1]$ مجموعة التكرارات في $L_{\infty }$ و $L_{\aleph _{0}}$ متطابقان.

منطق المنتج $Π$

في منطق المنتج، لدينا قيم الصواب في الفترة $[0,1]$ ، أداة ربط $\odot$ ودلالة ضمنية ${\xrightarrow[{\Pi }]{}}$ ، كما هو موضح أدناه ^{[ 8 ]}

{\begin{aligned}u\odot v&:=uv\\u\mathrel {\xrightarrow[{\Pi }]{}} v&:={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\{\frac {v}{u}},&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}

بالإضافة إلى ذلك، هناك قيمة محددة سالبة ${\overline {0}}$ وهذا يدل على مفهوم الخطأ . ومن خلال هذه القيمة، يمكن تعريف النفي. ${\underset {\Pi }{\neg }}$ ورابط إضافي ${\underset {\Pi }{\wedge }}$ على النحو التالي:

{\begin{aligned}{\underset {\Pi }{\neg }}u&:=u\mathrel {\xrightarrow[{\Pi }]{}} {\overline {0}}\\u\mathbin {\underset {\Pi }{\wedge }} v&:=u\odot \left(u\mathrel {\xrightarrow[{\Pi) }]{}} v\يمين)\end{محاذاة}}

وثم $u\mathbin {\underset {\Pi }{\wedge }} v=\min\{u,v\}$ .

منطق ما بعد P _m

في عام 1921، حدد بوست مجموعة من المنطق $P_{m}$ مع (كما في $L_{v}$ و $G_{k}$ ) القيم الحقيقية $0,{\tfrac {1}{m-1}},{\tfrac {2}{m-1}},\ldots ,{\tfrac {m-2}{m-1}},1$ النفي ${\underset {P}{\neg }}$ والاقتران ${\underset {P}{\wedge }}$ والانفصال ${\underset {P}{\vee }}$ يتم تعريفها على النحو التالي:

{\begin{aligned}{\underset {P}{\neg }}u&:={\begin{cases}1,&{\text{if }}u=0\\u-{\frac {1}{m-1}},&{\text{if }}u\not =0\end{cases}}\\[6pt]u\mathbin {\underset {P}{\wedge }} v&:=\min\{u,v\}\\[6pt]u\mathbin {\underset {P}{\vee }} v&:=\max\{u,v\}\end{aligned}}

منطق الوردة

في عام 1951، حدد آلان روز عائلة أخرى من المنطق للأنظمة التي تشكل قيمها الحقيقية شبكات . ^{[ 9 ]}

العلاقة بالمنطق الكلاسيكي

تُعدّ الأنظمة المنطقية عادةً أنظمةً تهدف إلى تقنين قواعد الحفاظ على خاصية دلالية معينة للقضايا عبر التحويلات. في المنطق الكلاسيكي ، هذه الخاصية هي الصدق . في الحجة الصحيحة، يُضمن صدق القضية المستنتجة إذا كانت المقدمات صحيحة مجتمعةً، لأن تطبيق خطوات صحيحة يحافظ على هذه الخاصية. مع ذلك، لا يشترط أن تكون هذه الخاصية هي الصدق ؛ بل يمكن أن تكون مفهومًا آخر.

تهدف المنطق متعدد القيم إلى الحفاظ على خاصية التحديد (أو التعيين). ولأن هناك أكثر من قيمتين صحيحتين، فقد تهدف قواعد الاستدلال إلى الحفاظ على أكثر من مجرد القيمة التي تُطابق الحقيقة (بالمعنى ذي الصلة). على سبيل المثال، في المنطق ثلاثي القيم، تُحدد أحيانًا أكبر قيمتين صحيحتين (عندما تُمثلان بأعداد صحيحة موجبة مثلاً)، وتحافظ قواعد الاستدلال على هاتين القيمتين. تحديدًا، تكون الحجة الصحيحة هي التي تكون فيها قيمة المقدمات مجتمعة دائمًا أقل من أو تساوي النتيجة.

على سبيل المثال، قد تكون الخاصية المحفوظة هي التبرير ، وهو المفهوم الأساسي للمنطق الحدسي . وبالتالي، لا تكون القضية صحيحة أو خاطئة؛ بل هي مُبرَّرة أو معيبة. ويكمن أحد الفروق الرئيسية بين التبرير والحقيقة، في هذه الحالة، في عدم انطباق قانون الوسط المرفوع : فالقضية غير المعيبة ليست بالضرورة مُبرَّرة؛ بل لم يُثبت أنها معيبة فحسب. ويكمن الفرق الرئيسي في حتمية الخاصية المحفوظة: إذ يمكن إثبات أن القضية مُبرَّرة، أو أنها معيبة، أو عدم القدرة على إثبات أيٍّ منهما. ويحافظ الاستدلال الصحيح على التبرير عبر التحويلات، لذا تظل القضية المشتقة من قضايا مُبرَّرة مُبرَّرة. ومع ذلك، توجد براهين في المنطق الكلاسيكي تعتمد على قانون الوسط المرفوع؛ وبما أن هذا القانون غير قابل للاستخدام في هذا المخطط، فهناك قضايا لا يمكن إثباتها بهذه الطريقة.

أطروحة سوزكو

الاكتمال الوظيفي للمنطق متعدد القيم

الاكتمال الوظيفي مصطلح يُستخدم لوصف خاصية مميزة للمنطق والجبر المحدودين. يُقال إن مجموعة الروابط المنطقية في منطق ما مكتملة وظيفيًا أو كافية إذا وفقط إذا أمكن استخدام هذه المجموعة لبناء صيغة تُقابل كل دالة صدق ممكنة . ^{[ 10 ]} أما الجبر الكافي فهو الذي يمكن فيه التعبير عن كل تطبيق محدود للمتغيرات بتركيبة ما من عملياته. ^{[ 11 ]}

المنطق الكلاسيكي: CL = ({0,1}, ¬ , →, ∨, ∧, ↔) كامل وظيفيًا، بينما لا يمتلك أي منطق من منطق لوكاسيفيتش أو المنطق ذي القيم المتعددة اللانهائية هذه الخاصية. ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

يمكننا تعريف المنطق ذي القيم المتعددة المحدودة بأنه Lₙ ₍ {1, 2, ..., n } ƒ₁ _, ..., ƒₘ ₎ حيث n ≥ 2 عدد طبيعي معطى. يثبت بوست (1921) أنه بافتراض قدرة منطق ما على إنتاج دالة من أي نموذج ^{من الرتبة}m ، فإنه يوجد توليفة مقابلة من الروابط في منطق مناسب Lₙ _يمكنها إنتاج نموذج من الرتبة m+1 . ^[¹³^]

التطبيقات

يمكن تصنيف التطبيقات المعروفة للمنطق متعدد القيم تقريبًا إلى مجموعتين. ^{[ 14 ]} تستخدم المجموعة الأولى المنطق متعدد القيم لحل المسائل الثنائية بكفاءة أكبر. على سبيل المثال، يتمثل أحد الأساليب المعروفة لتمثيل دالة منطقية متعددة المخرجات في التعامل مع جزء المخرجات كمتغير متعدد القيم واحد وتحويله إلى دالة مميزة ذات مخرج واحد (وتحديدًا، دالة المؤشر ). تشمل التطبيقات الأخرى للمنطق متعدد القيم تصميم مصفوفات المنطق القابلة للبرمجة (PLAs) مع وحدات فك تشفير الإدخال، وتحسين آلات الحالة المحدودة ، والاختبار، والتحقق.

تستهدف المجموعة الثانية تصميم الدوائر الإلكترونية التي تستخدم أكثر من مستويين منفصلين من الإشارات، مثل الذاكرة متعددة القيم، والدوائر الحسابية، ومصفوفات البوابات المنطقية القابلة للبرمجة الميدانية (FPGAs). تتميز الدوائر متعددة القيم بعدد من المزايا النظرية مقارنةً بالدوائر الثنائية التقليدية. على سبيل المثال، يمكن تقليل التوصيلات الداخلية والخارجية على الشريحة إذا كانت الإشارات في الدائرة تأخذ أربعة مستويات أو أكثر بدلاً من مستويين فقط. في تصميم الذاكرة، يؤدي تخزين بتّين من المعلومات بدلاً من بت واحد لكل خلية ذاكرة إلى مضاعفة كثافة الذاكرة في نفس حجم الشريحة . غالبًا ما تستفيد التطبيقات التي تستخدم الدوائر الحسابية من استخدام بدائل لأنظمة الأعداد الثنائية. على سبيل المثال، يمكن لأنظمة الأعداد المتبقية والزائدة ^[¹⁵^] تقليل أو إزالة عمليات الحمل المتتالية التي تحدث في عمليات الجمع أو الطرح الثنائية العادية، مما يؤدي إلى عمليات حسابية عالية السرعة. تتميز هذه الأنظمة العددية بسهولة تطبيقها باستخدام الدوائر متعددة القيم. ومع ذلك، فإن جدوى هذه المزايا المحتملة تعتمد بشكل كبير على توافر تطبيقات الدوائر، والتي يجب أن تكون متوافقة أو منافسة للتقنيات القياسية الحالية. إضافةً إلى دورها في تصميم الدوائر الإلكترونية، تُستخدم المنطق متعدد القيم على نطاق واسع لاختبار الدوائر بحثًا عن الأعطال والعيوب. تتطلب جميع خوارزميات توليد أنماط الاختبار التلقائي (ATG) المعروفة المستخدمة لاختبار الدوائر الرقمية مُحاكيًا قادرًا على تحليل المنطق خماسي القيم (0، 1، x، D، D'). ^[¹⁶^] تمثل القيم الإضافية - x وD وD' - ما يلي: (1) قيمة غير معروفة/غير مُهيأة، (2) قيمة 0 بدلًا من 1، و(3) قيمة 1 بدلًا من 0.

يُعدّ مجال معالجة المعلومات الكمومية مجالًا ثالثًا للتطبيقات ، حيث لا تكون وحدة الحساب الطبيعية بالضرورة كيوبت ثنائي . الكيوديت هو نظام كمومي ذو مستويات منفصلة (d > 2)، ويمكن لبروتوكولات الاتصال الكمومي التي تستخدم الكيوديتات تحقيق سعات قنوات أعلى وضمانات أمنية أقوى من البروتوكولات القائمة على الكيوبتات. يُوصف التركيب الجبري لعمليات الكيوديت بشكل طبيعي بواسطة منطق متعدد القيم على نفس عدد المستويات، وقد استكشفت العديد من المجموعات البحثية توليف وتحسين الدوائر الكمومية للكوديتات باستخدام مفاهيم المنطق متعدد القيم كأساس. تدعم المنصات الضوئية، على وجه الخصوص، التشفير عالي الأبعاد في درجات الحرية مثل التردد، والزخم الزاوي المداري، والفترات الزمنية، مما يجعل الاتصال الكمومي القائم على الكيوديتات مجالًا نشطًا للتطوير التجريبي. ^{[ 17 ]}

أماكن البحث

يُعقد مؤتمر IEEE الدولي حول المنطق متعدد القيم (ISMVL) سنويًا منذ عام 1970. ويتناول المؤتمر في معظمه تطبيقات التصميم الرقمي والتحقق منه. [ 18 ] ^{كما توجد مجلة} متخصصة في المنطق متعدد القيم والحوسبة المرنة . ^{[ 19 ]}

انظر أيضاً

المنطق الرياضي

المنطق الفلسفي

المنطق الرقمي

MVCML ، منطق الوضع الحالي متعدد القيم
معيار IEEE 1164 هو معيار ذو تسع قيم للغة VHDL
معيار IEEE 1364 هو معيار رباعي القيم للغة Verilog
منطق ثلاثي الحالات
المنطق القائم على الضوضاء

مراجع

↑ هيرلي، باتريك. مقدمة موجزة في المنطق ، الطبعة التاسعة. (2006).
↑ جول فيليمين، الضرورة أم الاحتمال ، ملاحظات محاضرات CSLI، رقم 56، ستانفورد، 1996، ص 133-167
↑ ( غوتوالد 2005 ، ص 19)
↑ همبرستون ، لويد (2011). الروابط . كامبريدج، ماساتشوستس: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ص 201. ISBN 978-0-262-01654-4.
1 2 ( بيرغمان 2008 ، ص 80)
^ جودل ، كورت (1932). "Zum intuitionistischen Aussagenkalkül". Anzeiger der Akademie der Wissenschaften في فيينا (69): 65f.
^ كريسر، لوثار؛ جوتوالد، سيغفريد. ستيلزنر، فيرنر (1990). المنطق الكلاسيكي. عين اينفورونج . برلين: أكاديمي-فيرلاغ. ص 41 وما يليها – 45 وما يليها. رقم ISBN 978-3-05-000274-3.
↑ هاجيك، بيتر: المنطق الضبابي . في: إدوارد ن. زالتا: موسوعة ستانفورد للفلسفة ، ربيع 2009. ()
↑ روز، آلان (ديسمبر 1951). "أنظمة منطقية تشكل قيمها المنطقية شبكات". حوليات الرياضيات . 123 : 152-165 . doi : 10.1007/BF02054946 . S2CID 119735870 .
↑ سميث، نيكولاس (2012). المنطق: قوانين الحقيقة . مطبعة جامعة برينستون. ص 124.
1 2 مالينوفسكي، غريغورز (1993). منطق القيم المتعددة . مطبعة كلارندون. ص 26-27 .
↑ تشرش، ألونسو (1996). مقدمة في المنطق الرياضي . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-02906-1.
↑ بوست، إميل ل. (1921). "مقدمة لنظرية عامة للمسائل الأولية". المجلة الأمريكية للرياضيات . 43 (3): 163-185 . doi : 10.2307/2370324 . hdl : 2027/uiuo.ark:/13960/t9j450f7q . ISSN 0002-9327 . JSTOR 2370324 .
↑ دوبروفا، إيلينا (2002). توليف وتحسين المنطق متعدد القيم ، في حسون س. وساساو ت.، محررين، توليف المنطق والتحقق منه ، دار نشر كلوير الأكاديمية، ص 89-114
↑ ميهر، برامود كومار؛ فالس، خافيير؛ جوانغ، تسو-بينغ؛ سريدهاران، ك.؛ ماهاراتنا، كوشيك (22 أغسطس/آب 2008). "50 عامًا من كورديك: الخوارزميات، والبنى، والتطبيقات" (ملف PDF) . معاملات IEEE في الدوائر والأنظمة I: أوراق بحثية منتظمة . 56 (9) (نُشر في 9 سبتمبر/أيلول 2009): 1893-1907 . doi : 10.1109/TCSI.2009.2025803 . S2CID 5465045. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 9 أكتوبر/تشرين الأول 2022. تم الاسترجاع في 3 يناير/كانون الثاني 2016 .
↑ أبراموفيتشي، ميرون؛ بروير ، ملفين أ.؛ فريدمان، آرثر د. (1994). اختبار الأنظمة الرقمية والتصميم القابل للاختبار . نيويورك: مطبعة علوم الحاسوب. ص 183. ISBN 978-0-7803-1062-9.
↑ إرهارد، مانويل؛ كرين، ماريو؛ زيلينجر، أنطون (2020). "تطورات في التشابك الكمي عالي الأبعاد". مجلة نيتشر ريفيوز فيزيكس . 2 (7): 365-381 . arXiv : 1911.10006 . doi : 10.1038/s42254-020-0193-5 .
↑ "ندوة IEEE الدولية حول المنطق متعدد القيم (ISMVL)" . www.informatik.uni-trier.de/~ley . مؤرشف من الأصل في 20 أبريل 2011. تم الاطلاع عليه في 16 أبريل 2011 .
↑ "الصفحة الرئيسية لـ MVLSC" . مؤرشف من الأصل في 15 مارس 2014. تم الاطلاع عليه في 12 أغسطس 2011 .

للمزيد من القراءة

عام

أوغوستو، لويس م. (2017). المنطق متعدد القيم: مقدمة رياضية وحسابية. لندن: منشورات الكلية. 340 صفحة. ISBN 978-1-84890-250-3. صفحة على الإنترنت
بيزيو جيه-واي (1997)، ما هو المنطق متعدد القيم ؟ وقائع الندوة الدولية السابعة والعشرين حول المنطق متعدد القيم ، جمعية IEEE للحاسبات، لوس ألاميتوس، ص 117-121.
مالينوفسكي، غريغورز، (2001)، منطق القيم المتعددة، في غوبل، لو، محرر، دليل بلاكويل للمنطق الفلسفي . بلاكويل.
بيرغمان، ميري (2008)، مقدمة في المنطق متعدد القيم والمنطق الضبابي: الدلالات والجبر وأنظمة الاشتقاق ، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-88128-9
Cignoli، RLO، D'Ottaviano، I، ML ، Mundici، D.، (2000). الأسس الجبرية للاستدلال متعدد القيم . كلوير.
مالينوفسكي، غريغورز (1993). منطق القيم المتعددة . مطبعة كلارندون. ISBN 978-0-19-853787-8.
إس. جوتوالد ، رسالة في المنطق متعدد القيم. دراسات في المنطق والحوسبة، المجلد 9، دار نشر الدراسات البحثية: بالدوك، هيرتفوردشاير، إنجلترا، 2001.
غوتوالد، سيغفريد (2005). "المنطق متعدد القيم" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل في 3 مارس 2016.{{cite journal}}يتطلب Cite journal |journal=( مساعدة ) CS1 maint: bot: حالة عنوان URL الأصلي غير معروفة ( رابط )
ميلر، د. مايكل؛ ثورنتون، ميتشل أ. (2008). المنطق متعدد القيم: المفاهيم والتمثيلات . محاضرات تركيبية حول الدوائر والأنظمة الرقمية. المجلد 12. دار مورغان وكلايبول للنشر. ISBN 978-1-59829-190-2.
هاجيك ب. ، (1998)، ما وراء الرياضيات للمنطق الضبابي . كلوير. (المنطق الضبابي مفهوم على أنه منطق متعدد القيم فريد من نوعه .)

محدد

ألكسندر زينوفييف ، المشكلات الفلسفية للمنطق متعدد القيم ، شركة دي ريدل للنشر، 169 صفحة، 1963.
بريور أ. 1957، الزمان والأسلوب. مطبعة جامعة أكسفورد ، استنادًا إلى محاضراته عن جون لوك عام 1956
Goguen JA 1968/69، منطق المفاهيم غير الدقيقة ، Synthese، 19، 325-373.
Chang CC and Keisler HJ 1966. Continuous Model Theory , Princeton, Princeton University Press.
جيرلا ج. 2001، المنطق الضبابي: أدوات رياضية للاستدلال التقريبي ، دار نشر كلوير الأكاديمية، دوردريخت.
Novák, V., Perfilieva, I., Močkoř, J., (1999)، المبادئ الرياضية للمنطق الضبابي . كلوير، بوسطن.
Pavelka J. 1979، حول المنطق الضبابي الأول: قواعد الاستدلال متعددة القيم ، Zeitschr. f. math. Logik und Grundlagen d. Math.، 25، 45-52.
ميتكالف، جورج؛ أوليفيتي، نيكولا؛ دوف م. غاباي (2008). نظرية البرهان للمنطق الضبابي . سبرينغر. ISBN 978-1-4020-9408-8.كما يغطي نظرية الإثبات للمنطق متعدد القيم، على غرار تقليد هاجيك.
هانله، راينر (1993). الاستدلال الآلي في المنطق متعدد القيم . مطبعة كلارندون. ISBN 978-0-19-853989-6.
أزيفيدو، فرانسيسكو (2003). حل القيود على المنطق متعدد القيم: تطبيق على الدوائر الرقمية . دار نشر IOS. رقم ISBN 978-1-58603-304-0.
بولك، ليونارد؛ بورويك، بيوتر (2003). منطق القيم المتعددة 2: الاستدلال الآلي والتطبيقات العملية . سبرينغر. ISBN 978-3-540-64507-8.
ستانكوفيتش، رادومير س.؛ أستولا، جاكو ت.؛ موراغا، كلاوديو (2012). تمثيل الدوال المنطقية متعددة القيم . دار مورغان وكلايبول للنشر. doi : 10.2200/S00420ED1V01Y201205DCS037 . ISBN 978-1-60845-942-1.
أبراموفيتشي، ميرون؛ بروير، ملفين أ.؛ فريدمان، آرثر د. (1994). اختبار الأنظمة الرقمية والتصميم القابل للاختبار . نيويورك: مطبعة علوم الحاسوب. ISBN 978-0-7803-1062-9.

روابط خارجية

غوتوالد، سيغفريد (2022). "المنطق متعدد القيم" . في زالتا، إدوارد ن. (محرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة (طبعة صيف 2022) .
شرامكو، ياروسلاف ووانسينغ، هاينريش (2021). "قيم الحقيقة" . في زالتا، إدوارد ن. (محرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة (طبعة شتاء 2021) .
اللجنة الفنية المعنية بالمنطق متعدد القيم التابعة لجمعية مهندسي الكهرباء والإلكترونيات (IEEE)
مصادر لمنطق القيم المتعددة، من تأليف راينر هانله، جامعة تشالمرز
خادم W3 متعدد القيم المنطقية (مؤرشف)
ياروسلاف شرامكو؛ هاينريش وانسينغ (2020). "أطروحة سوزكو" . موسوعة ستانفورد للفلسفة .
كارلوس كاليرو، ووالتر كارنيلي، ومارسيلو إي. كونيلو، وجواو ماركوس، "رفقة اثنين: خداع القيم المنطقية المتعددة". مؤرشف في 29 سبتمبر 2014 على موقع Wayback Machine ، ضمن كتاب جان إيف بيزيو (محرر) (2007). Logica Universalis: نحو نظرية عامة للمنطق ( الطبعة الثانية). Springer Science & Business Media. الصفحات 174-194 . ISBN 978-3-7643-8354-1.

[1] هيرلي، باتريك. مقدمة موجزة في المنطق ، الطبعة التاسعة. (2006).

[2] جول فيليمين، الضرورة أم الاحتمال ، ملاحظات محاضرات CSLI، رقم 56، ستانفورد، 1996، ص 133-167

[3] ( غوتوالد 2005 ، ص 19)

[4] همبرستون ، لويد (2011). الروابط . كامبريدج، ماساتشوستس: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ص 201. ISBN 978-0-262-01654-4.

[Bergmann_2008_80-5] 1 2 ( بيرغمان 2008 ، ص 80)

[6] جودل ، كورت (1932). "Zum intuitionistischen Aussagenkalkül". Anzeiger der Akademie der Wissenschaften في فيينا (69): 65f.

[7] كريسر، لوثار؛ جوتوالد، سيغفريد. ستيلزنر، فيرنر (1990). المنطق الكلاسيكي. عين اينفورونج . برلين: أكاديمي-فيرلاغ. ص 41 وما يليها – 45 وما يليها. رقم ISBN 978-3-05-000274-3.

[8] هاجيك، بيتر: المنطق الضبابي . في: إدوارد ن. زالتا: موسوعة ستانفورد للفلسفة ، ربيع 2009. ()

[9] روز، آلان (ديسمبر 1951). "أنظمة منطقية تشكل قيمها المنطقية شبكات". حوليات الرياضيات . 123 : 152-165 . doi : 10.1007/BF02054946 . S2CID 119735870 .

[10] سميث، نيكولاس (2012). المنطق: قوانين الحقيقة . مطبعة جامعة برينستون. ص 124.

[:02-11] 1 2 مالينوفسكي، غريغورز (1993). منطق القيم المتعددة . مطبعة كلارندون. ص 26-27 .

[12] تشرش، ألونسو (1996). مقدمة في المنطق الرياضي . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-02906-1.

[13] بوست، إميل ل. (1921). "مقدمة لنظرية عامة للمسائل الأولية". المجلة الأمريكية للرياضيات . 43 (3): 163-185 . doi : 10.2307/2370324 . hdl : 2027/uiuo.ark:/13960/t9j450f7q . ISSN 0002-9327 . JSTOR 2370324 .

[14] دوبروفا، إيلينا (2002). توليف وتحسين المنطق متعدد القيم ، في حسون س. وساساو ت.، محررين، توليف المنطق والتحقق منه ، دار نشر كلوير الأكاديمية، ص 89-114

[Meher_2009-15] ميهر، برامود كومار؛ فالس، خافيير؛ جوانغ، تسو-بينغ؛ سريدهاران، ك.؛ ماهاراتنا، كوشيك (22 أغسطس/آب 2008). "50 عامًا من كورديك: الخوارزميات، والبنى، والتطبيقات" (ملف PDF) . معاملات IEEE في الدوائر والأنظمة I: أوراق بحثية منتظمة . 56 (9) (نُشر في 9 سبتمبر/أيلول 2009): 1893-1907 . doi : 10.1109/TCSI.2009.2025803 . S2CID 5465045. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 9 أكتوبر/تشرين الأول 2022. تم الاسترجاع في 3 يناير/كانون الثاني 2016 .

[Abramovici_1994-16] أبراموفيتشي، ميرون؛ بروير ، ملفين أ.؛ فريدمان، آرثر د. (1994). اختبار الأنظمة الرقمية والتصميم القابل للاختبار . نيويورك: مطبعة علوم الحاسوب. ص 183. ISBN 978-0-7803-1062-9.

[17] إرهارد، مانويل؛ كرين، ماريو؛ زيلينجر، أنطون (2020). "تطورات في التشابك الكمي عالي الأبعاد". مجلة نيتشر ريفيوز فيزيكس . 2 (7): 365-381 . arXiv : 1911.10006 . doi : 10.1038/s42254-020-0193-5 .

[18] "ندوة IEEE الدولية حول المنطق متعدد القيم (ISMVL)" . www.informatik.uni-trier.de/~ley . مؤرشف من الأصل في 20 أبريل 2011. تم الاطلاع عليه في 16 أبريل 2011 .

[19] "الصفحة الرئيسية لـ MVLSC" . مؤرشف من الأصل في 15 مارس 2014. تم الاطلاع عليه في 12 أغسطس 2011 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 12 ]

[

[ 14 ]

[

[

[ 17 ]

كما توجد مجلة

[ 19 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗