عقلاني ثنائي

في الرياضيات، العدد الكسري الثنائي هو عدد يمكن التعبير عنه ككسر مقامه قوة من 2. على سبيل المثال، 1/2 و3/2 و3/8 أعداد كسرية ثنائية، لكن 1/3 ليس كذلك. هذه الأعداد مهمة في علوم الكمبيوتر لأنها الأعداد الوحيدة التي لها تمثيل ثنائي محدود . الأعداد الكسرية الثنائية لها أيضًا تطبيقات في الأوزان والمقاييس، والإيقاعات الموسيقية، وتعليم الرياضيات المبكر. يمكنها تقريب أي عدد حقيقي بدقة .

إن مجموع أو فرق أو حاصل ضرب أي عددين نسبيين ثنائيين هو عدد نسبي ثنائي آخر، يُعطى بصيغة بسيطة. ومع ذلك، فإن قسمة عدد نسبي ثنائي على آخر لا ينتج دائمًا نتيجة نسبية ثنائية. وهذا يعني رياضيًا أن الأعداد النسبية الثنائية تشكل حلقة ، تقع بين حلقة الأعداد الصحيحة وحقل الأعداد النسبية . ويمكن الإشارة إلى هذه الحلقة بـ . ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]}$

في الرياضيات المتقدمة، تشكل الأعداد الكسرية الثنائية محورًا لبناء الملف اللولبي الثنائي ، ودالة علامة الاستفهام لمينكوفسكي ، وموجات دوبيشيز ، ومجموعة طومسون ، ومجموعة بروفر ثنائية الأبعاد ، والأعداد السريالية ، والأعداد القابلة للانصهار . هذه الأعداد متماثلة ترتيبيًا مع الأعداد الكسرية؛ فهي تشكل نظامًا فرعيًا للأعداد ثنائية الأبعاد وكذلك الأعداد الحقيقية، ويمكن أن تمثل الأجزاء الكسرية للأعداد ثنائية الأبعاد. تم استخدام الدوال من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد الكسرية الثنائية لإضفاء الطابع الرسمي على التحليل الرياضي في الرياضيات العكسية .

تعتمد العديد من أنظمة الأوزان والمقاييس التقليدية على فكرة التقسيم المتكرر إلى نصفين، والذي ينتج نسبًا نسبية ثنائية عند قياس كميات كسرية من الوحدات. عادةً ما يتم تقسيم البوصة إلى نسب نسبية ثنائية بدلاً من استخدام تقسيم عشري. ^[1] التقسيمات المعتادة للغالون إلى نصف جالون، وربع جالون ، ونصف لتر ، ونصف لتر ، وكوب هي أيضًا ثنائية. ^[2] استخدم المصريون القدماء النسب النسبية الثنائية في القياس، مع مقامات تصل إلى 64. ^[3] وبالمثل، تعتمد أنظمة الأوزان من حضارة وادي السند في الغالب على التقسيم المتكرر إلى نصفين؛ كتبت عالمة الأنثروبولوجيا هيذر إم إل ميلر أن "التقسيم إلى النصف عملية بسيطة نسبيًا مع موازين العارضة، وهذا هو السبب على الأرجح في أن العديد من أنظمة الأوزان في هذه الفترة الزمنية استخدمت أنظمة ثنائية". ^[4]

الأعداد الكسرية الثنائية هي جوهر علوم الكمبيوتر كنوع من الأعداد الكسرية التي يمكن للعديد من أجهزة الكمبيوتر التعامل معها بشكل مباشر. ^[5] على وجه الخصوص، كنوع بيانات يستخدمه الكمبيوتر، غالبًا ما يتم تعريف الأعداد الكسرية العائمة على أنها أعداد صحيحة مضروبة في قوى موجبة أو سالبة للرقم اثنين. الأعداد التي يمكن تمثيلها بدقة بتنسيق فاصلة عائمة، مثل أنواع بيانات IEEE ذات الفاصلة العائمة ، تسمى الأعداد القابلة للتمثيل. بالنسبة لمعظم التمثيلات ذات الفاصلة العائمة، فإن الأعداد القابلة للتمثيل هي مجموعة فرعية من الأعداد الكسرية الثنائية. ^[6] وينطبق الشيء نفسه على أنواع البيانات ذات النقطة الثابتة ، والتي تستخدم أيضًا قوى الرقم اثنين ضمناً في غالبية الحالات. ^[7] ونظرًا لبساطة الحوسبة بالأعداد الكسرية الثنائية، فهي تُستخدم أيضًا للحوسبة الحقيقية الدقيقة باستخدام الحساب الفاصل ، ^[8] وهي جوهرية لبعض النماذج النظرية للأعداد القابلة للحساب . ^{[9] [10] [11]}

إن توليد متغير عشوائي من بتات عشوائية، في فترة زمنية محددة، أمر ممكن فقط عندما يكون للمتغير عدد محدود من النتائج التي تكون احتمالاتها كلها أعدادًا نسبية ثنائية. بالنسبة للمتغيرات العشوائية التي لا تكون احتمالاتها ثنائية، فمن الضروري إما تقريب احتمالاتها باستخدام الأعداد النسبية الثنائية، أو استخدام عملية توليد عشوائية يكون وقتها في حد ذاته عشوائيًا وغير محدود. ^[12]

تتم كتابة علامات الوقت في التدوين الموسيقي الغربي تقليديًا في شكل يشبه الكسور (على سبيل المثال:²
₂,⁴
₄، أو⁶
₈)، ^[13] على الرغم من أن الخط الأفقي للسلم الموسيقي الذي يفصل الرقم العلوي والسفلي عادةً ما يتم حذفه عند كتابة التوقيع بشكل منفصل عن سلمه. وككسور فهي ثنائية بشكل عام، ^[14] على الرغم من استخدام توقيعات زمنية غير ثنائية أيضًا. ^[15] القيمة العددية للتوقيع، التي يتم تفسيرها على أنها كسر، تصف طول المقياس باعتباره كسرًا من نغمة كاملة . يصف البسط عدد النبضات لكل مقياس، ويصف المقام طول كل نبضة. ^{[13] [14]}

في نظريات تطور الطفولة لمفهوم الكسر استنادًا إلى عمل جان بياجيه ، تعد الأعداد الكسرية الناشئة عن التقسيم إلى نصفين والتقسيم المتكرر إلى نصفين من بين أقدم أشكال الكسور التي تم تطويرها. ^[16] وقد أطلق على هذه المرحلة من تطور مفهوم الكسور "التقسيم الخوارزمي إلى نصفين". ^[17] يمكن إجراء جمع وطرح هذه الأرقام في خطوات تتضمن فقط مضاعفة وتقسيم إلى نصفين وإضافة وطرح الأعداد الصحيحة. على النقيض من ذلك، تتضمن عملية جمع وطرح الكسور الأكثر عمومية ضرب الأعداد الصحيحة وتقسيمها إلى عوامل للوصول إلى مقام مشترك. لذلك، يمكن أن يكون حساب الكسور الثنائية أسهل للطلاب من الكسور الأكثر عمومية. ^[18]

الأعداد الثنائية هي الأعداد النسبية التي تنتج عن قسمة عدد صحيح على قوة من 2. ^[9] العدد النسبي في أبسط العبارات هو عدد نسبي ثنائي عندما يكون قوة من 2. ^[19] طريقة أخرى مكافئة لتعريف الأعداد النسبية الثنائية هي أنها الأعداد الحقيقية التي لها تمثيل ثنائي منتهٍ . ^[9]${\displaystyle p/q}$${\displaystyle q}$

إن جمع وطرح وضرب أي عددين كسريين ثنائيين ينتج عددًا كسريًا ثنائيًا آخر، وفقًا للصيغ التالية: ^[20]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{2^{b}}}+{\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {2^{d-\min(b,d)}a+2^{b-\min(b,d)}c}{2^{\max(b,d)}}}\\[6px]{\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {2^{d-\min(b,d)}a-2^{b-\min(b,d)}c}{2^{\max(b,d)}}}\\[6px]{\frac {a}{2^{b}}}\cdot {\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {ac}{2^{b+d}}}\end{aligned}}}$

ومع ذلك، فإن نتيجة قسمة عدد نسبي ثنائي على آخر ليست بالضرورة عددًا نسبيًا ثنائيًا. ^[21] على سبيل المثال، 1 و3 كلاهما عدد نسبي ثنائي، لكن 1/3 ليس كذلك.

كل عدد صحيح، وكل نصف عدد صحيح ، هو عدد نسبي ثنائي. ^[22] وكلاهما يستوفيان تعريف كونه عددًا صحيحًا مقسومًا على قوة اثنين: كل عدد صحيح هو عدد صحيح مقسوم على واحد (القوة الصفرية للاثنين)، وكل نصف عدد صحيح هو عدد صحيح مقسوم على اثنين.

يمكن تقريب كل عدد حقيقي بشكل تعسفي عن كثب بواسطة الأعداد الكسرية الثنائية. على وجه الخصوص، بالنسبة لعدد حقيقي ، ضع في اعتبارك الأعداد الكسرية الثنائية من النموذج ، حيث يمكن أن يكون أي عدد صحيح و يدل على دالة الأرضية التي تقرب حجتها إلى عدد صحيح. تقترب هذه الأعداد من الأسفل إلى داخل خطأ ، والذي يمكن جعله صغيرًا بشكل تعسفي عن طريق اختيار أن يكون كبيرًا بشكل تعسفي. بالنسبة لمجموعة فرعية كسورية من الأعداد الحقيقية، يكون حد الخطأ هذا ضمن عامل ثابت من الأمثل: بالنسبة لهذه الأعداد، لا يوجد تقريب بخطأ أصغر من ثابت مضروبًا في . ^{[23] [24]} يمكن التعبير عن وجود تقريبات ثنائية دقيقة بالقول إن مجموعة جميع الأعداد الكسرية الثنائية كثيفة في خط الأعداد الحقيقية . ^[22] وبصورة أقوى، هذه المجموعة كثيفة بشكل موحد، بمعنى أن الأعداد الكسرية الثنائية ذات المقام متباعدة بشكل موحد على خط الأعداد الحقيقية. ^[9]${\displaystyle x}$${\textstyle \lfloor 2^{i}x\rfloor /2^{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \lfloor \dots \rfloor }$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1/2^{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle n/2^{i}}$${\displaystyle 1/2^{i}}$${\displaystyle 2^{i}}$

الأعداد النسبية الثنائية هي على وجه التحديد تلك الأعداد التي تمتلك توسعات ثنائية منتهية . ^[9] وتوسعاتها الثنائية ليست فريدة؛ فهناك تمثيل محدود واحد وآخر غير محدود لكل عدد نسبي ثنائي بخلاف 0 (مع تجاهل الأصفار الطرفية). على سبيل المثال، 0.11 ₂ = 0.10111... ₂ ، مما يعطي تمثيلين مختلفين لـ 3/4. ^{[9] [25]} الأعداد النسبية الثنائية هي الأعداد الوحيدة التي لا تكون توسعاتها الثنائية فريدة. ^[9]

نظرًا لأنها مغلقة تحت الجمع والطرح والضرب، ولكن ليس القسمة، فإن الأعداد الكسرية الثنائية عبارة عن حلقة ولكنها ليست حقلاً . ^[26] يمكن الإشارة إلى حلقة الأعداد الكسرية الثنائية ، مما يعني أنه يمكن إنشاؤها عن طريق تقييم كثيرات الحدود ذات المعاملات الصحيحة، عند الحجة 1/2. ^[27] كحلقة، فإن الأعداد الكسرية الثنائية عبارة عن حلقة فرعية للأعداد الكسرية، وحلقة فوق الأعداد الصحيحة. ^[28] جبريًا، هذه الحلقة هي توطين الأعداد الصحيحة فيما يتعلق بمجموعة قوى اثنين . ^[29]${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]}$

بالإضافة إلى تكوين حلقة فرعية من الأعداد الحقيقية ، تشكل الأعداد النسبية الثنائية حلقة فرعية من الأعداد ثنائية الأدي ، وهو نظام من الأعداد يمكن تعريفه من التمثيلات الثنائية التي تكون محدودة إلى يمين النقطة الثنائية ولكنها قد تمتد إلى ما لا نهاية إلى اليسار. تشمل الأعداد ثنائية الأدي جميع الأعداد النسبية، وليس فقط الأعداد النسبية الثنائية. لا يؤدي تضمين الأعداد النسبية الثنائية في الأعداد ثنائية الأدي إلى تغيير حساب الأعداد النسبية الثنائية، ولكنه يمنحها بنية طوبولوجي مختلفة عن تلك التي لها كحلقة فرعية من الأعداد الحقيقية. كما هو الحال في الأعداد الحقيقية، تشكل الأعداد النسبية الثنائية مجموعة فرعية كثيفة من الأعداد ثنائية الأدي، ^[30] وهي مجموعة الأعداد ثنائية الأدي ذات التوسعات الثنائية المحدودة. يمكن تحليل كل عدد ثنائي الأدي إلى مجموع عدد صحيح ثنائي الأدي وعدد نسبي ثنائي؛ بهذا المعنى، يمكن للأعداد الكسرية الثنائية أن تمثل الأجزاء الكسرية من الأعداد الكسرية ثنائية الأضلاع، لكن هذا التحليل ليس فريدًا. ^[31]

تشكل إضافة الأعداد الكسرية الثنائية modulo 1 ( مجموعة حاصل قسمة الأعداد الكسرية الثنائية على الأعداد الصحيحة) مجموعة Prüfer 2. ^[32]${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]/\mathbb {Z} }$

إن النظر فقط إلى عمليات الجمع والطرح للكسور الثنائية يمنحها بنية المجموعة الإبيلية الإضافية . ثنائية بونترياجين هي طريقة لفهم المجموعات الإبيلية من خلال إنشاء مجموعات ثنائية، تكون عناصرها عبارة عن خصائص المجموعة الأصلية، وتماثلات المجموعة للمجموعة الضربية للأعداد المركبة ، مع الضرب النقطي كعملية للمجموعة الثنائية. يمكن أيضًا اعتبار المجموعة الثنائية للكسور الثنائية الإضافية، المبنية بهذه الطريقة، مجموعة طوبولوجية . يطلق عليها الملف اللولبي الثنائي، وهي متماثلة مع حاصل الضرب الطوبولوجي للأعداد الحقيقية والأعداد ثنائية الأدي، المقسوم عليها بالتضمين القطري للكسور الثنائية في هذا الحاصل. ^[30] إنها مثال على البروتوروس ، والملف اللولبي ، والمتصل غير القابل للتحلل . ^[33]

نظرًا لأنها مجموعة فرعية كثيفة من الأعداد الحقيقية، فإن الأعداد النسبية الثنائية، بترتيبها العددي، تشكل ترتيبًا كثيفًا . وكما هو الحال مع أي ترتيبين خطيين كثيفين قابلين للعد غير محدودين، وفقًا لنظرية تماثل كانتور ، ^[34] فإن الأعداد النسبية الثنائية متماثلة الترتيب للأعداد النسبية. في هذه الحالة، توفر دالة علامة الاستفهام لمينكوفسكي تطابقًا يحافظ على الترتيب بين مجموعة جميع الأعداد النسبية ومجموعة الأعداد النسبية الثنائية. ^[35]

تلعب النسب الثنائية دورًا رئيسيًا في تحليل موجات دوبيشيز ، باعتبارها مجموعة النقاط حيث تكون دالة التدرج لهذه الموجات غير سلسة. ^[26] وبالمثل، تحدد النسب الثنائية معلمات الانقطاعات في الحدود بين النقاط المستقرة وغير المستقرة في فضاء المعلمات لخريطة هينون . ^[36]

تشكل مجموعة التماثلات الخطية المتقطعة من الفاصلة الوحدوية إلى نفسها والتي لها منحدرات بقوة 2 ونقاط توقف ثنائية نسبية مجموعة تحت عملية تكوين الدالة . هذه هي مجموعة طومسون ، أول مثال معروف لمجموعة بسيطة لا نهائية ولكن يتم تقديمها بشكل محدود . ^[37] يمكن أيضًا تمثيل نفس المجموعة من خلال إجراء على الأشجار الثنائية ذات الجذور، ^[38] أو من خلال إجراء على النسب الثنائية النسبية داخل الفاصلة الوحدوية. ^[32]

في الرياضيات العكسية ، إحدى طرق إنشاء الأعداد الحقيقية هي تمثيلها كدوال من الأعداد الأحادية إلى الأعداد الكسرية الثنائية، حيث تكون قيمة إحدى هذه الدوال للحجة عددًا كسريًا ثنائيًا بمقام يقارب العدد الحقيقي المعطى. يسمح تعريف الأعداد الحقيقية بهذه الطريقة بإثبات العديد من النتائج الأساسية للتحليل الرياضي ضمن نظرية مقيدة للحساب من الدرجة الثانية تسمى "التحليل الممكن" (BTFA). ^[39]${\displaystyle i}$${\displaystyle 2^{i}}$

يتم توليد الأعداد السريالية من خلال مبدأ البناء المتكرر الذي يبدأ بتوليد جميع الأعداد النسبية الثنائية المحدودة، ثم يستمر في إنشاء أنواع جديدة وغريبة من الأعداد اللانهائية واللامتناهية في الصغر وغيرها. ^[40] يعد نظام الأعداد هذا أساسًا لنظرية الألعاب التركيبية ، وتنشأ الأعداد النسبية الثنائية بشكل طبيعي في هذه النظرية كمجموعة من قيم بعض الألعاب التركيبية. ^{[41] [42] [19]}

الأعداد القابلة للانصهار هي مجموعة فرعية من الأعداد الكسرية الثنائية، وهي إغلاق المجموعة تحت العملية ، مقتصرة على الأزواج مع . وهي منظمة جيدًا ، مع نوع ترتيب يساوي رقم إبسيلون . لكل عدد صحيح، يكون أصغر عدد قابل للانصهار أكبر من على الشكل . لا يمكن إثبات وجود لكل منها في حسابيات بيانو ، ^[43] وينمو بسرعة كبيرة كدالة لذلك لأنه (في تدوين السهم لأعلى الخاص بـ Knuth للأعداد الكبيرة) أكبر بالفعل من . ^[44]${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle x,y\mapsto (x+y+1)/2}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle |xy|<1}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1/2^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle 2\uparrow ^{9}16}$

الدليل المعتاد على مبرهنة يوريسون يستخدم الكسور الثنائية لبناء دالة الفصل من المبرهنة.

Algebraic structure → Ring theory Ring theory
Basic concepts Rings • Subrings • Ideal • Quotient ring • Fractional ideal • Total ring of fractions • Product of rings • Free product of associative algebras • Tensor product of algebras Ring homomorphisms • Kernel • Inner automorphism • Frobenius endomorphism Algebraic structures • Module • Associative algebra • Graded ring • Involutive ring • Category of rings • Initial ring ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Terminal ring ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} /1\mathbb {Z} }$ Related structures • Field • Finite field • Non-associative ring • Lie ring • Jordan ring • Semiring • Semifield
Commutative algebra Commutative rings • Integral domain • Integrally closed domain • GCD domain • Unique factorization domain • Principal ideal domain • Euclidean domain • Field • Finite field • Polynomial ring • Formal power series ring Algebraic number theory • Algebraic number field • Integers modulo n • Ring of integers • p-adic integers ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • p-adic numbers ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • Prüfer p-ring ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$
Noncommutative algebra Noncommutative rings • Division ring • Semiprimitive ring • Simple ring • Commutator Noncommutative algebraic geometry Free algebra Clifford algebra • Geometric algebra Operator algebra
v t e