الزوايا بين الأسطح المستوية

يمكن تعميم مفهوم الزوايا بين الخطوط (في المستوى أو في الفضاء )، وبين مستويين ( الزاوية ثنائية السطوح )، أو بين خط ومستوى، ليشمل أبعادًا عشوائية . وقد ناقش كاميل جوردان هذا التعميم لأول مرة . ^{[ 1 ]} لأي زوج من المستويات في فضاء إقليدي ذي بُعد عشوائي، يمكن تعريف مجموعة من الزوايا المتبادلة التي تظل ثابتة تحت التحويل المتساوي القياس للفضاء الإقليدي. إذا لم تتقاطع المستويات، فإن أقصر مسافة بينها تظل ثابتة أيضًا. ^{[ 1 ]} تُسمى هذه الزوايا بالزوايا القانونية ^{[ 2 ]} أو الرئيسية . ^{[ 3 ]} يمكن تعميم مفهوم الزوايا ليشمل أزواجًا من المستويات في فضاء الضرب الداخلي ذي الأبعاد المحدودة على الأعداد المركبة .

يترك${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$تكون مسطحات بأبعاد${\displaystyle k}$و${\displaystyle l}$في${\displaystyle n}$فضاء إقليدي ذو أبعاد${\displaystyle E^{n}}$. بحسب التعريف، ترجمة لـ${\displaystyle F}$أو${\displaystyle G}$لا يغير ذلك من زواياهما المتبادلة. إذا${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$لا تتقاطع، بل ستتقاطع عند أي ترجمة لـ${\displaystyle G}$والتي تحدد نقطة ما في${\displaystyle G}$إلى نقطة ما في${\displaystyle F}$وبالتالي، يمكن افتراض ذلك دون الإخلال بعمومية المسألة.${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$تتقاطع.

يوضح جوردان أن الإحداثيات الديكارتية${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{\rho },}$${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{\sigma },}$${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{\tau },}$${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{\upsilon },}$${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{\alpha },}$${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{\alpha }}$في${\displaystyle E^{n}}$ويمكن تعريفها بعد ذلك بحيث${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$ويتم وصفها، على التوالي، بمجموعات المعادلات

${\displaystyle x_{1}=0,\dots ,x_{\rho }=0,}$

${\displaystyle u_{1}=0,\dots ,u_{\upsilon }=0,}$

${\displaystyle v_{1}=0,\dots ,v_{\alpha }=0}$

و

${\displaystyle x_{1}=0,\dots ,x_{\rho }=0,}$

${\displaystyle z_{1}=0,\dots ,z_{\tau }=0,}$

${\displaystyle v_{1}\cos \theta _{1}+w_{1}\sin \theta _{1}=0,\dots ,v_{\alpha }\cos \theta _{\alpha }+w_{\alpha }\sin \theta _{\alpha }=0}$

مع${\displaystyle 0<\theta _{i}<\pi /2,i=1,\dots ,\alpha }$يُطلق جوردان على هذه الإحداثيات اسم الإحداثيات القانونية . وبحسب التعريف، فإن الزوايا${\displaystyle \theta _{i}}$هي الزوايا بين${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$.

الأعداد الصحيحة غير السالبة${\displaystyle \rho ,\sigma ,\tau ,\upsilon ,\alpha }$مقيد بـ

${\displaystyle \rho +\sigma +\tau +\upsilon +2\alpha =n,}$

${\displaystyle \sigma +\tau +\alpha =k,}$

${\displaystyle \sigma +\upsilon +\alpha =\ell .}$

لكي تحدد هذه المعادلات الأعداد الصحيحة الخمسة غير السالبة بشكل كامل، بالإضافة إلى الأبعاد${\displaystyle n,k}$و${\displaystyle \ell }$والعدد${\displaystyle \alpha }$الزوايا${\displaystyle \theta _{i}}$، العدد الصحيح غير السالب${\displaystyle \sigma }$يجب تحديدها. هذا هو عدد الإحداثيات${\displaystyle y_{i}}$، والتي تقع محاورها المقابلة بالكامل داخل كليهما${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$العدد الصحيح${\displaystyle \sigma }$وبالتالي فإن بُعد${\displaystyle F\cap G}$مجموعة الزوايا${\displaystyle \theta _{i}}$يمكن استكمالها بـ${\displaystyle \sigma }$الزوايا${\displaystyle 0}$للإشارة إلى أن${\displaystyle F\cap G}$له ذلك البعد.

ينطبق دليل جوردان بشكل أساسي دون تغيير عندما${\displaystyle E^{n}}$يتم استبدالها بـ${\displaystyle n}$فضاء الضرب الداخلي ذو الأبعاد${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$على الأعداد المركبة. (بالنسبة للزوايا بين الفضاءات الجزئية ، التعميم إلى${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$تمت مناقشتها من قبل جالانتاي وهيغيدوس من حيث التوصيف التبايني أدناه . ^{[ 4 ]} ) ^{[ 1 ]}

والآن لنبدأ${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$أن تكون فضاءات جزئية من${\displaystyle n}$فضاء الضرب الداخلي ذو الأبعاد n على الأعداد الحقيقية أو المركبة. هندسيًا،${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$بما أن هذه الأسطح مستوية، فإن تعريف جوردان للزوايا المتبادلة ينطبق عليها. عندما يكون لأي إحداثي قانوني${\displaystyle \xi }$الرمز${\displaystyle {\hat {\xi }}}$يرمز إلى متجه الوحدة لـ${\displaystyle \xi }$المحور، المتجهات${\displaystyle {\hat {y}}_{1},\dots ,{\hat {y}}_{\sigma },}$${\displaystyle {\hat {w}}_{1},\dots ,{\hat {w}}_{\alpha },}$${\displaystyle {\hat {z}}_{1},\dots ,{\hat {z}}_{\tau }}$تشكل أساسًا متعامدًا لـ${\displaystyle F}$والمتجهات${\displaystyle {\hat {y}}_{1},\dots ,{\hat {y}}_{\sigma },}$${\displaystyle {\hat {w}}'_{1},\dots ,{\hat {w}}'_{\alpha },}$${\displaystyle {\hat {u}}_{1},\dots ,{\hat {u}}_{\upsilon }}$تشكل أساسًا متعامدًا لـ${\displaystyle G}$، أين

${\displaystyle {\hat {w}}'_{i}={\hat {w}}_{i}\cos \theta _{i}+{\hat {v}}_{i}\sin \theta _{i},\quad i=1,\dots ,\alpha .}$

ونظرًا لارتباطها بالإحداثيات المتعارف عليها ، يمكن تسمية هذه المتجهات الأساسية بالمتجهات المتعارف عليها .

متى${\displaystyle a_{i},i=1,\dots ,k}$لنرمز إلى المتجهات الأساسية المتعارف عليها لـ${\displaystyle F}$و${\displaystyle b_{i},i=1,\dots ,l}$المتجهات الأساسية المتعارف عليها لـ${\displaystyle G}$ثم المنتج الداخلي${\displaystyle \langle a_{i},b_{j}\rangle }$يختفي لأي زوج من${\displaystyle i}$و ${\displaystyle j}$باستثناء ما يلي.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle {\hat {y}}_{i},{\hat {y}}_{i}\rangle =1,&&i=1,\dots ,\sigma ,\\&\langle {\hat {w}}_{i},{\hat {w}}'_{i}\rangle =\cos \theta _{i},&&i=1,\dots ,\alpha .\end{aligned}}}$

مع الترتيب المذكور أعلاه للمتجهات الأساسية، تكون مصفوفة الضرب الداخلي${\displaystyle \langle a_{i},b_{j}\rangle }$وبالتالي فهو قطري . بعبارة أخرى، إذا${\displaystyle (a'_{i},i=1,\dots ,k)}$و${\displaystyle (b'_{i},i=1,\dots ,\ell )}$هي قواعد متعامدة اعتباطية في${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$ثم التحويلات الحقيقية أو المتعامدة أو الوحدوية من الأساس${\displaystyle (a'_{i})}$إلى الأساس${\displaystyle (a_{i})}$ومن الأساس${\displaystyle (b'_{i})}$إلى الأساس${\displaystyle (b_{i})}$تحقيق تحليل القيم المفردة لمصفوفة الضرب الداخلي${\displaystyle \langle a'_{i},b'_{j}\rangle }$عناصر المصفوفة القطرية${\displaystyle \langle a_{i},b_{i}\rangle }$تمثل هذه القيم المفردة للمصفوفة الأخيرة. وبفضل تفرد تحليل القيم المفردة، فإن المتجهات${\displaystyle {\hat {y}}_{i}}$تكون هذه المتجهات فريدة من نوعها حتى تحويل حقيقي أو متعامد أو وحدوي فيما بينها، والمتجهات${\displaystyle {\hat {w}}_{i}}$و${\displaystyle {\hat {w}}'_{i}}$(وبالتالي${\displaystyle {\hat {v}}_{i}}$تكون هذه المتجهات فريدة حتى التحويلات الحقيقية أو المتعامدة أو الوحدوية المتساوية المطبقة في آن واحد على مجموعات المتجهات.${\displaystyle {\hat {w}}_{i}}$مرتبط بقيمة مشتركة لـ${\displaystyle \theta _{i}}$وإلى مجموعات المتجهات المقابلة${\displaystyle {\hat {w}}'_{i}}$(وبالتالي إلى المجموعات المقابلة من${\displaystyle {\hat {v}}_{i}}$).

قيمة مفردة${\displaystyle 1}$يمكن تفسير ذلك على النحو التالي${\displaystyle \cos \,0}$بما يتوافق مع الزوايا${\displaystyle 0}$تم تقديمه أعلاه ويرتبط بـ${\displaystyle F\cap G}$وقيمة مفردة${\displaystyle 0}$يمكن تفسير ذلك على النحو التالي${\displaystyle \cos \pi /2}$بما يتوافق مع الزوايا القائمة بين الفضاءات المتعامدة${\displaystyle F\cap G^{\bot }}$و${\displaystyle F^{\bot }\cap G}$، حيث يكون النص العلوي${\displaystyle \bot }$يشير إلى المتمم المتعامد .

يستلزم التوصيف التبايني للقيم والمتجهات المفردة، كحالة خاصة، توصيفًا تباينيًا للزوايا بين الفضاءات الجزئية ومتجهاتها القانونية المرتبطة بها. ويشمل هذا التوصيف الزوايا${\displaystyle 0}$و${\displaystyle \pi /2}$يُقدّم هذا التعريف أعلاه، ويُرتب الزوايا حسب قيمتها التصاعدية. ويمكن صياغته وفقًا للتعريف البديل الموضح أدناه. وفي هذا السياق، من المعتاد الحديث عن الزوايا الرئيسية والمتجهات. ^{[ 3 ]}

• إذا كانت أكبر زاوية تساوي صفرًا، فإن أحد الفضاءات الفرعية هو مجموعة جزئية من الآخر.
• إذا كانت أكبر زاوية هي${\displaystyle \pi /2}$، يوجد على الأقل متجه واحد في أحد الفضاءات الفرعية عمودي على الفضاء الفرعي الآخر.
• إذا كانت أصغر زاوية تساوي صفرًا، فإن الفضاءات الفرعية تتقاطع على الأقل في خط مستقيم.
• إذا كانت أصغر زاوية هي${\displaystyle \pi /2}$، الفضاءات الفرعية متعامدة.
• عدد الزوايا التي تساوي صفرًا هو بُعد الفضاء الذي يتقاطع فيه الفضاءان الفرعيان.

• غير تافه (يختلف عن${\displaystyle 0}$و${\displaystyle \pi /2}$^{[ 5 ]} ) الزوايا بين فضاءين جزئيين هي نفسها الزوايا غير التافهة بين مكملاتهما المتعامدة. ^{[ 6 ] [ 7 ]}
• الزوايا غير التافهة بين الفضاءات الفرعية${\displaystyle {\mathcal {U}}}$و${\displaystyle {\mathcal {W}}}$والزوايا غير التافهة المقابلة بين الفضاءات الفرعية${\displaystyle {\mathcal {U}}}$و${\displaystyle {\mathcal {W}}^{\perp }}$مجموعها إلى${\displaystyle \pi /2}$[ ^{6 ] [ 7 ]​}
• تحقق الزوايا بين الفضاءات الجزئية متباينة المثلث من حيث التقسيم ، وبالتالي يمكن استخدامها لتحديد مسافة على مجموعة جميع الفضاءات الجزئية، مما يحول المجموعة إلى فضاء متري . ^{[ 8 ]}
• جيب الزوايا بين الفضاءات الجزئية يحقق متباينة المثلث من حيث التقسيم ، وبالتالي يمكن استخدامه لتحديد مسافة على مجموعة جميع الفضاءات الجزئية، مما يحول المجموعة إلى فضاء متري . ^{[ 6 ]} على سبيل المثال، يُعرف جيب أكبر زاوية بالفجوة بين الفضاءات الجزئية . ^{[ 9 ]}

يمكن توسيع مفهوم الزوايا وبعض الخصائص التباينية بشكل طبيعي إلى المنتجات الداخلية التعسفية ^{[ 10 ]} والفضاءات الفرعية ذات الأبعاد اللانهائية . ^{[ 7 ]}

تاريخيًا، ظهرت الزوايا والمتجهات الرئيسية لأول مرة في سياق الارتباط الكنسي ، وحُسبت في الأصل باستخدام تحليل القيم المفردة لمصفوفات التغاير المناظرة . مع ذلك، وكما لوحظ لأول مرة في المرجع ^{[ 3 ]} ، يرتبط الارتباط الكنسي بجيب تمام الزوايا الرئيسية، وهو دالة غير مستقرة للزوايا الصغيرة، مما يؤدي إلى حساب غير دقيق للمتجهات الرئيسية شديدة الارتباط في العمليات الحسابية الحاسوبية ذات الدقة المحدودة . تعالج الخوارزمية القائمة على الجيب ^{[ 3 ]} هذه المشكلة، لكنها تخلق مشكلة جديدة تتمثل في حساب غير دقيق للمتجهات الرئيسية غير المرتبطة، نظرًا لأن دالة الجيب غير مستقرة للزوايا القريبة من π /2. لإنتاج متجهات رئيسية دقيقة في الحساب الحاسوبي لكامل نطاق الزوايا الرئيسية، تقوم التقنية المدمجة ^{[ 10 ]} أولاً بحساب جميع الزوايا والمتجهات الرئيسية باستخدام الطريقة الكلاسيكية القائمة على جيب التمام ، ثم تعيد حساب الزوايا الرئيسية الأصغر من π /4 والمتجهات الرئيسية المقابلة لها باستخدام الطريقة القائمة على الجيب . ^{[ 3 ]} تم تطبيق التقنية المدمجة ^{[ 10 ]} في مكتبات مفتوحة المصدر مثل Octave ^{[ 11 ]} و SciPy ^{[ 12 ]} ، كما تم تطويرها ^{[ 13 ]} و ^{[ 14 ]} لبرنامج MATLAB .

• تحليل القيم المفردة
• الارتباط الكنسي