نظرية باكنغهام باي

لنفترض أن لدينا كميات${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}}$، حيث وحدات${\displaystyle q_{i}}$يحتوي على طول مرفوع إلى قوة${\displaystyle c_{i}}$إذا قمنا في الأصل بقياس الطول بالأمتار ثم انتقلنا لاحقًا إلى السنتيمترات، فإن القيمة العددية لـ${\displaystyle q_{i}}$سيتم إعادة قياسها بمعامل قدره${\displaystyle 100^{c_{i}}}$ينبغي أن يكون أي قانون ذو معنى فيزيائي ثابتًا تحت إعادة تحجيم تعسفية لكل وحدة أساسية؛ هذه هي الحقيقة التي تعتمد عليها نظرية باي.

بالنظر إلى نظام من${\displaystyle n}$المتغيرات البُعدية${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{n}}$في${\displaystyle \ell }$الأبعاد الأساسية (الأساسية)، مصفوفة الأبعاد هي${\displaystyle \ell \times n}$مصفوفة${\displaystyle M}$لمن${\displaystyle \ell }$تتوافق الصفوف مع الأبعاد الأساسية والتي${\displaystyle n}$تمثل الأعمدة أبعاد المتغيرات:${\displaystyle (i,j)}$المدخل رقم (حيث${\displaystyle 1\leq i\leq \ell }$و${\displaystyle 1\leq j\leq n}$) هي قوة${\displaystyle i}$البعد الأساسي في${\displaystyle j}$المتغير رقم 1. يمكن تفسير المصفوفة على أنها تأخذ مزيجًا من كميات المتغيرات وتعطي أبعاد هذا المزيج بدلالة الأبعاد الأساسية. لذا فإن${\displaystyle \ell \times 1}$المتجه (العمودي) الناتج عن عملية الضرب $${\displaystyle M{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}}$$ يتكون من وحدات $${\displaystyle q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}}}$$ فيما يتعلق بـ${\displaystyle \ell }$الوحدات الأساسية المستقلة (الأساسية). ^{[ ملاحظة 3 ]}

إذا قمنا بتغيير حجم${\displaystyle i}$الوحدة الأساسية بمعامل${\displaystyle \alpha _{i}}$، ثم${\displaystyle q_{j}}$يتم تغيير حجمها بواسطة${\displaystyle \alpha _{1}^{-m_{1j}}\,\alpha _{2}^{-m_{2j}}\cdots \alpha _{\ell }^{-m_{\ell j}}}$، أين${\displaystyle m_{ij}}$هو${\displaystyle (i,j)}$العنصر رقم n في المصفوفة ذات الأبعاد n. لتحويل هذا إلى مسألة جبر خطي ، نأخذ اللوغاريتمات (الأساس غير مهم)، مما ينتج عنه:$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log {q_{1}}\\\vdots \\\log {q_{n}}\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}\log {q_{1}}\\\vdots \\\log {q_{n}}\end{bmatrix}}-M^{\operatorname {T} }{\begin{bmatrix}\log {\alpha _{1}}\\\vdots \\\log {\alpha _{\ell }}\end{bmatrix}},}$$وهو فعل من أفعال${\displaystyle \mathbb {R} ^{\ell }}$على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$نُعرّف القانون الفيزيائي بأنه دالة اختيارية${\displaystyle f\colon (\mathbb {R} ^{+})^{n}\to \mathbb {R} }$بحيث${\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$هي مجموعة القيم المسموح بها للنظام الفيزيائي عندما${\displaystyle f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})=0}$ونحتاج كذلك${\displaystyle f}$أن يكون ثابتًا تحت هذا الإجراء. ومن ثمّ ينحدر إلى دالة.${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}/\operatorname {im} {M^{\operatorname {T} }}\to \mathbb {R} }$كل ما تبقى هو إظهار التماثل بين${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\operatorname {im} {M^{\operatorname {T} }}}$و${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$، الفضاء اللوغاريتمي لمجموعات باي${\displaystyle (\log {\pi _{1}},\log {\pi _{2}},\dots ,\log {\pi _{p}})}$.

نقوم بإنشاء${\displaystyle n\times p}$مصفوفة${\displaystyle K}$أعمدتها تشكل أساسًا لـ${\displaystyle \ker {M}}$يوضح لنا كيفية تضمين${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$داخل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$باعتبارها نواة${\displaystyle M}$أي أن لدينا تسلسلاً تاماً

${\displaystyle 0\to \mathbb {R} ^{p}\xrightarrow {\ K\ } \mathbb {R} ^{n}\xrightarrow {\ M\ } \mathbb {R} ^{\ell }.}$

يؤدي إجراء عمليات النقل إلى الحصول على متتالية تامة أخرى

${\displaystyle \mathbb {R} ^{\ell }\xrightarrow {\ M^{\operatorname {T} }\ } \mathbb {R} ^{n}\xrightarrow {\ K^{\operatorname {T} }\ } \mathbb {R} ^{p}\to 0.}$

تُنتج نظرية التشاكل الأولى التشاكل المطلوب، الذي يُرسل المجموعة المشاركة${\displaystyle v+M^{\operatorname {T} }\mathbb {R} ^{\ell }}$ل${\displaystyle K^{\operatorname {T} }v}$وهذا يتوافق مع إعادة كتابة المجموعة المرتبة${\displaystyle (\log q_{1},\log q_{2},\dots ,\log q_{n})}$إلى مجموعات باي${\displaystyle (\log \pi _{1},\log \pi _{2},\dots ,\log \pi _{p})}$مأخوذة من أعمدة${\displaystyle K}$.

يُعرّف النظام الدولي للوحدات سبع وحدات أساسية، وهي: الأمبير، والكلفن، والثانية، والمتر، والكيلوغرام، والشمعة، والمول . ومن المفيد أحيانًا إدخال وحدات أساسية وتقنيات إضافية لتحسين أسلوب التحليل البُعدي. (انظر التحليل الاتجاهي والمرجع ^{[ 9 ]} ).

هذا المثال بسيط ولكنه يُستخدم لتوضيح الإجراء.

لنفترض أن سيارة تسير بسرعة 100  كم/ساعة؛ كم من الوقت تستغرق لقطع مسافة 200  كم؟

يتناول هذا السؤال${\displaystyle n=3}$المتغيرات ذات الأبعاد: المسافة${\displaystyle d,}$وقت${\displaystyle t,}$والسرعة${\displaystyle v,}$ونحن نسعى للحصول على قانون من هذا القبيل${\displaystyle t=\operatorname {Duration} (v,d).}$أي متغيرين من هذه المتغيرات مستقلان بُعديًا، لكن المتغيرات الثلاثة مجتمعة ليست كذلك. وبالتالي، هناك${\displaystyle p=n-k=3-2=1}$كمية بلا أبعاد.

المصفوفة ذات الأبعاد هي $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0&\;\;\;1\\0&1&-1\end{bmatrix}}}$$ حيث تتوافق الصفوف مع أبعاد الأساس${\displaystyle L}$و${\displaystyle T,}$والأعمدة وفقًا للأبعاد المحددة${\displaystyle L,T,{\text{ and }}V,}$حيث يرمز الأخير إلى بُعد السرعة. وتتوافق عناصر المصفوفة مع القوى التي تُرفع إليها الأبعاد المعنية. على سبيل المثال، العمود الثالث${\displaystyle (1,-1),}$تنص على أن${\displaystyle V=L^{0}T^{0}V^{1},}$ممثل بواسطة متجه العمود${\displaystyle \mathbf {v} =[0,0,1],}$يمكن التعبير عنها بدلالة أبعاد الأساس كما يلي${\displaystyle V=L^{1}T^{-1}=L/T,}$منذ${\displaystyle M\mathbf {v} =[1,-1].}$

لثابت عديم الأبعاد${\displaystyle \pi =L^{a_{1}}T^{a_{2}}V^{a_{3}},}$نحن نبحث عن متجهات${\displaystyle \mathbf {a} =[a_{1},a_{2},a_{3}]}$بحيث يكون حاصل ضرب المصفوفة في المتجه${\displaystyle M\mathbf {a} }$يساوي متجه الصفر${\displaystyle [0,0].}$في الجبر الخطي، تُعرف مجموعة المتجهات التي تتمتع بهذه الخاصية باسم نواة (أو فضاء صفري) المصفوفة البُعدية. في هذه الحالة تحديدًا، تكون النواة أحادية البُعد. المصفوفة البُعدية كما هو موضح أعلاه مكتوبة في شكل صفوف مُختزل ، لذا يُمكن قراءة متجه النواة غير الصفري بدقة تصل إلى ثابت ضربي. $${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}-1\\\;\;\;1\\\;\;\;1\\\end{bmatrix}}.}$$

إذا لم تكن المصفوفة ذات الأبعاد مُختزلة بالفعل، فيمكن تطبيق طريقة جاوس-جوردان للحذف على هذه المصفوفة لتحديد النواة بسهولة أكبر. وبناءً على ذلك، يمكن كتابة الثابت عديم الأبعاد، باستبدال الأبعاد بالمتغيرات المقابلة ذات الأبعاد، على النحو التالي: $${\displaystyle \pi =d^{-1}t^{1}v^{1}=tv/d.}$$

بما أن النواة معرفة فقط ضمن ثابت ضربي، فإن الثابت عديم الأبعاد المذكور أعلاه مرفوعًا إلى أي قوة عشوائية ينتج عنه ثابت آخر عديم الأبعاد (مكافئ).

وبذلك، قدم التحليل البُعدي معادلة عامة تربط بين المتغيرات الفيزيائية الثلاثة: $${\displaystyle F(\pi )=0,}$$ أو السماح${\displaystyle C}$يشير إلى جذر الدالة${\displaystyle F,}$$${\displaystyle \pi =C,}$$ والتي يمكن كتابتها بالشكل المطلوب (والتي تذكر أنها كانت${\displaystyle t=\operatorname {Duration} (v,d)}$) مثل $${\displaystyle t=C{\frac {d}{v}}.}$$

العلاقة الفعلية بين المتغيرات الثلاثة هي ببساطة${\displaystyle d=vt.}$بمعنى آخر، في هذه الحالة${\displaystyle F}$للمعادلة جذر واحد ذو دلالة فيزيائية، وهو الواحد. وحقيقة أن قيمة واحدة فقط من${\displaystyle C}$سوف يفعل ذلك وأن قيمته تساوي 1 لا يتم الكشف عنها بواسطة تقنية التحليل البُعدي.

نرغب في تحديد الفترة${\displaystyle T}$من التذبذبات الصغيرة في البندول البسيط . وسيُفترض أنها دالة للطول${\displaystyle L,}$الكتلة${\displaystyle M,}$والتسارع الناتج عن الجاذبية على سطح الأرض${\displaystyle g,}$والذي له أبعاد الطول مقسومة على مربع الزمن. النموذج على الشكل التالي: $${\displaystyle f(T,M,L,g)=0.}$$

(لاحظ أنها مكتوبة كعلاقة، وليس كدالة:${\displaystyle T}$لم يُكتب هنا كدالة لـ${\displaystyle M,L,{\text{ and }}g.}$)

الدورة والكتلة والطول مستقلة عن الأبعاد، لكن يمكن التعبير عن التسارع بدلالة الزمن والطول، مما يعني أن المتغيرات الأربعة مجتمعة ليست مستقلة عن الأبعاد. لذا نحتاج فقط${\displaystyle p=n-k=4-3=1}$معامل لا بُعدي، يُرمز إليه بـ${\displaystyle \pi ,}$ويمكن إعادة صياغة النموذج على النحو التالي $${\displaystyle F(\pi )=0,}$$ أين${\displaystyle \pi }$يُعطى بواسطة $${\displaystyle \pi =T^{a_{1}}M^{a_{2}}L^{a_{3}}g^{a_{4}}}$$ لبعض قيم${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}.}$

أبعاد الكميات ذات الأبعاد هي: $${\displaystyle T=t,M=m,L=\ell ,g=\ell /t^{2}.}$$

المصفوفة ذات الأبعاد هي: $${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}1&0&0&-2\\0&1&0&0\\0&0&1&1\end{bmatrix}}.}$$

(تتوافق الصفوف مع الأبعاد)${\displaystyle t,m,}$و${\displaystyle \ell ,}$والأعمدة الخاصة بالمتغيرات البُعدية${\displaystyle T,M,L,{\text{ and }}g.}$على سبيل المثال، العمود الرابع،${\displaystyle (-2,0,1),}$تنص على أن${\displaystyle g}$للمتغير أبعاد${\displaystyle t^{-2}m^{0}\ell ^{1}.}$)

نحن نبحث عن متجه النواة${\displaystyle a=\left[a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right]}$بحيث يكون حاصل ضرب المصفوفة لـ${\displaystyle \mathbf {M} }$على${\displaystyle a}$ينتج عنه المتجه الصفري${\displaystyle [0,0,0].}$المصفوفة ذات الأبعاد كما هو مكتوب أعلاه هي في شكل صفوف مخفضة، لذلك يمكن قراءة متجه النواة داخل ثابت ضربي: $${\displaystyle a={\begin{bmatrix}2\\0\\-1\\1\end{bmatrix}}.}$$

لو لم تكن المصفوفة مُختزلة بالفعل، لكان بالإمكان تطبيق طريقة جاوس-جوردان للحذف على المصفوفة ذات الأبعاد المختلفة لتحديد النواة بسهولة أكبر. وبناءً على ذلك، يمكن كتابة الثابت عديم الأبعاد على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=T^{2}M^{0}L^{-1}g^{1}\\&=gT^{2}/L\end{aligned}}.}$$ من حيث المبدأ: $${\displaystyle \pi =(t)^{2}(m)^{0}(\ell )^{-1}\left(\ell /t^{2}\right)^{1}=1,}$$ وهو ثابت بلا أبعاد. وبما أن النواة معرفة فقط ضمن ثابت ضربي، فإذا رُفع الثابت عديم الأبعاد المذكور أعلاه إلى أي قوة اختيارية، فسينتج عنه ثابت آخر مكافئ عديم الأبعاد.

في هذا المثال، ثلاث من الكميات ذات الأبعاد الأربعة هي وحدات أساسية، لذا فإن الأخيرة (وهي${\displaystyle g}$يجب أن يكون ) مزيجًا مما سبق. لاحظ أنه إذا${\displaystyle a_{2}}$(معامل${\displaystyle M}$لو كانت القيمة غير صفرية، لما كان هناك سبيل لإلغاء${\displaystyle M}$القيمة؛ لذلك${\displaystyle a_{2}}$يجب أن تكون القيمة صفرًا. وقد سمح لنا التحليل البُعدي بالاستنتاج بأن دورة البندول ليست دالة لكتلته.${\displaystyle M.}$(في الفضاء ثلاثي الأبعاد لقوى الكتلة والزمن والمسافة، يمكننا القول إن متجه الكتلة مستقل خطيًا عن متجهات المتغيرات الثلاثة الأخرى. باستثناء عامل قياس،${\displaystyle {\vec {g}}+2{\vec {T}}-{\vec {L}}}$(هي الطريقة الوحيدة غير التافهة لإنشاء متجه لمعامل عديم الأبعاد.)

يمكن الآن التعبير عن النموذج على النحو التالي: $${\displaystyle F\left(gT^{2}/L\right)=0.}$$

وهذا يعني أن${\displaystyle gT^{2}/L=C_{i}}$لبعض الصفر${\displaystyle C_{i}}$من الوظيفة${\displaystyle F.}$إذا كان هناك صفر واحد فقط، فسمِّه${\displaystyle C,}$ثم${\displaystyle gT^{2}/L=C.}$يتطلب الأمر فهمًا أعمق للفيزياء أو تجربة لإثبات وجود صفر واحد فقط وأن الثابت يُعطى في الواقع بواسطة${\displaystyle C=4\pi ^{2}.}$

في حالة التذبذبات الكبيرة للبندول، يصبح التحليل أكثر تعقيدًا بسبب وجود مُعامل إضافي عديم الأبعاد، وهو زاوية التأرجح القصوى. ويُعدّ التحليل المذكور أعلاه تقريبًا جيدًا عندما تقترب الزاوية من الصفر .

لتوضيح تطبيق نظرية باي ، لنفترض استهلاك الطاقة لمحرك تقليب ذي شكل محدد. الطاقة، P ، في الأبعاد [M · L² ^/ T³ ^] ، هي دالة للكثافة ، ρ [ M/ ^L³ ]، ولزوجة السائل المراد تقليبه، μ [M/(L · T)]، بالإضافة إلى حجم المحرك المُعطى بقطره ، D [ L]، وسرعته الزاوية ، n [1/T]. بالتالي، لدينا إجمالاً n = 5 متغيرات تمثل مثالنا. تتكون هذه المتغيرات n = 5 من k = 3 أبعاد مستقلة، وهي: الطول: L ( وحدات النظام الدولي : م )، والزمن: T ( ث )، والكتلة: M ( كجم ).

وفقًا لنظرية باي ، يمكن اختزال المتغيرات n = 5 باستخدام الأبعاد k = 3 لتكوين p = n − k = 5 − 3 = 2 عددين مستقلين بلا أبعاد. عادةً ما يتم اختيار هذه الكميات على النحو التالي:${\textstyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho nD^{2}}{\mu }}}$، والذي يُعرف عادةً باسم رقم رينولدز ، والذي يصف نظام تدفق السوائل، و${\textstyle N_{\mathrm {p} }={\frac {P}{\rho n^{3}D^{5}}}}$، وهو رقم القوة ، وهو الوصف غير البعدي للمحرك.

لاحظ أن الكميتين عديمتي الأبعاد ليستا فريدتين، بل تعتمدان على أي من المتغيرات الخمسة (n = 5) يتم اختيارها كمتغيرات أساسية مستقلة بعديًا (k = 3)، والتي تظهر في هذه الحالة في كلتا الكميتين عديمتي الأبعاد. ويستنتج عدد رينولدز وعدد القوى من التحليل السابق إذا${\textstyle \rho }$يتم اختيار n و D لتكون المتغيرات الأساسية. أما إذا، بدلاً من ذلك ،${\textstyle \mu }$عند اختيار قيم n و D ، يتم استعادة رقم رينولدز بينما تصبح الكمية الثانية عديمة الأبعاد${\textstyle N_{\mathrm {Rep} }={\frac {P}{\mu D^{3}n^{2}}}}$نلاحظ أن${\textstyle N_{\mathrm {Rep} }}$هو ناتج ضرب رقم رينولدز ورقم القوة.

يمكن إيجاد مثال على التحليل البُعدي في حالة ميكانيكا قرص دوار رقيق وصلب ومتوازي الجوانب. تتضمن هذه الحالة خمسة متغيرات تُختزل إلى مجموعتين لا بُعديتين. ويمكن تحديد العلاقة بين هاتين المجموعتين من خلال تجربة عددية باستخدام، على سبيل المثال، طريقة العناصر المحدودة . ^{[ 10 ]}

وقد تم استخدام هذه النظرية أيضاً في مجالات أخرى غير الفيزياء، على سبيل المثال في علوم الرياضة . ^{[ 11 ]}