مجموعة معيارية

في الرياضيات ، المجموعة النمطية هي المجموعة الخطية الخاصة الإسقاطية${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ل${\displaystyle 2\times 2}$المصفوفات ذات المعاملات الصحيحة والمحدد${\displaystyle 1}$بحيث تكون المصفوفات${\displaystyle A}$و${\displaystyle -A}$يتم تحديدها. تعمل المجموعة النمطية على النصف العلوي من المستوى المركب بواسطة تحويلات كسرية خطية . اسم "المجموعة النمطية" مشتق من علاقتها بفضاءات المعامل ، وليس من الحساب النمطي .

المجموعة المعيارية Γ هي مجموعة التحويلات الخطية الكسرية لنصف المستوى العلوي المركب ، والتي لها الشكل التالي:

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}},}$

أين${\displaystyle a,b,c,d}$هي أعداد صحيحة، و${\displaystyle ad-bc=1}$عملية المجموعة هي تركيب الدوال .

هذه المجموعة من التحويلات متماثلة مع المجموعة الخطية الخاصة الإسقاطية${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$، وهو ناتج قسمة المجموعة الخطية الخاصة ثنائية الأبعاد${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}$من مركزها${\displaystyle \{I,-I\}}$. بعبارة أخرى،${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$يتكون من جميع المصفوفات

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

أين${\displaystyle a,b,c,d}$هي أعداد صحيحة،${\displaystyle ad-bc=1}$وأزواج من المصفوفات${\displaystyle A}$و${\displaystyle -A}$تُعتبر متطابقة. عملية المجموعة هي ضرب المصفوفات المعتاد .

يُعرّف بعض المؤلفين المجموعة النمطية بأنها${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$بينما يُعرّف آخرون المجموعة المعيارية بأنها المجموعة الأكبر${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}$.

تتطلب بعض العلاقات الرياضية مراعاة المجموعة${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} )}$من المصفوفات التي يكون محددها زائد أو ناقص واحد. (${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}$(هي مجموعة فرعية من هذه المجموعة.) وبالمثل،${\displaystyle \operatorname {PGL} (2,\mathbb {Z} )}$هي مجموعة القسمة${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} )/\{I,-I\}}$.

بما أن الجميع${\displaystyle 2\times 2}$إذا كانت المصفوفات ذات المحدد 1 مصفوفات تماثلية ، فإن${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )=\operatorname {Sp} (2,\mathbb {Z} )}$، المجموعة التبسيطية لـ${\displaystyle 2\times 2}$المصفوفات.

المحدد الوحدوي لـ

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

يشير هذا إلى أن الكسور _{a / b و a / c و c / d و b / d جميعها} غير قابلة للاختزال ، أي ليس لها عوامل مشتركة ₍ بشرط أن _تكون المقامات غير صفرية، بالطبع). وبشكل أعم، إذا كان p _{/ q} كسرًا غير قابل للاختزال ، فإن

${\displaystyle {\frac {ap+bq}{cp+dq}}}$

وهو أيضًا غير قابل للاختزال (مرة أخرى، بشرط أن يكون المقام غير صفري). يمكن ربط أي زوج من الكسور غير القابلة للاختزال بهذه الطريقة؛ أي أنه لأي زوج من الكسور غير القابلة للاختزال p / q و r / s ، توجد عناصر

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}$

بحيث

${\displaystyle r=ap+bq\quad {\mbox{ and }}\quad s=cp+dq.}$

توفر عناصر المجموعة النمطية تناظرًا على الشبكة ثنائية الأبعاد . ليكن ω₁ و ω₂ عددين _مركبين نسبتهما ليست حقيقية. عندئذٍ _تكون مجموعة النقاط

${\displaystyle \Lambda (\omega _{1},\omega _{2})=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$

هي شبكة من متوازيات الأضلاع على المستوى. زوج مختلف من المتجهات α1 و α2 _سيولد نفس الشبكة تمامًا إذا وفقط _إذا

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{pmatrix}}}$

لبعض المصفوفات في GL(2, Z ) . ولهذا السبب، فإن الدوال الدورية المزدوجة ، مثل الدوال الإهليلجية ، تمتلك تناظرًا معياريًا للمجموعة.

يمكن فهم تأثير المجموعة النمطية على الأعداد النسبية بسهولة أكبر من خلال تخيل شبكة مربعة، حيث تمثل النقطة ( p , q ) الكسر p / q ( انظر بستان إقليدس ). الكسر غير القابل للاختزال هو الكسر الظاهر من نقطة الأصل؛ فتأثير المجموعة النمطية على أي كسر لا يحوله أبدًا من كسر ظاهر ( غير قابل للاختزال) إلى كسر خفي (قابل للاختزال)، والعكس صحيح.

لاحظ أن أي عنصر من عناصر المجموعة النمطية يرسم خط الأعداد الحقيقية الممتد إسقاطيًا واحدًا لواحد مع نفسه، وعلاوة على ذلك يرسم خط الأعداد النسبية الممتد إسقاطيًا (الأعداد النسبية مع اللانهاية) إلى نفسه، والأعداد غير النسبية إلى الأعداد غير النسبية، والأعداد المتسامية إلى الأعداد المتسامية، والأعداد غير الحقيقية إلى الأعداد غير الحقيقية، والنصف العلوي من المستوى إلى النصف العلوي من المستوى، وما إلى ذلك.

إذا كان ⁠ p _{n −1} / q _{n −1} ⁠ و ⁠ p _n / q _n ⁠ متقاربين متتاليين لكسر مستمر ، فإن المصفوفة

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{n-1}&p_{n}\\q_{n-1}&q_{n}\end{pmatrix}}}$

ينتمي إلى GL(2, Z ) . على وجه الخصوص، إذا كان bc − ad = 1 للأعداد الصحيحة الموجبة a، b، c، d حيث a < b و c < d، فإن a/ b و c / d سيكونان متجاورين في متتالية فاري من الرتبة max ( b , d ) . تشمل الحالات الخاصة المهمة لتقارب الكسور المستمرة أعداد فيبوناتشي وحلول معادلة بيل . في كلتا الحالتين ، يمكن ترتيب الأعداد لتشكيل مجموعة جزئية شبه زمرة من الزمرة النمطية.

تُعدّ المجموعة النمطية مهمة لأنها تُشكّل مجموعة فرعية من مجموعة التماثلات الهندسية للمستوى الزائدي . إذا اعتبرنا نموذج النصف العلوي H للهندسة المستوية الزائدية، فإن مجموعة جميع التماثلات الهندسية التي تحافظ على التوجيه لـ H تتكون من جميع تحويلات موبيوس من الشكل التالي:

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

حيث a و b و c و d أعداد حقيقية . من حيث الإحداثيات الإسقاطية ، تؤثر المجموعة PSL(2, R ) على النصف العلوي من المستوى H بواسطة الإسقاطية:

${\displaystyle [z,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\,=\,[az+b,\ cz+d]\,\thicksim \,\left[{\frac {az+b}{cz+d}},\ 1\right].}$

هذا الإجراء أمين . بما أن PSL(2, Z ) هي مجموعة جزئية من PSL(2, R ) ، فإن المجموعة النمطية هي مجموعة جزئية من مجموعة التماثلات الحافظة للاتجاه لـ H. ^{[ 3 ]}

تبليط المستوى الزائدي

تؤثر المجموعة المعيارية Γ على${\textstyle \mathbb {H} }$كمجموعة فرعية منفصلة من${\textstyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$أي، لكل z في${\textstyle \mathbb {H} }$يمكننا إيجاد جوار للنقطة z لا يحتوي على أي عنصر آخر من مدارها . وهذا يعني أيضاً أنه يمكننا إنشاء نطاقات أساسية ، تحتوي (تقريباً) على ممثل واحد فقط من مدار كل نقطة z في H. (يجب توخي الحذر عند تحديد حدود النطاق).

توجد طرق عديدة لبناء مجال أساسي، لكن الخيار الشائع هو المنطقة

${\displaystyle R=\left\{z\in \mathbb {H} \colon \left|z\right|>1,\,\left|\operatorname {Re} (z)\right|<{\tfrac {1}{2}}\right\}}$

المنطقة محصورة بين الخطين الرأسيين Re ( z ) = ½ و Re( z ) = -½ ، والدائرة | z | = 1. هذه المنطقة مثلث زائدي . رؤوسه عند ½ + i√3 / 2 و -½ + i√3 / 2 ، حيث الزاوية بين ضلعيه π / 3 ، ورأس ثالث عند اللانهاية ، حيث الزاوية بين ضلعيه صفر . 

توجد علاقة وثيقة بين المجموعة النمطية والمنحنيات الإهليلجية . كل نقطة${\displaystyle z}$في النصف العلوي من المستوى يعطي منحنى إهليلجي، وهو ناتج قسمة${\displaystyle \mathbb {C} }$بواسطة الشبكة المتولدة من 1 و${\displaystyle z}$تُعطي نقطتان في النصف العلوي من المستوى منحنيات إهليلجية متماثلة إذا وفقط إذا كانتا مرتبطتين بتحويل في المجموعة النمطية. وبالتالي، فإن خارج قسمة النصف العلوي من المستوى بفعل المجموعة النمطية هو ما يُسمى فضاء المعاملات للمنحنيات الإهليلجية: وهو فضاء تُمثل نقاطه فئات التماثل للمنحنيات الإهليلجية. غالبًا ما يُتصور هذا الفضاء على أنه المجال الأساسي الموصوف أعلاه، مع تحديد بعض النقاط على حدوده.

تُعدّ المجموعة النمطية ومجموعاتها الفرعية مصدرًا لتبليطات مثيرة للاهتمام للمستوى الزائدي. من خلال تحويل هذا المجال الأساسي بدوره بواسطة كل عنصر من عناصر المجموعة النمطية، يتم إنشاء تبليط منتظم للمستوى الزائدي بواسطة مثلثات زائدية متطابقة تُعرف باسم التبليط المثلثي ذي الرتبة اللانهائية V6.6.∞ . لاحظ أن لكل مثلث من هذه المثلثات رأسًا واحدًا إما عند اللانهاية أو على المحور الحقيقي Im( z ) = 0 .

يمكن تعميم هذا التبليط على قرص بوانكاريه ، حيث يقع رأس واحد من كل مثلث زائدي على حدود القرص. ويُعطى تبليط قرص بوانكاريه بطريقة طبيعية بواسطة الثابت J ، وهو ثابت تحت المجموعة النمطية، ويبلغ كل عدد مركب مرة واحدة في كل مثلث من هذه المناطق.

يمكن تحسين هذا التبليط قليلاً بتقسيم كل منطقة إلى نصفين (يُلوّنان عادةً بالأسود والأبيض)، وذلك بإضافة خريطة عكس الاتجاه؛ فتتوافق الألوان حينها مع اتجاه المجال. بإضافة ( x , y ) ↦ (−x , y ) وأخذ النصف الأيمن من المنطقة R (حيث Re( z ) ≥ 0 ) نحصل على التبليط المعتاد. ظهر هذا التبليط لأول مرة في مطبوعات ( Klein & 1878/79a ) ، ^{[ 4 ]} حيث نُسب إلى ريتشارد ديديكيند ، بالرجوع إلى ( Dedekind 1877 ) . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

يمكن تصور خريطة المجموعات (2، 3، ∞) → (2، 3، n ) (من المجموعة النمطية إلى المجموعة المثلثية) من حيث هذا التبليط (مما ينتج عنه تبليط على المنحنى النمطي)، كما هو موضح في الفيديو على اليمين.

التبليطات المنتظمة شبه المتراصة في عائلة [ ∞ ,3] v ت هـ
التناظر: [ ∞ ,3], (* ∞ 32)							[ ∞ ,3] + ( ∞ 32)	[1 + , ∞ ,3] (* ∞ 33)		[ ∞ ,3 + ] (3* ∞ )
		=	=	=				أو​	أو​	=
{ ∞ ,3}	t{ ∞ ,3}	r{ ∞ ,3}	t{3, ∞ }	{3, ∞ }	rr{ ∞ ,3}	tr{ ∞ ,3}	sr{ ∞ ,3}	h{ ∞ ,3}	h 2 { ∞ ,3}	s{3, ∞ }
ثنائيات موحدة
V ∞ 3	V3. ∞ . ∞	V(3. ∞ ) 2	V6.6. ∞	V3 ∞	V4.3.4. ∞	V4.6. ∞	V3.3.3.3. ∞	V(3. ∞ ) 3		V3.3.3.3.3. ∞

يتم تحديد المجموعات الفرعية المهمة للمجموعة المعيارية Γ ، والتي تسمى مجموعات التطابق ، عن طريق فرض علاقات التطابق على المصفوفات المرتبطة بها.

يوجد تشاكل طبيعي SL(2, Z ) → SL(2, Z / N Z ) يُعطى باختزال المدخلات بتردد N. يُولّد هذا تشاكلًا على المجموعة النمطية PSL(2, Z ) → PSL(2, Z / N Z ) . تُسمى نواة هذا التشاكل المجموعة الفرعية الرئيسية للتطابق من المستوى N ، ويُرمز لها بـ Γ( N ) . لدينا المتتالية التامة القصيرة التالية :

${\displaystyle 1\to \Gamma (N)\to \Gamma \to \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )\to 1.}$

باعتبارها نواة لتشاكل، فإن Γ( N ) هي زمرة جزئية طبيعية من الزمرة المعيارية Γ . تُعرَّف الزمرة Γ( N ) بأنها مجموعة جميع التحويلات المعيارية.

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

والتي يكون فيها a ≡ d ≡ ±1 (mod N ) و b ≡ c ≡ 0 (mod N ) .

من السهل إثبات أن أثر المصفوفة التي تمثل عنصرًا من Γ( N ) لا يمكن أن يكون -1 أو 0 أو 1، لذا فإن هذه المجموعات الفرعية هي مجموعات خالية من الالتواء . (توجد مجموعات فرعية أخرى خالية من الالتواء).

تُسمى المجموعة الفرعية الرئيسية للتطابق من المستوى 2، Γ(2) ، أيضًا بالمجموعة النمطية Λ . وبما أن PSL(2, Z /2 Z ) متماثلة مع S ₃ ، فإن Λ هي مجموعة فرعية ذات دليل 6. تتكون المجموعة Λ من جميع التحويلات النمطية التي يكون فيها a و d فرديين و b و c زوجيين.

تُعدّ الزمر المعيارية Γ₀ ( N ) عائلةً أخرى مهمة من زمر التطابق، وهي _{تُعرَّف} بأنها مجموعة جميع التحويلات المعيارية التي تحقق الشرط c ≡ 0 (mod N ) ، أو بصورة مكافئة، الزمرة الفرعية التي تصبح مصفوفاتها مثلثية علوية عند اختزالها بتردد N. تجدر الإشارة إلى أن Γ( N ) هي زمرة فرعية من Γ₀ ( N ) . تُمثّل المنحنيات المعيارية المرتبطة بهذه الزمر جانبًا من جوانب ظاهرة "ضوء القمر الوحشي" _؛ فبالنسبة لعدد أولي p ، يكون المنحنى المعياري للمُعَيِّر من الرتبة الصفرية إذا وفقط إذا كان p يقسم رتبة زمرة الوحش ، أو بصورة مكافئة، إذا كان p عددًا أوليًا فائق التفرد .

إحدى المجموعات الفرعية المهمة للمجموعة النمطية هي المونويد الثنائي ، وهو مونويد جميع السلاسل من الشكل ST ^{_{n1 ،}} ST ^_{_n2،} ST ^_n3 ، ... للأعداد الصحيحة الموجبة n_{_i} . يظهر هذا المونويد بشكل طبيعي في دراسة المنحنيات الكسورية ، ويصف تناظرات التشابه الذاتي لدالة كانتور ، ودالة علامة الاستفهام لمينكوفسكي ، وندفة كوخ الثلجية ، وكل منها حالة خاصة من منحنى دي رام العام . كما يمتلك المونويد تمثيلات خطية ذات أبعاد أعلى؛ على سبيل المثال، يمكن فهم التمثيل N = 3 على أنه يصف التناظر الذاتي لمنحنى البلانكمانج .

المجموعة GL(2, Z ) هي التطبيقات الخطية التي تحافظ على الشبكة القياسية Z² ^، و SL(2, Z ) هي التطبيقات التي تحافظ على التوجيه والتي تحافظ على هذه الشبكة؛ وبالتالي، فإنها تنحدر إلى التشاكلات الذاتية للسطح الحلقي (SL تُطبّق على تطبيقات تحافظ على التوجيه)، وفي الواقع تُطبّق بشكل متماثل على مجموعة فئات التطبيقات (الممتدة) للسطح الحلقي، مما يعني أن كل تشاكل ذاتي للسطح الحلقي متماثل مع تطبيق من هذا الشكل. تتوافق الخصائص الجبرية للمصفوفة كعنصر من GL(2, Z ) مع ديناميكيات التطبيق المستحث للسطح الحلقي.

يمكن تعميم المجموعة النمطية إلى مجموعات هيك ، التي سميت نسبة إلى إريك هيك ، وتعرف على النحو التالي. ^{[ 7 ]}

مجموعة هيك H _q حيث q ≥ 3 ، هي المجموعة المنفصلة المولدة بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}z&\mapsto -{\frac {1}{z}}\\z&\mapsto z+\lambda _{q},\end{aligned}}}$

حيث λ _q = 2 cos π / q . بالنسبة للقيم الصغيرة لـ q ≥ 3 ، يكون لدينا:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{3}&=1,\\\lambda _{4}&={\sqrt {2}},\\\lambda _{5}&={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\\\lambda _{6}&={\sqrt {3}},\\\lambda _{8}&={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}.\end{aligned}}}$

المجموعة النمطية Γ متماثلة مع H3 _، وتتشاركان في الخصائص والتطبيقات – على سبيل المثال، كما هو الحال مع حاصل الضرب الحر للمجموعات الدورية

${\displaystyle \Gamma \cong C_{2}*C_{3},}$

بشكل عام، يمتلك المرء

${\displaystyle H_{q}\cong C_{2}*C_{q},}$

وهو ما يتوافق مع مجموعة المثلث (2، q ، ∞) . وبالمثل، يوجد مفهوم مجموعات التطابق الرئيسية المرتبطة بالمثاليّات الرئيسية في Z [ λ ] .

تمت دراسة المجموعة النمطية ومجموعاتها الفرعية لأول مرة بالتفصيل من قبل ريتشارد ديديكيند وفيليكس كلاين كجزء من برنامج إرلانجن في سبعينيات القرن التاسع عشر. ومع ذلك، تمت دراسة الدوال الإهليلجية ذات الصلة الوثيقة من قبل جوزيف لويس لاغرانج في عام 1785، ونُشرت نتائج أخرى حول الدوال الإهليلجية من قبل كارل جوستاف جاكوب جاكوبي ونيلز هنريك أبيل في عام 1827.