تخمين كاراثيودوري

في الهندسة التفاضلية ، تُعدّ حدسية كاراثيودوري حدسية رياضية نُسبت إلى قسطنطين كاراثيودوري من قِبل هانز لودفيج هامبرغر في جلسة للجمعية الرياضية في برلين عام 1924. ^{[ 1 ]} لم يُدوّن كاراثيودوري هذه الحدسية كتابةً، ولكنه نشر بحثًا حول موضوع ذي صلة. ^{[ 2 ]} في ^{[ 3 ]،} يذكر جون إيدنسور ليتلوود الحدسية ومساهمة هامبرغر ^{[ 4 ]} كمثال على ادعاء رياضي يسهل ذكره ولكن يصعب إثباته. يصف ديرك ستريك في ^{[ 5 ]} التشابه الشكلي للحدسية مع نظرية الرؤوس الأربعة للمنحنيات المستوية . من المراجع الحديثة لهذه الحدسية قائمة مسائل شينغ تونغ ياو ، ^{[ 6 ]} وكتب مارسيل بيرغر ، ^{[ 7 ] [ 8 ]} بالإضافة إلى الكتب الأخرى. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

لقد واجهت هذه الفرضية تاريخًا مضطربًا، حيث احتوت البراهين المنشورة في الحالة التحليلية ^{[ 13 ] [ 14 ]} على ثغرات. ^{[ 15 ]} برهان لأسطح ذات نعومة هولدر${\displaystyle C^{3,\alpha }}$أُعلن عن فرضية بريندان غيلفويل وويلهلم كلينجنبرغ لأول مرة عام 2008 ^{[ 16 ]} ، لكنها لم تُنشر قط بصيغتها الأصلية. لاحقًا، نشر المؤلفان ثلاث أوراق بحثية أخرى ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} بحلول عام 2024، والتي زعما في منشور منفصل ^{[ 20 ]} أنها تُثبت صحة الفرضية. وتستند حججهما إلى تقنيات من هندسة كاهلر المحايدة ، والمعادلات التفاضلية الجزئية المكافئة ، ونظرية سارد-سميل .

تنص الفرضية على أن أي سطح محدب، مغلق، وأملس بدرجة كافية في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ، يجب أن يحتوي على نقطتين سريتين على الأقل . وبناءً على هذه الفرضية، يُعد كل من الشكل الكروي ذي النقطتين السريتين فقط ، والكرة التي جميع نقاطها سريتين، مثالين على الأسطح ذات الحد الأدنى والحد الأقصى من النقاط السرية. ولكي تكون الفرضية صحيحة، أو لكي تكون النقاط السرية محددة بدقة، يجب أن يكون السطح قابلاً للتفاضل مرتين على الأقل. ويتطلب برهان غيلفويل وكلينجنبرغ أن يمتلك السطح مشتقات هولدر من الرتبة الثالثة، وهو ما يعكس استخدامهما لطرق القطع المكافئ من الرتبة الثانية في النفاث الأحادي للسطح.

كانت المحاضرة المدعوة التي ألقاها ستيفان كوهن-فوسن ^{[ 21 ]} في المؤتمر الدولي للرياضيات عام 1928 في بولونيا حول هذا الموضوع، وفي طبعة عام 1929 من المجلد الثالث لفيلهلم بلاشكه حول الهندسة التفاضلية ^{[ 22 ]} ذكر ما يلي:

بينما يُطبع هذا الكتاب، نجح السيد كوهن-فوسن في إثبات أن الأسطح التحليلية الحقيقية المغلقة لا تحتوي على نقاط سرية ذات مؤشر أكبر من 2 (محاضرة مدعوة في المؤتمر الدولي للرياضيات في بولونيا عام 1928). وهذا يُثبت صحة حدسية كاراثيودوري لهذه الأسطح، وهي أنها تحتاج إلى نقطتين سريتين على الأقل.

هنا، يبلغ مؤشر بلاشكه ضعف التعريف المعتاد لمؤشر نقطة السرة، ويستنتج التخمين العام من نظرية مؤشر بوانكاريه-هوبف . لم يقدم كوهن-فوسن أي ورقة بحثية إلى وقائع المؤتمر الدولي، بينما حُذفت التعليقات المذكورة أعلاه في الطبعات اللاحقة من كتاب بلاشكه. لذلك، من المعقول افتراض أن هذا العمل لم يكن حاسمًا.

بالنسبة للأسطح التحليلية، قُدِّمَ ردٌّ إيجابيٌّ على هذه الفرضية عام 1940 من قِبَل هانز هامبرغر في ورقة بحثية مطوّلة نُشرت في ثلاثة أجزاء. ^{[ 4 ]} واعتمد هامبرغر في منهجه على تقدير مؤشر محلي للوصلات السرية المعزولة، والذي كان قد أثبت في أعماله السابقة أنه يستلزم صحة الفرضية. ^{[ 23 ] [ 24 ]} وفي عام 1943، اقترح جيريت بول برهانًا أقصر ، ^{[ 13 ]} انظر أيضًا، ^{[ 25 ]} ولكن في عام 1959، اكتشفت تيلا كلوتز ثغرةً في برهان بول وصحّحتها. ^{[ 14 ] [ 4 ]} وقد أُعلن أن برهانها غير مكتمل في أطروحة هانزبيتر شيربل ^{[ 15 ]} (لم تُنشر أي نتائج لتلك الأطروحة تتعلق بفرضية كاراثيودوري لعقود). ومن بين المنشورات الأخرى، نشير إلى الأوراق البحثية التالية. ^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]}

تستند جميع البراهين المذكورة أعلاه إلى اختزال هامبرغر لتخمين كاراثيودوري إلى التخمين التالي: لا يتجاوز دليل أي نقطة سرية معزولة الواحد أبدًا . ^{[ 23 ]} وبشكل عام، تكمن الصعوبة الرئيسية في حلّ حالات التفرد الناتجة عن النقاط السرية. وقد حلّ جميع المؤلفين المذكورين أعلاه حالات التفرد بالاستقراء على "درجة انحلال" النقطة السرية، لكن لم يتمكن أي منهم من عرض عملية الاستقراء بوضوح.

في عام 2002، أعاد فلاديمير إيفانوف النظر في عمل هامبرغر حول الأسطح التحليلية بالهدف المعلن التالي: ^{[ 29 ]}

"أولاً، بالنظر إلى الأسطح التحليلية، نؤكد بكل مسؤولية أن كاراثيودوري كان محقاً. ثانياً، نعرف كيف يمكن إثبات ذلك بدقة. ثالثاً، نعتزم هنا عرض برهان نعتقد أنه سيقنع كل قارئ مستعد حقاً لخوض رحلة طويلة وشاقة معنا."

في البداية، يتبع الطريق الذي سلكه جيريت بول وتيلا كلوتز ، لكنه يقترح لاحقًا طريقته الخاصة لحل التفرد حيث يلعب التحليل المركب دورًا حاسمًا (وبشكل أدق، التقنيات التي تتضمن الدوال الضمنية التحليلية ، ونظرية إعداد فايرشتراس ، ومتسلسلات بويزو ، وأنظمة الجذور الدائرية ).

يؤدي حد هامبرغر لمؤشر السُّرّية للأسطح التحليلية إلى قيود على موضع جذور أنواع معينة من كثيرات الحدود التحليلية. على وجه الخصوص، يُقال إن كثيرة الحدود التحليلية ذاتية الانعكاس إذا كانت مجموعة جذورها ثابتة تحت الانعكاس في دائرة الوحدة . يمكن إثبات أنه بالنسبة لكثيرة حدود ذات مشتقة ثانية ذاتية الانعكاس، لا يقع أي من جذورها على دائرة الوحدة، فإن عدد الجذور (مع مراعاة التعددية) داخل دائرة الوحدة أقل من أو يساوي ⌊N/2⌋ + 1. ^{[ 30 ]} يأخذ البرهان أي كثيرة حدود تحليلية بالخصائص المذكورة ويبني سطحًا تحليليًا حقيقيًا بنقطة سُرّية معزولة. يُحدد المؤشر بعدد أصفار كثيرة الحدود التي تقع داخل دائرة الوحدة، ثم يُعطي حد هامبرغر النتيجة المطلوبة.

في عام 2008، أعلن بريندان غيلفويل وويلهلم كلينجنبرغ ^{[ 16 ]} عن برهان التخمين العالمي لأسطح النعومة${\displaystyle C^{3,\alpha }}$. نُشر البرهان في ثلاثة أجزاء. ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} تستخدم طريقتهم هندسة كاهلر المحايدة لسطح كلاين الرباعي ^{[ 31 ]} لتعريف مسألة ريمان-هيلبرت ذات القيمة الحدية المرتبطة بها ، ثم تطبق تدفق الانحناء المتوسط ​​ونظرية سارد-سميل على القيم المنتظمة لمؤثرات فريدهولم لإثبات تناقض لسطح ذي نقطة سرية واحدة.

على وجه الخصوص، تسعى مسألة القيمة الحدية إلى إيجاد منحنى هولومورفي ذي حدود تقع على سطح لاغرانج في سطح كلاين الرباعي المحدد بواسطة الخطوط العمودية على السطح في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. وقد ثبت سابقًا أن عدد النقاط السرية المعزولة الموجودة على السطح في${\displaystyle R^{3}}$يُحدد هذا المقياس فئة كيلر-ماسلوف لمنحنى الحدود ^{[ 32 ]} ، وبالتالي، عندما تكون المسألة منتظمة فريدهولم، فإنه يُحدد بُعد فضاء الأقراص الهولومورفية. ^{[ 16 ]} جميع الكميات الهندسية المشار إليها مُعرَّفة بالنسبة إلى بنية كاهلر المحايدة المتعارف عليها ، والتي يمكن أن تكون أسطحها هولومورفية ولاغرانجية. ^{[ 31 ]}

عند معالجة الفرضية العالمية، يطرح السؤال التالي: " ما الذي سيكون مميزًا جدًا في سطح محدب مغلق أملس في${\displaystyle R^{3}}$بنقطة سرة واحدة؟ يجيب غيلفويل وكلينجنبرغ على هذا السؤال: ^{[ 18 ]} ستكون مسألة ريمان-هيلبرت ذات القيمة الحدية المرتبطة بها منتظمة فريدهولم. وقد ثبت أن وجود مجموعة تماثل قياس بحجم كافٍ لتثبيت نقطة ما يكفي لضمان ذلك، وبالتالي تحديد حجم مجموعة تماثل القياس الإقليدية لـ${\displaystyle R^{3}}$باعتباره السبب الأساسي وراء صحة حدسية كاراثيودوري. ويتعزز هذا بنتيجة أحدث ^{[ 33 ]} حيث توجد مقاييس سلسة محيطة (بدون تناظرات) مختلفة ولكنها قريبة بشكل تعسفي من المقياس الإقليدي على${\displaystyle R^{3}}$، يتم إنشاؤها بحيث تسمح بأسطح محدبة ناعمة تنتهك كلاً من التخمينات المحلية والعالمية.

بحسب انتظام فريدهولم، بالنسبة لسطح محدب عام قريب من مثال مضاد مفترض لتخمين كاراثيودوري العالمي، فإن مسألة ريمان-هيلبرت المرتبطة به لن يكون لها حلول. تتمثل الخطوة الثانية من البرهان في إثبات وجود مثل هذه الحلول دائمًا، مما يُثبت عدم وجود مثال مضاد. ويتم ذلك باستخدام تدفق انحناء متوسط ​​ثنائي الأبعاد مع حدود. تظهر التقديرات الداخلية المطلوبة لتدفق انحناء متوسط ​​ذي أبعاد أعلى في هندسة غير محددة في المرجع ^{[ 17 ]} . أما الجزء الأخير فهو إثبات تحكم كافٍ في الحدود في ظل تدفق الانحناء المتوسط ​​لضمان التقارب الضعيف. ويتم ذلك مع إثبات تخمين توبونوغوف ذي الصلة بشأن النقاط السرية على المستويات الكاملة التي تعمل معها نفس الطرق. ^{[ 19 ]}

في عام ٢٠١٢، أُعلن عن برهان نسخة أضعف من تخمين المؤشر المحلي للأسطح الملساء، وهي أن نقطة السرة المعزولة يجب أن يكون مؤشرها أقل من أو يساوي ٣/٢. ^{[ ٣٤ ]} يتبع البرهان برهان التخمين العام، ولكنه يستخدم أيضًا أساليب طوبولوجية أكثر، ولا سيما استبدال نقاط السرة الزائدية بأغطية متقاطعة حقيقية تمامًا على حدود مسألة ريمان-هيلبرت المرتبطة بها. ويترك هذا البرهان إمكانية وجود سطح محدب أملس (تحليلي غير حقيقي وفقًا لهامبرغر ^{[ ٤ ]} ) ذي نقطة سرة معزولة بمؤشر ٣/٢.

في عام 2012، أظهر محمد غومي ورالف هوارد، باستخدام تحويل موبيوس ، أن التخمين العالمي لأسطح النعومة${\displaystyle C^{2}}$يمكن إعادة صياغتها بدلالة عدد النقاط السرية على الرسوم البيانية الخاضعة لسلوك تقاربي معين للتدرج. ^{[ 35 ] [ 36 ]}

• الهندسة التفاضلية للأسطح
• الشكل الأساسي الثاني
• الانحناء الرئيسي
• نقطة السرة