مشكلة جانب الحروق

تطرح مسألة بيرنسايد سؤالًا حول ما إذا كانت المجموعة المولدة نهائيًا، والتي يكون لكل عنصر فيها رتبة نهائية ، بالضرورة مجموعة نهائية . وقد طرحها ويليام بيرنسايد عام ١٩٠٢، مما يجعلها من أقدم المسائل في نظرية المجموعات ، وكان لها تأثير كبير في تطوير نظرية المجموعات التوافقية . ومن المعروف أن إجابتها سلبية بشكل عام، حيث قدم يفغيني غولود وإيغور شافاريفيتش مثالًا مضادًا عام ١٩٦٤. وللمسألة العديد من التحسينات والصيغ المختلفة التي تتباين في الشروط الإضافية المفروضة على رتب عناصر المجموعة (انظر " المحدودة" و "المقيدة" أدناه). ولا تزال بعض هذه الصيغ أسئلة مفتوحة .

أشارت الدراسات الأولية إلى الإجابة الإيجابية. على سبيل المثال، إذا كانت المجموعة G مولدة توليدًا منتهيًا، وكان ترتيب كل عنصر من عناصرها قاسمًا للعدد 4، فإن G تكون منتهية. علاوة على ذلك، تمكن ألي كوستريكين في عام 1958 من إثبات أنه من بين المجموعات المنتهية ذات عدد معين من المولدات وأس أولي معين، توجد مجموعة أكبر. وهذا يوفر حلاً لمسألة بيرنسايد المقيدة في حالة الأس الأولي. (لاحقًا، في عام 1989، تمكن إيفيم زيلمانوف من حل مسألة بيرنسايد المقيدة لأي أس). وكان إساي شور قد أثبت في عام 1911 أن أي مجموعة دورية مولدة توليدًا منتهيًا، والتي تُعد مجموعة جزئية من مجموعة المصفوفات المركبة القابلة للعكس من الرتبة n × n، تكون منتهية؛ وقد استخدم هذه النظرية لإثبات نظرية جوردان-شور . ^{[ 1 ]}

مع ذلك، تبين أن الإجابة العامة لمسألة بيرنسايد سلبية. ففي عام 1964، أنشأ غولود وشافاريفيتش زمرة لانهائية من نوع بيرنسايد دون افتراض أن جميع العناصر لها رتبة محدودة بانتظام. وفي عام 1968، قدم بيوتر نوفيكوف وسيرجي أديان حلاً سلبياً لمسألة الأس المحدود لجميع الأسس الفردية الأكبر من 4381، والذي حُسِّن لاحقاً بواسطة أديان إلى أس فردي أكبر من 665. ^{[ 2 ]} وفي عام 1982، وجد أ. يو. أولشانسكي بعض الأمثلة المضادة اللافتة للنظر للأسس الفردية الكبيرة بما فيه الكفاية (أكبر من 10 ^{^10} )، وقدم برهاناً أبسط بكثير قائماً على أفكار هندسية.

تبين أن مسألة الأسس الزوجية أكثر تعقيدًا. ففي عام ١٩٩٢، أعلن إس. في. إيفانوف عن الحل السلبي للأسس الزوجية الكبيرة بما يكفي والقابلة للقسمة على قوة كبيرة للعدد ٢ (نُشرت البراهين التفصيلية في عام ١٩٩٤ وامتدت على نحو ٣٠٠ صفحة). وفي وقت لاحق، أثبت عمل مشترك بين أولشانسكي وإيفانوف حلًا سلبيًا لمسألة مماثلة لمسألة بيرنسايد للمجموعات الزائدية ، شريطة أن يكون الأس كبيرًا بما يكفي. في المقابل، عندما يكون الأس صغيرًا ومختلفًا عن ٢ أو ٣ أو ٤ أو ٦، فإن المعلومات المتوفرة قليلة جدًا.

تُسمى المجموعة G دورية (أو ملتوية) إذا كان لكل عنصر فيها رتبة منتهية؛ بمعنى آخر، لكل g في G ، يوجد عدد صحيح موجب n بحيث يكون g ^_n = 1. من الواضح أن كل مجموعة منتهية دورية. توجد مجموعات سهلة التعريف، مثل المجموعة p∞ ^، وهي مجموعات دورية لانهائية؛ لكن هذه المجموعة الأخيرة لا يمكن توليدها توليدًا منتهيًا.

مسألة بيرنسايد العامة. إذا كانت G مجموعة دورية مولدة منتهية، فهل G منتهية بالضرورة؟

أجاب يفغيني غولود وإيغور شافاريفيتش على هذا السؤال بالنفي عام 1964 ، حيث قدّما مثالاً على زمرة p لانهائية مولدة توليداً منتهياً (انظر نظرية غولود-شافاريفيتش ). مع ذلك، فإن رتب عناصر هذه الزمرة ليست محدودة مسبقاً بثابت واحد.

مشكلة لم تُحل في الرياضيات

حيث m و n هما${\displaystyle B(m,n)}$محدود؟

المزيد من المسائل غير المحلولة في الرياضيات

يكمن جزء من صعوبة مسألة بيرنسايد العامة في أن شرطي التوليد المنتهي والدورية لا يُقدمان سوى معلومات ضئيلة جدًا حول البنية المحتملة للمجموعة. لذلك، نفرض شروطًا إضافية على G. لنفترض مجموعة دورية G تتمتع بخاصية إضافية، وهي وجود عدد صحيح أصغر n بحيث يكون لكل g في G ، يكون g n = 1. تُسمى المجموعة التي تتمتع بهذه الخاصية مجموعة دورية ذات أس محدود n ، أو ببساطة مجموعة ذات أس n . وتطرح مسألة بيرنسايد للمجموعات ذات الأس المحدود السؤال التالي:

مسألة بيرنسايد الأولى: إذا كانت G مجموعة مولدة نهائياً ذات أس n ، فهل G بالضرورة منتهية؟

يتضح أن هذه المسألة يمكن إعادة صياغتها كسؤال حول محدودية الزمر في عائلة معينة. زمرة بيرنسايد الحرة من الرتبة m والأس n ، والتي يُرمز لها _بـ B( m , n )، هي زمرة ذات m مولدات مميزة x₁ , ..., _xₘ ، حيث يتحقق الشرط xₙ = ¹ لجميع العناصر x ، وهي أكبر زمرة تحقق هذه الشروط. بتعبير أدق، الخاصية المميزة لـ B( m , n ) هي أنه، لأي زمرة G ذات m مولدات g₁ _, ..., gₘ وأس _n ، يوجد تشاكل وحيد من B( m , n ) إلى G يُسقط المولد i، _xᵢ، من B ( m , n ) إلى المولد i ، gᵢ _، من G. في لغة تمثيلات الزمر ، تمتلك زمرة بيرنسايد الحرة B( m , n ) _عدد m _من المولدات x₁ , ..., xₘ _، والعلاقة xₙ = ¹ لكل كلمة x في x₁ , ..., xₘ . ويمكن الحصول على أي زمرة G ذات m مولدات وأس n _منها بفرض علاقات إضافية. يُثبت وجود زمرة بيرنسايد الحرة وتفردها حتى التشاكل باستخدام تقنيات نظرية الزمر القياسية. بالتالي، إذا كانت G أي زمرة منتهية التوليد ذات أس n ، فإن G هي صورة متماثلة لـ B( m , n )، حيث m هو عدد مولدات G. ويمكن إعادة صياغة مسألة بيرنسايد للزمر ذات الأس المحدود على النحو التالي:

مسألة بيرنسايد الثانية. ما هي الأعداد الصحيحة الموجبة m و n التي تكون مجموعة بيرنسايد الحرة B( m , n ) منتهية بالنسبة لها ؟

الحل الكامل لمسألة بيرنسايد بهذا الشكل غير معروف. وقد تناول بيرنسايد بعض الحالات البسيطة في بحثه الأصلي.

• B(1, n ) هي المجموعة الدورية من الرتبة n .
• B( m , 2) هو حاصل الضرب المباشر لـ m نسخة من المجموعة الدورية من الرتبة 2، وبالتالي فهو مجموعة منتهية. ^{[ ملاحظة 1 ]}

النتائج الإضافية التالية معروفة (بيرنسايد، ^{[ 3 ]} سانوف، ^{[ 4 ]} إم. هول ^{[ 5 ]} ):

• B( m , 3 ), B( m , 4 ), و B( m , 6) هي قيم محدودة لجميع قيم m .

تبقى الحالة الخاصة بـ B(2, 5) مفتوحة.

حقق بيوتر نوفيكوف وسيرجي أديان إنجازًا هامًا في حل مسألة بيرنسايد عام 1968. باستخدام حجة تركيبية معقدة، برهنوا أنه لكل عدد فردي n حيث n > 4381، توجد مجموعات لانهائية مولدة نهائيًا ذات أس n . حسّن أديان لاحقًا الحد الأدنى للأس الفردي إلى 665. ^{[ 6 ]} في عام 2015، ادعى أديان أنه حصل على حد أدنى قدره 101 للأس الفردي n ؛ ومع ذلك، لم يكتمل البرهان الكامل لهذا الحد الأدنى ولم يُنشر. اتضح أن حالة الأس الزوجي أكثر صعوبة بكثير. في عام 1994 فقط، تمكن سيرجي فاسيليفيتش إيفانوف من إثبات نظير لنظرية نوفيكوف-أديان: لأي m > 1 وعدد زوجي n ≥ 2^ ⁴⁸ ، حيث n يقبل القسمة على 2 ^{^9} ، فإن المجموعة B( m , n ) لانهائية. بالإضافة إلى نظرية نوفيكوف-أديان، يُشير هذا إلى اللانهاية لجميع قيم m > 1 و n ≥ 2. ^وقد حُسِّن هذا في عام 1996 بواسطة آي جي ليسينوك ليشمل m > 1 و n ≥ 8000. وقد وضع نوفيكوف-أديان وإيفانوف وليسينوك نتائج أكثر دقة حول بنية زمر بيرنسايد الحرة. في حالة الأس الفردي، تبيّن أن جميع الزمر الجزئية المنتهية من زمر بيرنسايد الحرة هي زمر دورية. أما في حالة الأس الزوجي، فإن كل زمرة جزئية منتهية مُحتواة في حاصل ضرب زمرتين ثنائيتي السطوح ، وتوجد زمر جزئية منتهية غير دورية. علاوة على ذلك، تبيّن أن مسائل الكلمة والاقتران قابلة للحل بفعالية في B( m , n ) في كلتا حالتي الأس الفردي والزوجي n .

تُشكل الزمر اللانهائية غير الدورية المولدة نهائيًا، والتي تكون فيها كل زمرة جزئية فعلية غير تافهة زمرة دورية نهائية ، فئةً شهيرةً من الأمثلة المضادة لمسألة بيرنسايد، وتُعرف هذه الزمر باسم " وحوش تارسكي" . وقد بنى أ. يو. أولشانسكي أولى الأمثلة على هذه الزمر عام 1979 باستخدام الطرق الهندسية، وبذلك حلّ مسألة أ. يو. شميدت بشكل قاطع. وفي عام 1982، تمكن أولشانسكي من تعزيز نتائجه لإثبات وجود زمرة لانهائية مولدة نهائيًا، تكون فيها كل زمرة جزئية فعلية غير تافهة زمرة دورية من الرتبة p ، وذلك لأي عدد أولي كبير بما فيه الكفاية p (يمكن اختيار p > ^10⁷⁵ ) . وفي ورقة بحثية نُشرت عام 1996، حلّ إيفانوف وأولشانسكي نظيرًا لمسألة بيرنسايد في زمرة زائدية اختيارية لأسس كبيرة بما فيه الكفاية.

وقد صِيغت هذه المسألة في ثلاثينيات القرن العشرين، وهي تطرح سؤالاً آخر ذا صلة:

مسألة بيرنسايد المقيدة. إذا عُلم أن زمرة G ذات m مولدات وأس n هي زمرة منتهية، فهل يمكن استنتاج أن رتبة G محدودة بثابت ما يعتمد فقط على m و n ؟ وبصورة مكافئة، هل يوجد عدد منتهٍ فقط من الزمر المنتهية ذات m مولدات وأس n ، حتى التشاكل ؟

يمكن صياغة هذا الشكل من مسألة بيرنسايد باستخدام نظرية الفئات: فالإجابة بنعم لجميع قيم m تُكافئ القول بأن فئة الزمر المنتهية ذات الأس n تحتوي على جميع النهايات والنهايات المشتركة المنتهية. ^{[ 7 ]} ويمكن صياغتها بشكل أكثر وضوحًا باستخدام زمر شاملة معينة ذات m مولدات وأس n . وبحسب النتائج الأساسية لنظرية الزمر، فإن تقاطع زمرتين جزئيتين طبيعيتين ذواتي دليل منتهٍ في أي زمرة هو نفسه زمرة جزئية طبيعية ذات دليل منتهٍ. وبالتالي، فإن تقاطع M لجميع الزمر الجزئية الطبيعية لزمرة بيرنسايد الحرة B( m , n ) ذات الدليل المنتهي هو زمرة جزئية طبيعية من B( m , n ). ومن ثم، يمكن تعريف زمرة بيرنسايد الحرة المقيدة B₀ ₍ m , n ) بأنها زمرة القسمة B( m , n )/ M . كل زمرة منتهية ذات أس n وعدد m من المولدات متماثلة مع B( m , n )/ N ، حيث N زمرة جزئية طبيعية من B( m , n ) ذات دليل منتهٍ. بالتالي، وفقًا لنظرية التماثل الثالثة ، فإن كل زمرة منتهية ذات أس n وعدد m من المولدات متماثلة مع B₀ ₍ m , n ) /( N / M ) - أي أنها صورة متماثلة لـ B₀ ₍ m , n ) . ثم تسأل مسألة بيرنسايد المقيدة عما إذا كانت B₀ ₍ m , n ) زمرة منتهية. من منظور نظرية الفئات، فإن B₀ ₍ m , n ) هي حاصل الضرب المشترك لـ n زمر دورية من الرتبة m في فئة الزمر المنتهية ذات الأس n .

في حالة الأس الأولي p ، دُرست هذه المسألة باستفاضة من قِبل أ. ل. كوستريكين خلال خمسينيات القرن العشرين، قبل التوصل إلى الحل السلبي لمسألة بيرنسايد العامة. وقد استخدم حله، الذي أثبت محدودية B₀ ₍ m , p ) ، علاقةً ذات صلة بمسائل عميقة حول المتطابقات في جبر لي ذي الخاصية المحدودة. أما حالة الأس العشوائي فقد حُسمت تمامًا بالإيجاب من قِبل إيفيم زيلمانوف ، الذي مُنح ميدالية فيلدز عام 1994 تقديرًا لإسهاماته.

• SI Adian (1979) مشكلة برنسايد والهويات في المجموعات . ترجمها من الروسية جون لينوكس وجيمس ويغولد. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [النتائج في الرياضيات والمجالات ذات الصلة]، 95. Springer-Verlag، برلين-نيويورك. رقم ISBN 3-540-08728-1.
• سي أديان (2015). “تقديرات جديدة للأسس الفردية لمجموعات برنسايد اللانهائية”. Trudy Matematicheskogo Instituta imeni VA Steklova (بالروسية). 289 : 41– 82. دوى : 10.1134 / S0371968515020041 .ترجمة في أديان، إس آي (2015). "تقديرات جديدة للأسس الفردية لمجموعات بيرنسايد اللانهائية". وقائع معهد ستيكلوف للرياضيات . 289 (1): 33-71 . doi : 10.1134/S0081543815040045 .
• إس. في. إيفانوف (1994). "مجموعات بيرنسايد الحرة ذات الأسس الكبيرة بما فيه الكفاية". المجلة الدولية للجبر والحساب . 04 : 1-308 . doi : 10.1142/S0218196794000026 .
• إس. في. إيفانوف؛ أ. يو. أولشانسكي (1996). "المجموعات الزائدية وقسمتها على أسس محدودة" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 348 (6): 2091-2138 . doi : 10.1090/S0002-9947-96-01510-3 .
• آي كوستريكين (1990) حول برنسايد . ترجم من اللغة الروسية وبمقدمة كتبها جيمس ويغولد . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [النتائج في الرياضيات والمجالات ذات الصلة (3)]، 20. Springer-Verlag، برلين. رقم ISBN 3-540-50602-0.
• إي جي ليسينوك (1996). "مجموعات Burnside اللانهائية ذات الأس الزوجي" . إزفستيا روسيسكوي أكاديمي ناوك. سيريا ماتماتشيسكايا (بالروسية). 60 (3): 3– 224. دوى : 10.4213/im77 .ترجمة في: Lysënok, IG (1996). "مجموعات بيرنسايد اللانهائية ذات الأس الزوجي". Izvestiya: Mathematics . 60 (3): 453–654 . Bibcode : 1996IzMat..60..453L . doi : 10.1070/IM1996v060n03ABEH000077 . S2CID 250838960 . 
• أ. يو. أولشانسكي (1989) هندسة تعريف العلاقات في الزمر . ترجمة يو. أ. باختورين (1991) من الأصل الروسي الصادر عام 1989، ضمن سلسلة الرياضيات وتطبيقاتها (السلسلة السوفيتية)، 70. دوردريخت: مجموعة كلوير للنشر الأكاديمي. ISBN 0-7923-1394-1.
• إي زلمانوف (1990). "حل مسألة برنسايد المقيدة للمجموعات ذات الأسس الفردية" . إزفستيا روسيسكوي أكاديمي ناوك. سيريا ماتماتشيسكايا (بالروسية). 54 (1): 42- 59، 221.ترجمة في: زلمانوف، إي. آي. (1991). "حل مسألة بيرنسايد المقيدة لمجموعات ذات أس فردي". رياضيات الاتحاد السوفيتي - إزفستيا . 36 (1): 41-60 . رمز Bibcode : 1991IzMat..36...41Z . doi : 10.1070/IM1991v036n01ABEH001946 . S2CID 39623037 . 
• إي. زيلمانوف (1991). "حل مسألة بيرنسايد المقيدة للمجموعات الثنائية" . مجموعة الرياضيات (باللغة الروسية). 182 (4): 568-592 .ترجمة في: زلمانوف، إي. آي. (1992). "حل مسألة بيرنسايد المقيدة للمجموعات الثنائية". رياضيات الاتحاد السوفيتي - سبورنيك . 72 (2): 543-565 . رمز Bibcode : 1992SbMat..72..543Z . doi : 10.1070/SM1992v072n02ABEH001272 .

• تاريخ مسألة بيرنسايد في أرشيف تاريخ الرياضيات على موقع ماكتيوتور