Hearing the shape of a drum

الموسوعة الحرة

Mathematically ideal drums with membranes of these two different shapes (but otherwise identical) would sound the same, because the eigenfrequencies are all equal, so the timbral spectra would contain the same overtones. This example was constructed by S. J. Chapman. Notice that both polygons have the same area and perimeter.

In theoretical mathematics, the conceptual problem of "hearing the shape of a drum" refers to the prospect of inferring information about the shape of a hypothetical idealized drumhead from the sound it makes when struck, i.e. from analysis of overtones.

"Can One Hear the Shape of a Drum?" is the title of a 1966 article by Mark Kac in the American Mathematical Monthly which made the question famous, though this particular phrasing originates with Lipman Bers. Similar questions can be traced back all the way to physicist Arthur Schuster in 1882.[1] For his paper, Kac was given the Lester R. Ford Award in 1967 and the Chauvenet Prize in 1968.[2]

The frequencies at which a drumhead can vibrate depend on its shape. The Helmholtz equation calculates the frequencies if the shape is known. These frequencies are the eigenvalues of the Laplacian in the space. A central question is whether the shape can be predicted if the frequencies are known; for example, whether a Reuleaux triangle can be recognized in this way.[3] Kac admitted that he did not know whether it was possible for two different shapes to yield the same set of frequencies. The question of whether the frequencies determine the shape was finally answered in the negative in the early 1990s by Carolyn S. Gordon, David Webb and Scott A. Wolpert.

Formal statement

More formally, the drum is conceived as an elastic membrane whose boundary is clamped. It is represented as a domainD in the plane. Denote by λn the Dirichlet eigenvalues for D: that is, the eigenvalues of the Dirichlet problem for the Laplacian:

{Δu+λu=0u|∂D=0{\displaystyle {\begin{cases}\Delta u+\lambda u=0\\u|_{\partial D}=0\end{cases}}}

يُقال إن نطاقين متساويان في الطيف (أو متماثلان صوتيًا) إذا كان لهما نفس القيم الذاتية. ويُبرر مصطلح "متماثل صوتيًا" لأن القيم الذاتية لـ Dirichlet هي تحديدًا النغمات الأساسية التي يمكن للطبل إنتاجها: فهي تظهر بشكل طبيعي كمعاملات فورييه في معادلة الموجة الحلية ذات الحدود المثبتة.

لذلك، يمكن إعادة صياغة السؤال على النحو التالي: ما الذي يمكن استنتاجه بشأن D إذا عرفنا فقط قيم λ n ؟ أو بتعبير أدق: هل هناك نطاقان متميزان متساويان في الطيف؟

يمكن صياغة مسائل مشابهة لمسألة ديريشليه لمؤثر لابلاس على نطاقات ذات أبعاد أعلى أو على مشعبات ريمانية ، وكذلك لمؤثرات تفاضلية إهليلجية أخرى مثل مؤثر كوشي-ريمان أو مؤثر ديراك . ويمكن فرض شروط حدودية أخرى إلى جانب شرط ديريشليه، مثل شرط نيومان الحدودي . انظر الهندسة الطيفية والتماثل الطيفي كمقالات ذات صلة.

الجواب

عائلة ذات معلمة واحدة من الطبول متساوية الطيف
الأنماط الذاتية والقيم الذاتية المقابلة لمؤثر لابلاس على نطاقات GWW

في عام ١٩٦٤، لاحظ جون ميلنور أن نظرية إرنست ويت حول الشبكات تشير إلى وجود زوج من الأسطح المستوية المسطحة ذات ١٦ بُعدًا، لها نفس القيم الذاتية ولكن بأشكال مختلفة. مع ذلك، ظلت المسألة في بُعدين مفتوحة حتى عام ١٩٩٢، عندما قام كل من كارولين جوردون ، وديفيد ويب ، وسكوت وولبرت ، بالاعتماد على طريقة سونادا ، بإنشاء زوج من المناطق في المستوى لها أشكال مختلفة ولكن بقيم ذاتية متطابقة. هذه المناطق عبارة عن مضلعات مقعرة . يعتمد برهان تساوي القيم الذاتية لكلا المنطقتين على تناظرات لابلاس. وقد عمم بوسر، وكونواي، ودويلي، وسيملر [ ٤ ] هذه الفكرة ، حيث قدموا العديد من الأمثلة المشابهة. لذا، فإن إجابة سؤال كاك هي: بالنسبة للعديد من الأشكال، لا يمكن سماع شكل الطبل بشكل كامل . مع ذلك، يمكن استنتاج بعض المعلومات.

من جهة أخرى، أثبت ستيف زيلديتش أن إجابة سؤال كاك إيجابية إذا فُرضت قيود على مناطق مستوية محدبة معينة ذات حدود تحليلية . ولا يُعرف ما إذا كان بإمكان مجالين تحليليين غير محدبين أن يمتلكا نفس القيم الذاتية. ومن المعروف أن مجموعة المجالات متساوية الطيف مع مجال معين تكون متراصة في طوبولوجيا C∞ . علاوة على ذلك، فإن الكرة (على سبيل المثال) صلبة طيفيًا، وفقًا لنظرية مقارنة القيم الذاتية لتشنغ . ومن المعروف أيضًا، من خلال نتيجة لأوسجود وفيليبس وسارناك، أن فضاء المعاملات لأسطح ريمان من جنس معين لا يسمح بتدفق متساوي الطيف مستمر عبر أي نقطة، وهو متراص في طوبولوجيا فريشيه-شوارتز.

صيغة ويل

تنص صيغة فايل على أنه يمكن استنتاج مساحة الأسطوانة A من خلال حساب سرعة نمو λn . نُعرّف N ( R ) على أنه عدد القيم الذاتية الأصغر من R، فنحصل على

أ=ωد-1(2π)دليمR→∞شمال(R)Rد/2،{\displaystyle A=\omega _{d}^{-1}(2\pi )^{d}\lim _{R\to \infty }{\frac {N(R)}{R^{d/2}}},}

حيث يمثل d البعد، وωد{\displaystyle \omega _{d}}يمثل حجم الكرة ذات البعد d . كما افترض فايل أن الحد التالي في التقريب أدناه سيعطي محيط D. بعبارة أخرى، إذا كان L يرمز إلى طول المحيط (أو مساحة السطح في الأبعاد الأعلى)، فإنه ينبغي أن يكون لدينا

شمال(R)=(2π)-دωدأRد/2∓14(2π)-د+1ωد-1لR(د-1)/2+o(R(د-1)/2).{\displaystyle N(R)=(2\pi )^{-d}\omega _{d}AR^{d/2}\mp {\frac {1}{4}}(2\pi )^{-d+1}\omega _{d-1}LR^{(d-1)/2}+o(R^{(d-1)/2}).}

بالنسبة للحدود الملساء، تم إثبات ذلك بواسطة فيكتور إيفري في عام 1980. كما لا يُسمح للمتشعب أن يحتوي على عائلة من الجيوديسيات الدورية ذات المعلمتين، كما هو الحال في الكرة.

تخمين ويل-بيري

بالنسبة للحدود غير الملساء، افترض مايكل بيري في عام 1979 أن التصحيح يجب أن يكون من رتبة

Rد/2،{\displaystyle R^{D/2},}

حيث D هو بُعد هاوسدورف للحدود. وقد دحض هذا الافتراض كلٌ من ج.  بروسارد و ر.  أ. كارمونا، اللذان اقترحا استبدال بُعد هاوسدورف ببعد الصندوق العلوي . في المستوى، ثبت هذا الافتراض إذا كان بُعد الحدود يساوي  1 (1993)، ولكنه دُحض في الغالب للأبعاد الأعلى (1996)؛ وكلا النتيجتين من إعداد ميشيل لابيدوس وكارل بوميرانس .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ كرويل، راشيل (28 يونيو 2022)، "يحاول علماء الرياضيات 'سماع' الأشكال - والوصول إلى أبعاد أعلى" ، مجلة ساينتفك أمريكان ، تاريخ الاطلاع : 15 نوفمبر 2022
  2. ↑ "هل يمكن سماع شكل الطبل؟ | الجمعية الرياضية الأمريكية" ، مؤرشف من الأصل بتاريخ 2021-05-06 ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 2013-12-10
  3. ↑ كاك، مارك (أبريل 1966)، "هل يمكن سماع شكل الطبل؟" (ملف PDF) ، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 73 (4، الجزء 2): 16، doi : 10.2307/2313748 ، JSTOR 2313748 
  4. ↑ بوسر وآخرون 1994 .

مراجع